2024-2025学年河南省南阳市高三上学期12月月考数学检测试卷（含解析）

2024-2025学年河南省南阳市高三上学期12月月考数学检测试卷本试卷共19题，共150分，考试时间120分钟，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内.2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整，笔迹清楚.3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效.4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑.5.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱.不准使用涂改液、修正带、刮纸刀.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合M={x|-1≤x≤4}，N={x|x≤-a2}，若M∩N={x|-1≤x≤3}，则a=A.-6 B.-2 C.2 D.62.已知a=1−bi1+i，其中a，b为实数A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.已知AB=(1，2)，AC=(4，m)，若AB⊥AC，则|BC|=（）A.2 B.3 C.5 D.124.2022年卡塔尔世界杯是第二十二届世界杯足球赛，是历史上首次在卡塔尔和中东国家境内举行，也是继2002年韩日世界杯之后时隔二十年第二次在亚洲举行的世界杯足球赛.某网站全程转播了该次世界杯，为纪念本次世界杯，该网站举办了一次针对本网站会员的奖品派发活动，派发规则如下：①对于会员编号能被2整除余1且被7整除余1的可以获得精品足球一个；②对于不符合①中条件的可以获得普通足球一个.已知该网站的会员共有1456人(编号为1号到1456号，中间没有空缺)，则获得精品足球的人数为（）A.102 B.103 C.104 D.1055.已知sin(π2+α)=-38，α∈(2π，3π)，则sinαA.-114 B.114 C.-74 6.若四棱锥E-ABCD的棱AB，BC的长均为2，其余各棱长均为2，则该四棱锥的高为（）A.12 B.22 C.32 7.某高校举行一场智能机器人大赛，该高校理学院获得8个参赛名额，已知理学院共有4个班，每个班至少要有一个参赛名额，则该理学院参赛名额的分配方法共有（）A.20种 B.21种 C.28种 D.35种8.已知函数f(x)=kex-lnx+1的图象与函数g(x)=xekx+kx-elnx的图象有且仅有两个不同的交点，则实数k的取值范围为（）A.(-1e，-1e2)∪[0，+∞) B.(-1，-1C.(-1e，-1e2)∪[0，e) D.(-1，-1二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.每小题有多个选项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知数列{an}的前n项和为Sn，若数列{an}和{Sn}均为等差数列，且a5=18，则A.a1=6 B.a8=30 C.S5=60 D.S7=9810.已知函数f(x)为R上的奇函数，且f(x+4)+f(x)=0，当0≤x≤2时，f(x)=2x+a2A.a=-1 B.a=-2C.f(-33)<f(40)<f(19) D.f(40)<f(-33)<f(19)11.已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0)的最小正周期T<π，f(π5)=1，且f(x)在x=π10A.sinφ=2B.ω的最小值为152C.若函数f(x)在(π20，π4)上存在零点，D.函数f(x)在(13π20，11π三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.近年来，理财成为了一种趋势，老黄在今年买进某个理财产品，设该产品每个季度的收益率为X，且各个季度的收益之间互不影响，根据该产品的历史记录，可得P(X>0)=2P(X≤0).若老黄准备在持有该理财产品4个季度之后卖出，则至少有3个季度的收益为正值的概率为.

13.已知抛物线C：y=x24，直线l1：y=-2，l2：3x-4y-6=0，M为C上的动点，则点M到l1与l2的距离之和的最小值为14.已知数列{an}满足2an+2=2an+12+1an(n∈N*)，且a1=a2=1，Sn为数列{an}的前n项和，则a5+a四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(13分)某公司为响应《中国制造2025》中提出的坚持“创新驱动、质量为先、绿色发展、结构优化、人才为本”的基本方针，准备加大研发投资.市场部对同类产品连续5个月的销售单价xi和月销售量yi(i=1，2，3，4，5)的数据进行了统计，得如下统计表：月销售单价xi/(元/件)12345月销售量yi/万件2823m1510统计时，不慎将m处的数据丢失，但记得0<m<39，且月销售量的平均数与中位数相等.(1)建立y关于x的线性回归方程；(2)根据(1)的结果，若该产品成本是0.5元/件，月销售单价x(其中x∈N*)为何值时，公司月利润的预测值最大?回归方程y＾=b＾x+a＾中斜率和截距的最小二乘法估计公式：b＾=i=1n16.(15分)已知数列{an}的前n项和为Sn，且S3=9，an+1=an+2.(1)求数列{an}的通项公式；(2)令bn=anan+1，求证：b1+b1b2+b1b2b3+…+b1b2b3…bn≥(n+1)·(17.(15分)如图，在四棱台ABCD-A1B1C1D1中，平面ADD1A1⊥平面ABCD，底面ABCD为正方形，AD=2，DD1=D1A1=A1A=1.(1)求证：AD1⊥平面CDD1C1.(2)点M在直线BB1上，且AD⊥平面MCD，求MC1与平面CDD1C1所成角的正弦值.18.(17分)已知函数f(x)=lnx+ax(1)求a，b的值及f(x)的单调区间.(2)已知F(x)=xexf(x)−ex+mxx2-x，19.(17分)已知椭圆C：y2a2+x2b2=1(a>b>0)经过点A(1(1)求椭圆C的方程；(2)直线l1，l2均过点A，且互相垂直，直线l1与圆O：x2+y2=a2交于M，N两点，直线l2与椭圆C交于另一点B，求△MBN面积的最大值.

答案1.A【命题意图】本题考查集合的运算，要求考生理解交集的含义.【解题分析】因为M={x|-1≤x≤4}，M∩N={x|-1≤x≤3}，所以-a2=3，2.D【命题意图】本题考查复数的几何意义，要求考生掌握复数的四则运算，理解复数的代数表示及其几何意义.【解题分析】由a=1−bi1+i，得a(1+i)=1-bi，即a+ai=1-bi，所以a=13.C【命题意图】本题考查向量的坐标运算，要求考生掌握平面向量的坐标表示，能用坐标表示平面向量垂直的条件.【解题分析】因为AB⊥AC，所以1×4+2m=0，所以m=-2，即AC=(4，-2)，所以BC=AC-AB=(3，-4)，所以|BC|=5.4.C【命题意图】本题考查不等式的性质，要求考生了解现实世界和日常生活中的不等关系.【解题分析】因为能被2整除余1且被7整除余1的数就是能被14整除余1的数，所以获得精品足球的人的会员编号可设为14n-13，n∈N*.由1≤14n-13≤1456，得1≤n≤146914，故项数为104，5.A【命题意图】本题考查诱导公式、二倍角公式，要求考生能运用二倍角公式.【解题分析】sin(π2+α)=cosα=-38，则1-2sin2α2=-38，故sin2α2=1116，又α∈(2π，3π)6.B【命题意图】本题考查棱锥问题，要求考生认识四棱锥的结构特征.【解题分析】设点O为点E在底面ABCD内的射影，因为EA=EB=EC=ED=2，所以OA=OB=OC=OD，所以A，B，C，D四点共圆，因为四边形ABCD关于BD对称，所以线段BD为四边形ABCD外接圆的直径，所以BD=6，所以四棱锥的高h=(2)27.D【命题意图】本题考查排列组合，要求考生理解排列、组合的概念，能解决简单的实际问题.【解题分析】8个参赛名额分给4个班，每个班至少得到一个，可以将8个名额一字排开，并在中间7个空中任意插3块板，且一个空不能同时隔入多个板子，即有C78.A【命题意图】本题考查函数与导数，要求考生能利用导数研究函数的单调性，理解导数的几何意义.【解题分析】由题意可知，kex-lnx+1=xekx+kx-elnx有两个不同的根，即ekx+lnx-(e-1)(kx+lnx)-1=0有两个不同的根.令t=kx+lnx，即方程et-(e-1)t-1=0有且仅有两个根t1=0，t2=1，则方程kx+lnx=0与kx+lnx=1一共有两个不同的根，即直线y=-kx、直线y=-kx+1与曲线y=lnx一共有两个不同的交点.当k≥0时，显然符合题意.当k<0时，此时先分析两种临界情况：①若直线y=-kx与曲线y=lnx相切，如图1所示，易知两条直线与曲线y=lnx一共只有一个交点，此时k=-1e；②若直线y=-kx+1与曲线y=lnx相切，如图2所示，易知两条直线与曲线y=lnx一共有三个不同的交点，此时k=-1e2，故当k∈(-1e，-综上所述，k∈(-1e，-1e29.BD【命题意图】本题考查等差数列，要求考生理解等差数列的概念和通项公式的意义.【解题分析】设数列{an}的公差为d，则Sn=na1+n(n-1)2d=d2n2+(a1-d2)n.因为{Sn}为等差数列，所以a1-d2=0，即d=2a1，又a5=a1+4d=9a1=18，所以a1=2，从而d=2a1=410.AC【命题意图】本题考查函数的性质，要求考生理解函数的单调性，了解函数奇偶性的含义，了解简单的分段函数，并能简单应用.【解题分析】因为f(x)为R上的奇函数，所以f(0)=1+a1+1=0，得a=-1，所以当0≤x≤2时，f(x)=2x-12x+1=1-22x+1，所以当0≤x≤2时，f(x)单调递增，又因为f(x)为奇函数，所以当-2≤x≤2时，f(x)单调递增.由f(x+4)+f(x)=0，即f(x+4)=-f(x)可知8为函数f(x)的一个周期，所以f(-33)=f(-1)，f(40)=f(0)，f(19)=f(3).把x=-3代入f(x+4)=-f(x)可得，f(1)=-f(-3)11.ACD【命题意图】本题考查三角函数的性质，要求考生理解三角函数的性质，了解参数A，ω，φ对函数图象变化的影响.【解题分析】因为周期T<π，所以2πω<π，所以ω>2.因为f(x)在x=π10处取得最大值，所以π10ω+φ=2kπ+π2(k∈Z)，所以φ=2kπ+π2-π10ω(k∈Z)，又f(π5)=1，则f(0)=1，所以2sinφ=1，即sinφ=22，A正确；又sinφ=sin(π2-π10ω)=22，所以cosωπ10=22，所以π10ω=2kπ±π4(k∈Z)，所以ω=20k±52(k∈Z)，因为ω>2，所以ω的最小值为52，B不正确；当ω=52时，φ=2kπ+π4(k∈Z)，则f(x)=2sin(52x+π4)，此时函数f(x)在(π20，π4)上不存在零点，当ω=352时，φ=2kπ-5π4(k∈Z)，则f(x)=2sin(352x-5π4)，此时函数f(x)在(π20，π4)上存在零点，C正确；由f(7π1012.1627【命题意图】本题考查概率问题，要求考生理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，【解题分析】∵P(X>0)=2P(X≤0)，P(X>0)+P(X≤0)=1，∴P(X>0)=23，则至少有3个季度的收益为正值的概率为C43(23)3·13+(213.3【命题意图】本题考查抛物线的定义与运算，要求考生了解抛物线的几何图形和标准方程以及简单几何性质.【解题分析】由y=x24，得x2=4y，焦点坐标为F(0，1)，准线方程为l3：y=-1.由抛物线的定义可知，点M到准线的距离等于到焦点F的距离，所以点M到l3与l2的距离之和的最小值为点F到l2的距离d=|-4-6|32+(−4)214.5222023+1【命题意图】本题考查数列的综合运用，要求考生了解数列的概念，【解题分析】由2an+2=2an+12+1an，知anan+2-an+12=12，故an-1an+1-an2=12，则anan+2-an+12=an-1an+1-an2，anan+2+an2=an-1an+1+an+12，即an+2+anan+1=an+1+an-1an，n≥2，又a3=2a22+12a1=32，所以an+an-2a所以(a2-12a1)+(a3-12a2)+…+(a2024-12a2023)=2-1+20+…+22021=22022又(a2-12a1)+(a3-12a2)+…+(a2024-12a2023)=a2024+12S即a2024+12S2023-a1=22022-12，故2a2024+S2023=215.【命题意图】本题考查线性回归方程，要求考生了解最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程.【解题分析】(1)y−=28+23+m+15+105=m+765，∵0<m<39，∴765<m+765<23，即15<m又x−=1+2+3+4+55=3，y∴b＾=28+46+57+60+50−5×3×1912+2故a＾=y−-b＾x−=19+225×3=1615，y关于x的线性回归方程为y＾(2)设公司月利润的预测值为z，则由(1)可得，z=(x-0.5)y=(x-0.5)(-225x+1615)=-225(x-4311)2+1125因为x∈N*，所以当x=4时，z取得最大值，最大值为51.1万元.13分16.【命题意图】本题考查数列的综合应用，要求考生掌握等差数列的通项公式，能在具体的问题情境中识别数列的关系.【解题分析】(1)由an+1=an+2，得an+1-an=2，所以数列{an}是以2为公差的等差数列.2分又S3=a1+a2+a3=3a2=9，所以a2=3，所以an=a2+(n-2)d=2n-1.4分(2)(法一)由(1)可知，bn=anan+1=令cn=b1b2b3…bn，则cn+1=2n+12n+2cn，所以(2n+2)cn+1=2ncn+cn，cn=(2n+2)cn+1所以c1=4c2-2c1，c2=6c3-4c2，c3=8c4-6c3，…，cn=(2n+2)cn+1-2ncn，相加可得c1+c2+c3+…+cn=(2n+2)cn+1-2c1.11分又cn+1=12·34·56·…·2n-12n·2n+12n+2，当n≥1时，c又c1=b1=12，所以(2n+2)cn+1-2c1≥(n+1)·(34)n即b1+b1b2+b1b2b3+…+b1b2b3…bn≥(n+1)·(34)n-1.15分17.【命题意图】本题考查面面垂直与空间向量，要求考生理解空间中面面垂直的判定定理，了解向量方法在研究立体几何问题中的应用.【解题分析】(1)将四棱台补成如图所示的四棱锥P-ABCD.在△PAD中，AD∥A1D1，且AD=2，DD1=D1A1=A1A=1，∴△PAD为等边三角形，且D1为PD的中点，∴AD1⊥PD.3分又∵平面ADD1A1⊥平面ABCD，CD⊥AD，∴CD⊥平面PAD，∴CD⊥AD1.又∵PD∩CD=D，∴AD1⊥平面PCD，即AD1⊥平面CDD1C1.5分(2)以AD的中点O为坐标原点，过点O平行于CD的直线为x轴，直线AD，OP分别为y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz.设BM=λBB1，M(xM，yM，zM)，则A(0，-1，0)，P(0，0，3)，B(2，-1，0)，B1(1，-12，32)，C(2，1，0)，C1(1，12，32)，D(0，1，0)，D1故BB1=(-1，12，32)，BM=(xM-2，yM+1，zM)，由BM=λBB1，可得点M的坐标为(2-λ，-1+λ∵AD⊥平面MCD，所以AD⊥MC，即AD·MC=4-λ=0，故λ=4，M(-2，1，23)，则MC1=(3，-12，-33又由(1)知AD1⊥平面CDD1C1，即AD1是平面CDD1C1∴cos<AD1，MC1>=0−34-943×4=-34，故MC18.【命题意图】本题考查导数的综合运用，要求考生理解导数的几何意义，能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间，会求函数的最值.【解题分析】(1)因为f'(x)=1x-ax2，f'(1)=1-a=0，所以a=1，所以切线方程为y=1，所以b=1，所以f(x)=lnx+1x，则f'(x)=1x-1当0<x<1时，f'(x)<0，f(x)单调递减；当x≥1时，f'(x)≥0，f(x)单调递增.综上，f(x)的单调递减区间为(0，1)，单调递增区间为[1，+∞).5分(2)F(x)=xexf(x)−ex+mxx2-x=xexlnx①当x>1时，exlnx+mx-1>x+1等价于exlnx+m>x2设g(x)=exlnx-x2+m+1(x>1)，则g'(x)=ex(lnx+1x)-2x=ex(lnx+1x-由(1)可知，当x>1时，f(x)=lnx+1x单调递增，设h(x)=2xex，则h'(x)=2(1−x)ex，当x>1时，h'(x)<0，所以h(x)在(1，+∞)上