2024-2025学年上海市崇明区高三上学期第一次模拟考试数学检测试题（含答案）

2024-2025学年上海市崇明区高三上学期第一次模拟考试数学检测试题考生注意：本试卷共4页，21道试题，满分150分，考试时间120分钟．本试卷分设试卷和答题纸．试卷包括试题与答题要求．作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分．答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号码等相关信息．一、填空题（本大题共有12题，满分54分，其中1～6题每题4分，7～12题每题5分）【考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果．】1．已知集合，则．2．不等式的解为．3．若复数满足，其中是虚数单位，则．4．的二项展开式中的系数为．5．双曲线的渐近线方程是．6．已知为正实数，且满足，则的最大值是．7．已知，如果，则实数的值为．8．已知关于的方程的解．9．在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点的坐标是．10．某校四个植树小队，在植树节这天种下柏树的棵数分别为，若这组数据的中位数和平均数相等，那么．11．已零点和1个极小值点，则的取值范围是．12．已知函数的定义域，值域，则函数为增函数的概率是．二、选择题（本大题共有4题，满分18分，其中13～14题每题4分，15～16题每题5分）【每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得满分，否则一律得零分．】13．下列函数中，在其定义域上既是奇函数又是严格增函数的是A． B． C． D．14．已知直线和平面，则“垂直于平面内的两条直线”是“”的A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件 D．既非充分也非必要条件15．抛掷一红一绿两颗质地均匀的骰子，记录骰子朝上面的点数，若用表示红色骰子的点数，用表示绿色骰子的点数，用表示一次试验结果，设事件；事件：至少有一颗点数为6；事件；事件．则下列说法正确的是A．事件E与事件F为互斥事件 B．事件F与事件G为互斥事件C．事件E与事件G相互独立 D．事件G与事件H相互独立16．已知无穷数列，若存在数列满足对任意正整数n，都有，则称数列是的交错数列．有下列两个命题：①对任意给定的等差数列，不存在等差数列，使得是的交错数列；②对任意给定的等比数列，都存在等比数列，使得是的交错数列．下列结论正确的是A．①是真命题，②是假命题 B．①是假命题，②是真命题C．①、②都是真命题 D．①、②都是假命题三、解答题（本大题共有5题，满分78分）【解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．】17．（本题满分14分，本题共有2个小题，第(1)小题满分7分，第(2)小题满分7分）如图，在直三棱柱中，E、F分别为、BC的中点，，ABCABCFEA1B1C1（1）求证：平面ABE；（2）求点到平面的距离．18．（本题满分14分，本题共有2个小题，第(1)小题满分6分，第(2)小题满分8分）在中，已知点D是BC边上一点，且，．（1）若，且，求AD的长；（2）若，，求AD的长（结果精确到0.01）．19．（本题满分14分，本题共有3个小题，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分4分，第(3)小题满分6分）王老师将全班40名学生的高一数学期中考试（满分100分）成绩分成5组，绘制成如图所示的频率分布直方图，现将记作第一组，、、、分别记作第二、三、四、五组．已知第一组、第二组的频率之和为0.3，第一组和第五组的频率相同．（1）估计此次考试成绩的平均值（同一组数据用该组数据的中点值代替）；（2）王老师将测试成绩在和内的试卷进行分析，再从中选2人的试卷进行优秀答卷展示，求被选中进行优秀答卷展示的这2人的测试成绩至少1个在内的概率；ObOb0.0450.020a5060708090100频率/组距成绩(分)20．（本题满分18分，本题共有3个小题，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分6分，第(3)小题满分8分）已知椭圆，点、分别是椭圆的下焦点和上焦点，过点的直线与椭圆交于A、B两点．（1）若直线平行于轴，求线段AB的长；（2）若点A在y轴左侧，且，求直线l的方程；（3）已知椭圆上的点C满足，是否存在直线l使得的重心在x轴上？若存在，请求出直线l的方程，若不存在，请说明理由．21．（本题满分18分，本题共有3个小题，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分6分，第(3)小题满分8分）定义：若曲线和曲线有公共点P，且曲线在点P处的切线与曲线在点P处的切线重合，则称与在点P处“一线切”．（1）已知圆与曲线在点处“一线切”，求实数a的值；（2）切”，求实数a的值；（3）定义在R上的函数的图像为连续曲线，函数的导函数为，对任意的，都有成立．是否存在点P使得曲线和曲线在点P处“一线切？若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．

答案及评分标准（高中数学）一、填空题1.；2.；3.；4.35；5.；6.100；7.4；8.；9.；10.8或12；11.12..12.二、选择题13.A；14.B；15.D；16.C.三、解答题17.（1）解取中点，连接，则................................................................2分又，所以，...........................................................................4分所以四边形是平行四边形，所以，................................................5分又在平面内，不在平面内，所以平面；.................7分（2）取中点，连接、，则平面，所以，由题意，同理，又，所以，................................2分因为平面，，由三垂线定理得，所以，.....4分设点到平面的距离为，由得所以，即点到平面的距离为...........................................................7分解（1）因为，所以，，又，所以............................4分即，解得....................................6分（2）在中，由正弦定理得，所以，........................4分在中，由余弦定理得........................8分解（1）由题意得解得所以平均数等于............4分（2）由题意，内有8人，内有2人所以被选中进行优秀答卷展示的这2人的测试成绩至少1个在内的概率为............4分（3）设第二组、第四组的平均数与方差分别为，由题意，第二组、第四组分别有10人和8人，所以成绩在第二组、第四组的平均数成绩在第二组、第四组的方差故估计成绩在第二组、第四组的方差是................................6分解（1）由题意，、，所以直线的方程是，代入中，得，所以..............................................4分（2）设，则所以，又，所以所以点坐标是或......................4分所以直线的方程是或..............................................6分（3）当直线的斜率存在时，设直线的方程为，代入中，得设、、则，所以中点又的重心在轴上，所以即，故.................4分因为，所以所以因为，所以，所以因为点在椭圆上，所以，解得或.........6分当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时、恰为长轴顶点，点为短轴顶点，满足题意.综上所述，存在直线l使得的重心在轴上，其方程为：或或..............................................8分解（1），所以曲线在点处的切线方程为，即，因为圆与曲线在点处“一线切”，所以直线与圆在点处相切所以所以............................