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文档简介
2025届江苏省宿迁市沭阳县华冲高中高三压轴卷数学试卷注意事项1.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回.2.答题前,请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.4.作答选择题,必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑;如需改动,请用橡皮擦干净后,再选涂其他答案.作答非选择题,必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律无效.5.如需作图,须用2B铅笔绘、写清楚,线条、符号等须加黑、加粗.一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知函数,若时,恒成立,则实数的值为()A. B. C. D.2.若函数在时取得极值,则()A. B. C. D.3.已知向量,满足,在上投影为,则的最小值为()A. B. C. D.4.直线x-3y+3=0经过椭圆x2a2+y2bA.3-1 B.3-12 C.5.如图所示点是抛物线的焦点,点、分别在抛物线及圆的实线部分上运动,且总是平行于轴,则的周长的取值范围是()A. B. C. D.6.有一改形塔几何体由若千个正方体构成,构成方式如图所示,上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点.已知最底层正方体的棱长为8,如果改形塔的最上层正方体的边长小于1,那么该塔形中正方体的个数至少是()A.8 B.7 C.6 D.47.已知等差数列中,,则()A.20 B.18 C.16 D.148.定义在上的奇函数满足,若,,则()A. B.0 C.1 D.29.执行如图所示的程序框图,若输出的值为8,则框图中①处可以填().A. B. C. D.10.已知集合,,则集合子集的个数为()A. B. C. D.11.一物体作变速直线运动,其曲线如图所示,则该物体在间的运动路程为()m.A.1 B. C. D.212.已知向量,则向量在向量方向上的投影为()A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知向量,满足,,且已知向量,的夹角为,,则的最小值是__.14.在矩形中,,为的中点,将和分别沿,翻折,使点与重合于点.若,则三棱锥的外接球的表面积为_____.15.设函数,则______.16.从一箱产品中随机地抽取一件,设事件抽到一等品,事件抽到二等品,事件抽到三等品,且已知,,,则事件“抽到的产品不是一等品”的概率为________三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)在中,.(Ⅰ)求角的大小;(Ⅱ)若,,求的值.18.(12分)如图,已知在三棱锥中,平面,分别为的中点,且.(1)求证:;(2)设平面与交于点,求证:为的中点.19.(12分)选修4-5:不等式选讲已知函数的最大值为3,其中.(1)求的值;(2)若,,,求证:20.(12分)已知函数,,(1)讨论的单调性;(2)若在定义域内有且仅有一个零点,且此时恒成立,求实数m的取值范围.21.(12分)已知抛物线的顶点为原点,其焦点关于直线的对称点为,且.若点为的准线上的任意一点,过点作的两条切线,其中为切点.(1)求抛物线的方程;(2)求证:直线恒过定点,并求面积的最小值.22.(10分)某广告商租用了一块如图所示的半圆形封闭区域用于产品展示,该封闭区域由以为圆心的半圆及直径围成.在此区域内原有一个以为直径、为圆心的半圆形展示区,该广告商欲在此基础上,将其改建成一个凸四边形的展示区,其中、分别在半圆与半圆的圆弧上,且与半圆相切于点.已知长为40米,设为.(上述图形均视作在同一平面内)(1)记四边形的周长为,求的表达式;(2)要使改建成的展示区的面积最大,求的值.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】
通过分析函数与的图象,得到两函数必须有相同的零点,解方程组即得解.【详解】如图所示,函数与的图象,因为时,恒成立,于是两函数必须有相同的零点,所以,解得.故选:D【点睛】本题主要考查函数的图象的综合应用和函数的零点问题,考查不等式的恒成立问题,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.2、D【解析】
对函数求导,根据函数在时取得极值,得到,即可求出结果.【详解】因为,所以,又函数在时取得极值,所以,解得.故选D【点睛】本题主要考查导数的应用,根据函数的极值求参数的问题,属于常考题型.3、B【解析】
根据在上投影为,以及,可得;再对所求模长进行平方运算,可将问题转化为模长和夹角运算,代入即可求得.【详解】在上投影为,即又本题正确选项:【点睛】本题考查向量模长的运算,对于含加减法运算的向量模长的求解,通常先求解模长的平方,再开平方求得结果;解题关键是需要通过夹角取值范围的分析,得到的最小值.4、A【解析】
由直线x-3y+3=0过椭圆的左焦点F,得到左焦点为再由FC=2CA,求得A3【详解】由题意,直线x-3y+3=0经过椭圆的左焦点F,令所以c=3,即椭圆的左焦点为F(-3,0)直线交y轴于C(0,1),所以,OF=因为FC=2CA,所以FA=3又由点A在椭圆上,得3a由①②,可得4a2-24所以e2所以椭圆的离心率为e=3故选A.【点睛】本题考查了椭圆的几何性质——离心率的求解,其中求椭圆的离心率(或范围),常见有两种方法:①求出a,c,代入公式e=ca;②只需要根据一个条件得到关于a,b,c的齐次式,转化为a,c的齐次式,然后转化为关于e的方程,即可得5、B【解析】
根据抛物线方程求得焦点坐标和准线方程,结合定义表示出;根据抛物线与圆的位置关系和特点,求得点横坐标的取值范围,即可由的周长求得其范围.【详解】抛物线,则焦点,准线方程为,根据抛物线定义可得,圆,圆心为,半径为,点、分别在抛物线及圆的实线部分上运动,解得交点横坐标为2.点、分别在两个曲线上,总是平行于轴,因而两点不能重合,不能在轴上,则由圆心和半径可知,则的周长为,所以,故选:B.【点睛】本题考查了抛物线定义、方程及几何性质的简单应用,圆的几何性质应用,属于中档题.6、A【解析】
则从下往上第二层正方体的棱长为:,从下往上第三层正方体的棱长为:,从下往上第四层正方体的棱长为:,以此类推,能求出改形塔的最上层正方体的边长小于1时该塔形中正方体的个数的最小值的求法.【详解】最底层正方体的棱长为8,则从下往上第二层正方体的棱长为:,从下往上第三层正方体的棱长为:,从下往上第四层正方体的棱长为:,从下往上第五层正方体的棱长为:,从下往上第六层正方体的棱长为:,从下往上第七层正方体的棱长为:,从下往上第八层正方体的棱长为:,∴改形塔的最上层正方体的边长小于1,那么该塔形中正方体的个数至少是8.故选:A.【点睛】本小题主要考查正方体有关计算,属于基础题.7、A【解析】
设等差数列的公差为,再利用基本量法与题中给的条件列式求解首项与公差,进而求得即可.【详解】设等差数列的公差为.由得,解得.所以.故选:A【点睛】本题主要考查了等差数列的基本量求解,属于基础题.8、C【解析】
首先判断出是周期为的周期函数,由此求得所求表达式的值.【详解】由已知为奇函数,得,而,所以,所以,即的周期为.由于,,,所以,,,.所以,又,所以.故选:C【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性和周期性,属于基础题.9、C【解析】
根据程序框图写出几次循环的结果,直到输出结果是8时.【详解】第一次循环:第二次循环:第三次循环:第四次循环:第五次循环:第六次循环:第七次循环:第八次循环:所以框图中①处填时,满足输出的值为8.故选:C【点睛】此题考查算法程序框图,根据循环条件依次写出每次循环结果即可解决,属于简单题目.10、B【解析】
首先求出,再根据含有个元素的集合有个子集,计算可得.【详解】解:,,,子集的个数为.故选:.【点睛】考查列举法、描述法的定义,以及交集的运算,集合子集个数的计算公式,属于基础题.11、C【解析】
由图像用分段函数表示,该物体在间的运动路程可用定积分表示,计算即得解【详解】由题中图像可得,由变速直线运动的路程公式,可得.所以物体在间的运动路程是.故选:C【点睛】本题考查了定积分的实际应用,考查了学生转化划归,数形结合,数学运算的能力,属于中档题.12、A【解析】
投影即为,利用数量积运算即可得到结论.【详解】设向量与向量的夹角为,由题意,得,,所以,向量在向量方向上的投影为.故选:A.【点睛】本题主要考察了向量的数量积运算,难度不大,属于基础题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】
求的最小值可以转化为求以AB为直径的圆到点O的最小距离,由此即可得到本题答案.【详解】如图所示,设,由题,得,又,所以,则点C在以AB为直径的圆上,取AB的中点为M,则,设以AB为直径的圆与线段OM的交点为E,则的最小值是,因为,又,所以的最小值是.故答案为:【点睛】本题主要考查向量的综合应用问题,涉及到圆的相关知识与余弦定理,考查学生的分析问题和解决问题的能力,体现了数形结合的数学思想.14、.【解析】
计算外接圆的半径,并假设外接球的半径为R,可得球心在过外接圆圆心且垂直圆面的垂线上,然后根据面,即可得解.【详解】由题意可知,,所以可得面,设外接圆的半径为,由正弦定理可得,即,,设三棱锥外接球的半径,因为外接球的球心为过底面圆心垂直于底面的直线与中截面的交点,则,所以外接球的表面积为.故答案为:.【点睛】本题考查三棱锥的外接球的应用,属于中档题.15、【解析】
由自变量所在定义域范围,代入对应解析式,再由对数加减法运算法则与对数恒等式关系分别求值再相加,即为答案.【详解】因为函数,则因为,则故故答案为:【点睛】本题考查分段函数求值,属于简单题.16、0.35【解析】
根据对立事件的概率和为1,结合题意,即可求出结果来.【详解】解:由题意知本题是一个对立事件的概率,抽到的不是一等品的对立事件是抽到一等品,,抽到不是一等品的概率是,故答案为:.【点睛】本题考查了求互斥事件与对立事件的概率的应用问题,属于基础题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1);(2).【解析】试题分析:(1)由正弦定理得到.消去公因式得到所以.进而得到角A;(2)结合三角形的面积公式,和余弦定理得到,联立两式得到.解析:(I)因为,所以,由正弦定理,得.又因为,,所以.又因为,所以.(II)由,得,由余弦定理,得,即,因为,解得.因为,所以.18、(1)证明见解析;(2)证明见解析.【解析】
(1)要做证明,只需证明平面即可;(2)易得∥平面,平面,利用线面平行的性质定理即可得到∥,从而获得证明【详解】证明:(1)因为平面,平面,所以.因为,所以.又因为,平面,平面,所以平面.又因为平面,所以.(2)因为平面与交于点,所以平面.因为分别为的中点,所以∥.又因为平面,平面,所以∥平面.又因为平面,平面平面,所以∥,又因为是的中点,所以为的中点.【点睛】本题考查线面垂直的判定定理以及线面平行的性质定理,考查学生的逻辑推理能力,是一道容易题.19、(1)(2)见解析【解析】
(1)分三种情况去绝对值,求出最大值与已知最大值相等列式可解得;(2)将所证不等式转化为2ab≥1,再构造函数利用导数判断单调性求出最小值可证.【详解】(1)∵,∴.∴当时,取得最大值.∴.(2)由(Ⅰ),得,.∵,当且仅当时等号成立,∴.令,.则在上单调递减.∴.∴当时,.∴.【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法,属中档题.本题主要考查了绝对值不等式的求解,以及不等式的恒成立问题,其中解答中根据绝对值的定义,合理去掉绝对值号,及合理转化恒成立问题是解答本题的关键,着重考查分析问题和解答问题的能力,以及转化思想的应用.20、(1)时,在上单调递增,时,在上递减,在上递增.(2).【解析】
(1)求出导函数,分类讨论,由确定增区间,由确定减区间;(2)由,利用(1)首先得或,求出的最小值即可得结论.【详解】(1)函数定义域是,,当时,,单调递增;时,令得,时,,递减,时,,递增,综上所述,时,在上单调递增,时,在上递减,在上递增.(2)易知,由函数单调性,若有唯一零点,则或.当时,,,从而只需时,恒成立,即,令,,在上递减,在上递增,∴,从而.时,,,令,由,知在递减,在上递增,,∴.综上所述,的取值范围是.【点睛】本题考查用导数研究函数的单调性,考查函数零点个数与不等式恒成立问题,解题关键在于转化,不等式恒成立问题通常转化为求函数
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