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文档简介
2025届广东省师大附中高考数学二模试卷注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚,将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2.选择题必须使用2B铅笔填涂;非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写,字体工整、笔迹清楚。3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试题卷上答题无效。4.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.函数的图象大致为A. B. C. D.2.抛物线的焦点为F,点为该抛物线上的动点,若点,则的最小值为()A. B. C. D.3.《普通高中数学课程标准(2017版)》提出了数学学科的六大核心素养.为了比较甲、乙两名高二学生的数学核心素养水平,现以六大素养为指标对二人进行了测验,根据测验结果绘制了雷达图(如图,每项指标值满分为5分,分值高者为优),则下面叙述正确的是()A.甲的数据分析素养高于乙B.甲的数学建模素养优于数学抽象素养C.乙的六大素养中逻辑推理最差D.乙的六大素养整体平均水平优于甲4.已知定义在上的函数,,,,则,,的大小关系为()A. B. C. D.5.在中,角所对的边分别为,已知,则()A.或 B. C. D.或6.已知复数为虚数单位),则z的虚部为()A.2 B. C.4 D.7.如图,在三棱锥中,平面,,,,,分别是棱,,的中点,则异面直线与所成角的余弦值为A.0 B. C. D.18.设为等差数列的前项和,若,,则的最小值为()A. B. C. D.9.若实数、满足,则的最小值是()A. B. C. D.10.已知复数(为虚数单位),则下列说法正确的是()A.的虚部为 B.复数在复平面内对应的点位于第三象限C.的共轭复数 D.11.点为的三条中线的交点,且,,则的值为()A. B. C. D.12.某市气象部门根据2018年各月的每天最高气温平均数据,绘制如下折线图,那么,下列叙述错误的是()A.各月最高气温平均值与最低气温平均值总体呈正相关B.全年中,2月份的最高气温平均值与最低气温平均值的差值最大C.全年中各月最低气温平均值不高于10°C的月份有5个D.从2018年7月至12月该市每天最高气温平均值与最低气温平均值呈下降趋势二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.在的二项展开式中,所有项的系数之和为1024,则展开式常数项的值等于_______.14.设函数,若在上的最大值为,则________.15.已知双曲线的两条渐近线方程为,若顶点到渐近线的距离为1,则双曲线方程为.16.若双曲线的离心率为,则双曲线的渐近线方程为______.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知椭圆过点,设椭圆的上顶点为,右顶点和右焦点分别为,,且.(1)求椭圆的标准方程;(2)设直线交椭圆于,两点,设直线与直线的斜率分别为,,若,试判断直线是否过定点?若过定点,求出该定点的坐标;若不过定点,请说明理由.18.(12分)在中,角的对边分别为,且.(1)求角的大小;(2)若函数图象的一条对称轴方程为且,求的值.19.(12分)在四棱锥中,底面为直角梯形,,面.(1)在线段上是否存在点,使面,说明理由;(2)求二面角的余弦值.20.(12分)为了解网络外卖的发展情况,某调查机构从全国各城市中抽取了100个相同等级地城市,分别调查了甲乙两家网络外卖平台(以下简称外卖甲、外卖乙)在今年3月的订单情况,得到外卖甲该月订单的频率分布直方图,外卖乙该月订单的频数分布表,如下图表所示.订单:(单位:万件)频数1223订单:(单位:万件)频数402020102(1)现规定,月订单不低于13万件的城市为“业绩突出城市”,填写下面的列联表,并根据列联表判断是否有90%的把握认为“是否为业绩突出城市”与“选择网络外卖平台”有关.业绩突出城市业绩不突出城市总计外卖甲外卖乙总计(2)由频率分布直方图可以认为,外卖甲今年3月在全国各城市的订单数(单位:万件)近似地服从正态分布,其中近似为样本平均数(同一组数据用该区间的中点值作代表),的值已求出,约为3.64,现把频率视为概率,解决下列问题:①从全国各城市中随机抽取6个城市,记为外卖甲在今年3月订单数位于区间的城市个数,求的数学期望;②外卖甲决定在今年3月订单数低于7万件的城市开展“订外卖,抢红包”的营销活动来提升业绩,据统计,开展此活动后城市每月外卖订单数将提高到平均每月9万件的水平,现从全国各月订单数不超过7万件的城市中采用分层抽样的方法选出100个城市不开展营销活动,若每按一件外卖订单平均可获纯利润5元,但每件外卖平均需送出红包2元,则外卖甲在这100个城市中开展营销活动将比不开展营销活动每月多盈利多少万元?附:①参考公式:,其中.参考数据:0.150.100.050.0250.0100.0012.7022.7063.8415.0246.63510.828②若,则,.21.(12分)已知函数,且曲线在处的切线方程为.(1)求的极值点与极值.(2)当,时,证明:.22.(10分)新高考,取消文理科,实行“”,成绩由语文、数学、外语统一高考成绩和自主选考的3门普通高中学业水平考试等级性考试科目成绩构成.为了解各年龄层对新高考的了解情况,随机调查50人(把年龄在称为中青年,年龄在称为中老年),并把调查结果制成下表:年龄(岁)频数515101055了解4126521(1)分别估计中青年和中老年对新高考了解的概率;(2)请根据上表完成下面列联表,是否有95%的把握判断对新高考的了解与年龄(中青年、中老年)有关?了解新高考不了解新高考总计中青年中老年总计附:.0.0500.0100.0013.8416.63510.828(3)若从年龄在的被调查者中随机选取3人进行调查,记选中的3人中了解新高考的人数为,求的分布列以及.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】
由题可得函数的定义域为,因为,所以函数为奇函数,排除选项B;又,,所以排除选项A、C,故选D.2、B【解析】
通过抛物线的定义,转化,要使有最小值,只需最大即可,作出切线方程即可求出比值的最小值.【详解】解:由题意可知,抛物线的准线方程为,,过作垂直直线于,由抛物线的定义可知,连结,当是抛物线的切线时,有最小值,则最大,即最大,就是直线的斜率最大,设在的方程为:,所以,解得:,所以,解得,所以,.故选:.【点睛】本题考查抛物线的基本性质,直线与抛物线的位置关系,转化思想的应用,属于基础题.3、D【解析】
根据雷达图对选项逐一分析,由此确定叙述正确的选项.【详解】对于A选项,甲的数据分析分,乙的数据分析分,甲低于乙,故A选项错误.对于B选项,甲的建模素养分,乙的建模素养分,甲低于乙,故B选项错误.对于C选项,乙的六大素养中,逻辑推理分,不是最差,故C选项错误.对于D选项,甲的总得分分,乙的总得分分,所以乙的六大素养整体平均水平优于甲,故D选项正确.故选:D【点睛】本小题主要考查图表分析和数据处理,属于基础题.4、D【解析】
先判断函数在时的单调性,可以判断出函数是奇函数,利用奇函数的性质可以得到,比较三个数的大小,然后根据函数在时的单调性,比较出三个数的大小.【详解】当时,,函数在时,是增函数.因为,所以函数是奇函数,所以有,因为,函数在时,是增函数,所以,故本题选D.【点睛】本题考查了利用函数的单调性判断函数值大小问题,判断出函数的奇偶性、单调性是解题的关键.5、D【解析】
根据正弦定理得到,化简得到答案.【详解】由,得,∴,∴或,∴或.故选:【点睛】本题考查了正弦定理解三角形,意在考查学生的计算能力.6、A【解析】
对复数进行乘法运算,并计算得到,从而得到虚部为2.【详解】因为,所以z的虚部为2.【点睛】本题考查复数的四则运算及虚部的概念,计算过程要注意.7、B【解析】
根据题意可得平面,,则即异面直线与所成的角,连接CG,在中,,易得,所以,所以,故选B.8、C【解析】
根据已知条件求得等差数列的通项公式,判断出最小时的值,由此求得的最小值.【详解】依题意,解得,所以.由解得,所以前项和中,前项的和最小,且.故选:C【点睛】本小题主要考查等差数列通项公式和前项和公式的基本量计算,考查等差数列前项和最值的求法,属于基础题.9、D【解析】
根据约束条件作出可行域,化目标函数为直线方程的斜截式,数形结合得到最优解,求出最优解的坐标,代入目标函数得答案【详解】作出不等式组所表示的可行域如下图所示:联立,得,可得点,由得,平移直线,当该直线经过可行域的顶点时,该直线在轴上的截距最小,此时取最小值,即.故选:D.【点睛】本题考查简单的线性规划,考查数形结合的解题思想方法,是基础题.10、D【解析】
利用的周期性先将复数化简为即可得到答案.【详解】因为,,,所以的周期为4,故,故的虚部为2,A错误;在复平面内对应的点为,在第二象限,B错误;的共轭复数为,C错误;,D正确.故选:D.【点睛】本题考查复数的四则运算,涉及到复数的虚部、共轭复数、复数的几何意义、复数的模等知识,是一道基础题.11、B【解析】
可画出图形,根据条件可得,从而可解出,然后根据,进行数量积的运算即可求出.【详解】如图:点为的三条中线的交点,由可得:,又因,,.故选:B【点睛】本题考查三角形重心的定义及性质,向量加法的平行四边形法则,向量加法、减法和数乘的几何意义,向量的数乘运算及向量的数量积的运算,考查运算求解能力,属于中档题.12、D【解析】
根据折线图依次判断每个选项得到答案.【详解】由绘制出的折线图知:在A中,各月最高气温平均值与最低气温平均值为正相关,故A正确;在B中,全年中,2月的最高气温平均值与最低气温平均值的差值最大,故B正确;在C中,全年中各月最低气温平均值不高于10℃的月份有1月,2月,3月,11月,12月,共5个,故C正确;在D中,从2018年7月至12月该市每天最高气温平均值与最低气温平均值,先上升后下降,故D错误.故选:D.【点睛】本题考查了折线图,意在考查学生的理解能力.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】
利用展开式所有项系数的和得n=5,再利用二项式展开式的通项公式,求得展开式中的常数项.【详解】因为的二项展开式中,所有项的系数之和为4n=1024,n=5,故的展开式的通项公式为Tr+1=C·35-r,令,解得r=4,可得常数项为T5=C·3=15,故填15.【点睛】本题主要考查了二项式定理的应用、二项式系数的性质,二项式展开式的通项公式,属于中档题.14、【解析】
求出函数的导数,由在上,可得在上单调递增,则函数最大值为,即可求出参数的值.【详解】解:定义域为,在上单调递增,故在上的最大值为故答案为:【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性与最值,属于基础题.15、【解析】由已知,即,取双曲线顶点及渐近线,则顶点到该渐近线的距离为,由题可知,所以,则所求双曲线方程为.16、【解析】
利用,得到的关系式,然后代入双曲线的渐近线方程即可求解.【详解】因为双曲线的离心率为,所以,即,因为双曲线的渐近线方程为,所以双曲线的渐近线方程为.故答案为:【点睛】本题考查双曲线的几何性质;考查运算求解能力;熟练掌握双曲线的几何性质是求解本题的关键;属于基础题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)(2)直线过定点,该定点的坐标为.【解析】
(1)因为椭圆过点,所以①,设为坐标原点,因为,所以,又,所以②,将①②联立解得(负值舍去),所以椭圆的标准方程为.(2)由(1)可知,设,.将代入,消去可得,则,,,所以,所以,此时,所以,此时直线的方程为,即,令,可得,所以直线过定点,该定点的坐标为.18、(1)(2)【解析】
(1)由已知利用三角函数恒等变换的应用,正弦定理可求,即可求的值.(2)利用三角函数恒等变换的应用,可得,根据题意,得到,解得,得到函数的解析式,进而求得的值,利用三角函数恒等变换的应用可求的值.【详解】(1)由题意,根据正弦定理,可得,又由,所以,可得,即,又因为,则,可得,∵,∴.(2)由(1)可得,所以函数的图象的一条对称轴方程为,∴,得,即,∴,又,∴,∴.【点睛】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用,正弦定理在解三角形中的综合应用,考查了计算能力和转化思想,属于中档题.19、(1)存在;详见解析(2)【解析】
(1)利用面面平行的性质定理可得,为上靠近点的三等分点,中点,证明平面平面即得;(2)过作交于,可得两两垂直,以分别为轴建立空间直角坐标系,求出长,写出各点坐标,用向量法求二面角.【详解】解:(1)当为上靠近点的三等分点时,满足面.证明如下,取中点,连结.即易得所以面面,即面.(2)过作交于面,两两垂直,以分别为轴建立空间直角坐标系,如图,设面法向量,则,即取同理可得面的法向量综上可知锐二面角的余弦值为.【点睛】本题考查立体几何中的存探索性命题,考查用空间向量法求二面角.线面平行问题可通过面面平行解决,一定要掌握:立体几何中线线平行、线面平行、面面平行是相互转化、相互依存的.求空间角一般是建立空间直角坐标系,用空间向量法求空间角.20、(1)见解析,有90%的把握认为“是否为业绩突出城市”与“选择网络外卖平台”有关.(2)①4.911②100万元.【解析】
(1)根据频率分布直方图与频率分布表,易得两个外卖平台中月订单不低于13万件的城市数量,即可完善列联表.通过计算的观测值,即可结合临界值作出判断.(2)①先根据所给数据求得样本平均值,根据所给今年3月订单数区间,并由及求得,.结合正态分布曲线性质可求得,再由二项分布的数学期望求法求解.②订单数低于7万件的城市有和两组,根据分层抽样的性质可确定各组抽取样本数.分别计算出开展营销活动与不开展营销活动的利润,比较即可得解.【详解】(1)对于外卖甲:月订单不低于13万件的城市数量为,对于外卖乙:月订单不低于13万件的城市数量为.由以上数据完善列联表如下图,业绩突出城市业绩不突出城市总计外卖甲4060100外卖乙5248100总计92108200且的观测值为,∴有90%的把握认为“是否为业绩突出城市”与“选择网络外卖平台”有关.(2)①样本平均数,故==,,的数学期望,②由分层抽样知,则100个城市中每月订单数在区间内的有(个),每月订单数在区间内的有(个),若不开展营销活动,则一个月的利润为(万元),若开展营销活动,则一个月的利润为(万元),这100个城市中开展营销活动比不开展每月多盈利100万元.【点睛】本题考查了频率分布直方图与频率分布表的应用,完善列联表并计算的观测值作出判断,分层抽样的简单应用,综合性强,属于中档题.21、(1)极小值点
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