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2025届柳州铁路第一中学高考冲刺数学模拟试题注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘贴在条形码区域内。2.答题时请按要求用笔。3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试卷上答题无效。4.作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5.保持卡面清洁,不要折暴、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中,P为A1D1的中点,若三棱锥P−ABC的四个顶点都在球O的球面上,则球O的表面积为()A.12 B. C. D.102.幻方最早起源于我国,由正整数1,2,3,……,这个数填入方格中,使得每行、每列、每条对角线上的数的和相等,这个正方形数阵就叫阶幻方.定义为阶幻方对角线上所有数的和,如,则()A.55 B.500 C.505 D.50503.已知函数,对任意的,,当时,,则下列判断正确的是()A. B.函数在上递增C.函数的一条对称轴是 D.函数的一个对称中心是4.已知,若方程有唯一解,则实数的取值范围是()A. B.C. D.5.已知全集,函数的定义域为,集合,则下列结论正确的是A. B.C. D.6.在中,已知,,,为线段上的一点,且,则的最小值为()A. B. C. D.7.若数列为等差数列,且满足,为数列的前项和,则()A. B. C. D.8.某四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥的表面积为()A.8 B. C. D.9.已知命题若,则,则下列说法正确的是()A.命题是真命题B.命题的逆命题是真命题C.命题的否命题是“若,则”D.命题的逆否命题是“若,则”10.设集合,集合,则=()A. B. C. D.R11.已知全集,集合,则()A. B. C. D.12.已知定义在上的函数,若函数为偶函数,且对任意,,都有,若,则实数的取值范围是()A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.函数在上的最小值和最大值分别是_____________.14.在平面直角坐标系xOy中,已知双曲线(a>0)的一条渐近线方程为,则a=_______.15.对任意正整数,函数,若,则的取值范围是_________;若不等式恒成立,则的最大值为_________.16.根据记载,最早发现勾股定理的人应是我国西周时期的数学家商高,商高曾经和周公讨论过“勾3股4弦5”的问题.现有满足“勾3股4弦5”,其中“股”,为“弦”上一点(不含端点),且满足勾股定理,则______.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)2019年12月以来,湖北省武汉市持续开展流感及相关疾病监测,发现多起病毒性肺炎病例,均诊断为病毒性肺炎/肺部感染,后被命名为新型冠状病毒肺炎(CoronaVirusDisease2019,COVID—19),简称“新冠肺炎”.下图是2020年1月15日至1月24日累计确诊人数随时间变化的散点图.为了预测在未釆取强力措施下,后期的累计确诊人数,建立了累计确诊人数y与时间变量t的两个回归模型,根据1月15日至1月24日的数据(时间变量t的值依次1,2,…,10)建立模型和.(1)根据散点图判断,与哪一个适宜作为累计确诊人数y与时间变量t的回归方程类型?(给出判断即可,不必说明理由)(2根据(1)的判断结果及附表中数据,建立y关于x的回归方程;(3)以下是1月25日至1月29日累计确诊人数的真实数据,根据(2)的结果回答下列问题:时间1月25日1月26日1月27日1月28日1月29日累计确诊人数的真实数据19752744451559747111(ⅰ)当1月25日至1月27日这3天的误差(模型预测数据与真实数据差值的绝对值与真实数据的比值)都小于0.1则认为模型可靠,请判断(2)的回归方程是否可靠?(ⅱ)2020年1月24日在人民政府的强力领导下,全国人民共同采取了强力的预防“新冠肺炎”的措施,若采取措施5天后,真实数据明显低于预测数据,则认为防护措施有效,请判断预防措施是否有效?附:对于一组数据(,,……,,其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为,.参考数据:其中,.5.53901938576403152515470010015022533850718.(12分)已知函数.(1)若,求的取值范围;(2)若,对,不等式恒成立,求的取值范围.19.(12分)已知函数.(1)求不等式的解集;(2)若关于的不等式在上恒成立,求实数的取值范围.20.(12分)已知函数,.(1)当时,判断是否是函数的极值点,并说明理由;(2)当时,不等式恒成立,求整数的最小值.21.(12分)曲线的参数方程为(为参数),以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.(1)求曲线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程;(2)过原点且倾斜角为的射线与曲线分别交于两点(异于原点),求的取值范围.22.(10分)在四棱柱中,底面为正方形,,平面.(1)证明:平面;(2)若,求二面角的余弦值.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】
取B1C1的中点Q,连接PQ,BQ,CQ,PD,则三棱柱BCQ−ADP为直三棱柱,此直三棱柱和三棱锥P−ABC有相同的外接球,求出等腰三角形的外接圆半径,然后利用勾股定理可求出外接球的半径【详解】如图,取B1C1的中点Q,连接PQ,BQ,CQ,PD,则三棱柱BCQ−ADP为直三棱柱,所以该直三棱柱的六个顶点都在球O的球面上,的外接圆直径为,球O的半径R满足,所以球O的表面积S=4πR2=,故选:C.【点睛】此题考查三棱锥的外接球半径与棱长的关系,及球的表面积公式,解题时要注意审题,注意空间思维能力的培养,属于中档题.2、C【解析】
因为幻方的每行、每列、每条对角线上的数的和相等,可得,即得解.【详解】因为幻方的每行、每列、每条对角线上的数的和相等,所以阶幻方对角线上数的和就等于每行(或每列)的数的和,又阶幻方有行(或列),因此,,于是.故选:C【点睛】本题考查了数阵问题,考查了学生逻辑推理,数学运算的能力,属于中档题.3、D【解析】
利用辅助角公式将正弦函数化简,然后通过题目已知条件求出函数的周期,从而得到,即可求出解析式,然后利用函数的性质即可判断.【详解】,又,即,有且仅有满足条件;又,则,,函数,对于A,,故A错误;对于B,由,解得,故B错误;对于C,当时,,故C错误;对于D,由,故D正确.故选:D【点睛】本题考查了简单三角恒等变换以及三角函数的性质,熟记性质是解题的关键,属于基础题.4、B【解析】
求出的表达式,画出函数图象,结合图象以及二次方程实根的分布,求出的范围即可.【详解】解:令,则,则,故,如图示:由,得,函数恒过,,由,,可得,,,若方程有唯一解,则或,即或;当即图象相切时,根据,,解得舍去),则的范围是,故选:.【点睛】本题考查函数的零点问题,考查函数方程的转化思想和数形结合思想,属于中档题.5、A【解析】
求函数定义域得集合M,N后,再判断.【详解】由题意,,∴.故选A.【点睛】本题考查集合的运算,解题关键是确定集合中的元素.确定集合的元素时要注意代表元形式,集合是函数的定义域,还是函数的值域,是不等式的解集还是曲线上的点集,都由代表元决定.6、A【解析】
在中,设,,,结合三角形的内角和及和角的正弦公式化简可求,可得,再由已知条件求得,,,考虑建立以所在的直线为轴,以所在的直线为轴建立直角坐标系,根据已知条件结合向量的坐标运算求得,然后利用基本不等式可求得的最小值.【详解】在中,设,,,,即,即,,,,,,,,即,又,,,则,所以,,解得,.以所在的直线为轴,以所在的直线为轴建立如下图所示的平面直角坐标系,则、、,为线段上的一点,则存在实数使得,,设,,则,,,,,消去得,,所以,,当且仅当时,等号成立,因此,的最小值为.故选:A.【点睛】本题是一道构思非常巧妙的试题,综合考查了三角形的内角和定理、两角和的正弦公式及基本不等式求解最值问题,解题的关键是理解是一个单位向量,从而可用、表示,建立、与参数的关系,解决本题的第二个关键点在于由,发现为定值,从而考虑利用基本不等式求解最小值,考查计算能力,属于难题.7、B【解析】
利用等差数列性质,若,则求出,再利用等差数列前项和公式得【详解】解:因为,由等差数列性质,若,则得,.为数列的前项和,则.故选:.【点睛】本题考查等差数列性质与等差数列前项和.(1)如果为等差数列,若,则.(2)要注意等差数列前项和公式的灵活应用,如.8、D【解析】
根据三视图还原几何体为四棱锥,即可求出几何体的表面积.【详解】由三视图知几何体是四棱锥,如图,且四棱锥的一条侧棱与底面垂直,四棱锥的底面是正方形,边长为2,棱锥的高为2,所以,故选:【点睛】本题主要考查了由三视图还原几何体,棱锥表面积的计算,考查了学生的运算能力,属于中档题.9、B【解析】
解不等式,可判断A选项的正误;写出原命题的逆命题并判断其真假,可判断B选项的正误;利用原命题与否命题、逆否命题的关系可判断C、D选项的正误.综合可得出结论.【详解】解不等式,解得,则命题为假命题,A选项错误;命题的逆命题是“若,则”,该命题为真命题,B选项正确;命题的否命题是“若,则”,C选项错误;命题的逆否命题是“若,则”,D选项错误.故选:B.【点睛】本题考查四种命题的关系,考查推理能力,属于基础题.10、D【解析】试题分析:由题,,,选D考点:集合的运算11、D【解析】
根据函数定义域的求解方法可分别求得集合,由补集和交集定义可求得结果.【详解】,,,.故选:.【点睛】本题考查集合运算中的补集和交集运算问题,涉及到函数定义域的求解,属于基础题.12、A【解析】
根据题意,分析可得函数的图象关于对称且在上为减函数,则不等式等价于,解得的取值范围,即可得答案.【详解】解:因为函数为偶函数,所以函数的图象关于对称,因为对任意,,都有,所以函数在上为减函数,则,解得:.即实数的取值范围是.故选:A.【点睛】本题考查函数的对称性与单调性的综合应用,涉及不等式的解法,属于综合题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】
求导,研究函数单调性,分析,即得解【详解】由题意得,,令,解得,令,解得.在上递减,在递增.,而,故在区间上的最小值和最大值分别是.故答案为:【点睛】本题考查了导数在函数最值的求解中的应用,考查了学生综合分析,转化划归,数学运算的能力,属于中档题14、3【解析】
双曲线的焦点在轴上,渐近线为,结合渐近线方程为可求.【详解】因为双曲线(a>0)的渐近线为,且一条渐近线方程为,所以.故答案为:.【点睛】本题主要考查双曲线的渐近线,明确双曲线的焦点位置,写出双曲线的渐近线方程的对应形式是求解的关键,侧重考查数学运算的核心素养.15、【解析】
将代入求解即可;当为奇数时,,则转化为,设,由单调性求得的最小值;同理,当为偶数时,,则转化为,设,利用导函数求得的最小值,进而比较得到的最大值.【详解】由题,,解得.当为奇数时,,由,得,而函数为单调递增函数,所以,所以;当为偶数时,,由,得,设,,单调递增,,所以,综上可知,若不等式恒成立,则的最大值为.故答案为:(1);(2)【点睛】本题考查利用导函数求最值,考查分类讨论思想和转化思想.16、【解析】
先由等面积法求得,利用向量几何意义求解即可.【详解】由等面积法可得,依题意可得,,所以.故答案为:【点睛】本题考查向量的数量积,重点考查向量数量积的几何意义,属于基础题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)适宜(2)(3)(ⅰ)回归方程可靠(ⅱ)防护措施有效【解析】
(1)根据散点图即可判断出结果.(2)设,则,求出,再由回归方程过样本中心点求出,即可求出回归方程.(3)(ⅰ)利用表中数据,计算出误差即可判断回归方程可靠;(ⅱ)当时,,与真实值作比较即可判断有效.【详解】(1)根据散点图可知:适宜作为累计确诊人数与时间变量的回归方程类型;(2)设,则,,,;(3)(ⅰ)时,,,当时,,,当时,,,所以(2)的回归方程可靠:(ⅱ)当时,,10150远大于7111,所以防护措施有效.【点睛】本题考查了函数模型的应用,在求非线性回归方程时,现将非线性的化为线性的,考查了误差的计算以及用函数模型分析数据,属于基础题.18、(1);(2).【解析】
(1)分类讨论,,,即可得出结果;(2)先由题意,将问题转化为即可,再求出,的最小值,解不等式即可得出结果.【详解】(1)由得,若,则,显然不成立;若,则,,即;若,则,即,显然成立,综上所述,的取值范围是.(2)由题意知,要使得不等式恒成立,只需,当时,,所以;因为,所以,解得,结合,所以的取值范围是.【点睛】本题主要考查含绝对值不等式的解法,以及由不等式恒成立求参数的问题,熟记分类讨论的思想、以及绝对值不等式的性质即可,属于常考题型.19、(1)或;(2).【解析】
(1)利用绝对值的几何意义,将不等式,转化为不等式或或求解.(2)根据-2在R上恒成立,由绝对值三角不等式求得的最小值即可.【详解】(1)原不等式等价于或或,解得:或,∴不等式的解集为或.(2)因为-2在R上恒成立,而,所以,解得,所以实数的取值范围是.【点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法和不等式恒成立问题,还考查了运算求解的能力,属于中档题.20、(1)是函数的极大值点,理由详见解析;(2)1.【解析】
(1)将直接代入,对求导得,由于函数单调性不好判断,故而构造函数,继续求导,判断导函数在左右两边的正负情况,最后得出,是函数的极大值点;(2)利用题目已有条件得,再证明时,不等式恒成立,即证,从而可知整数的最小值为1.【详解】解:(1)当时,.令,则当时,.即在内为减函数,且∴当时,;当时,.∴在内是增函数,在内是减函数.综上,是函数的极大值点.(2)由题意,得,即.现证明当时,不等式成立,即.即证令则∴当时,;当时,.∴在内单调递增,在内单调递减,的最大值为.∴当时,.即当时,不等式成立.综上,整数的最小值为.【点睛】本题考查学生利用导数处理函数的极值,最值,判断函数的单调性
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