《机械设计基础》课件-第7章

第7章弯曲7.1平面弯曲的概念7.2平面弯曲梁的内力、内力图7.3纯弯曲时的正应力7.4梁弯曲时的强度计算7.5提高梁抗弯能力的措施7.6梁的刚度概念

7.1平面弯曲的概念

7.1.1弯曲的概念

在机械工程中常遇到发生弯曲变形的构件，如车辆的车轴(图7-1)、桥式起重机的主梁(图7-2)、电动机轴与桥梁等。这类构件受力与变形的主要特点是：在构件轴线平面内承受力偶作用，或受垂直于轴线方向的外力作用，使构件的轴线弯曲成曲线，这种变形形式称为弯曲。以弯曲变形为主要变形的构件，通称为梁。图7-1火车车轴图7-2桥式起重机7.1.2平面弯曲

在工程实际中常见的梁，它们的横截面一般都具有一个对称轴，如图7-3(a)所示。

梁在平面弯曲时，按照支座对梁的约束情况，可将梁简化为如下三种典型形式：

(1)简支梁。

(2)外伸梁。

(3)悬臂梁。图7-3弯曲梁基本概念作用于梁上的载荷，可以简化成三种类型：

(1)集中载荷F：作用于构件上一点的集中力或集中载荷，其单位是N(牛)或kN(千牛)；

(2)集中力偶M：作用于梁某截面内的力偶，其单位是N·m(牛·米)或N·mm(牛·毫米)；

(3)均布载荷q：在梁上一段长度内作用的分布力，载

荷集度不随截面位置变化的称为均布载荷，其单位是N/m

(牛/米)或kN/m(千牛/米)。

7.2平面弯曲梁的内力、内力图

7.2.1梁的内力——剪力和弯矩

为了对梁进行强度和刚度计算，必须首先确定梁在载荷作用下任一横截面上的内力。

例如图7-4所示的简支梁，其上作用的集中载荷F、几何尺寸均已知，求m—m截面的内力。图7-4梁的截面法求内力示例

解采用截面法，以横截面m—m将梁切为左、右两段。由平衡条件可知，在m—m截面上存在一个集中力FQ和一个集中力偶M。集中力使梁产生剪切变形，故称为剪力；集中力偶使梁产生弯曲变形，所以称为弯矩。

(1)利用静力学方法求出梁A、B端的支座反力：

(2)求梁的内力。对于梁的左段，列平衡方程，有

∑Fy=0,

FA－FQ=0

得(1)再以左段横截面形心C为矩心，列平衡方程，有

∑MC=0，Mx－FA·x=0

得弯矩

(2)

对于横截面m—m上的剪力FQ和弯矩M，也可以用同样的方法由梁的右段的平衡方程求得，但方向与由左段求得的相反。为了使由左段或右段求得的同一截面上的剪力和弯矩不但在数值上相等，而且在符号上也相同，将剪力和弯矩的正负符号规定如下：对于所切梁的横截面m—m的微段变形，若使之发生左侧截面向上、右侧截面向下的相对错动，则剪

力为正(图7-5(b))，反之为负；若使横截面m—m处的弯曲变形呈上凹下凸，则弯矩为正(图7-5(c))，反之为负。图7-5梁内力的正负规定

例7-1悬臂梁受均布载荷，如图7-6(a)所示。试求x截面上的剪力和弯矩。

解方法一：

(1)求支座反力。取AB梁为研究对象，画出A端固定约束的约束反力，如图7-6(b)所示。由平衡条件得

(2)求剪力。根据平衡条件，有

∑Fy=0，FAy－FQ－q·x=0

得

FQ=FAy－qx=q(l－x)

(0<x<l)

(3)求弯矩。对界面形心C点取矩，得方法二：

取x截面以右为研究对象，如图7-6(c)所示，求得剪力和弯矩表达式为

得图7-6均布载荷作用下的悬臂梁7.2.2剪力图和弯矩图

由例7-1可以看出，梁横截面上的弯矩一般是随着截面位置而变化的。为了描述其变化规律，用坐标x表示横截面沿梁轴线的位置，将梁各横截面上的剪力和弯矩表示为坐标x的函数，即

FQ=FQ(x)

M=M(x)

以上函数表达式分别称为剪力方程和弯矩方程。

例7-2图7-7(a)所示为简支梁AB，其上受均布载荷q的作用，试画出梁的剪力图和弯矩图。

解

(1)求支座反力。 已知均布载荷合力为q·l，作用在梁的中点，由此得

(2)求剪力。如图7-7(b)所示，有

∑Fy=0,

FA－FQ－qx=0

(0<x<l)图7-7均布载荷作用下的简支梁

(3)求弯矩。取截面形心C为矩心，则有

(4)画剪力图和弯矩图。本例抛物线开口向下，其最大值点在梁跨度中点，即x=l/2处。而在两端点A、B处，即在x=0、x=1处，M=0：

画出弯矩图，如图7-7(d)所示。

例7-3图7-8所示为一长度为l的简支梁，在C点处受集中力F作用，试画该梁的剪力图和弯矩图。图7-8简支梁在集中力作用下的内力图

解

(1)求梁的支座反力:

(2)求剪力。梁被集中力F分为两部分，分别就AC、CB进行计算。

AC段，如图7-8(b)所示，有

∑Fy=0,

FA－FQ1=0

CB段，如图7-8(c)所示，有

(3)求弯矩。同理，AC段，矩心为C1。

CB段，矩心为C2。此处注意x2坐标的方向。这样建立的坐标，是为了求解步骤的简化，并不影响求解的结果。

(4)画出剪力图，如图7-8(d)所示、弯矩图如图7-8(e)所示。

由于在截面C处作用有集中力F，因此剪力图在C点不连续，即AC、CB段在C点不相等；而弯矩图在C点有转折，即AC、CB两段在C点的弯矩相等，即

例7-4图7-9(a)所示为一简支梁，在C点处受到矩为M的集中力偶作用，试画该梁的剪力图和弯矩图。

解

(1)求支座反力。考虑到简支梁受力偶系作用，所以FA、FB构成力偶，如图7-9(a)所示，且图7-9简支梁在力偶作用下的内力图

(2)求剪力、弯矩方程。由于集中力偶作用，梁被分成两段，现分别求解。

AC段：如图7-9(b)所示，剪力方程为

∑Fy=0，FA－FQ1=0

得弯矩方程为

CB段：如图7-9(c)所示，剪力方程为

∑Fy=0，FA－FQ2=0

得弯矩方程为

(3)画剪力图，如图7-9(d)所示，弯矩图如图7-9(e)所示。

7.3纯弯曲时的正应力

7.3.1纯弯曲的概念

一般情况下，梁在发生弯曲变形时，其横截面上既有弯矩又有剪力，这种弯曲变形称为剪切弯曲(也称横力弯曲)。若梁的横截面上只有弯矩而无剪力(剪力为零)，则这类弯曲变形称为纯弯曲。图7-10纯弯曲的概念为了研究纯弯曲梁的变形及横截面上的应力，我们取一矩形截面梁，在梁的侧面画上平行于轴线和垂直于轴线的直线，形成许多正方形的网格，如图7-11(a)所示，然后在梁的两端施加一对矩为M的力偶，使之产生纯弯曲变形，如图

7-11(b)所示。图7-11纯弯曲变形分析由于变形的连续性，在伸长纤维和缩短纤维之间必存在一层既不伸长也不缩短的纤维层，这一纵向纤维层称为中性层，如图7-12中的阴影部分。图7-12中性层与中性轴7.3.2纯弯曲梁横截面上的正应力

为了研究纯弯曲梁横截面上正应力的分布规律，从梁上截取任意微段dx，如图7-13(a)所示(可参看图7-11(a))。

假设变形后如图7-13(b)所示。横截面1—1和2—2变形后仍为平面，但两者形成dθ的夹角；中性层O1O2长度不变，但变成曲线(面)，ρ为其曲率半径。图7-13弯曲应力分析距中性层y处的纵向线(层)a1a2也由直线变为曲线，其绝对变形为

其相对变形(应变)为

(a)式(a)表明：纯弯曲时横截面上各点的纵向线应变ε与各点到中性轴的距离y成正比。将式(a)代入虎克定律表达式σ=Eε，得

(b)

式(b)表明：截面上任一点的正应力与该点到中性轴的距离成正比。在中性轴等远处各点的正应力相等，正应力的分布如图7-14所示。图7-14梁横截面上的正应力分布在中性轴(y＝0处)上各点的正应力为零，在中性轴的两侧，其各点的应力分别为拉应力和压应力。在离中性轴最远处(y=ymax)，产生最大的正应力σmax。

根据正应力的分布规律(图7-14)，可得

或

(c)7.3.3最大正应力的计算公式

横截面上的弯矩M是截面上各部分内力对中性轴z的力矩之和。在图7-15中任意微面积dA上的微内力为σ·dA，它对中性轴z的力矩为σ·dA·y，于是横截面上的弯矩M为

将式(c)代入上式，则有图7-15弯曲正应力与弯矩的关系令

(7-1)

则横截面上的最大弯曲正应力为

(7-2)

式中，M为横截面上的弯矩，ymax为横截面上最远点到中性轴的距离。式中，M为横截面上的弯矩，ymax为横截面上最远点到中性轴的距离。

将式(7-1)可以改写为

(7-3)

式中，

(7-4)7.3.4截面的轴惯性矩Iz和抗弯截面模量Wz

构件的承载能力与截面的几何性质有密切的关系。例如在拉伸与压缩的应力及变形的计算中，要用到横截面面积A；在扭转的应力与变形计算中，要用到横截面对圆心的极惯性矩IP和抗扭截面模量WP。弯曲应力计算中要用到截面的轴惯性矩Iz和抗弯截面模量Wz等几何量。为了便于计算时查用，将常用梁截面的轴惯性矩和抗弯截面模量列于表7-1中。

1.矩形截面惯性矩的计算方法

简单截面图形的惯性矩可以通过积分方法求得。设矩形截面高为h，宽为b，如图7-16所示。取微面积dA=bdy，则图7-16矩形截面惯性矩的计算

2.组合截面的惯性矩

工程实际中梁的截面形状可能很复杂，这些复杂截面通常是由几个简单的截面形状组合构成的。组合截面的中性轴的惯性矩等于各个组成部分的中性轴的惯性矩的代数和。即

(7-5)

3.平行移轴公式

组合截面的中性轴通常并不是截面的对称轴，所以各个组成截面对中性轴的惯性矩需要用到平行移轴公式：

IzC=Iz+A·d2

(7-6)

式中，z为组成部分截面的中性轴，zC为平行于z轴的任一轴，A为截面的面积，d为zC和z之间的距离。上式说明：截面对其任一轴的惯性矩等于它对平行于该轴的形心轴的惯性矩再加上截面面积和两轴距离平方的乘积。

例7-5求如图7-17(a)所示矩形截面对z1轴的惯性矩和图7-17(b)截面对y轴的惯性矩。图7-17矩形截面及偏心圆截面惯性矩求解示例

解

(1)由以上所述(或表7-1查得)，矩形对其通过形心轴z的惯性矩为

矩形面积A=hb，而z1轴平行于z轴且距离为，由平行移轴公式(7-6)得

(2)由表7-1查得，圆形截面对形心轴的惯性矩为镂空部分直径D1=对y轴的惯性矩可由平行移轴公式求得，即

由公式(7-5)可得

7.4梁弯曲时的强度计算

等截面梁弯曲时，最大正应力发生在最大弯矩所在截面上，这一截面称为危险截面。在危险截面上、下边缘处的正应力最大，这些点首先发生破坏，故称为危险点。必须首先保证这些危险点的安全。由于横截面上、下边缘各点处于单向拉伸或压缩状态，因此，应按弯曲正应力建立梁的强度条件：最大弯曲正应力不得超过材料的许用弯曲正应力，即

(7-7)许用弯曲应力的数值可从有关规范中查得。

应该指出，式(7-7)只适用于抗拉和抗压强度相等的材料。对于像铸铁等脆性材料制成的梁，因材料的抗压强度远高于抗拉强度，故其相应强度条件为

σ+max≤［σ+］

(7-8a)

σ－max≤［σ－］

(7-8b)

例7-6如图7-18(a)所示的车轴，已知a=310mm，l=1440mm，F=15.15kN，［σ］=100MPa，若车轴的横截面为圆环形，外径D=100mm，内径d=80mm，试校核车轴的强度。

解

(1)画弯矩图，确定最大弯矩。车轴的力学模型可简化为如图7-18(b)所示的简支梁。其弯矩图如7-18(c)所示，由弯矩图可以看出，最大弯矩发生在CD段。

Mmax=F·a=15.15×103×310

=4696.5×103N·mm

(2)校核车轴的强度。已知车轴为圆环形截面，从表7-1查得其抗弯截面模量为

代入数值，得

Wz=58×103mm3

计算车轴的最大应力，并校核其强度:

车轴的强度足够。图7-18车轴

例7-7如图7-19(a)所示螺旋压板装置，已知压板的许用弯曲应力［σ］=140MPa，a=50mm，试计算压板给工件的最大允许压紧力F。

解

(1)压板简化为简支梁，如图7-19(b)所示，FB即压紧力F。由静力学关系可求得

∑MA=0，FB·3a－FC·2a=0

即图7-19螺旋压板装置

(2)画压板的弯矩图，如图7-19(c)所示。最大弯矩发生在C截面上：

Mmax=FB·a

(3)由强度条件，确定许可载荷。

计算C截面的抗弯截面模量：根据压板的强度条件:

可得

Mmax=FB·a≤［σ］·Wz

故有

压板给工件的最大压紧力不得超过2996N，其方向与FB相反。

7.5提高梁抗弯能力的措施

等直梁上的最大弯曲正应力为

式中，σmax和梁上的最大弯矩M成正比，和抗弯截面模量Wz成反比。提高梁的抗弯能力必须降低弯矩、增大抗弯截面

模量。7.5.1合理布置梁的支座

当梁的尺寸和截面形状已确定时，合理安排梁的支座或增加约束，可以缩小梁的跨度、降低梁上的最大弯矩。如图7-20所示，受均布载荷的简支梁，若能改为两端外伸梁，则梁上的最大弯矩将大为降低。图7-20改变支座位置7.5.2合理布置载荷

当载荷已确定时，合理地布置载荷可以减小梁上的最大弯矩，提高梁的承载能力。例如，图7-21所示桥梁可简化成一简支梁，其额定最大承载能力是载荷在桥中间时的最大值，超出额定载荷的物体要过桥时，采用长平板车将集中载荷分为几个载荷，就能安全过桥。吊车采用副梁可以起吊更重的物体也是这个道理。图7-21拆分集中力比较图7-21(a)、(b)和图7-22的最大弯矩可知，在结构允许的条件下，应尽可能把载荷安排得靠近支座，以降低弯矩的最大值。图7-22移动力的位置7.5.3合理选择梁的截面

1.形状和面积相同的截面，采用不同的放置方式，则Wz值可能不相同

如图7-23所示矩形截面梁(h>b)，竖放时抗弯截面模量大，承载能力强，不易弯曲；而平放时抗弯截面模量小，承载能力差，易弯曲。工字钢、槽钢等梁放置方式不同，其抗弯截面模量不同，承载能力也不同。图7-23矩形截面

2.面积相等而形状不同的截面，其抗弯截面模量不相同

例如，在使用同样多材料时(横截面面积相等)，工字钢和槽钢的抗弯截面模量最大，空心圆截面次之，实心圆截面的抗弯截面模量最小，承载能力最差。

3.截面形状应与材料特性相适应

对抗拉和抗压强度相等的塑性材料，宜采用中性轴对称的截面，如圆