2024-2025学年内蒙古赤峰市阿鲁科尔沁旗高三上学期10月月考数学检测试卷（含答案）

2024-2025学年内蒙古赤峰市阿鲁科尔沁旗高三上学期10月月考数学检测试卷一、单选题1.若集合，则集合的真子集共有（）A.7个 B.8个 C.15个 D.16个2.函数的定义域为（）A. B. C. D.3.若，是方程的两根，则，的等差中项为（）A. B. C.1 D.4.若实数，，满足，，则（）A. B. C. D.5用一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，则该菜园面积的最大值为（）A. B. C. D.6.下列函数中，既是偶函数又在单调递增的函数是（）A. B. C. D.7.函数在区间上的大致图像为（）A. B.C. D.8.设椭圆：的左、右焦点分别为，，点，在上（位于第一象限），且点，关于原点对称，若，，则的离心率为（）A. B. C. D.二、多选题9.下列四个图形各表示两个变量，的对应关系，其中表示是的函数关系的是（）A.B.C.D.10.下列说法正确的是（）A.函数的最小值为6B.若函数的定义域为，则函数的定义域为C.幂函数在上为减函数，则的值为2D.若不等式的解集为，则11.定义在上的偶函数，满足，当时，，则下列说法正确的是（）A.B.C.函数的所有零点之和为5D.三、填空题12.函数在处的切线方程为______.13.若函数在上是单调函数，则的取值范围是______.14.已知函数，若方程有四个不同的解，，，，且，的取值范围是______.四、解答题15.（本题12分）已知函数在处取得极值.（1）求实数的值；（2）求函数在区间上的最小值.16.（本题12分）已知数.（1）求的最小正周期和对称轴方程；（2）求在的最大值和最小值.17.（本题12分）已知数列满足，且.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.18.（本题12分）如图，在正四棱柱中，，，为的中点.（1）证明：平面平面；（2）求二面角的大小19.（本题17分）已知椭圆：的离心率，且点在椭圆上，直线：与椭圆交于不同的两点，.（1）求椭圆的标准方程；（2）证明：线段AB的中点在直线：上；（3）过点作轴的平行线，与直线：的交点为，证明：点在以线段AB为直径的圆上.20.（本题12分）马尔科夫链因俄国数学家安德烈·马尔科夫得名，其过程具备“无记忆”的性质，即第次状态的概率分布只跟第次的状态有关，与第，，，…次状态无关.马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，在强化学习、自然语言处理、金融领域、天气预测等方面都有着极其广泛的应用.现有，两个盒子，各装有2个黑球和1个红球，现从，两个盒子中各任取一个球交换放入另一个盒子，重复进行次这样的操作后，记盒子中红球的个数为，恰有1个红球的概率为.（1）求，的值；（2）求的值（用表示）；（3）求证：的数学期望为定值.

答案：题号12345678910答案CBCDADCCBCBD题号11答案AC8.【详解】点，关于原点对称，所以线段MN，互相平分，故四边形为平行四边形，又，故，所以四边形是矩形，故，其中，设，则，由，得，整理得，由于点在第一象限，所以，由，得，即，整理得，即，解得.10.BD【详解】对于A，令，则，是对勾函数，且在内单调递增，当时，，所以的最小值为，故A错误；对于B，，，则函数的定义域为，故B正确；对于C，，且，解得，故C错误；对于D，依题意，方程的两个解是或，并且，由韦达定理：，，，，D正确；11.ABD【详解】对于A，由于，令，则，，A正确；对于B，为偶函数，即，结合，得，即，故，故4为函数的周期，由时，得，故，B正确；对于C，由于，故函数的图象关于点对称，又为偶函数，则的图象也关于点对称，结合4为函数的周期，当时，，作出函数的图象如图，设，则该函数图象关于点对称，且函数在上本调递增，结合，的图象可知，二者有3个交点，且交点横坐标之和为3，即函数的所有零点之和为3，C错误；对于D，令，则，当时，，在上单调递减，当时，，在上单调递增，故，即，当且仅当时等号成立，故得，则；同理可证得，当且仅当时等号成立，则，由于在上单调递增，故，12.13.由函数在为单调函数，当时，函数，此时函数在区间上单调递增，所以函数在为单调递增函数，则满足，解得，14.【详解】作函数的图象如下图所示：由图象可知，方程有四个不同的解，，，，且，需满足，则由二次函数的对称性可知，，由对数函数的图象及性质可知，，，，则，，，而函数在递减，上递增，当时，，当或4时，，故其取值范围为.15.【详解】（1）由题意得的定义域，且因为函数在处取值得极值，所以解得此时，，令得或，令得，故函数在，上单调递增，在上单调递减，所以函数在处取极大值，在处取极小值，符合题意所以.（2）由（1）得，，令，得，所以函数在单调递增，令，得，所以函数在单调递减，所以函数在处取极小值，所以当时，的最小值为16.（1），所以函数的最小正周期为.令，，解得，，所以函数图象的对称轴方程为，，（2）当时，，则，进而可得，当时，即时，取最小值，时，即时，取最大值1.17.（1）解：根据题意，数列满足，即，由等差数列的定义，可得数列是以3为公差的等差数列，因为，可得，所以数列的通项公式为.（2）解：由（1），可得，.18.（1）因为，，为的中点，所以，而，即，又平面，平面，所以，，，平面ABE，所以平面ABE，又平面，故平面平面.（2）以为原点，AB，AD，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，则，，，，，，由（1）可得平面ABE，所以为平面ABE的一个法向量，正方形ABCD中，，正四棱柱中，平面，平面ABCD，则，，AC，平面ACE，平面ACE，所以为平面ACE的一个法向量，所以，结合图形可得，二面角的大小为.19.【详解】（1），又，，又，，，椭圆方程为；（2）联立直线与椭圆方程，，又因为有两个交点，所以，解得，设，，故，，又，，，线段AB的中点的坐标为，，线段AB的中点在直线：上；（3）由已知得：，，，，，，点在