2025届吉安市重点中学高三第三次测评数学试卷含解析

2025届吉安市重点中学高三第三次测评数学试卷注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知函数，，若对任意的，存在实数满足，使得，则的最大值是()A．3 B．2 C．4 D．52．陀螺是中国民间最早的娱乐工具，也称陀罗.如图，网格纸上小正方形的边长为，粗线画出的是某个陀螺的三视图，则该陀螺的表面积为（）A． B．C． D．3．设，且，则（）A． B． C． D．4．《九章算术》勾股章有一“引葭赴岸”问题“今有饼池径丈，葭生其中，出水两尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深，葭各几何？”，其意思是：有一个直径为一丈的圆柱形水池，池中心生有一颗类似芦苇的植物，露出水面两尺，若把它引向岸边，正好与岸边齐，问水有多深，该植物有多高？其中一丈等于十尺，如图若从该葭上随机取一点，则该点取自水下的概率为（）A． B． C． D．5．如图所示，用一边长为的正方形硬纸，按各边中点垂直折起四个小三角形，做成一个蛋巢，将体积为的鸡蛋（视为球体）放入其中，蛋巢形状保持不变，则鸡蛋（球体）离蛋巢底面的最短距离为（）A． B．C． D．6．若，则“”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件7．设双曲线的一条渐近线为，且一个焦点与抛物线的焦点相同，则此双曲线的方程为（）A． B． C． D．8．已知，则的大小关系为（）A． B． C． D．9．已知复数满足，则的值为（）A． B． C． D．210．已知，且，则在方向上的投影为（）A． B． C． D．11．设分别为的三边的中点，则（）A． B． C． D．12．已知双曲线的左、右焦点分别为、，抛物线与双曲线有相同的焦点.设为抛物线与双曲线的一个交点，且，则双曲线的离心率为（）A．或 B．或 C．或 D．或二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知关于x的不等式（ax﹣a2﹣4）（x﹣4）＞0的解集为A，且A中共含有n个整数，则当n最小时实数a的值为_____．14．四边形中，，，，，则的最小值是______.15．设数列的前项和为，且对任意正整数，都有，则___16．已知数列满足，且恒成立，则的值为____________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数.（1）解不等式；（2）若，，，求证：.18．（12分）已知函数.（1）讨论的单调性；（2）若恒成立，求实数的取值范围.19．（12分）已知圆的极坐标方程是，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线的参数方程是是参数），若直线与圆相切，求实数的值.20．（12分）如图1，在等腰梯形中，两腰，底边，，，是的三等分点，是的中点.分别沿，将四边形和折起，使，重合于点，得到如图2所示的几何体.在图2中，，分别为，的中点.（1）证明：平面.（2）求直线与平面所成角的正弦值.21．（12分）如图，正方形所在平面外一点满足，其中分别是与的中点.（1）求证：；（2）若，且二面角的平面角的余弦值为，求与平面所成角的正弦值.22．（10分）如图在四边形中，，，为中点，.（1）求；（2）若，求面积的最大值.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】

根据条件将问题转化为，对于恒成立，然后构造函数，然后求出的范围，进一步得到的最大值.【详解】，，对任意的，存在实数满足，使得，易得，即恒成立，，对于恒成立,设，则，令，在恒成立，，故存在，使得，即，当时，，单调递减；当时，，单调递增.,将代入得：，，且，故选：A【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性，零点存在定理和不等式恒成立问题，考查了转化思想，属于难题.2、C【解析】

画出几何体的直观图，利用三视图的数据求解几何体的表面积即可，【详解】由题意可知几何体的直观图如图：上部是底面半径为1，高为3的圆柱，下部是底面半径为2，高为2的圆锥,几何体的表面积为：，故选：C【点睛】本题考查三视图求解几何体的表面积，判断几何体的形状是解题的关键.3、C【解析】

将等式变形后，利用二次根式的性质判断出，即可求出的范围.【详解】即故选：C【点睛】此题考查解三角函数方程，恒等变化后根据的关系即可求解，属于简单题目.4、C【解析】

由题意知：，，设，则，在中，列勾股方程可解得，然后由得出答案.【详解】解：由题意知：，，设，则在中，列勾股方程得：，解得所以从该葭上随机取一点，则该点取自水下的概率为故选C.【点睛】本题考查了几何概型中的长度型，属于基础题.5、D【解析】因为蛋巢的底面是边长为的正方形，所以过四个顶点截鸡蛋所得的截面圆的直径为，又因为鸡蛋的体积为，所以球的半径为，所以球心到截面的距离，而截面到球体最低点距离为，而蛋巢的高度为，故球体到蛋巢底面的最短距离为.点睛:本题主要考查折叠问题，考查球体有关的知识.在解答过程中，如果遇到球体或者圆锥等几何体的内接或外接几何体的问题时，可以采用轴截面的方法来处理.也就是画出题目通过球心和最低点的截面，然后利用弦长和勾股定理来解决.球的表面积公式和体积公式是需要熟记的.6、A【解析】

本题根据基本不等式，结合选项，判断得出充分性成立，利用“特殊值法”，通过特取的值，推出矛盾，确定必要性不成立.题目有一定难度，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查.【详解】当时，，则当时，有，解得，充分性成立；当时，满足，但此时，必要性不成立，综上所述，“”是“”的充分不必要条件.【点睛】易出现的错误有，一是基本不等式掌握不熟，导致判断失误；二是不能灵活的应用“赋值法”，通过特取的值，从假设情况下推出合理结果或矛盾结果.7、C【解析】

求得抛物线的焦点坐标，可得双曲线方程的渐近线方程为，由题意可得，又，即，解得，，即可得到所求双曲线的方程.【详解】解：抛物线的焦点为可得双曲线即为的渐近线方程为由题意可得，即又，即解得，.即双曲线的方程为.故选：C【点睛】本题主要考查了求双曲线的方程，属于中档题.8、A【解析】

根据指数函数的单调性，可得，再利用对数函数的单调性，将与对比，即可求出结论.【详解】由题知，，则.故选:A.【点睛】本题考查利用函数性质比较大小，注意与特殊数的对比，属于基础题..9、C【解析】

由复数的除法运算整理已知求得复数z，进而求得其模.【详解】因为，所以故选：C【点睛】本题考查复数的除法运算与求复数的模，属于基础题.10、C【解析】

由向量垂直的向量表示求出，再由投影的定义计算．【详解】由可得，因为，所以．故在方向上的投影为．故选：C．【点睛】本题考查向量的数量积与投影．掌握向量垂直与数量积的关系是解题关键．11、B【解析】

根据题意,画出几何图形,根据向量加法的线性运算即可求解.【详解】根据题意,可得几何关系如下图所示:,故选:B【点睛】本题考查了向量加法的线性运算,属于基础题.12、D【解析】

设，，根据和抛物线性质得出，再根据双曲线性质得出，，最后根据余弦定理列方程得出、间的关系，从而可得出离心率．【详解】过分别向轴和抛物线的准线作垂线，垂足分别为、，不妨设，，则，为双曲线上的点，则，即，得，，又，在中，由余弦定理可得，整理得，即，，解得或.故选：D.【点睛】本题考查了双曲线离心率的求解，涉及双曲线和抛物线的简单性质，考查运算求解能力，属于中档题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、-1【解析】

讨论三种情况，a＜0时,根据均值不等式得到a（﹣a）≤﹣14，计算等号成立的条件得到答案.【详解】已知关于x的不等式（ax﹣a1﹣4）（x﹣4）＞0，①a＜0时，[x﹣（a）]（x﹣4）＜0，其中a0，故解集为（a，4），由于a（﹣a）≤﹣14，当且仅当﹣a，即a＝﹣1时取等号，∴a的最大值为﹣4，当且仅当a4时，A中共含有最少个整数，此时实数a的值为﹣1；②a＝0时，﹣4（x﹣4）＞0，解集为（﹣∞，4），整数解有无穷多，故a＝0不符合条件；③a＞0时，[x﹣（a）]（x﹣4）＞0，其中a4，∴故解集为（﹣∞，4）∪（a，+∞），整数解有无穷多，故a＞0不符合条件；综上所述，a＝﹣1．故答案为：﹣1．【点睛】本题考查了解不等式，均值不等式，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.14、【解析】

在中利用正弦定理得出，进而可知，当时，取最小值，进而计算出结果.【详解】，如图，在中，由正弦定理可得，即，故当时，取到最小值为.故答案为：.【点睛】本题考查解三角形，同时也考查了常见的三角函数值，考查逻辑推理能力与计算能力，属于中档题．15、【解析】

利用行列式定义，得到与的关系，赋值，即可求出结果。【详解】由，令，得，解得。【点睛】本题主要考查行列式定义的应用。16、【解析】

易得，所以是等差数列，再利用等差数列的通项公式计算即可.【详解】由已知，，因，所以，所以数列是以为首项，3为公差的等差数列，故，所以.故答案为：【点睛】本题考查由递推数列求数列中的某项，考查学生等价转化的能力，是一道容易题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）证明见解析.【解析】

（1）分、、三种情况解不等式，即可得出该不等式的解集；（2）利用分析法可知，要证，即证，只需证明即可，因式分解后，判断差值符号即可，由此证明出所证不等式成立.【详解】（1）.当时，由，解得，此时；当时，不成立；当时，由，解得，此时.综上所述，不等式的解集为；（2）要证，即证，因为，，所以，，，.所以，.故所证不等式成立.【点睛】本题考查绝对值不等式的求解，同时也考查了利用分析法和作差法证明不等式，考查分类讨论思想以及推理能力，属于中等题.18、（1）当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增；（2）.【解析】

（1）对a分三种情况讨论求出函数的单调性；（2）对a分三种情况，先求出每一种情况下函数f(x)的最小值，再解不等式得解.【详解】（1），当时，，在上单调递增；当时，，，，，∴在上单调递减，在上单调递增；当时，，，，，∴在上单调递减，在上单调递增.综上：当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增.（2）由（1）可知：当时，，∴成立.当时，，，∴.当时，，，∴，即.综上.【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性和不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.19、【解析】

将圆的极坐标方程化为直角坐标方程，直线的参数方程化为普通方程，再根据直线与圆相切，利用圆心到直线的距离等于半径，即可求实数的值.【详解】由，得，，即圆的方程为，又由消，得，直线与圆相切，，．【点睛】本题重点考查方程的互化，考查直线与圆的位置关系，解题的关键是利用圆心到直线的距离等于半径,研究直线与圆相切.20、（1）证明见解析（2）【解析】

(1)先证，再证，由可得平面，从而推出平面；(2)建立空间直角坐标系，求出平面的法向量与，坐标代入线面角的正弦值公式即可得解.【详解】（1）证明：连接，，由图1知，四边形为菱形，且，所以是正三角形，从而.同理可证，，所以平面.又，所以平面，因为平面，所以平面平面.易知，且为的中点，所以，所以平面.（2）解：由（1）可知，，且四边形为正方形.设的中点为，以为原点，以，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，则，，，，，所以，，.设平面的法向量为，由得取.设直线与平面所成的角为，所以，所以直线与平面所成角的正弦值为.【点睛】本题考查线面垂直的证明，直线与平面所成的角，要求一定的空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力，属于基础题.21、（1）证明见解析（2）【解析】

（1）先证明EF平面，即可求证；（2）根据二面角的余弦值，可得平面，以为坐标原点，建立空间直角坐标系,利用向量计算线面角即可.【详解】（1）连接，交于点，连结.则，故面.又面，因此.（2）由（1）知即为二面角的平面角，且.在中应用余弦定理，得，于是有，即，从而有平面.以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系,则，于是，，设平面的法向量为，则，即，解得于是平面的一个法向量