2024-2025学年江苏省无锡市高三上学期12月月考数学检测试卷（含解析）

2024-2025学年江苏省无锡市高三上学期12月月考数学检测试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．已知，是两个复数，则“，互为共轭复数”是“为实数”的（

）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件2．已知集合，且，则集合可以是（

）A． B． C． D．3．已知，，则（

）A． B． C． D．4．已知向量，满足，，且在上的投影向量为，则的值为（

）A． B． C． D．5．已知是各项均为正数的等差数列，为其前n项和，且，则当取最大值时，（

）A．10 B．20 C．25 D．506．若斜率为1的直线与曲线和圆都相切，则实数的值为（

）A．2 B．0或 C．0或2 D．7．已知椭圆，P为椭圆上任意一点，过点P分别作与直线和平行的直线，分别交，交于M，N两点，则的最小值为（

）A．1 B．2 C．3 D．48．已知某正三棱柱的外接球的表面积为，则该正三棱柱的体积的最大值为A． B． C． D．二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．）9．已知数列的前项和为，，，则（

）A． B． C． D．10．关于函数，下列说法正确的是（

）A．有两个极值点 B．的图像关于对称C．有三个零点 D．是的一个零点11．在2024年巴黎奥运会艺术体操项目集体全能决赛中，中国队以69.800分的成绩夺得金牌，这是中国艺术体操队在奥运会上获得的第一枚金牌．艺术体操的绳操和带操可以舞出类似四角花瓣的图案，它可看作由抛物线绕其顶点分别逆时针旋转后所得三条曲线与围成的（如图阴影区域），为与其中两条曲线的交点，若，则（）A．开口向上的抛物线的方程为 B．C．直线截第一象限花瓣的弦长最大值为 D．阴影区域的面积不大于32三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．）12．已知函数，若为偶函数，且在区间内仅有两个零点，则的值是．13．已知、分别为双曲线的左右焦点，过的直线与双曲线左支交于A，B两点，且，以为圆心，为半径的圆经过点B，则双曲线的离心率为.14．在中，内角A，B，C所对的边分别为（）.已知，则的最大值是.四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15．(本小题满分13分)设数列是首项为1的等比数列，已知成等差数列，数列满足.(1)求数列和的通项公式；(2)记和分别为数列和的前项和，试比较与的大小.16．(本小题满分15分)如图，已知直线与抛物线C：交于两点，且，交于点，点的坐标为，(1)求的值．(2)若线段的垂直平分线于抛物线C交于E，F两点，求的面积.17.(本小题满分15分)已知三棱锥中，平面平面，平面．（1）求证：（2）若二面角的正弦值为，且，，求．18.(本小题满分17分)在中，角的对边是，已知，为常数．（1）若，，求面积的最大值；（2）若，，求的值．19.(本小题满分17分)已知直线与轴交于点，与曲线交于两点（其中在第一象限，在第二象限）．（1）若，试比较与的大小；（2）①若点恰好为的中点，证明：；②设，若，证明．

答案解析一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．已知，是两个复数，则“，互为共轭复数”是“为实数”的（

）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【正确答案】A2．已知集合，且，则集合可以是（

）A． B． C． D．【正确答案】C3．已知，，则（

）A． B． C． D．【正确答案】B4．已知向量，满足，，且在上的投影向量为，则的值为（

）A． B． C． D．【正确答案】A5．已知是各项均为正数的等差数列，为其前n项和，且，则当取最大值时，（

）A．10 B．20 C．25 D．50【正确答案】D∵，∴，由已知，得，∴，当且仅当时等号成立．此时数列为常数列5，所以，故选：D6．若斜率为1的直线与曲线和圆都相切，则实数的值为（

）A．2 B．0或 C．0或2 D．【正确答案】B设直线与曲线的切点为，由，则，则，即切点为，所以直线为，又直线与圆都相切，则有，解得或．故选：B7．已知椭圆，P为椭圆上任意一点，过点P分别作与直线和平行的直线，分别交，交于M，N两点，则的最小值为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【正确答案】A设过点P分别与直线平行的直线为，如图：设，，，则，，显然四边形为平行四边形，故与的中点重合，则，即，又因P为椭圆上任意一点，所以，即，即，而，所以当时，.故选：A8．已知某正三棱柱的外接球的表面积为，则该正三棱柱的体积的最大值为A． B． C． D．【正确答案】C设外接球的半径为，则，解得.设正三棱柱的底面三角形的边长为，则该三角形的外接圆的半径为，故三棱柱的高为，所以该正三棱柱的体积，由，解得，令，则，所以函数在时取得最大值，因为，所以该正三棱柱的体积的最大值为.故选：C二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．）9．已知数列的前项和为，，，则（

）A． B． C． D．【正确答案】AC因为，，所以，，，故A错误，B正确；所以数列是以为周期的周期数列，则，故C正确；，故D错误.故选：AC10．关于函数，下列说法正确的是（

）A．有两个极值点 B．的图像关于对称C．有三个零点 D．是的一个零点【正确答案】ACD函数的图像关于对称，故B错误；对于函数，求导可得：，令，解得，可得下表：极大值极小值则，，通过图像可知，有两个极值点，故A正确；函数有三个零点，故C正确；，故D正确.故选:ACD11．在2024年巴黎奥运会艺术体操项目集体全能决赛中，中国队以69.800分的成绩夺得金牌，这是中国艺术体操队在奥运会上获得的第一枚金牌．艺术体操的绳操和带操可以舞出类似四角花瓣的图案，它可看作由抛物线绕其顶点分别逆时针旋转后所得三条曲线与围成的（如图阴影区域），为与其中两条曲线的交点，若，则（）A．开口向上的抛物线的方程为 B．C．直线截第一象限花瓣的弦长最大值为 D．阴影区域的面积不大于32【正确答案】BC由题意得开口向右的抛物线方程为，焦点为，将其逆时针旋转后得到的抛物线开口向上，焦点为，则其方程为，故A选项错误；由得或，即，所以，由对称性得，，所以，故B正确；如图，设直线与第一象限花瓣分别交于点、，由得，由得，所以，在第一象限部分满足，设，则，故，代入得，当时，取最大值，故C正确；对于D，根据对称性，每个象限的花瓣形状大小相同，所以可以先求部分面积的近似值，如图，在取一点，使过点的切线与直线平行，由可得切点坐标为，因为，所以点到直线的距离，所以，由图知半个花瓣的面积必大于，所以阴影区域的面积大于，故D错误.故选：BC.三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．）12．已知函数，若为偶函数，且在区间内仅有两个零点，则的值是．为偶函数，所以，，得，，当时，，在区间内仅有两个零点，所以，解得：，所以.故213．已知、分别为双曲线的左右焦点，过的直线与双曲线左支交于A，B两点，且，以为圆心，为半径的圆经过点B，则双曲线的离心率为.

因为、分别为双曲线的左右焦点，过的直线与双曲线左支交于A，B两点，且，以为圆心，为半径的圆经过点B，得，设，则，在中，由勾股定理得，解得，则，在中，由勾股定理得，化简得，，所以的离心率.14．在中，内角A，B，C所对的边分别为（）.已知，则的最大值是.由，则，，所以或，而，且，即，所以，且，即，，令，则，，当时，则在上递增；当时，则在上递减；所以.故答案为.四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15．(本小题满分13分)设数列是首项为1的等比数列，已知成等差数列，数列满足.(1)求数列和的通项公式；(2)记和分别为数列和的前项和，试比较与的大小.（1）因为是首项为1的等比数列且，，成等差数列，设的公比为，由，可得，解得：或（舍去）.故，.（2）由（1）可得.数列的前项和，①则.②由①②得即.由，可得.16．(本小题满分15分)如图，已知直线与抛物线C：交于两点，且，交于点，点的坐标为，(1)求的值．(2)若线段的垂直平分线于抛物线C交于E，F两点，求的面积.（1）设因为交于点，点的坐标为，所以直线的方程为，联立，消去可得，，则，因为，所以，即，即，解得，（2）设线段的中点为，由（1）知，所以，所以，即，联立，消去可得，，设，则，所以，又点到直线的距离为，所以的面积为.17.(本小题满分15分)已知三棱锥中，平面平面，平面．（1）求证：（2）若二面角的正弦值为，且，，求．（1）过作于，因为平面平面，平面平面平面，所以平面，平面，所以又平面，平面，所以因为平面，且所以平面，平面，因此．（2）解法一：过作于，连接，则平面，所以所以即为二面角的平面角，所以，又有（1）可得设，则，所以所以，从而解法二：同方法一得，设，则，所以，解得，从而解法三：如图,以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，记二面角为，设，，设面的法向量为，则，即，令，得，又面的法向量为，记二面角为，则，所以，解得，所以.解法四：如图,以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，设，有，设面的法向量为，有，即，令，得，又面的法向量为，记二面角为，则，所以，解得，又，即，所以，则.18.(本小题满分17分)在中，角的对边是，已知，为常数．（1）若，，求面积的最大值；（2）若，，求的值．（1）解法一：时，设，则由余弦定理得所以，设，则当且仅当，即时取等号，所以面积的最大值为解法二：时，，即以所在的直线为轴，的中点为原点建立直角坐标系，则，设，由得化简得，即的轨迹方程为，所以面积的最大值为（2）解法一：由及正弦定理可知，由及得整理可得，解得或(舍)，故.解法二：不妨设，则.由可得所以解得.所以.因此解法三：不妨设，则.即.以所在的直线为轴，的中点为原点建立直角坐标系，显然有，点在椭圆上.设，则，由可得，化简即得，从而.故，从而19.(本小题满分17分)已知直线与轴交于点，与曲线交于两点（其中在第一象限，在第二象限）．（1）若，试比较与的大小；（2）①若点恰好为的中点，证明：；②设，若，证明．（1）设，当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增，所以的最小值为，又，，由零点存在定理知，因此（2）①因为点恰好为的中点，所以，且，由得要证，只要证，只要证设所以在上单调递增，所以，得证．②由得因为，即，所以有，所以即（***）要证只要证只要证结合（***）式只要证只要证只要证，设只要证因为，当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以，所以在上单调递增，由，即得从而命题得证．

19题最后一问解法的思路探究：1初步尝试：要证，由两点间的距离公式，只要证只要证（*）由条件得因为，即，所以有，（**）两边平方得故要证（*）式成立，利用不等式得传递性，只要证即可，展开分离双变量整理为于是构造函数，但是发现函数并不单调，思维受阻，只能另寻思路.2调整重构：解题的关键在于分离双变量后，需要构造是单调增函数，由于当时，变化很小，需要将