2025届上海市崇明区市级名校高考临考冲刺数学试卷含解析

2025届上海市崇明区市级名校高考临考冲刺数学试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知椭圆（a＞b＞0）与双曲线（a＞0，b＞0）的焦点相同，则双曲线渐近线方程为（）A． B．C． D．2．“哥德巴赫猜想”是近代三大数学难题之一，其内容是：一个大于2的偶数都可以写成两个质数(素数)之和，也就是我们所谓的“1+1”问题.它是1742年由数学家哥德巴赫提出的，我国数学家潘承洞、王元、陈景润等在哥德巴赫猜想的证明中做出相当好的成绩.若将6拆成两个正整数的和，则拆成的和式中，加数全部为质数的概率为（）A． B． C． D．3．已知复数满足，其中为虚数单位，则（）．A． B． C． D．4．函数，，则“的图象关于轴对称”是“是奇函数”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件5．在直角梯形中，，，，，点为上一点，且，当的值最大时，()A． B．2 C． D．6．在条件下，目标函数的最大值为40，则的最小值是（）A． B． C． D．27．如图所示，直三棱柱的高为4，底面边长分别是5，12，13，当球与上底面三条棱都相切时球心到下底面距离为8，则球的体积为()A．1605π3 B．6428．若向量，，则与共线的向量可以是（）A． B． C． D．9．已知复数满足，则（）A． B． C． D．10．函数在的图象大致为A． B．C． D．11．若复数满足，则（）A． B． C．2 D．12．某网店2019年全年的月收支数据如图所示，则针对2019年这一年的收支情况，下列说法中错误的是（）A．月收入的极差为60 B．7月份的利润最大C．这12个月利润的中位数与众数均为30 D．这一年的总利润超过400万元二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知等边三角形的边长为1．,点、分别为线段、上的动点,则取值的集合为__________．14．某商场一年中各月份的收入、支出情况的统计如图所示，下列说法中正确的是______.①2至3月份的收入的变化率与11至12月份的收入的变化率相同；②支出最高值与支出最低值的比是6:1；③第三季度平均收入为50万元；④利润最高的月份是2月份．15．在正方体中，分别为棱的中点，则直线与直线所成角的正切值为_________.16．在中，，．若，则_________．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知椭圆的离心率为是椭圆的一个焦点，点，直线的斜率为1．（1）求椭圆的方程；（1）若过点的直线与椭圆交于两点，线段的中点为，是否存在直线使得？若存在，求出的方程；若不存在，请说明理由．18．（12分）在中，角的对边分别为，且.（1）求角的大小；（2）若，求边上的高.19．（12分）某校为了解校园安全教育系列活动的成效，对全校学生进行了一次安全意识测试，根据测试成绩评定“合格”“不合格”两个等级，同时对相应等级进行量化：“合格”记5分，“不合格”记0分．现随机抽取部分学生的答卷，统计结果及对应的频率分布直方图如下：等级不合格合格得分频数624（1）由该题中频率分布直方图求测试成绩的平均数和中位数；（2）其他条件不变，在评定等级为“合格”的学生中依次抽取2人进行座谈，每次抽取1人，求在第1次抽取的测试得分低于80分的前提下，第2次抽取的测试得分仍低于80分的概率；（3）用分层抽样的方法，从评定等级为“合格”和“不合格”的学生中抽取10人进行座谈．现再从这10人中任选4人，记所选4人的量化总分为，求的数学期望．20．（12分）设椭圆的右焦点为，过的直线与交于两点，点的坐标为．（1）当直线的倾斜角为时，求线段AB的中点的横坐标；（2）设点A关于轴的对称点为C，求证：M，B，C三点共线；（3）设过点M的直线交椭圆于两点，若椭圆上存在点P，使得（其中O为坐标原点），求实数的取值范围．21．（12分）已知圆：和抛物线：，为坐标原点．（1）已知直线和圆相切，与抛物线交于两点，且满足，求直线的方程；（2）过抛物线上一点作两直线和圆相切，且分别交抛物线于两点，若直线的斜率为，求点的坐标．22．（10分）在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，，，，分别为，的中点．（1）求证：．（2）若，求二面角的余弦值．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】

由题意可得，即，代入双曲线的渐近线方程可得答案.【详解】依题意椭圆与双曲线即的焦点相同，可得：，即，∴，可得,双曲线的渐近线方程为：,故选：A．【点睛】本题考查椭圆和双曲线的方程和性质，考查渐近线方程的求法，考查方程思想和运算能力，属于基础题．2、A【解析】

列出所有可以表示成和为6的正整数式子，找到加数全部为质数的只有，利用古典概型求解即可.【详解】6拆成两个正整数的和含有的基本事件有:(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1),而加数全为质数的有(3,3),根据古典概型知，所求概率为.故选：A.【点睛】本题主要考查了古典概型，基本事件，属于容易题.3、A【解析】

先化简求出，即可求得答案.【详解】因为，所以所以故选：A【点睛】此题考查复数的基本运算，注意计算的准确度，属于简单题目.4、B【解析】

根据函数奇偶性的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【详解】设，若函数是上的奇函数，则，所以，函数的图象关于轴对称.所以，“是奇函数”“的图象关于轴对称”；若函数是上的偶函数，则，所以，函数的图象关于轴对称.所以，“的图象关于轴对称”“是奇函数”.因此，“的图象关于轴对称”是“是奇函数”的必要不充分条件.故选：B.【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合函数奇偶性的性质判断是解决本题的关键，考查推理能力，属于中等题.5、B【解析】

由题，可求出，所以，根据共线定理，设，利用向量三角形法则求出，结合题给，得出，进而得出，最后利用二次函数求出的最大值，即可求出.【详解】由题意，直角梯形中，，，，，可求得，所以·∵点在线段上，设，则，即，又因为所以，所以，当时，等号成立.所以.故选：B.【点睛】本题考查平面向量线性运算中的加法运算、向量共线定理，以及运用二次函数求最值，考查转化思想和解题能力.6、B【解析】

画出可行域和目标函数，根据平移得到最值点，再利用均值不等式得到答案.【详解】如图所示，画出可行域和目标函数，根据图像知：当时，有最大值为，即，故..当，即时等号成立.故选：.【点睛】本题考查了线性规划中根据最值求参数，均值不等式，意在考查学生的综合应用能力.7、A【解析】

设球心为O，三棱柱的上底面ΔA1B1C1的内切圆的圆心为O1，该圆与边B【详解】如图，设三棱柱为ABC-A1B1C所以底面ΔA1B1C1为斜边是A1C1则圆O1的半径为O设球心为O，则由球的几何知识得ΔOO1M所以OM=2即球O的半径为25所以球O的体积为43故选A．【点睛】本题考查与球有关的组合体的问题，解答本题的关键有两个：（1）构造以球半径R、球心到小圆圆心的距离d和小圆半径r为三边的直角三角形，并在此三角形内求出球的半径，这是解决与球有关的问题时常用的方法．（2）若直角三角形的两直角边为a,b，斜边为c，则该直角三角形内切圆的半径r=a+b-c8、B【解析】

先利用向量坐标运算求出向量,然后利用向量平行的条件判断即可.【详解】故选B【点睛】本题考查向量的坐标运算和向量平行的判定,属于基础题,在解题中要注意横坐标与横坐标对应,纵坐标与纵坐标对应,切不可错位.9、A【解析】

根据复数的运算法则，可得，然后利用复数模的概念，可得结果.【详解】由题可知：由，所以所以故选：A【点睛】本题主要考查复数的运算，考验计算，属基础题.10、A【解析】

因为，所以排除C、D．当从负方向趋近于0时，，可得.故选A．11、D【解析】

把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式计算.【详解】解：由题意知，，，∴，故选：D.【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法.12、D【解析】

直接根据折线图依次判断每个选项得到答案.【详解】由图可知月收入的极差为，故选项A正确；1至12月份的利润分别为20，30，20，10，30，30，60，40，30，30，50，30，7月份的利润最高，故选项B正确；易求得总利润为380万元，众数为30，中位数为30，故选项C正确，选项D错误.故选：.【点睛】本题考查了折线图，意在考查学生的理解能力和应用能力.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】

根据题意建立平面直角坐标系,设三角形各点的坐标,依题意求出,,,的表达式,再进行数量积的运算,最后求和即可得出结果.【详解】解:以的中点为坐标原点,所在直线为轴,线段的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系,如图所示,则,,,,则,,,设,,,即点的坐标为,则,,,所以故答案为:【点睛】本题考查平面向量的坐标表示和线性运算,以及平面向量基本定理和数量积的运算,是中档题.14、①②③【解析】

通过图片信息直接观察，计算，找出答案即可．【详解】对于①，2至月份的收入的变化率为20，11至12月份的变化率为20，故相同，正确．对于②，支出最高值是2月份60万元，支出最低值是5月份的10万元，故支出最高值与支出最低值的比是6：1，正确．对于③，第三季度的7，8，9月每个月的收入分别为40万元，50万元，60万元，故第三季度的平均收入为50万元，正确．对于④，利润最高的月份是3月份和10月份都是30万元，高于2月份的利润是80﹣60＝20万元，错误．故答案为①②③．【点睛】本题考查利用图象信息，分析归纳得出正确结论，属于基础题目．15、【解析】

由中位线定理和正方体性质得，从而作出异面直线所成的角，在三角形中计算可得．【详解】如图，连接，，，∵分别为棱的中点，∴，又正方体中，即是平行四边形，∴，∴，（或其补角）就是直线与直线所成角，是等边三角形，∴＝60°，其正切值为．故答案为：．【点睛】本题考查异面直线所成的角，解题关键是根据定义作出异面直线所成的角．16、【解析】分析：首先设出相应的直角边长，利用余弦勾股定理得到相应的斜边长，之后应用余弦定理得到直角边长之间的关系，从而应用正切函数的定义，对边比临边，求得对应角的正切值，即可得结果.详解：根据题意，设，则，根据，得，由勾股定理可得，根据余弦定理可得，化简整理得，即，解得，所以，故答案是.点睛：该题考查的是有关解三角形的问题，在解题的过程中，注意分析要求对应角的正切值，需要求谁，而题中所给的条件与对应的结果之间有什么样的连线，设出直角边长，利用所给的角的余弦值，利用余弦定理得到相应的等量关系，求得最后的结果.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（1）不存在，理由见解析【解析】

（1）利用离心率和过点，列出等式，即得解（1）设的方程为，与椭圆联立，利用韦达定理表示中点N的坐标，用点坐标表示，利用韦达关系代入，得到关于k的等式，即可得解.【详解】（1）由题意，可得解得则，故椭圆的方程为．（1）当直线的斜率不存在时，，不符合题意．当的斜率存在时，设的方程为，联立得，设，则，，，即．设，则，，，则，即，整理得，此方程无解，故的方程不存在．综上所述，不存在直线使得．【点睛】本题考查了直线和椭圆综合，考查了弦长和中点问题，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于较难题.18、（1）；（2）【解析】

（1）利用正弦定理将边化成角，可得，展开并整理可得，从而可求出角；（2）由余弦定理得，进而可得，由，可求出的值，设边上的高为，可得的面积为，从而可求出.【详解】（1）由题意，由正弦定理得.因为，所以，所以，展开得，整理得.因为，所以，故，即.（2）由余弦定理得，则，得，故，故的面积为.设边上的高为，有，故，所以边上的高为.【点睛】本题考查正弦、余弦定理在解三角形中的应用，考查三角形的面积公式的应用，考查学生的计算求解能力，属于中档题.19、（1）64，65；（2）；（3）.【解析】

（1）根据频率分布直方图及其性质可求出，平均数，中位数；（2）设“第1次抽取的测试得分低于80分”为事件，“第2次抽取的测试得分低于80分”为事件，由条件概率公式可求出；（3）从评定等级为“合格”和“不合格”的学生中随机抽取10人进行座谈，其中“不合格”的学生数为，“合格”的学生数为6；由题意可得，5，10，15，1，利用“超几何分布”的计算公式即可得出概率，进而得出分布列与数学期望．【详解】由题意知，样本容量为，．（1）平均数为，设中位数为，因为，所以，则，解得．（2）由题意可知，分数在内的学生有24人，分数在内的学生有12人．设“第1次抽取的测试得分低于80分”为事件，“第2次抽取的测试得分低于80分”为事件，则，所以．（3）在评定等级为“合格”和“不合格”的学生中用分层抽样的方法抽取10人，则“不合格”的学生人数为，“合格”的学生人数为．由题意可得的所有可能取值为0,5,10,15,1．，．所以的分布列为0510151．【点睛】本题主要考查了频率分布直方图的性质、分层抽样、超几何分布列及其数学期望，考查了计算能力，属于中档题．20、(1)AB的中点的横坐标为；（2）证明见解析；（3）【解析】

设.（1）因为直线的倾斜角为，，所以直线AB的方程为，联立方程组，消去并整理，得，则，故线段AB的中点的横坐标为．（2）根据题意得点，若直线AB的斜率为0，则直线AB的方程为，A、C两点重合，显然M，B，C三点共线；若直线AB的斜率不为0，设直线AB的方程为，联立方程组，消去并整理得，则，设直线BM、CM的斜率分别为、，则，即=，即M，B，C三点共线．（3）根据题意，得直线GH的斜率存在，设该直线的方程为，设，联立方程组，消去并整理，得，由，整理得，又，所以，结合，得，当时，该直线为轴，即，此时椭圆上任意一点P都满足，此时符合题意；当时，由，得，代入椭圆C的方程，得，整理，得，再结合，得到，即，综上，