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文档简介
2025届山东省临沂市临沂一中高三六校第一次联考数学试卷注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知,则不等式的解集是()A. B. C. D.2.函数的对称轴不可能为()A. B. C. D.3.设,命题“存在,使方程有实根”的否定是()A.任意,使方程无实根B.任意,使方程有实根C.存在,使方程无实根D.存在,使方程有实根4.若的二项展开式中的系数是40,则正整数的值为()A.4 B.5 C.6 D.75.已知集合,,则=()A. B. C. D.6.函数的图象在点处的切线为,则在轴上的截距为()A. B. C. D.7.已知抛物线的焦点与双曲线的一个焦点重合,且抛物线的准线被双曲线截得的线段长为,那么该双曲线的离心率为()A. B. C. D.8.已知抛物线上的点到其焦点的距离比点到轴的距离大,则抛物线的标准方程为()A. B. C. D.9.已知单位向量,的夹角为,若向量,,且,则()A.2 B.2 C.4 D.610.设命题:,,则为A., B.,C., D.,11.若(是虚数单位),则的值为()A.3 B.5 C. D.12.已知角的终边与单位圆交于点,则等于()A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知数列满足,,若,则数列的前n项和______.14.已知为抛物线:的焦点,过作两条互相垂直的直线,,直线与交于、两点,直线与交于、两点,则的最小值为__________.15.已知,满足约束条件,则的最小值为__________.16.在中,已知,,则A的值是______.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知椭圆的离心率为,且以原点O为圆心,椭圆C的长半轴长为半径的圆与直线相切.(1)求椭圆的标准方程;(2)已知动直线l过右焦点F,且与椭圆C交于A、B两点,已知Q点坐标为,求的值.18.(12分)在中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,且.(1)求角A的大小;(2)若,的平分线与交于点D,与的外接圆交于点E(异于点A),,求的值.19.(12分)已知函数.(1)当时,求函数在处的切线方程;(2)若函数没有零点,求实数的取值范围.20.(12分)甲、乙、丙三名射击运动员射中目标的概率分别为,三人各射击一次,击中目标的次数记为.(1)求的分布列及数学期望;(2)在概率(=0,1,2,3)中,若的值最大,求实数的取值范围.21.(12分)如图,在三棱锥中,,是的中点,点在上,平面,平面平面,为锐角三角形,求证:(1)是的中点;(2)平面平面.22.(10分)在直角坐标系中,点的坐标为,直线的参数方程为(为参数,为常数,且).以直角坐标系的原点为极点,轴的正半轴为极轴,且两个坐标系取相等的长度单位,建立极坐标系,圆的极坐标方程为.设点在圆外.(1)求的取值范围.(2)设直线与圆相交于两点,若,求的值.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】
构造函数,通过分析的单调性和对称性,求得不等式的解集.【详解】构造函数,是单调递增函数,且向左移动一个单位得到,的定义域为,且,所以为奇函数,图像关于原点对称,所以图像关于对称.不等式等价于,等价于,注意到,结合图像关于对称和单调递增可知.所以不等式的解集是.故选:A【点睛】本小题主要考查根据函数的单调性和对称性解不等式,属于中档题.2、D【解析】
由条件利用余弦函数的图象的对称性,得出结论.【详解】对于函数,令,解得,当时,函数的对称轴为,,.故选:D.【点睛】本题主要考查余弦函数的图象的对称性,属于基础题.3、A【解析】
只需将“存在”改成“任意”,有实根改成无实根即可.【详解】由特称命题的否定是全称命题,知“存在,使方程有实根”的否定是“任意,使方程无实根”.故选:A【点睛】本题考查含有一个量词的命题的否定,此类问题要注意在两个方面作出变化:1.量词,2.结论,是一道基础题.4、B【解析】
先化简的二项展开式中第项,然后直接求解即可【详解】的二项展开式中第项.令,则,∴,∴(舍)或.【点睛】本题考查二项展开式问题,属于基础题5、C【解析】
计算,,再计算交集得到答案.【详解】,,故.故选:.【点睛】本题考查了交集运算,意在考查学生的计算能力.6、A【解析】
求出函数在处的导数后可得曲线在处的切线方程,从而可求切线的纵截距.【详解】,故,所以曲线在处的切线方程为:.令,则,故切线的纵截距为.故选:A.【点睛】本题考查导数的几何意义以及直线的截距,注意直线的纵截距指直线与轴交点的纵坐标,因此截距有正有负,本题属于基础题.7、A【解析】
由抛物线的焦点得双曲线的焦点,求出,由抛物线准线方程被曲线截得的线段长为,由焦半径公式,联立求解.【详解】解:由抛物线,可得,则,故其准线方程为,抛物线的准线过双曲线的左焦点,.抛物线的准线被双曲线截得的线段长为,,又,,则双曲线的离心率为.故选:.【点睛】本题考查抛物线的性质及利用过双曲线的焦点的弦长求离心率.弦过焦点时,可结合焦半径公式求解弦长.8、B【解析】
由抛物线的定义转化,列出方程求出p,即可得到抛物线方程.【详解】由抛物线y2=2px(p>0)上的点M到其焦点F的距离比点M到y轴的距离大,根据抛物线的定义可得,,所以抛物线的标准方程为:y2=2x.故选B.【点睛】本题考查了抛物线的简单性质的应用,抛物线方程的求法,属于基础题.9、C【解析】
根据列方程,由此求得的值,进而求得.【详解】由于,所以,即,解得.所以所以.故选:C【点睛】本小题主要考查向量垂直的表示,考查向量数量积的运算,考查向量模的求法,属于基础题.10、D【解析】
直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可.【详解】因为全称命题的否定是特称命题,所以,命题:,,则为:,.故本题答案为D.【点睛】本题考查命题的否定,特称命题与全称命题的否定关系,是基础题.11、D【解析】
直接利用复数的模的求法的运算法则求解即可.【详解】(是虚数单位)可得解得本题正确选项:【点睛】本题考查复数的模的运算法则的应用,复数的模的求法,考查计算能力.12、B【解析】
先由三角函数的定义求出,再由二倍角公式可求.【详解】解:角的终边与单位圆交于点,,故选:B【点睛】考查三角函数的定义和二倍角公式,是基础题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】
,求得的通项,进而求得,得通项公式,利用等比数列求和即可.【详解】由题为等差数列,∴,∴,∴,∴,故答案为【点睛】本题考查求等差数列数列通项,等比数列求和,熟记等差等比性质,熟练运算是关键,是基础题.14、16.【解析】由题意可知抛物线的焦点,准线为设直线的解析式为∵直线互相垂直∴的斜率为与抛物线的方程联立,消去得设点由跟与系数的关系得,同理∵根据抛物线的性质,抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离∴,同理∴,当且仅当时取等号.故答案为16点睛:(1)与抛物线有关的最值问题,一般情况下都与抛物线的定义有关.利用定义可将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离,可以使运算化繁为简.“看到准线想焦点,看到焦点想准线”,这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径;(2)圆锥曲线中的最值问题,可利用基本不等式求解,但要注意不等式成立的条件.15、【解析】
作出约束条件所表示的可行域,利用直线截距的几何意义,即可得答案.【详解】画出可行域易知在点处取最小值为.故答案为:【点睛】本题考查简单线性规划的最值,考查数形结合思想,考查运算求解能力,属于基础题.16、【解析】
根据正弦定理,由可得,由可得,将代入求解即得.【详解】,,即,,,则,,,,则.故答案为:【点睛】本题考查正弦定理和二倍角的正弦公式,是基础题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1);(2).【解析】
(1)根据椭圆的离心率为,得到,根据直线与圆的位置关系,得到原心到直线的距离等于半径,得到,从而求得,进而求得椭圆的方程;(2)分直线的斜率存在是否为0与不存在三种情况讨论,写出直线的方程,与椭圆方程联立,利用韦达定理,向量的数量积,结合已知条件求得结果.【详解】(1)由离心率为,可得,,且以原点O为圆心,椭圆C的长半轴长为半径的圆的方程为,因与直线相切,则有,即,,,故而椭圆方程为.(2)①当直线l的斜率不存在时,,,由于;②当直线l的斜率为0时,,,则;③当直线l的斜率不为0时,设直线l的方程为,,,由及,得,有,∴,,,,∴,综上所述:.【点睛】该题考查直线与圆锥曲线的综合问题,椭圆的标准方程,考查直线与椭圆的位置关系,求向量数量积,在解题的过程中,注意对直线方程的分类讨论,属于中档题目.18、(1);(2)【解析】
(1)由,利用正弦定理转化整理为,再利用余弦定理求解.(2)根据,利用两角和的余弦得到,利用数形结合,设,在中,由正弦定理求得,在中,求得再求解.【详解】(1)因为,所以,即,即,所以.(2)∵,.所以,从而.所以,.不妨设,O为外接圆圆心则AO=1,,.在中,由正弦定理知,有.即;在中,由,,从而.所以.【点睛】本题主要考查平面向量的模的几何意义,还考查了数形结合的方法,属于中档题.19、(1).(2)【解析】
(1)利用导数的几何意义求解即可;(2)利用导数得出的单调性以及极值,从而得出的图象,将函数的零点问题转化为函数图象的交点问题,由图,即可得出实数的取值范围.【详解】(1)当时,,∴切线斜率,又切点∴切线方程为,即.(2),记,令得;∴的情况如下表:2+0单调递增极大值单调递减当时,取极大值又时,;时,若没有零点,即的图像与直线无公共点,由图像知的取值范围是.【点睛】本题主要考查了导数的几何意义的应用,利用导数研究函数的零点问题,属于中档题.20、(1),ξ的分布列为ξ
0
1
2
3
P
(1-a)2
(1-a2)
(2a-a2)
(2)【解析】(1)P(ξ)是“ξ个人命中,3-ξ个人未命中”的概率.其中ξ的可能取值为0、1、2、3.P(ξ=0)=(1-a)2=(1-a)2;P(ξ=1)=·(1-a)2+a(1-a)=(1-a2);P(ξ=2)=·a(1-a)+a2=(2a-a2);P(ξ=3)=·a2=.所以ξ的分布列为ξ
0
1
2
3
P
(1-a)2
(1-a2)
(2a-a2)
ξ的数学期望为E(ξ)=0×(1-a)2+1×(1-a2)+2×(2a-a2)+3×=.(2)P(ξ=1)-P(ξ=0)=[(1-a2)-(1-a)2]=a(1-a);P(ξ=1)-P(ξ=2)=[(1-a2)-(2a-a2)]=;P(ξ=1)-P(ξ=3)=[(1-a2)-a2]=.由和0<a<1,得0<a≤,即a的取值范围是.21、(1)证明见解析;(2)证明见解析;【解析】
(1)推导出,由是的中点,能证明是有中点.(2)作于点,推导出平面,从而,由,能证明平面,由此能证明平面平面.【详解】证明:(1)在三棱锥中,平面,平面平面,平面,,在中,是的中点,是有中点.(2)在三棱锥中,是锐角三角形,在中,可作于点,平面平面,平面平面,平面,平面,平面,,,,平面,平面,平面平面.【点睛】本题考查线段中点的证明,考查面面垂直的证明,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力,考查数形结合思想,属于中档题.22、(1)(2)【解析】
(1)
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