第2讲　带电粒子在磁场中的运动

9/9第2讲带电粒子在磁场中的运动考点一对洛伦兹力的理解和应用1.洛伦兹力：磁场对的作用力叫作洛伦兹力。2.洛伦兹力的方向（1）方向：F⊥B，F⊥v，即F垂直于B和v决定的。（2）判定方法：定则。3.洛伦兹力的大小：F＝，θ为v与B的方向夹角。（1）v∥B时，洛伦兹力F＝0。（θ＝0°或180°）（2）v⊥B时，洛伦兹力F＝。（θ＝90°）（3）v＝0时，洛伦兹力F＝0。1.【洛伦兹力的理解】（2023·海南高考2题）如图所示，带正电的小球竖直向下射入垂直纸面向里的匀强磁场，关于小球运动和受力说法正确的是（）A.小球刚进入磁场时受到的洛伦兹力水平向右 B.小球运动过程中的速度不变C.小球运动过程的加速度保持不变 D.小球受到的洛伦兹力对小球做正功2.【洛伦兹力的方向】如图所示，M、N为两根垂直纸面的平行长直导线，O为M、N连线中点，一电子沿过O点垂直纸面的直线向外射出，当两导线同时通有如图所示方向电流时，该电子将（）A.向上偏转 B.向下偏转C.向左偏转 D.向右偏转3.【洛伦兹力和电场力的比较】（多选）如图所示，带电小球以一定的初速度v0竖直向上抛出，能够达到的最大高度为h1；若加上水平方向的匀强磁场，且保持初速度仍为v0，小球上升的最大高度为h2；若加上水平方向的匀强电场，且保持初速度仍为v0，小球上升的最大高度为h3；若加上竖直向上的匀强电场，且保持初速度仍为v0，小球上升的最大高度为h4，不计空气阻力，则（）A.一定有h1＝h3 B.一定有h1＜h4C.h2与h4无法比较 D.h1与h2无法比较1.洛伦兹力的理解（1）利用左手定则判断洛伦兹力的方向（注意区分正、负电荷）。（2）当电荷运动方向发生变化时，洛伦兹力的方向也随之变化。（3）运动电荷在磁场中不一定受洛伦兹力的作用。（4）洛伦兹力永不做功。2.洛伦兹力与静电力的比较洛伦兹力电场力产生条件v≠0且v不与B平行电荷处在电场中大小F＝qvBsinθ（θ为v与B之间的夹角）F＝qvB（v⊥B）F＝qE力方向与场方向的关系F⊥B，F⊥vF∥E做功情况任何情况下都不做功可能做功，也可能不做功考点二洛伦兹力作用下带电体的运动带电体做变速直线运动时，随着速度大小的变化，洛伦兹力的大小也会发生变化，与接触面间的弹力随着变化（若接触面粗糙，摩擦力也跟着变化，从而加速度发生变化），最后若弹力减小到0，带电体离开接触面。【例1】（多选）（2024·广东广州模拟）如图所示，在光滑绝缘的水平面上，虚线右侧有磁感应强度B＝0.25T的匀强磁场，方向垂直纸面向里，质量mC＝0.001kg、电荷量qC＝2×10－3C的小球C静置于其中，虚线左侧一个质量为mA＝0.004kg、不带电的绝缘小球A以速度v0＝20m/s进入磁场与小球C发生正碰（电荷不转移），碰后小球C对水平面的压力刚好为零，取向右为正方向，g＝10m/s2，下列说法正确的是（）A.碰后C球速度为20m/s B.碰后C球速度为15m/sC.C对A的冲量大小为0.4N·s D.C对A的冲量大小为0.02N·s听课记录（2024·陕西西安一模）如图所示，竖直放置的光滑绝缘斜面处于方向垂直竖直平面（纸面）向里、磁感应强度大小为B的匀强磁场中，一带电荷量为q（q＞0）的滑块自a点由静止沿斜面滑下，下降高度为h时到达b点，滑块恰好对斜面无压力。关于滑块自a点运动到b点的过程，（重力加速度为g）下列说法正确的是（）A.滑块在a点受重力、支持力和洛伦兹力作用 B.滑块在b点受到的洛伦兹力大小为qB2C.洛伦兹力做正功 D.滑块的机械能增大考点三带电粒子在匀强磁场中的运动1.若v∥B，带电粒子不受洛伦兹力，在匀强磁场中做运动。2.若v⊥B，带电粒子仅受洛伦兹力作用，在垂直于磁感线的平面内以入射速度v做运动。3.轨道半径和周期公式（v⊥B）1.圆心的确定（1）若已知粒子轨迹上的两点的速度方向，分别确定两点处洛伦兹力F的方向，其交点即为圆心，如图甲。（2）若已知粒子运动轨迹上的两点和其中某一点的速度方向，弦的中垂线与速度垂线的交点即为圆心，如图乙。（3）若已知粒子轨迹上某点速度方向，又能根据R＝mvqB计算出轨迹半径R，则在该点沿洛伦兹力方向距离为R的位置为圆心，

2.半径的计算（1）利用动力学方程求半径：由qvB＝mv2R得R＝（2）利用几何关系求半径：（难点）一般连接粒子的入射点、出射点及圆心构造出三角形，再结合切线、轨迹圆弧对应的弦等辅助线，常用到的几何关系：①三个角：如图丁所示。a.粒子的偏转角等于半径扫过的圆心角：φ＝α。b.弦切角等于弦所对应圆心角一半：θ＝12α②由三角函数或勾股定理求解几何半径。如图戊所示，由R＝Lsinθ或R2＝L2＋（R－d）2求得3.运动时间的计算（1）利用圆心角θ、周期T计算：t＝θ2π（2）利用弧长、线速度计算：t＝lv半径公式和周期公式的应用【例2】（多选）（2024·广东东莞模拟）如图甲所示，用强磁场将百万开尔文的高温等离子体（等量的正离子和电子）约束在特定区域实现受控核聚变的装置叫托克马克。我国托克马克装置在世界上首次实现了稳定运行100秒的成绩。多个磁场才能实现磁约束，图乙为其中沿管道方向的一个磁场，越靠管的右侧磁场越强。不计离子重力，关于离子在图乙磁场中运动时，下列说法正确的是（）A.离子从磁场右侧区域运动到左侧区域，磁场对其做负功B.离子在磁场中运动时，磁场对其一定不做功C.离子从磁场右侧区域运动到左侧区域，速度变大D.离子由磁场的左侧区域向右侧区域运动时，运动半径减小听课记录直线边界磁场1.直线边界（进出磁场具有对称性，如图所示）图（a）中粒子在磁场中运动的时间t＝T2＝π图（b）中粒子在磁场中运动的时间t＝2π－2θ2πT＝1图（c）中粒子在磁场中运动的时间t＝2θ2πT＝θπ2.平行边界（往往存在临界条件，如图所示）平行边界存在临界条件，图（a）中粒子在磁场中运动的时间t1＝θmBq，t2＝T2＝图（b）中粒子在磁场中运动的时间t＝θmBq图（c）中粒子在磁场中运动的时间t＝1－θπT＝1图（d）中粒子在磁场中运动的时间t＝θπT＝2【例3】如图所示，直线MN上方有垂直纸面向里的匀强磁场，电子1从磁场边界上的a点垂直MN和磁场方向射入磁场，经t1时间从b点离开磁场。之后电子2也由a点沿图示方向以相同速率垂直磁场方向射入磁场，经t2时间从a、b连线的中点c离开磁场，则t1t2为A.3 B.2C.32 D.听课记录【例4】（多选）（2024·甘肃张掖模拟）如图所示为宽度为L、磁感应强度大小为B的有界匀强磁场，磁场的方向垂直于纸面向外，长度足够长。在下边界O处有一个粒子源，沿与边界成60°角方向连续发射大量的速度大小不相同的同种带正电粒子，速度方向均在纸面内。已知以最大速度v射入的粒子，从磁场上边界飞出经历的时间为其做圆周运动周期的112。不计粒子的重力及粒子间的相互作用，则下列判断正确的是（A.粒子的比荷为vB.粒子在磁场中运动的周期为4C.在下边界有粒子飞出的长度为3LD.从上边界飞出的粒子速度大小范围为（3－1）v～v听课记录多边形边界磁场【例5】（多选）如图所示，等腰梯形abcd区域（包含边界）存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，边长ad＝dc＝cb＝l，ab＝2l，一质量为m、电荷量为q的正电粒子从a点沿着ad方向射入磁场中，不计粒子的重力，为使粒子从cb边射出磁场区域，粒子的速度可能为（）A.3qBl2mC.53qBl6听课记录

圆形边界磁场1.沿半径方向入射正对圆心射入，两圆心和出（入）射点构成直角三角形，有tanα2＝Rr→磁偏转半径r＝Rtanα2，根据半径公式r＝mv0qB求解；时间t＝αmqB＝αrv0。速度v越大→磁偏转半径r越大→圆心角2.速度不沿半径方向入射两个等腰三角形，一个共同的底边若r＝R，构成菱形【例6】（2024·山东烟台统考）如图所示，半径为R的圆形区域中有垂直纸面向外的匀强磁场（图中未画出），磁感应强度B，一比荷为qm的带正电粒子，从圆形磁场边界上的A点以v0＝RqBm的速度垂直直径MN射入磁场，恰好从N点射出，且∠AON＝120°，下列说法正确的是（A.粒子在磁场中运动的时间为t＝πB.粒子从N点射出方向竖直向下C.若粒子改为从圆形磁场边界上的C点以相同的速度入射，一定从N点射出D.若要实现带电粒子从A点入射，从N点出射，则所加圆形磁场的最小面积为S＝3听课记录【例7】（多选）如图所示，竖直平面内半径为R、圆心为O的圆形区域内充满磁感应强度为B的匀强磁场，MN是一竖直放置的收集板。三角形MON为等腰直角三角形，OM＝ON＝6R，从圆形磁场最高点P沿PO方向向圆形区域内射入大量速率不同的同种粒子，粒子所带电荷量均为q、质量均为m且带正电。忽略粒子之间的相互作用力和粒子重力，关于打在MN区域的粒子，下列说法正确的是（）A.粒子在磁场中运动的最长时间tmax＝3B.打在收集板上的粒子的最大速率vmax＝3C.整个过程中位移最小的粒子速率v＝BqRD.整个过程中位移最小的粒子运动的时间t＝2πm听课记录磁发散、磁聚焦模型1.磁发散：如图甲所示，有界圆形磁场的磁感应强度为B，圆心为O，从P点有大量质量为m、电荷量为q的正粒子，以大小相等的速度v沿不同方向射入有界磁场，不计粒子的重力，如果正粒子轨迹圆半径与有界圆形磁场半径相等，则所有粒子射出磁场的方向平行。2.磁聚焦：如图乙所示，大量的同种带正电的粒子，速度大小相同，平行入射到圆形磁场区域，如果轨迹圆半径与磁场圆半径相等（R＝r），则所有的带电粒子将从磁场圆的最低点B点射出。【典例】（多选）（2024·四川南充模拟）如图，坐标原点O有一粒子源，能向坐标平面一、二象限内发射大量质量为m，电荷量为q的正粒子（不计重力），所有粒子速度大小相等。圆心在（0，R），半径为R的圆形区域内，有垂直于坐标平面向外的匀强磁场，磁感应强度为B，磁场右侧有一长度为R且平行于y轴的荧光屏，其中心O1位于（2R，R