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文档简介
陕西省西安市618中学2025届高三六校第一次联考数学试卷注意事项1.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回.2.答题前,请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.4.作答选择题,必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑;如需改动,请用橡皮擦干净后,再选涂其他答案.作答非选择题,必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律无效.5.如需作图,须用2B铅笔绘、写清楚,线条、符号等须加黑、加粗.一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知x,y满足不等式组,则点所在区域的面积是()A.1 B.2 C. D.2.在正项等比数列{an}中,a5-a1=15,a4-a2=6,则a3=()A.2 B.4 C. D.83.已知,则的取值范围是()A.[0,1] B. C.[1,2] D.[0,2]4.已知双曲线:的左右焦点分别为,,为双曲线上一点,为双曲线C渐近线上一点,,均位于第一象限,且,,则双曲线的离心率为()A. B. C. D.5.如图,正方体的底面与正四面体的底面在同一平面上,且,若正方体的六个面所在的平面与直线相交的平面个数分别记为,则下列结论正确的是()A. B. C. D.6.双曲线﹣y2=1的渐近线方程是()A.x±2y=0 B.2x±y=0 C.4x±y=0 D.x±4y=07.已知命题,;命题若,则,下列命题为真命题的是()A. B. C. D.8.已知平面平面,且是正方形,在正方形内部有一点,满足与平面所成的角相等,则点的轨迹长度为()A. B.16 C. D.9.3本不同的语文书,2本不同的数学书,从中任意取出2本,取出的书恰好都是数学书的概率是()A. B. C. D.10.设等差数列的前n项和为,且,,则()A.9 B.12 C. D.11.已知函数,则函数的零点所在区间为()A. B. C. D.12.《九章算术》勾股章有一“引葭赴岸”问题“今有饼池径丈,葭生其中,出水两尺,引葭赴岸,适与岸齐,问水深,葭各几何?”,其意思是:有一个直径为一丈的圆柱形水池,池中心生有一颗类似芦苇的植物,露出水面两尺,若把它引向岸边,正好与岸边齐,问水有多深,该植物有多高?其中一丈等于十尺,如图若从该葭上随机取一点,则该点取自水下的概率为()A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知复数(为虚数单位),则的模为____.14.已知实数,且由的最大值是_________15.已知抛物线的焦点为,直线与抛物线相切于点,是上一点(不与重合),若以线段为直径的圆恰好经过,则点到抛物线顶点的距离的最小值是__________.16.已知四棱锥,底面四边形为正方形,,四棱锥的体积为,在该四棱锥内放置一球,则球体积的最大值为_________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知数列满足且(1)求数列的通项公式;(2)求数列的前项和.18.(12分)在中,角所对的边分别为,若,,,且.(1)求角的值;(2)求的最大值.19.(12分)一酒企为扩大生产规模,决定新建一个底面为长方形的室内发酵馆,发酵馆内有一个无盖长方体发酵池,其底面为长方形(如图所示),其中.结合现有的生产规模,设定修建的发酵池容积为450米,深2米.若池底和池壁每平方米的造价分别为200元和150元,发酵池造价总费用不超过65400元(1)求发酵池边长的范围;(2)在建发酵馆时,发酵池的四周要分别留出两条宽为4米和米的走道(为常数).问:发酵池的边长如何设计,可使得发酵馆占地面积最小.20.(12分)在直角坐标系中,直线的参数方程为(为参数).以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.(1)求和的直角坐标方程;(2)已知为曲线上的一个动点,求线段的中点到直线的最大距离.21.(12分)在世界读书日期间,某地区调查组对居民阅读情况进行了调查,获得了一个容量为200的样本,其中城镇居民140人,农村居民60人.在这些居民中,经常阅读的城镇居民有100人,农村居民有30人.(1)填写下面列联表,并判断能否有99%的把握认为经常阅读与居民居住地有关?城镇居民农村居民合计经常阅读10030不经常阅读合计200(2)调查组从该样本的城镇居民中按分层抽样抽取出7人,参加一次阅读交流活动,若活动主办方从这7位居民中随机选取2人作交流发言,求被选中的2位居民都是经常阅读居民的概率.附:,其中.0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.82822.(10分)根据国家统计局数据,1978年至2018年我国GDP总量从0.37万亿元跃升至90万亿元,实际增长了242倍多,综合国力大幅提升.将年份1978,1988,1998,2008,2018分别用1,2,3,4,5代替,并表示为;表示全国GDP总量,表中,.326.4741.90310209.7614.05(1)根据数据及统计图表,判断与(其中为自然对数的底数)哪一个更适宜作为全国GDP总量关于的回归方程类型?(给出判断即可,不必说明理由),并求出关于的回归方程.(2)使用参考数据,估计2020年的全国GDP总量.线性回归方程中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为:,.参考数据:45678的近似值5514840310972981
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】
画出不等式表示的平面区域,计算面积即可.【详解】不等式表示的平面区域如图:直线的斜率为,直线的斜率为,所以两直线垂直,故为直角三角形,易得,,,,所以阴影部分面积.故选:C.【点睛】本题考查不等式组表示的平面区域面积的求法,考查数形结合思想和运算能力,属于常考题.2、B【解析】
根据题意得到,,解得答案.【详解】,,解得或(舍去).故.故选:.【点睛】本题考查了等比数列的计算,意在考查学生的计算能力.3、D【解析】
设,可得,构造()22,结合,可得,根据向量减法的模长不等式可得解.【详解】设,则,,∴()2•2||22=4,所以可得:,配方可得,所以,又则[0,2].故选:D.【点睛】本题考查了向量的运算综合,考查了学生综合分析,转化划归,数学运算的能力,属于中档题.4、D【解析】由双曲线的方程的左右焦点分别为,为双曲线上的一点,为双曲线的渐近线上的一点,且都位于第一象限,且,可知为的三等分点,且,点在直线上,并且,则,,设,则,解得,即,代入双曲线的方程可得,解得,故选D.点睛:本题考查了双曲线的几何性质,离心率的求法,考查了转化思想以及运算能力,双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质,求双曲线的离心率(或离心率的取值范围),常见有两种方法:①求出,代入公式;②只需要根据一个条件得到关于的齐次式,转化为的齐次式,然后转化为关于的方程(不等式),解方程(不等式),即可得(的取值范围).5、A【解析】
根据题意,画出几何位置图形,由图形的位置关系分别求得的值,即可比较各选项.【详解】如下图所示,平面,从而平面,易知与正方体的其余四个面所在平面均相交,∴,∵平面,平面,且与正方体的其余四个面所在平面均相交,∴,∴结合四个选项可知,只有正确.故选:A.【点睛】本题考查了空间几何体中直线与平面位置关系的判断与综合应用,对空间想象能力要求较高,属于中档题.6、A【解析】试题分析:渐近线方程是﹣y2=1,整理后就得到双曲线的渐近线.解:双曲线其渐近线方程是﹣y2=1整理得x±2y=1.故选A.点评:本题考查了双曲线的渐进方程,把双曲线的标准方程中的“1”转化成“1”即可求出渐进方程.属于基础题.7、B【解析】解:命题p:∀x>0,ln(x+1)>0,则命题p为真命题,则¬p为假命题;取a=﹣1,b=﹣2,a>b,但a2<b2,则命题q是假命题,则¬q是真命题.∴p∧q是假命题,p∧¬q是真命题,¬p∧q是假命题,¬p∧¬q是假命题.故选B.8、C【解析】
根据与平面所成的角相等,判断出,建立平面直角坐标系,求得点的轨迹方程,由此求得点的轨迹长度.【详解】由于平面平面,且交线为,,所以平面,平面.所以和分别是直线与平面所成的角,所以,所以,即,所以.以为原点建立平面直角坐标系如下图所示,则,,设(点在第一象限内),由得,即,化简得,由于点在第一象限内,所以点的轨迹是以为圆心,半径为的圆在第一象限的部分.令代入原的方程,解得,故,由于,所以,所以点的轨迹长度为.故选:C【点睛】本小题主要考查线面角的概念和运用,考查动点轨迹方程的求法,考查空间想象能力和逻辑推理能力,考查数形结合的数学思想方法,属于难题.9、D【解析】
把5本书编号,然后用列举法列出所有基本事件.计数后可求得概率.【详解】3本不同的语文书编号为,2本不同的数学书编号为,从中任意取出2本,所有的可能为:共10个,恰好都是数学书的只有一种,∴所求概率为.故选:D.【点睛】本题考查古典概型,解题方法是列举法,用列举法写出所有的基本事件,然后计数计算概率.10、A【解析】
由,可得以及,而,代入即可得到答案.【详解】设公差为d,则解得,所以.故选:A.【点睛】本题考查等差数列基本量的计算,考查学生运算求解能力,是一道基础题.11、A【解析】
首先求得时,的取值范围.然后求得时,的单调性和零点,令,根据“时,的取值范围”得到,利用零点存在性定理,求得函数的零点所在区间.【详解】当时,.当时,为增函数,且,则是唯一零点.由于“当时,.”,所以令,得,因为,,所以函数的零点所在区间为.故选:A【点睛】本小题主要考查分段函数的性质,考查符合函数零点,考查零点存在性定理,考查函数的单调性,考查化归与转化的数学思想方法,属于中档题.12、C【解析】
由题意知:,,设,则,在中,列勾股方程可解得,然后由得出答案.【详解】解:由题意知:,,设,则在中,列勾股方程得:,解得所以从该葭上随机取一点,则该点取自水下的概率为故选C.【点睛】本题考查了几何概型中的长度型,属于基础题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】,所以.14、【解析】
将其转化为几何意义,然后根据最值的条件求出最大值【详解】由化简得,又实数,图形为圆,如图:,可得,则由几何意义得,则,为求最大值则当过点或点时取最小值,可得所以的最大值是【点睛】本题考查了二元最值问题,将其转化为几何意义,得到圆的方程及斜率问题,对要求的二元二次表达式进行化简,然后求出最值问题,本题有一定难度。15、【解析】
根据抛物线,不妨设,取,通过求导得,,再根据以线段为直径的圆恰好经过,则,得到,两式联立,求得点N的轨迹,再求解最值.【详解】因为抛物线,不妨设,取,所以,即,所以,因为以线段为直径的圆恰好经过,所以,所以,所以,由,解得,所以点在直线上,所以当时,最小,最小值为.故答案为:2【点睛】本题主要考查直线与抛物线的位置关系直线的交轨问题,还考查了运算求解的能力,属于中档题.16、【解析】
由题知,该四棱锥为正四棱锥,作出该正四棱锥的高和斜高,连接,则球心O必在的边上,设,由球与四棱锥的内切关系可知,设,用和表示四棱锥的体积,解得和的关系,进而表示出内切球的半径,并求出半径的最大值,进而求出球的体积的最大值.【详解】设,,由球O内切于四棱锥可知,,,则,球O的半径,,,,当且仅当时,等号成立,此时.故答案为:.【点睛】本题考查了棱锥的体积问题,内切球问题,考查空间想象能力,属于较难的填空压轴题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1);(2)【解析】
(1)根据已知可得数列为等比数列,即可求解;(2)由(1)可得为等比数列,根据等比数列和等差数列的前项和公式,即可求解.【详解】(1)因为,所以,又所以数列为等比数列,且首项为,公比为.故(2)由(1)知,所以所以【点睛】本题考查等比数列的定义及通项公式、等差数列和等比数列的前项和,属于基础题.18、(1);(2).【解析】
(1)由正弦定理可得,再用余弦定理即可得到角C;(2),再利用求正弦型函数值域的方法即可得到答案.【详解】(1)因为,所以.在中,由正弦定理得,所以,即.在中,由余弦定理得,又因为,所以.(2)由(1)得,在中,,所以.因为,所以,所以当,即时,有最大值1,所以的最大值为.【点睛】本题考查正余弦定理解三角形,涉及到两角差的正弦公式、辅助角公式、向量数量积的坐标运算,是一道容易题.19、(1)(2)当时,,米时,发酵馆的占地面积最小;当时,时,发酵馆的占地面积最小;当时,米时,发酵馆的占地面积最小.【解析】
(1)设米,总费用为,解即可得解;(2)结合(1)可得占地面积结合导函数分类讨论即可求得最值.【详解】(1)由题意知:矩形面积米,设米,则米,由题意知:,得,设总费用为,则,解得:,又,故,所以发酵池边长的范围是不小于15米,且不超过25米;(2)设发酵馆的占地面积为由(1)知:,①时,,在上递增,则,即米时,发酵馆的占地面积最小;②时,,在上递减,则,即米时,发酵馆的占地面积最小;③时,时,,递减;时,递增,因此,即时,发酵馆的占地面积最小;综上所述:当时,,米时,发酵馆的占地面积最小;当时,时,发酵馆的占地面积最小;当时,米时,发酵馆的占地面积最小.【点睛】此题考查函数模型的应用,关键在于根据题意恰当地建立模型,利用函数性质讨论最值取得的情况.20、(1)..(2)最大距离为.【解析】
(1)直接利用极坐标方程和参数方程的公式计算得到答案.(2)曲线的参数方程为,设,计算点到直线的距离公式得到答案.【详解】(1)由,得,则曲线的直角坐标方程为,即.直线的直角坐标方程为.(2)可知曲线的参数方程为(为参数),设,,则到直线的距离为,所以线段的中点到直线的最大距离为.【点睛】本题考查了极坐标方程,参数方程,距离的最值问题,意在考查学生的计算能力.21、(1)见解析,有99%的把握认为经常阅读与居民居住地有关.(2)【解析】
(1)根据题中数据得到列联表,然后计算
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