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文档简介

全国18名校2025届高三六校第一次联考数学试卷考生请注意:1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内,不得在试卷上作任何标记。2.第一部分选择题每小题选出答案后,需将答案写在试卷指定的括号内,第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知函数,则的最小值为()A. B. C. D.2.已知抛物线上的点到其焦点的距离比点到轴的距离大,则抛物线的标准方程为()A. B. C. D.3.阿基米德(公元前287年—公元前212年),伟大的古希腊哲学家、数学家和物理学家,他死后的墓碑上刻着一个“圆柱容球”的立体几何图形,为纪念他发现“圆柱内切球的体积是圆柱体积的,且球的表面积也是圆柱表面积的”这一完美的结论.已知某圆柱的轴截面为正方形,其表面积为,则该圆柱的内切球体积为()A. B. C. D.4.若双曲线的一条渐近线与直线垂直,则该双曲线的离心率为()A.2 B. C. D.5.已知函数f(x)=sin2x+sin2(x),则f(x)的最小值为()A. B. C. D.6.定义在R上的函数y=fx满足fx≤2x-1A. B. C. D.7.若函数在时取得极值,则()A. B. C. D.8.函数在内有且只有一个零点,则a的值为()A.3 B.-3 C.2 D.-29.“”是“,”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分又不必要条件10.在中,,,,则在方向上的投影是()A.4 B.3 C.-4 D.-311.设等差数列的前项和为,若,则()A.10 B.9 C.8 D.712.盒中装有形状、大小完全相同的5张“刮刮卡”,其中只有2张“刮刮卡”有奖,现甲从盒中随机取出2张,则至少有一张有奖的概率为()A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知,,且,若恒成立,则实数的取值范围是____.14.将底面直径为4,高为的圆锥形石块打磨成一个圆柱,则该圆柱的侧面积的最大值为__________.15.已知两圆相交于两点,,若两圆圆心都在直线上,则的值是________________.16.在正方体中,分别为棱的中点,则直线与直线所成角的正切值为_________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知等比数列,其公比,且满足,和的等差中项是1.(Ⅰ)求数列的通项公式;(Ⅱ)若,是数列的前项和,求使成立的正整数的值.18.(12分)椭圆的右焦点,过点且与轴垂直的直线被椭圆截得的弦长为.(1)求椭圆的方程;(2)过点且斜率不为0的直线与椭圆交于,两点.为坐标原点,为椭圆的右顶点,求四边形面积的最大值.19.(12分)如图,在直三棱柱中,,,D,E分别为AB,BC的中点.(1)证明:平面平面;(2)求点到平面的距离.20.(12分)如图,为等腰直角三角形,,D为AC上一点,将沿BD折起,得到三棱锥,且使得在底面BCD的投影E在线段BC上,连接AE.(1)证明:;(2)若,求二面角的余弦值.21.(12分)已知数列为公差为d的等差数列,,,且,,依次成等比数列,.(1)求数列的前n项和;(2)若,求数列的前n项和为.22.(10分)已知函数,.(1)判断函数在区间上的零点的个数;(2)记函数在区间上的两个极值点分别为、,求证:.

参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】

利用三角恒等变换化简三角函数为标准正弦型三角函数,即可容易求得最小值.【详解】由于,故其最小值为:.故选:C.【点睛】本题考查利用降幂扩角公式、辅助角公式化简三角函数,以及求三角函数的最值,属综合基础题.2、B【解析】

由抛物线的定义转化,列出方程求出p,即可得到抛物线方程.【详解】由抛物线y2=2px(p>0)上的点M到其焦点F的距离比点M到y轴的距离大,根据抛物线的定义可得,,所以抛物线的标准方程为:y2=2x.故选B.【点睛】本题考查了抛物线的简单性质的应用,抛物线方程的求法,属于基础题.3、D【解析】

设圆柱的底面半径为,则其母线长为,由圆柱的表面积求出,代入圆柱的体积公式求出其体积,结合题中的结论即可求出该圆柱的内切球体积.【详解】设圆柱的底面半径为,则其母线长为,因为圆柱的表面积公式为,所以,解得,因为圆柱的体积公式为,所以,由题知,圆柱内切球的体积是圆柱体积的,所以所求圆柱内切球的体积为.故选:D【点睛】本题考查圆柱的轴截面及表面积和体积公式;考查运算求解能力;熟练掌握圆柱的表面积和体积公式是求解本题的关键;属于中档题.4、B【解析】

由题中垂直关系,可得渐近线的方程,结合,构造齐次关系即得解【详解】双曲线的一条渐近线与直线垂直.∴双曲线的渐近线方程为.,得.则离心率.故选:B【点睛】本题考查了双曲线的渐近线和离心率,考查了学生综合分析,概念理解,数学运算的能力,属于中档题.5、A【解析】

先通过降幂公式和辅助角法将函数转化为,再求最值.【详解】已知函数f(x)=sin2x+sin2(x),=,=,因为,所以f(x)的最小值为.故选:A【点睛】本题主要考查倍角公式及两角和与差的三角函数的逆用,还考查了运算求解的能力,属于中档题.6、D【解析】

根据y=fx+1为奇函数,得到函数关于1,0中心对称,排除AB,计算f1.5≤【详解】y=fx+1为奇函数,即fx+1=-f-x+1,函数关于f1.5≤2故选:D.【点睛】本题考查了函数图像的识别,确定函数关于1,0中心对称是解题的关键.7、D【解析】

对函数求导,根据函数在时取得极值,得到,即可求出结果.【详解】因为,所以,又函数在时取得极值,所以,解得.故选D【点睛】本题主要考查导数的应用,根据函数的极值求参数的问题,属于常考题型.8、A【解析】

求出,对分类讨论,求出单调区间和极值点,结合三次函数的图像特征,即可求解.【详解】,若,,在单调递增,且,在不存在零点;若,,在内有且只有一个零点,.故选:A.【点睛】本题考查函数的零点、导数的应用,考查分类讨论思想,熟练掌握函数图像和性质是解题的关键,属于中档题.9、B【解析】

先求出满足的值,然后根据充分必要条件的定义判断.【详解】由得,即,,因此“”是“,”的必要不充分条件.故选:B.【点睛】本题考查充分必要条件,掌握充分必要条件的定义是解题基础.解题时可根据条件与结论中参数的取值范围进行判断.10、D【解析】分析:根据平面向量的数量积可得,再结合图形求出与方向上的投影即可.详解:如图所示:,,,又,,在方向上的投影是:,故选D.点睛:本题考查了平面向量的数量积以及投影的应用问题,也考查了数形结合思想的应用问题.11、B【解析】

根据题意,解得,,得到答案.【详解】,解得,,故.故选:.【点睛】本题考查了等差数列的求和,意在考查学生的计算能力.12、C【解析】

先计算出总的基本事件的个数,再计算出两张都没获奖的个数,根据古典概型的概率,求出两张都没有奖的概率,由对立事件的概率关系,即可求解.【详解】从5张“刮刮卡”中随机取出2张,共有种情况,2张均没有奖的情况有(种),故所求概率为.故选:C.【点睛】本题考查古典概型的概率、对立事件的概率关系,意在考查数学建模、数学计算能力,属于基础题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、(-4,2)【解析】试题分析:因为当且仅当时取等号,所以考点:基本不等式求最值14、【解析】

由题意欲使圆柱侧面积最大,需使圆柱内接于圆锥.设圆柱的高为h,底面半径为r,则,将侧面积表示成关于的函数,再利用一元二次函数的性质求最值.【详解】欲使圆柱侧面积最大,需使圆柱内接于圆锥.设圆柱的高为h,底面半径为r,则,所以.∴,当时,的最大值为.故答案为:.【点睛】本题考查圆柱的侧面积的最值,考查函数与方程思想、转化与化归思想、,考查空间想象能力和运算求解能力,求解时注意将问题转化为函数的最值问题.15、【解析】

根据题意,相交两圆的连心线垂直平分相交弦,可得与直线垂直,且的中点在这条直线上,列出方程解得即可得到结论.【详解】由,,设的中点为,根据题意,可得,且,解得,,,故.故答案为:.【点睛】本题考查相交弦的性质,解题的关键在于利用相交弦的性质,即两圆的连心线垂直平分相交弦,属于基础题.16、【解析】

由中位线定理和正方体性质得,从而作出异面直线所成的角,在三角形中计算可得.【详解】如图,连接,,,∵分别为棱的中点,∴,又正方体中,即是平行四边形,∴,∴,(或其补角)就是直线与直线所成角,是等边三角形,∴=60°,其正切值为.故答案为:.【点睛】本题考查异面直线所成的角,解题关键是根据定义作出异面直线所成的角.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(Ⅰ).(Ⅱ).【解析】

(Ⅰ)由等差数列中项性质和等比数列的通项公式,解方程可得首项和公比,可得所求通项公式;(Ⅱ),由数列的错位相减法求和可得,解方程可得所求值.【详解】(Ⅰ)等比数列,其公比,且满足,和的等差中项是即有,解得:(Ⅱ)由(Ⅰ)知:则相减可得:化简可得:,即为解得:【点睛】本题考查等比数列的通项公式和求和公式的运用,考查数列的错位相减法求和,以及方程思想和运算能力,属于中档题.18、(1)(2)最大值.【解析】

(1)根据通径和即可求(2)设直线方程为,联立椭圆,利用,用含的式子表示出,用换元,可得,最后用均值不等式求解.【详解】解:(1)依题意有,,,所以椭圆的方程为.(2)设直线的方程为,联立,得.所以,.所以.令,则,所以,因,则,所以,当且仅当,即时取得等号,即四边形面积的最大值.【点睛】考查椭圆方程的求法和椭圆中四边形面积最大值的求法,是难题.19、(1)证明见解析;(2).【解析】

(1)通过证明面,即可由线面垂直推证面面垂直;(2)根据面,将问题转化为求到面的距离,利用等体积法求点面距离即可.【详解】(1)因为棱柱是直三棱柱,所以又,所以面又,分别为AB,BC的中点所以//即面又面,所以平面平面(2)由(1)可知////所以//平面即点到平面的距离等于点到平面的距离设点到面的距离为由(1)可知,面且在中,,易知由等体积公式可知即由得所以到平面的距离等于【点睛】本题考查由线面垂直推证面面垂直,涉及利用等体积法求点面距离,属综合中档题.20、(1)见解析;(2)【解析】

(1)由折叠过程知与平面垂直,得,再取中点,可证与平面垂直,得,从而可得线面垂直,再得线线垂直;(2)由已知得为中点,以为原点,所在直线为轴,在平面内过作的垂线为轴建立空间直角坐标系,由已知求出线段长,得出各点坐标,用平面的法向量计算二面角的余弦.【详解】(1)易知与平面垂直,∴,连接,取中点,连接,由得,,∴平面,平面,∴,又,∴平面,∴;(2)由,知是中点,令,则,由,,∴,解得,故.以为原点,所在直线为轴,在平面内过作的垂线为轴建立空间直角坐标系,如图,则,,,设平面的法向量为,则,取,则.又易知平面的一个法向量为,.∴二面角的余弦值为.【点睛】本题考查证明线线垂直,考查用空间向量法求二面角.证线线垂直,一般先证线面垂直,而证线面垂直又要证线线垂直,注意线线垂直、线面垂直及面面垂直的转化.求空间角,常用方法就是建立空间直角坐标系,用空间向量法求空间角.21、(1)(2)【解析】

(1)利用等差数列的通项公式以及等比中项求出公差,从而求出,再利用等比数列的前项和公式即可求解.(2)由(1)求出,再利用裂项求和法即可求解.【详解】(1),且,,依次成等比数列,,即:,,,,,;(2),.【点睛】本题考查了等差数列、等比数列的通项公式、等比数列的前项和公式、裂项求和法,需熟记公式,属于基础题.22、(1);(2)见解析.【解析】

(1)利用导数分析函数在区间上的单调性与极值,结合零点存在定理可得出结论;(2)设函数的极大值点和极小值点分别为、,由(1)知,,且满足,,于是得出,由得,利用正切函数的单调性推

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