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文档简介
内蒙古包钢一中重点中学2025届高三最后一卷数学试卷注意事项1.考生要认真填写考场号和座位序号。2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上,在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答;第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3.考试结束后,考生须将试卷和答题卡放在桌面上,待监考员收回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知向量,若,则实数的值为()A. B. C. D.2.若集合,,则下列结论正确的是()A. B. C. D.3.设为自然对数的底数,函数,若,则()A. B. C. D.4.已知函数(e为自然对数底数),若关于x的不等式有且只有一个正整数解,则实数m的最大值为()A. B. C. D.5.从装有除颜色外完全相同的3个白球和个黑球的布袋中随机摸取一球,有放回的摸取5次,设摸得白球数为,已知,则A. B. C. D.6.已知角的顶点为坐标原点,始边与轴的非负半轴重合,终边上有一点,则().A. B. C. D.7.复数的虚部为()A. B. C.2 D.8.已知定义在R上的函数(m为实数)为偶函数,记,,则a,b,c的大小关系为()A. B. C. D.9.如图所示程序框图,若判断框内为“”,则输出()A.2 B.10 C.34 D.9810.已知,则()A. B. C. D.211.设为非零向量,则“”是“与共线”的()A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件12.已知抛物线经过点,焦点为,则直线的斜率为()A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.曲线在点(1,1)处的切线与轴及直线=所围成的三角形面积为,则实数=____。14.(x+y)(2x-y)5的展开式中x3y3的系数为________.15.如图是一个算法的伪代码,运行后输出的值为___________.16.函数的定义域是____________.(写成区间的形式)三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知椭圆的右顶点为,为上顶点,点为椭圆上一动点.(1)若,求直线与轴的交点坐标;(2)设为椭圆的右焦点,过点与轴垂直的直线为,的中点为,过点作直线的垂线,垂足为,求证:直线与直线的交点在椭圆上.18.(12分)已知函数.(Ⅰ)解不等式;(Ⅱ)设其中为常数.若方程在上恰有两个不相等的实数根,求实数的取值范围.19.(12分)如图,在斜三棱柱中,侧面与侧面都是菱形,,.(Ⅰ)求证:;(Ⅱ)若,求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.20.(12分)设数列是等比数列,,已知,(1)求数列的首项和公比;(2)求数列的通项公式.21.(12分)在中,角所对的边分别是,且.(1)求角的大小;(2)若,求边长.22.(10分)设函数,.(1)解不等式;(2)若对任意的实数恒成立,求的取值范围.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】
由两向量垂直可得,整理后可知,将已知条件代入后即可求出实数的值.【详解】解:,,即,将和代入,得出,所以.故选:D.【点睛】本题考查了向量的数量积,考查了向量的坐标运算.对于向量问题,若已知垂直,通常可得到两个向量的数量积为0,继而结合条件进行化简、整理.2、D【解析】
由题意,分析即得解【详解】由题意,故,故选:D【点睛】本题考查了元素和集合,集合和集合之间的关系,考查了学生概念理解,数学运算能力,属于基础题.3、D【解析】
利用与的关系,求得的值.【详解】依题意,所以故选:D【点睛】本小题主要考查函数值的计算,属于基础题.4、A【解析】
若不等式有且只有一个正整数解,则的图象在图象的上方只有一个正整数值,利用导数求出的最小值,分别画出与的图象,结合图象可得.【详解】解:,∴,设,∴,当时,,函数单调递增,当时,,函数单调递减,∴,当时,,当,,函数恒过点,分别画出与的图象,如图所示,,若不等式有且只有一个正整数解,则的图象在图象的上方只有一个正整数值,∴且,即,且∴,故实数m的最大值为,故选:A【点睛】本题考查考查了不等式恒有一正整数解问题,考查了利用导数研究函数的单调性,考查了数形结合思想,考查了数学运算能力.5、B【解析】
由题意知,,由,知,由此能求出.【详解】由题意知,,,解得,,.故选:B.【点睛】本题考查离散型随机变量的方差的求法,解题时要认真审题,仔细解答,注意二项分布的灵活运用.6、B【解析】
根据角终边上的点坐标,求得,代入二倍角公式即可求得的值.【详解】因为终边上有一点,所以,故选:B【点睛】此题考查二倍角公式,熟练记忆公式即可解决,属于简单题目.7、D【解析】
根据复数的除法运算,化简出,即可得出虚部.【详解】解:=,故虚部为-2.故选:D.【点睛】本题考查复数的除法运算和复数的概念.8、B【解析】
根据f(x)为偶函数便可求出m=0,从而f(x)=﹣1,根据此函数的奇偶性与单调性即可作出判断.【详解】解:∵f(x)为偶函数;∴f(﹣x)=f(x);∴﹣1=﹣1;∴|﹣x﹣m|=|x﹣m|;(﹣x﹣m)2=(x﹣m)2;∴mx=0;∴m=0;∴f(x)=﹣1;∴f(x)在[0,+∞)上单调递增,并且a=f(||)=f(),b=f(),c=f(2);∵0<<2<;∴a<c<b.故选B.【点睛】本题考查偶函数的定义,指数函数的单调性,对于偶函数比较函数值大小的方法就是将自变量的值变到区间[0,+∞)上,根据单调性去比较函数值大小.9、C【解析】
由题意,逐步分析循环中各变量的值的变化情况,即可得解.【详解】由题意运行程序可得:,,,;,,,;,,,;不成立,此时输出.故选:C.【点睛】本题考查了程序框图,只需在理解程序框图的前提下细心计算即可,属于基础题.10、B【解析】
结合求得的值,由此化简所求表达式,求得表达式的值.【详解】由,以及,解得..故选:B【点睛】本小题主要考查利用同角三角函数的基本关系式化简求值,考查二倍角公式,属于中档题.11、A【解析】
根据向量共线的性质依次判断充分性和必要性得到答案.【详解】若,则与共线,且方向相同,充分性;当与共线,方向相反时,,故不必要.故选:.【点睛】本题考查了向量共线,充分不必要条件,意在考查学生的推断能力.12、A【解析】
先求出,再求焦点坐标,最后求的斜率【详解】解:抛物线经过点,,,,故选:A【点睛】考查抛物线的基础知识及斜率的运算公式,基础题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、或1【解析】
利用导数的几何意义,可得切线的斜率,以及切线方程,求得切线与轴和的交点,由三角形的面积公式可得所求值.【详解】的导数为,可得切线的斜率为3,切线方程为,可得,可得切线与轴的交点为,,切线与的交点为,可得,解得或。【点睛】本题主要考查利用导数求切线方程,以及直线方程的运用,三角形的面积求法。14、40【解析】
先求出的展开式的通项,再求出即得解.【详解】设的展开式的通项为,令r=3,则,令r=2,则,所以展开式中含x3y3的项为.所以x3y3的系数为40.故答案为:40【点睛】本题主要考查二项式定理求指定项的系数,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.15、13【解析】根据题意得到:a=0,b=1,i=2A=1,b=2,i=4,A=3,b=5,i=6,A=8,b=13,i=8不满足条件,故得到此时输出的b值为13.故答案为13.16、【解析】
要使函数有意义,需满足,即,解得,故函数的定义域是.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)(2)见解析【解析】
(1)直接求出直线方程,与椭圆方程联立求出点坐标,从而可得直线方程,得其与轴交点坐标;(2)设,则,求出直线和的方程,从而求得两直线的交点坐标,证明此交点在椭圆上,即此点坐标适合椭圆方程.代入验证即可.注意分和说明.【详解】解:本题考查直线与椭圆的位置关系的综合,(1)由题知,,则.因为,所以,则直线的方程为,联立,可得故.则,直线的方程为.令,得,故直线与轴的交点坐标为.(2)证明:因为,,所以.设点,则.设当时,设,则,此时直线与轴垂直,其直线方程为,直线的方程为,即.在方程中,令,得,得交点为,显然在椭圆上.同理当时,交点也在椭圆上.当时,可设直线的方程为,即.直线的方程为,联立方程,消去得,化简并解得.将代入中,化简得.所以两直线的交点为.因为,又因为,所以,则,所以点在椭圆上.综上所述,直线与直线的交点在椭圆上.【点睛】本题考查直线与椭圆相交问题,解题方法是解析几何的基本方程,求出直线方程,解方程组求出交点坐标,代入曲线方程验证点在曲线.本题考查了学生的运算求解能力.18、(Ⅰ);(Ⅱ).【解析】
(I)零点分段法,分,,讨论即可;(II),分,,三种情况讨论.【详解】原不等式即.当时,化简得.解得;当时,化简得.此时无解;当时,化简得.解得.综上,原不等式的解集为由题意,设方程两根为.当时,方程等价于方程.易知当,方程在上有两个不相等的实数根.此时方程在上无解.满足条件.当时,方程等价于方程,此时方程在上显然没有两个不相等的实数根.当时,易知当,方程在上有且只有一个实数根.此时方程在上也有一个实数根.满足条件.综上,实数的取值范围为.【点睛】本题考查解绝对值不等式以及方程根的个数求参数范围,考查学生的运算能力,是一道中档题.19、(Ⅰ)见解析;(Ⅱ).【解析】试题分析:(1)取中点,连,,由等边三角形三边合一可知,,即证.(2)以,,为正方向建立空间直角坐标系,由向量法可求得平面与平面所成的锐二面角的余弦值.试题解析:(Ⅰ)证明:连,,则和皆为正三角形.取中点,连,,则,,则平面,则(Ⅱ)由(Ⅰ)知,,又,所以.如图所示,分别以,,为正方向建立空间直角坐标系,则,,,设平面的法向量为,因为,,所以取面的法向量取,则,平面与平面所成的锐二面角的余弦值.20、(1)(2)【解析】
本题主要考查了等比数列的通项公式的求解,数列求和的错位相减求和是数列求和中的重点与难点,要注意掌握.(1)设等比数列{an}的公比为q,则q+q2=6,解方程可求q(2)由(1)可求an=a1•qn-1=2n-1,结合数列的特点,考虑利用错位相减可求数列的和解:(1)(2),两式相减:21、(1);(2).【解析】
(1)把代入已知条件,得到关于的方程,得到的值,从而得到的值.(2)由(1)中得到的的值和已
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