导数的实际应用教案

1.3.3导数的实际应用【学习要求】1．了解导数在解决实际问题中的作用．2．掌握利用导数解决简单的实际生活中的优化问题．【学法指导】1．在利用导数解决实际问题的过程中体会建模思想．2．感受导数知识在解决实际问题中的作用，自觉形成将数学理论与实际问题相结合的思想，提高分析问题、解决问题的能力．1．在经济生活中，为使经营利润最大、生产效率最高，或为使用力最省、用料最少、消耗最省等，需要寻求相应的最佳方案_或最佳策略．这些都是最优化问题．2．求实际问题的最大(小)值，导数是解决方法之一．要建立实际问题的数学模型．写出实际问题中变量之间的函数关系y＝f(x)，然后再利用导数研究函数的最值.题型一面积、体积的最值问题例1如图所示，现有一块边长为a的正方形铁板，如果从铁板的四个角各截去一个相同的小正方形，做成一个长方体形的无盖容器．为使其容积最大，截下的小正方形边长应为多少？解设截下的小正方形边长为x，容器容积为V(x)，则做成的长方体形无盖容器底面边长为a－2x，高为x，于是V(x)＝(a－2x)2x,0<x<eq\f(a,2).即V(x)＝4x3－4ax2＋a2x,0<x<eq\f(a,2).实际问题归结为求V(x)在区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(a,2)))上的最大值点．为此，先求V(x)的极值点．在开区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(a,2)))内，V′(x)＝12x2－8ax＋a2.令V′(x)＝0，即令12x2－8ax＋a2＝0.解得x1＝eq\f(1,6)a，x2＝eq\f(1,2)a(舍去)．x1＝eq\f(1,6)a在区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(a,2)))内，x1可能是极值点．且当0<x<x1时，V′(x)>0；当x1<x<eq\f(a,2)时，V′(x)<0.因此x1是极大值点，且在区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(a,2)))内，x1是唯一的极值点，所以x＝x1＝eq\f(1,6)a是V(x)的最大值点．即当截下的正方形边长为eq\f(1,6)a时，容积最大．小结求几何体的面积或体积的最值问题，关键是分析几何体的几何特征，选择适当的量建立关于面积或体积的目标函数，然后利用导数求解．跟踪训练1已知矩形的两个顶点位于x轴上，另两个顶点位于抛物线y＝4－x2在x轴上方的曲线上，求这个矩形面积最大时的边长．解如图，设矩形边长AD＝2x(0<x<2)，则AB＝y＝4－x2(y>0)，则矩形的面积S＝2x(4－x2)(0<x<2)，即S＝8x－2x3，S′＝8－6x2，令S′＝0，解得x1＝eq\f(2\r(3),3)，x2＝－eq\f(2\r(3),3)(舍去)．当0<x<eq\f(2\r(3),3)时，S′>0；当eq\f(2\r(3),3)<x<2时，S′<0；∴当x＝eq\f(2\r(3),3)时，S取得最大值，此时S最大值＝eq\f(32\r(3),9)，即矩形边长分别为eq\f(4\r(3),3)，eq\f(8,3)时，矩形面积最大．题型二强度最大、用料最省问题例2横截面为矩形的横梁的强度同它的断面高的平方与宽的积成正比．要将直径为d的圆木锯成强度最大的横梁，断面的宽度和高度应是多少？解如图所示，设断面宽为x，高为h，则h2＝d2－x2.横梁的强度函数f(x)＝kxh2(k为强度系数，k>0)，所以f(x)＝kx(d2－x2)，0<x<d.在开区间(0，d)内，令f′(x)＝d(d2－3x2)＝0.解方程d2－3x2＝0，得两个根x＝±eq\f(\r(3),3)d，其中负根没有意义，舍去．当0<x<eq\f(\r(3),3)d时，f′(x)>0；当eq\f(\r(3),3)d<x<d时，f′(x)<0.因此，在区间(0，d)内只有一个极大值点x＝eq\f(\r(3),3)d.所以f(x)在x＝eq\f(\r(3),3)d取最大值，就是横梁强度的最大值．此时h＝eq\r(d2－x2)＝eq\f(\r(6),3)d.即当宽为eq\f(\r(3),3)d，高为eq\f(\r(6),3)d时，横梁的强度最大．小结最大流量、最大强度、最大功率等，要注意不同的问题背景，计算式子也会有相应的区别．要结合问题本身的特点，根据题目的条件(或是已知的式子)进行．为了解决问题，可能要引入多个字母，在求导的过程中，一定要分清哪些是变量，哪些是常量，只有这样才能保证有的放矢．跟踪训练2挖一条隧道，截面拟建成矩形上方加半圆，如果截面积为20m2，当宽为多少时，使截面周长最小，用料最省？解如图，设半圆的半径为r，矩形的高为h，则截面积S＝2rh＋eq\f(πr2,2)＝20，截面周长C＝2r＋2h＋πr＝2r＋eq\f(20－\f(πr2,2),r)＋πr＝2r＋eq\f(20,r)－eq\f(πr,2)＋πr＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2＋\f(π,2)))r＋eq\f(20,r)，记C(r)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2＋\f(π,2)))r＋eq\f(20,r)，则C′(r)＝2＋eq\f(π,2)－eq\f(20,r2).令C′(r)＝0，得r＝2eq\r(\f(10,4＋π))时，周长C最小．即宽为4eq\r(\f(10,4＋π))时，截面周长最小，用料最省．题型三省时高效、费用最低问题例3如图所示，一海岛驻扎一支部队，海岛离岸边最近点B的距离是150km.在岸边距点B300km的点A处有一军需品仓库．有一批军需品要尽快送达海岛．A与B之间有一铁路，现用海陆联运方式运送．火车时速为50km，船时速为30km，试在岸边选一点C，先将军需品用火车送到点C，再用轮船从点C运到海岛，问点C选在何处可使运输时间最短？解设点C与点B的距离为xkm，则运输时间T(x)＝eq\f(\r(1502＋x2),30)＋eq\f(300－x,50)，0≤x≤300.因为(eq\r(1502＋x2))′＝eq\f(x,\r(1502＋x2))，所以T′(x)＝eq\f(x,30\r(1502＋x2))－eq\f(1,50).令T′(x)＝0，则有5x－3eq\r(1502＋x2)＝0，5x＝3eq\r(1502＋x2)，25x2＝9(1502＋x2)．解此方程，得x＝±eq\f(\r(9×1502),4)＝±eq\f(3×150,4)＝±112.5.舍去负值，取x＝x0＝112.5.因为T(0)＝eq\f(150,30)＋eq\f(300,50)＝11，T(300)≈11.2，T(112.5)＝eq\f(\r(1502＋112.52),30)＋eq\f(187.5,50)＝10，而10是11,11.2和10中的最小者，所以x＝x0＝112.5是最小值点．所以点C选在与点B的距离为112.5km处，运输时间最省．小结路程最短、运输费用最省问题，实质就是路程、时间、速度三者的关系问题，建立在时间与速度的基础上产生路程，根据路程产生运输费用最少或是油耗最小．本题运算较麻烦，重点训练复合函数的求导法则．跟踪训练3如图所示，设铁路AB＝50，BC＝10，现将货物从A运往C，已知单位距离铁路费用为2，公路费用为4，问在AB上何处修筑公路至C，可使运费由A至C最省？解设M为AB上的一点，且MB＝x，于是AM上的运费为2(50－x)，MC上的运费为4eq\r(102＋x2)，则由A到C的总运费为p(x)＝2(50－x)＋4eq\r(100＋x2)(0≤x≤50)．p′(x)＝－2＋eq\f(4x,\r(100＋x2))，令p′(x)＝0，解得x1＝eq\f(10\r(3),3)，x2＝－eq\f(10\r(3),3)(舍去)．当x<eq\f(10\r(3),3)时，p′(x)<0；当x>eq\f(10\r(3),3)时，p′(x)>0，∴当x＝eq\f(10\r(3),3)时，取得最小值．即当在离点B距离为eq\f(10\r(3),3)的点M处修筑公路至C时，货物运费最省．题型四利润最大问题例4某商品每件成本9元，售价为30元，每星期卖出432件．如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值x(单位：元，0≤x≤30)的平方成正比，已知商品单价降低2元时，一星期多卖出24件．(1)将一个星期的商品销售利润表示成x的函数；(2)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？解(1)设商品降低x元时，多卖出的商品件数为kx2，若记商品在一个星期的销售利润为f(x)，则依题意有f(x)＝(30－x－9)·(432＋kx2)＝(21－x)·(432＋kx2)，又由已知条件24＝k·22，于是有k＝6，所以f(x)＝－6x3＋126x2－432x＋9072，x∈[0,30]．(2)根据(1)，有f′(x)＝－18x2＋252x－432＝－18(x－2)(x－12)．当x变化时，f(x)与f′(x)的变化状态如下表：故x＝12时，f(x)达到极大值．因为f(0)＝9072，f(12)＝11664，所以定价为30－12＝18(元)能使一个星期的商品销售利润最大．小结解决此类有关利润的实际应用题，应灵活运用题设条件，建立利润的函数关系，常见的基本等量关系有(1)利润＝收入－成本；(2)利润＝每件产品的利润×销售件数．跟踪训练4某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y＝eq\f(a,x－3)＋10(x－6)2，其中3<x<6，a为常数．已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克．(1)求a的值；(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．解(1)因为x＝5时，y＝11，所以eq\f(a,2)＋10＝11，所以a＝2.(2)由(1)可知，该商品每日的销售量y＝eq\f(2,x－3)＋10(x－6)2，所以商场每日销售该商品所获得的利润f(x)＝(x－3)[eq\f(2,x－3)＋10(x－6)2]＝2＋10(x－3)(x－6)2，3<x<6.从而，f′(x)＝10[(x－6)2＋2(x－3)(x－6)]＝30(x－4)(x－6)．于是，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化状态如下表：由上表可得，x＝4是函数f(x)在区间(3,6)内的极大值点，也是最大值点．所以，当x＝4时，函数f(x)取得最大值，且最大值等于42.答当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大.课堂练习：1．方底无盖水箱的容积为256，则最省材料时，它的高为(A)A．4B．6C解析设底面边长为x，高为h，则V(x)＝x2·h＝256，∴h＝eq\f(256,x2)，∴S(x)＝x2＋4xh＝x2＋4x·eq\f(256,x2)＝x2＋eq\f(4×256,x)，∴S′(x)＝2x－eq\f(4×256,x2).令S′(x)＝0，解得x＝8，∴h＝eq\f(256,82)＝4.2．某银行准备新设一种定期存款业务，经预算，存款量与存款利率的平方成正比，比例系数为k(k>0)．已知贷款的利率为0.0486，且假设银行吸收的存款能全部放贷出去．设存款利率为x，x∈(0,0.0486)，若使银行获得最大收益，则x的取值为多少？解：依题意，得存款量是kx2，银行支付的利息是kx3，获得的贷款利息是0.0486kx2，其中x∈(0,0.0486)．所以银行的收益是y＝0.0486kx2－kx3(0<x<0.0486)，则y′＝0.0972kx－3kx2.令y′＝0，得x＝0.0324或x＝0(舍去)．当0<x<0.0324时，y′>0；当0.0324<x<0.0486时，y′<0.所以当x＝0.0324时，y取得最大值，即当存款利率为0.0324时，银行获得最大收益．3．统计表明：某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y(升)关于行驶速度x(千米/时)的函数解析式可以表示为y＝eq\f(1,128000)x3－eq\f(3,80)x＋8(0<x≤120)．已知甲、乙两地相距100千米，当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？解当速度为x千米/时时，汽车从甲地到乙地行驶了eq\f(100,x)小时，设耗油量为h(x)升，依题意得h(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,128000)x3－\f(3,80)x＋8))×eq\f(100,x)＝eq\f(1,1280)x2＋eq\f(800,x)－eq\f(15,4)(0<x≤120)，h′(x)＝eq\f(x,640)－eq\f(800,x2)＝eq\f(x3－803,640x2)(0<x≤120)．令h′(x)＝0，得x＝80.因为当x∈(0,80)时，h′(x)<0，h(x)是减函数；当x∈(80,120)时，h′(x)>0，h(x)是增函数，所以当x＝80时，h(x)取得极小值h(80)＝11.25(升)．因为h(x)在(0,120]上只有一个极小值，所以它是最小