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文档简介
北京市西城区第四十四中学2025届高三下学期第五次调研考试数学试题请考生注意:1.请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上,请用0.5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2.答题前,认真阅读答题纸上的《注意事项》,按规定答题。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.为了得到函数的图象,只需把函数的图象上所有的点()A.向左平移个单位长度 B.向右平移个单位长度C.向左平移个单位长度 D.向右平移个单位长度2.若的展开式中二项式系数和为256,则二项式展开式中有理项系数之和为()A.85 B.84 C.57 D.563.函数的图象大致为()A. B.C. D.4.若圆锥轴截面面积为,母线与底面所成角为60°,则体积为()A. B. C. D.5.执行如图所示的程序框图,若输入的,则输出的()A.9 B.31 C.15 D.636.已知角的终边经过点,则的值是A.1或 B.或 C.1或 D.或7.陀螺是中国民间较早的娱乐工具之一,但陀螺这个名词,直到明朝刘侗、于奕正合撰的《帝京景物略》一书中才正式出现.如图所示的网格纸中小正方形的边长均为1,粗线画出的是一个陀螺模型的三视图,则该陀螺模型的表面积为()A. B.C. D.8.如图,在四边形中,,,,,,则的长度为()A. B.C. D.9.执行如图所示的程序框图后,输出的值为5,则的取值范围是().A. B. C. D.10.已知且,函数,若,则()A.2 B. C. D.11.著名的斐波那契数列:1,1,2,3,5,8,…,满足,,,若,则()A.2020 B.4038 C.4039 D.404012.已知函数,其中,记函数满足条件:为事件,则事件发生的概率为A. B.C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知实数x,y满足(2x-y)2+4y14.从编号为,,,的张卡片中随机抽取一张,放回后再随机抽取一张,则第二次抽得的卡片上的数字能被第一次抽得的卡片上数字整除的概率为_____________.15.内角,,的对边分别为,,,若,则__________.16.安排名男生和名女生参与完成项工作,每人参与一项,每项工作至少由名男生和名女生完成,则不同的安排方式共有________种(用数字作答).三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)设直线与抛物线交于两点,与椭圆交于两点,设直线(为坐标原点)的斜率分别为,若.(1)证明:直线过定点,并求出该定点的坐标;(2)是否存在常数,满足?并说明理由.18.(12分)已知数列满足,等差数列满足,(1)分别求出,的通项公式;(2)设数列的前n项和为,数列的前n项和为证明:.19.(12分)已知椭圆C:()的左、右焦点分别为,,离心率为,且过点.(1)求椭圆C的方程;(2)过左焦点的直线l与椭圆C交于不同的A,B两点,若,求直线l的斜率k.20.(12分)已知抛物线C:x24py(p为大于2的质数)的焦点为F,过点F且斜率为k(k0)的直线交C于A,B两点,线段AB的垂直平分线交y轴于点E,抛物线C在点A,B处的切线相交于点G.记四边形AEBG的面积为S.(1)求点G的轨迹方程;(2)当点G的横坐标为整数时,S是否为整数?若是,请求出所有满足条件的S的值;若不是,请说明理由.21.(12分)已知椭圆,点,点满足(其中为坐标原点),点在椭圆上.(1)求椭圆的标准方程;(2)设椭圆的右焦点为,若不经过点的直线与椭圆交于两点.且与圆相切.的周长是否为定值?若是,求出定值;若不是,请说明理由.22.(10分)已知函数.(1)求函数的单调区间;(2)当时,如果方程有两个不等实根,求实数t的取值范围,并证明.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】
通过变形,通过“左加右减”即可得到答案.【详解】根据题意,故只需把函数的图象上所有的点向右平移个单位长度可得到函数的图象,故答案为D.【点睛】本题主要考查三角函数的平移变换,难度不大.2、A【解析】
先求,再确定展开式中的有理项,最后求系数之和.【详解】解:的展开式中二项式系数和为256故,要求展开式中的有理项,则则二项式展开式中有理项系数之和为:故选:A【点睛】考查二项式的二项式系数及展开式中有理项系数的确定,基础题.3、A【解析】
根据函数的奇偶性和单调性,排除错误选项,从而得出正确选项.【详解】因为,所以是偶函数,排除C和D.当时,,,令,得,即在上递减;令,得,即在上递增.所以在处取得极小值,排除B.故选:A【点睛】本小题主要考查函数图像的识别,考查利用导数研究函数的单调区间和极值,属于中档题.4、D【解析】
设圆锥底面圆的半径为,由轴截面面积为可得半径,再利用圆锥体积公式计算即可.【详解】设圆锥底面圆的半径为,由已知,,解得,所以圆锥的体积.故选:D【点睛】本题考查圆锥的体积的计算,涉及到圆锥的定义,是一道容易题.5、B【解析】
根据程序框图中的循环结构的运算,直至满足条件退出循环体,即可得出结果.【详解】执行程序框;;;;;,满足,退出循环,因此输出,故选:B.【点睛】本题考查循环结构输出结果,模拟程序运行是解题的关键,属于基础题.6、B【解析】
根据三角函数的定义求得后可得结论.【详解】由题意得点与原点间的距离.①当时,,∴,∴.②当时,,∴,∴.综上可得的值是或.故选B.【点睛】利用三角函数的定义求一个角的三角函数值时需确定三个量:角的终边上任意一个异于原点的点的横坐标x,纵坐标y,该点到原点的距离r,然后再根据三角函数的定义求解即可.7、C【解析】
根据三视图可知,该几何体是由两个圆锥和一个圆柱构成,由此计算出陀螺的表面积.【详解】最上面圆锥的母线长为,底面周长为,侧面积为,下面圆锥的母线长为,底面周长为,侧面积为,没被挡住的部分面积为,中间圆柱的侧面积为.故表面积为,故选C.【点睛】本小题主要考查中国古代数学文化,考查三视图还原为原图,考查几何体表面积的计算,属于基础题.8、D【解析】
设,在中,由余弦定理得,从而求得,再由由正弦定理得,求得,然后在中,用余弦定理求解.【详解】设,在中,由余弦定理得,则,从而,由正弦定理得,即,从而,在中,由余弦定理得:,则.故选:D【点睛】本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用,还考查了数形结合的思想和运算求解的能力,属于中档题.9、C【解析】
框图的功能是求等比数列的和,直到和不满足给定的值时,退出循环,输出n.【详解】第一次循环:;第二次循环:;第三次循环:;第四次循环:;此时满足输出结果,故.故选:C.【点睛】本题考查程序框图的应用,建议数据比较小时,可以一步一步的书写,防止错误,是一道容易题.10、C【解析】
根据分段函数的解析式,知当时,且,由于,则,即可求出.【详解】由题意知:当时,且由于,则可知:,则,∴,则,则.即.故选:C.【点睛】本题考查分段函数的应用,由分段函数解析式求自变量.11、D【解析】
计算,代入等式,根据化简得到答案.【详解】,,,故,,故.故选:.【点睛】本题考查了斐波那契数列,意在考查学生的计算能力和应用能力.12、D【解析】
由得,分别以为横纵坐标建立如图所示平面直角坐标系,由图可知,.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、2【解析】
直接利用柯西不等式得到答案.【详解】根据柯西不等式:2x-y2+4y当2x-y=2y,即x=328故答案为:2.【点睛】本题考查了柯西不等式求最值,也可以利用均值不等式,三角换元求得答案.14、【解析】
基本事件总数,第二次抽得的卡片上的数字能被第一次抽得的卡片上数字的基本事件有8个,由此能求出概率.【详解】解:从编号为,,,的张卡片中随机抽取一张,放回后再随机抽取一张,基本事件总数,第二次抽得的卡片上的数字能被第一次抽得的卡片上数字的基本事件有8个,分别为:,,,,,,,.所以第二次抽得的卡片上的数字能被第一次抽得的卡片上数字整除的概率为.故答案为.【点睛】本题考查概率的求法,考查古典概型、列举法等基础知识,属于基础题.15、【解析】∵,∴,即,∴,∴.16、1296【解析】
先从4个男生选2个一组,将4人分成三组,然后从4个女生选2个一组,将4人分成三组,然后全排列即可.【详解】由于每项工作至少由名男生和名女生完成,则先从4个男生选2个一组,将4人分成三组,所以男生的排法共有,同理女生的排法共有,故不同的安排共有种.故答案为:1296【点睛】本题主要考查了排列组合的应用,考查了学生应用数学解决实际问题的能力.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)证明见解析(0,2);(2)存在,理由见解析【解析】
(1)设直线l的方程为y=kx+b代入抛物线的方程,利用OA⊥OB,求出b,即可知直线过定点(2)由斜率公式分别求出,,联立直线与抛物线,椭圆,再由根与系数的关系得,,,代入,,化简即可求解.【详解】(1)证明:由题知,直线l的斜率存在且不过原点,故设由可得,.,,故所以直线l的方程为故直线l恒过定点.(2)由(1)知设由可得,,即存在常数满足题意.【点睛】本题主要考查了直线与抛物线、椭圆的位置关系,直线过定点问题,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.18、(1)(2)证明见解析【解析】
(1)因为,所以,所以,即,又因为,所以数列为等差数列,且公差为1,首项为1,则,即.设的公差为,则,所以(),则(),所以,因此,综上,.(2)设数列的前n项和为,则两式相减得,所以,设则,所以.19、(1)(2)直线l的斜率为或【解析】
(1)根据已知列出方程组即可解得椭圆方程;(2)设直线方程,与椭圆方程联立,转化为,借助向量的数量积的坐标表示,及韦达定理即可求得结果.【详解】(1)由题意得解得故椭圆C的方程为.(2)直线l的方程为,设,,则由方程组消去y得,,所以,,由,得,所以,又所以,即所以,因此,直线l的斜率为或.【点睛】本题考查椭圆的标准方程,考查直线和椭圆的位置关系,考查学生的计算求解能力,难度一般.20、(1)(2)当G点横坐标为整数时,S不是整数.【解析】
(1)先求解导数,得出切线方程,联立方程得出交点G的轨迹方程;(2)先求解弦长,再分别求解点到直线的距离,表示出四边形的面积,结合点G的横坐标为整数进行判断.【详解】(1)设,则,抛物线C的方程可化为,则,所以曲线C在点A处的切线方程为,在点B处的切线方程为,因为两切线均过点G,所以,所以A,B两点均在直线上,所以直线AB的方程为,又因为直线AB过点F(0,p),所以,即G点轨迹方程为;(2)设点G(,),由(1)可知,直线AB的方程为,即,将直线AB的方程与抛物线联立,,整理得,所以,,解得,因为直线AB的斜率,所以,且,线段AB的中点为M,所以直线EM的方程为:,所以E点坐标为(0,),直线AB的方程整理得,则G到AB的距离,则E到AB的距离,所以,设,因为p是质数,且为整数,所以或,当时,,是无理数,不符题意,当时,,因为当时,,即是无理数,所以不符题意,当时,是无理数,不符题意,综上,当G点横坐标为整数时,S不是整数.【点睛】本题主要考查直线与抛物线的位置关系,抛物线中的切线问题通常借助导数来求解,四边形的面积问题一般转化为三角形的面积和问题,表示出面积的表达式是求解的关键,侧重考查数学运算的核心素养.21、(1)(2)是,【解析】
(1)设,根据条件可求出的坐标,再利用在椭圆上,代入椭圆方程求出即可;(2)设运用勾股定理和点满足椭圆方程,求出,,再利用焦半径公式表示出,进而求出周长为定值.【详解】(1)设,因为,即则,即,因为均在上,代入得,解得,所以椭圆的方程为;(2)由(1)得,作出示意图,设切点为,则,同理即,所以,又,则的周长,所以周长为定值.【点睛】标准方程的求解,椭圆中的定值问题,考查焦半径公式的运用,考查逻辑推理能力和运算求解能力,难度较难.22、(1)当时,的单调递增区间是,单调递减区间是;当时,的单调递增区间是,单调递减区间是;(2),证明见解析.【解析】
(1)求出,对分类讨论,分别求出的解,即可得出结论;(2)由(1)得出有两解时的范围,以及关系,将,等价转化为证明,不妨设,令,则,即证,构造函数,只要证明对于任意恒成立
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