湖南省长沙市长郡教育集团2023-2024学年九年级上学期数学期末考试试卷

湖南省长沙市长郡教育集团2023-2024学年九年级上学期数学期末考试试卷姓名：__________班级：__________考号：__________题号一二三总分评分一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项）1．中华文明，源远流长：中华汉字，寓意深广．下列四个选项中，是轴对称图形的为（）A． B． C． D．2．2024的相反数是（）A．2024 B．﹣2024 C．12024 D．3．元旦假期哈尔滨旅游总收入达59.14亿元，南泥北搓成了新时尚．将数据59.14亿用科学记数法表示为（）A．5.914×108 B．5.914×109 C．5.914×1010 D．59.14×1084．下列计算正确的是（）A．（﹣2x3）2＝4x6 B．x2+x3＝x5C．x8÷x2＝x4 D．（a+b）2＝a2+b25．古语有言“逸一时，误一世”，其意是教导我们青少年要珍惜时光，切勿浪费时间，浪费青春，其数字谐音为1，1，4，5，1，4，有关这一组数，下列说法错误的是（）A．中位数为4.5 B．平均数为83 C．众数是1 6．下列命题正确的是（）A．方程x2﹣x﹣1＝0没有实数根B．有两边及一角对应相等的两个三角形全等C．平分弦的直径垂直于弦D．“对角线互相平分”是矩形、菱形、正方形都具有的性质7．如图，△ABC和△ABD内接于⊙O，∠ABC＝80°，∠D＝50°，则∠BAC的度数为（）A．40° B．45° C．50° D．60°8．在同一平面直角坐标系中，函数y=kx+1(k≠0)A． B．C． D．9．如图，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转α，得到△AB'C'.若点B'A．60° B．70° C．100° D．110°10．如图，抛物线y＝x2﹣8x+15与x轴交于A、B两点，对称轴与x轴交于点C，点D（0，﹣2），点E（0，﹣6），点P是平面内一动点，且满足∠DPE＝90°，M是线段PB的中点，连接CM．则线段CM的最大值是（）A．3 B．412 C．72二、填空题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）11．因式分解：3x2﹣9x＝．12．若式子x+1x-2在实数范围内有意义，则x的取值范围是13．把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠后ED与BC的交点为G，D、C分别在M、N的位置上，若∠EFG＝65°，则∠2＝．14．一个多边形的内角和是其外角和的4倍，则这个多边形的边数是.15．在一个不透明的口袋中装有红球和白球共12个，这些球除颜色外都相同，将口袋中的球搅匀后，从中随机摸出1个球，记下它的颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程，共摸球200次，发现有50次摸到红球，则口袋中红球约有个.16．若a，b是一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0的两个实数根，则a2+2b﹣ab的值是．三、解答题（本大题共有9小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题6分，第22、23题每小题6分，第24、25题每小题6分，共72分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．计算：|-3|+（12）﹣1+（π+1）18．解不等式组：4(2x-1)＜3x+119．育才中学九年级的一位同学，想利用刚刚学过的三角函数知识测量新教学楼的高度，如图，她在A处测得新教学楼房顶B点的仰角为45°，走7米到C处再测得B点的仰角为55°，已知O、A、C在同一条直线上．（1）求∠ABC的度数；（2）求新教学楼OB的高度．（参考数据：sin55°≈0.82，cos55°≈0.57，tan55°≈1.43，结果精确到0.1m）．20．打造书香文化，培养阅读习惯．崇德中学计划在各班建图书角，开展“我最喜欢的书籍”为主题的调查活动，学生根据自己的爱好选择一类书籍（A：科技类，B：文学类，C：政史类，D：艺术类，E：其他类）．张老师组织数学兴趣小组对学校部分学生进行了问卷调查，根据收集到的数据，绘制了两幅不完整的统计图（如图所示）．根据图中信息，请回答下列问题；（1）条形图中的m＝，n＝，文学类书籍对应扇形圆心角等于度；（2）若该校有2000名学生，请你估计最喜欢阅读政史类书籍的学生人数；（3）甲同学从A，B，C三类书籍中随机选择一种，乙同学从B，C，D三类书籍中随机选择一种，请用画树状图或者列表法求甲乙两位同学选择相同类别书籍的概率．21．如图，AB是⊙O的弦，C是⊙O外一点，OC⊥OA，OC交AB于点P，交⊙O于点D，且CP＝CB．（1）判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若∠A＝30°，OP＝3，求图中阴影部分的面积．22．某校开设智能机器人编程的校本课程，购买了A，B两种型号的机器人模型．A型机器人模型单价比B型机器人模型单价多200元，用2000元购买A型机器人模型和用1200元购买B型机器人模型的数量相同．（1）求A型，B型机器人模型的单价分别是多少元?（2）学校准备再次购买A型和B型机器人模型共40台，购买B型机器人模型不超过A型机器人模型的3倍，且商家给出了两种型号机器人模型均打八折的优惠．问购买A型和B型机器人模型各多少台时花费最少?最少花费是多少元?23．如图，在▱ABCD中，点E在AB上，AE=13AB，ED和AC相交于点F，过点F作FG∥AB，交AD于点（1）求AFFC（2）若AB：AC=3①求证：∠AEF＝∠ACB．②求证：DF2＝DG•DA．24．我们不妨约定，如果点（x，y）满足2x+y＝2024，那么称这个点（x，y）为“郡系点”．如果一个函数的图象经过一个“郡系点”，那么称这个函数为“郡系函数”．（1）对下面的结论进行判断，请在正确结论的后面的括号中打“√”，错误结论后面的括号中打“×”．①点（1，2022）为“郡系点”（▲）；②已知y=mx（m为常数，且m≠0），它的图象经过的“郡系点”的坐标为（﹣1，n），则m＝2025（▲），n＝2026（（2）已知点A（1，c）和B（2，c+2），那么线段AB上是否存在“郡系点”？如果存在，请表示出来；如果不存在，请说明理由．（3）已知关于x的二次函数y＝ax2+（b﹣2024）x+a﹣2（a，b均为正整数）为“郡系函数”，其图象满足下面两个条件：（Ⅰ）图象经过四个象限；（Ⅱ）M，N是图象上的两个“郡系点”，且MN＝905，试求该二次函数的解析式和它的“郡系点”M，N的坐标．25．已知抛物线y=ax2+bx+8过点B(4，8)和点C(8（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，连接AB，BC，点D在线段AB上（与点A，B不重合），点F是OA的中点，连接FD，过点D作DE⊥FD交BC于点E，连接EF，当△DEF面积是（3）如图2，点P是抛物线上对称轴右侧的点，H(m，0)是x轴正半轴上的动点，若线段OB上存在点G（与点O，B不重合），使得

答案解析部分1．【答案】C【解析】【解答】解：根据轴对成图形的定义，"我"、"爱"、"国"都不是轴对称图形，"中"是轴对称图形。

故答案为：C。

【分析】根据轴对成图形的定义进行选择即可。2．【答案】B【解析】【解答】2024的相反数是﹣2024，

故答案为：B.

【分析】根据相反数的定义即可求解.3．【答案】B【解析】【解答】59.14亿=5.914×109，

故答案为：B.

【分析】将一个大于10的数记为a×10n，4．【答案】A【解析】【解答】（﹣2x3）2＝4x6，故A计算正确，符合题意；

x2+x3，不是同类项，不能直接相加，故B计算错误，不符合题意；

x8÷x2＝x6，故C计算错误，不符合题意；

（a+b）2＝a2+2ab+b2，故D计算错误，不符合题意；

故答案为：A.

【分析】根据积的乘方运算法则、合并同类项法则、同底数幂的除法法则、完全平方公式进行逐一判断即可求解.5．【答案】A【解析】【解答】解：将这一组数按照由小到大重新排序1，1，1，4，4，5，∴中位数应该1+42=2.众数为1，极差为5−1=4，故C，D均不符合题意，故答案为：A．【分析】根据中位数，平均数，众数和极差的计算方法计算求解即可。6．【答案】D【解析】【解答】∵∆=（-1）2-4×1×（-1）=5>0，

∴方程x2﹣x﹣1＝0有两个不相等的实数根，故A说法错误，不符合题意；

由三角形的判定定理可得“SSA”不能直接判定两个三角形全等，故B说法错误，不符合题意；

平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故C说法错误，不符合题意；

“对角线互相平分”是矩形、菱形、正方形都具有的性质，故D说法正确，符合题意；

故答案为：D.

7．【答案】C【解析】【解答】∵∠D＝50°，

∴∠C＝50°，

∴∠BAC=180°-∠C-∠ABC＝50°，

故答案为：C.

【分析】根据圆周角定理以及三角形的内角和定理即可求解.8．【答案】D【解析】【解答】解：当k>0时，一次函数y=kx+1经过第一、二、三象限，反比例函数y=k当k<0时，一次函数y=kx+1经过第一、二、四象限，反比例函数y=k故答案为：D．【分析】根据一次函数、反比例函数的图象与系数的关系逐项判断即可。9．【答案】C【解析】【解答】解：∵△ABC绕点A按逆时针方向旋转α，得到△A∴AB=AB'，∵∠AB∴∠AB∴∠BAB故答案为：C.【分析】根据旋转的性质可得AB=AB′，由等腰三角形的性质可得∠AB′B=∠ABB′=40°，然后根据内角和定理进行计算.10．【答案】C【解析】【解答】解：解方程x2﹣8x+15＝0得x1＝3，x2＝5，则A（3，0），∵抛物线的对称轴与x轴交于点C，∴C点为AB的中点，∵∠DPE＝90°，∴点P在以DE为直径的圆上，圆心Q点的坐标为（﹣4，0），AQ=32+延长AQ交⊙Q于F，此时AF最大，最大值为2+5＝7，连接AP，∵M是线段PB的中点，∴CM为△ABP为中位线，∴CM=12∴CM的最大值为72故答案为：C．

【分析】先解方程得到点A的坐标，再由抛物线的性质以及圆周角定理得到C点为AB的中点和圆心的坐标，利用勾股定理求得AQ的值和⊙Q的半径，延长AQ交⊙Q于F，此时AF最大，最大值为7，连接AP，利用三角形的中位线定理得到CM=1211．【答案】3x（x﹣3）【解析】【解答】解：3x2﹣9x＝3x（x﹣3），故答案为：3x（x﹣3）.

【分析】利用提取公因式3x的方法进行因式分解即可.12．【答案】x≥﹣1且x≠2【解析】【解答】∵x+1x-2在实数范围内有意义，

∴x+1≥0且x-2≠0，

解得：x≥﹣1且x≠2，

故答案为：x≥﹣1且x≠2.13．【答案】130°【解析】【解答】∵四边形EFNM由四边形EFCD折叠而成，

∴∠MEF=∠DEF,

∵AD∥BC,

∴∠DEF=∠EFG,∠2=∠MED,

即∠2=∠MEF+∠DEF,

∵∠EFG＝65°，

∴∠2=65°+65°=130°,

故答案为：130°.

【分析】根据折叠的性质得到∠MEF=∠DEF,再由平行线的性质得到∠DEF=∠EFG,∠2=∠MED,结合已知求得∠EFG＝65°，从而求解.14．【答案】10【解析】【解答】解：设这个多边形的边数为n，则该多边形的内角和为(n−2)×180°，依题意得：(n−2)×180°=360°×4，解得：n=10，∴这个多边形的边数是10.故答案为：10.【分析】设这个多边形的边数为n，则内角和为(n-2)×180°，外角和为360°，结合题意列出关于n的方程，然后求解即可.15．【答案】3【解析】【解答】解：口袋中红球的个数为：12×50200故答案为：3.【分析】利用频率估计概率的方法可得随机的摸出1个球是红球的概率为5020016．【答案】6【解析】【解答】∵a，b是一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0的两个实数根，

∴a2﹣2a﹣1＝0，ab=-1，a+b=2，

∴a2﹣2a＝1，

∴a2+2b﹣ab=a2+2a-2a+2b﹣ab=(a2-2a)+2(a+b)-ab=1+4-(-1)=6，

故答案为：6.

【分析】利用一元二次方程根的定义以及根与系数的关系得到a2﹣2a＝1，ab=-1，a+b=2，再将a2+2b﹣ab进行变形整体代入即可求解.17．【答案】解：|-3|+（12）﹣1+（π+1）=＝3．【解析】【分析】先计算绝对值、负指数、0指数、特殊角的三角函数，再合并同类二次根式即可求解.18．【答案】解：4(2x-1)＜3x+1①3x-8解不等式①得：x＜1，解不等式②得：x＞﹣4，所以不等式组的解集为：﹣4＜x＜1．【解析】【分析】先解不等式①得：x＜1，再解不等式②得：x＞﹣4，从而求解.19．【答案】（1）解：∵∠BCO是△ABC的外角，∴∠ABC＝∠BCO﹣∠A＝55°﹣45°＝10°；（2）解：在Rt△AOB中，∠A＝45°，则OA＝OB，∵AC＝7米，∴OC＝（OB﹣7）米，在Rt△COB中，∠BCO＝55°，∵tan∠BCO=OB∴OBOB-7解得：OB≈23.3，答：新教学楼OB的高度约为23.3米．【解析】【分析】（1）利用三角形的外角和性质即可求解；

（2）根据直角三角形的性质得到OA＝OB，结合AC＝7米表示出OC的长度，利用锐角三角函数的定义得到tan∠BCO=OB20．【答案】（1）18；6；72（2）解：2000×12答：估计最喜欢阅读政史类书籍的学生人数约为480人；（3）解：画树状图如下：共有9种等可能的结果，其中甲乙两位同学选择相同类别书籍的结果有2种，即BB、CC，∴甲乙两位同学选择相同类别书籍的概率为29【解析】【解答】解：（1）总人数为：4÷8%=50（人），m=50×36%=18（人），n=50-18-10-12-4=6（人），文学类书籍对应扇形圆心角等为1050×360°=72°，

【分析】（1）根据E：其他类的人数除以其占比求得总人数，进而求的m、n以及文学书籍对应扇形的圆心角度数，从而求解；

（2）利用喜欢阅读政史类书籍的学生人数的占比乘以总人数即可求解；21．【答案】（1）解：直线BC与⊙O的位置关系是相切，理由如下：如图，连接OB，∵CP=CB，∴∠CPB=∠CBP，∵∠APO=∠CPB，∴∠APO=∠CBP，∴∠A+∠APO=∠OBA+∠CBP，∵OC⊥OA，∴∠AOP=90°，∴∠OBA+∠CBP=∠A+∠APO=180°−90°=90°，即∠OBC=90°，∴OB⊥BC，又∵OB是⊙O的半径，∴直线BC与⊙O的位置关系是相切；（2）解：∵∠AOP=90°，∴AP=2OP=23∴OB=3，∵∠A=∠OBA=30°，∴∠AOB=180°−∠A−∠OBA=120°，∵∠AOC=90°，∴∠COB=∠AOB−∠AOC=120°−90°=30°，∴OC=2BC，由勾股定理得：OC2=B解得BC=3或BC=−则图中阴影部分的面积为S△OBC【解析】【分析】（1）连接OB，先证明∠OBA+∠CBP=∠A+∠APO=180°−90°=90°，即∠OBC=90°，再结合OB是⊙O的半径，即可得到直线BC与⊙O的位置关系是相切；

（2）先求出∠COB=∠AOB−∠AOC=120°−90°=30°，利用含30°角的直角三角形的性质可得OC=2BC，再利用勾股定理可得(2BC22．【答案】（1）解：设A型编程机器人模型单价是x元，B型编程机器人模型单价是(x−200)元．根据题意，得2000解这个方程，得x=500经检验，x=500是原方程的根．x−200=300答：A型编程机器人模型单价是500元，B型编程机器人模型单价是300元．（2）解：设购买A型编程机器人模型m台，购买B型编程机器人模型(40−m)台，购买A型和B型编程机器人模型共花费w元，由题意得：40−m≤3m，解得m≥10．∴w=500×0即w=160m+9600，∵160>0，∴w随m的增大而增大．∴当m=10时，w取得最小值11200，此时40−m=30；答：购买A型机器人模型10台和B型机器人模型30台时花费最少，最少花费是11200元．【解析】【分析】（1）根据题意找出等量关系求出2000x=1200x−200，再解方程求解即可；23．【答案】（1）解：在▱ABCD中，AB∥CD，AB＝CD，又∵∠DFC＝∠AFE，∴△AFE∽△CFD，∴AFFC（2）解：①证明：∵AB：AC=3可设AC＝2a，则AB=3由（1）知：AFAC∴AF=1∴AFAB=1∴AFAB又∵∠BAC＝∠FAE，∴△FAE∽△BAC，∴∠AEF＝∠ACB；②证明：∵FG∥AB，∴∠GFD＝∠AED＝∠ACB，又∵AD∥BC，∴∠ACB＝∠FAD，∴∠FAD＝∠GFD，又∵∠GDF＝∠FDA，∴△GDF∽△FDA，∴DGDF∴DF2＝DG•DA．【解析】【分析】（1）证明△AFE∽△CFD，根据相似三角形的性质即可求解；

（2）①根据AB：AC=3：2，可设AC＝2a，则AB=3a，由（1）相似三角形的性质得到AFAC24．【答案】（1）√；×；√（2）解：线段AB上存在“郡系点”，理由如下：设直线AB的解析式为y＝kx+m，∴k+m=c2k+m=c+2解得k=2m=c-2∴直线AB的解析式为y＝2x+c﹣2，当2x+c﹣2＝﹣2x+2024时，x=2026-c∵1≤x≤2，2018≤c≤2022，∴线段AB上存在“郡系点”为（2026-c4（3）解：∵a是正整数，∴a＞0，当a≥2时，a﹣2≥0，即抛物线与y轴的交点在x轴上方或经过原点，此时二次函数的图象不能经过四个象限，∴0＜a＜2，∴a＝1，∴函数的解析式为y＝x2+（b﹣2024）x﹣1，当x2+（b﹣2024）x﹣1＝﹣2x+2024时，x1+x2＝2022﹣b，x1•x2＝﹣2025，∵MN＝905，∴905=解得b＝0（舍）或b＝2022，∴二次函数的解析式为y＝x2﹣2x﹣1，当x2﹣2x﹣1＝﹣2x+2024时，解得x＝±45，∴M（45，2114），N（﹣45，2114）或M（﹣45，2114），N（45，2114）．【解析】【解答】解：（1）①∵点（1，2022），

∴2×1+2022=2024，

∴点（1，2022）为“郡系点”，故打√；

②∵（﹣1，n）为“郡系点”，

∴2×（-1）+n=2024，

解得n=2026，

该“郡系点”为（﹣1，2026），

∵y=mx的图象经过该“郡系点”，

∴m=-1×2026=-2026，故m=2025错误，此处打×；n=2026，此处打√；

【分析】（1）①根据“郡系点”的定义进行判断即可求解；②根据“郡系点”的定义求出n的值得到该“郡系点”的坐标，再根据反比例函数图象上的点的坐标特征即可求解；

（2）设直线AB的解析式为y＝kx+m，利用待定系数法求得k、m的值，从而得到直线AB的表达式，根据“郡系点”的定义得到x的方程，解方程求得x的值，结合x、c的取值范围，从而得出结论；

（3）由二次函数的图象特点以及a的取值范围确定a的值为1，当x2+（b﹣2024）x﹣1＝﹣2x+2024时，利用韦达定理可得x1+x2＝2022﹣b，x1•x2＝﹣2025，进而得到9025．【答案】（1）解：∵抛物线y=ax2+bx+8过点B(4∴16a+4b+8=8解得：b=∴抛物线解析式为y=−1（2）解：∵抛物线y=−18x2+当x=0时，y=8，∴A(0，8)，则∵B(4，∴AB∥x，AB=4，∵点F是OA的中点，则F(0，∴AB=AF=4，设直线BC的解析式为y=kx+b，∵点B(4，8)和点∴8=4k+b解得：k=−1∴直线BC的解析式为y=−x+12，设E(m，如图所示，过点E作EG⊥AB交AB的延长线于点G，则∠G=90°，则G的坐标为(m，∴GE=8−(−m+12)=m−4，BG=m−4∴BG=GE，∴△BGE是等腰直角三角形，设D(t，8)，则∵DE⊥FD，∴∠FDE=90°，∵∠FAD=∠G=∠FDE=90°，∴∠AFD=90°−∠ADF=∠GDE，∴△AFD∽△GDE∴AD∴t即(t−4)m=(t−4)(t+4)∵m>4∴m=t+4即m−t=4，∴DG=AF，∴△AFD≌△GDE∴DF=DE