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文档简介
2025届江西省红色七校高考冲刺数学模拟试题考生须知:1.全卷分选择题和非选择题两部分,全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂;非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2.请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.若等差数列的前项和为,且,,则的值为().A.21 B.63 C.13 D.842.设是定义在实数集上的函数,满足条件是偶函数,且当时,,则,,的大小关系是()A. B. C. D.3.已知向量,,若,则()A. B. C.-8 D.84.把函数图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍,纵坐标不变,再将图象向右平移个单位,那么所得图象的一个对称中心为()A. B. C. D.5.中国的国旗和国徽上都有五角星,正五角星与黄金分割有着密切的联系,在如图所示的正五角星中,以、、、、为顶点的多边形为正五边形,且,则()A. B. C. D.6.下列判断错误的是()A.若随机变量服从正态分布,则B.已知直线平面,直线平面,则“”是“”的充分不必要条件C.若随机变量服从二项分布:,则D.是的充分不必要条件7.已知实数,满足约束条件,则目标函数的最小值为A. B.C. D.8.设数列的各项均为正数,前项和为,,且,则()A.128 B.65 C.64 D.639.若直线经过抛物线的焦点,则()A. B. C.2 D.10.己知集合,,则()A. B. C. D.11.若是定义域为的奇函数,且,则A.的值域为 B.为周期函数,且6为其一个周期C.的图像关于对称 D.函数的零点有无穷多个12.已知定义在上的函数的周期为4,当时,,则()A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.在中,内角所对的边分别是,若,,则__________.14.利用等面积法可以推导出在边长为a的正三角形内任意一点到三边的距离之和为定值,类比上述结论,利用等体积法进行推导,在棱长为a的正四面体内任意一点到四个面的距离之和也为定值,则这个定值是______15.的展开式中,项的系数是__________.16.已知实数满足,则的最小值是______________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)设实数满足.(1)若,求的取值范围;(2)若,,求证:.18.(12分)如图,内接于圆O,AB是圆O的直径,四边形DCBE为平行四边形,平面ABC,,.(1)求证:平面ACD;(2)设,表示三棱锥B-ACE的体积,求函数的解析式及最大值.19.(12分)如图,四棱锥中,底面为直角梯形,,,,,在锐角中,E是边PD上一点,且.(1)求证:平面ACE;(2)当PA的长为何值时,AC与平面PCD所成的角为?20.(12分)已知满足,且,求的值及的面积.(从①,②,③这三个条件中选一个,补充到上面问题中,并完成解答.)21.(12分)某芯片公司为制定下一年的研发投入计划,需了解年研发资金投入量x(单位:亿元)对年销售额y(单位:亿元)的影响.该公司对历史数据进行对比分析,建立了两个函数模型:①y=α+βx2,②y=eλx+t,其中现该公司收集了近12年的年研发资金投入量xi和年销售额yi的数据,i=1,2,⋯,12,并对这些数据作了初步处理,得到了右侧的散点图及一些统计量的值.令xyi=1i=1uv20667702004604.20i=1i=1i=1i=13125000215000.30814(1)设ui和yi的相关系数为r1,xi和(2)(i)根据(1)的选择及表中数据,建立y关于x的回归方程(系数精确到0.01);(ii)若下一年销售额y需达到90亿元,预测下一年的研发资金投入量x是多少亿元?附:①相关系数r=i=1n(xi-x②参考数据:308=4×77,90≈9.4868,e22.(10分)设函数().(1)讨论函数的单调性;(2)若关于x的方程有唯一的实数解,求a的取值范围.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】
由已知结合等差数列的通项公式及求和公式可求,,然后结合等差数列的求和公式即可求解.【详解】解:因为,,所以,解可得,,,则.故选:B.【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式及求和公式的简单应用,属于基础题.2、C【解析】∵y=f(x+1)是偶函数,∴f(-x+1)=f(x+1),即函数f(x)关于x=1对称.
∵当x≥1时,为减函数,∵f(log32)=f(2-log32)=f()且==log34,log34<<3,∴b>a>c,
故选C3、B【解析】
先求出向量,的坐标,然后由可求出参数的值.【详解】由向量,,则,,又,则,解得.故选:B【点睛】本题考查向量的坐标运算和模长的运算,属于基础题.4、D【解析】
试题分析:把函数图象上各点的横坐标伸长为原来的倍(纵坐标不变),可得的图象;再将图象向右平移个单位,可得的图象,那么所得图象的一个对称中心为,故选D.考点:三角函数的图象与性质.5、A【解析】
利用平面向量的概念、平面向量的加法、减法、数乘运算的几何意义,便可解决问题.【详解】解:.故选:A【点睛】本题以正五角星为载体,考查平面向量的概念及运算法则等基础知识,考查运算求解能力,考查化归与转化思想,属于基础题.6、D【解析】
根据正态分布、空间中点线面的位置关系、充分条件与必要条件的判断、二项分布及不等式的性质等知识,依次对四个选项加以分析判断,进而可求解.【详解】对于选项,若随机变量服从正态分布,根据正态分布曲线的对称性,有,故选项正确,不符合题意;对于选项,已知直线平面,直线平面,则当时一定有,充分性成立,而当时,不一定有,故必要性不成立,所以“”是“”的充分不必要条件,故选项正确,不符合题意;对于选项,若随机变量服从二项分布:,则,故选项正确,不符合题意;对于选项,,仅当时有,当时,不成立,故充分性不成立;若,仅当时有,当时,不成立,故必要性不成立.因而是的既不充分也不必要条件,故选项不正确,符合题意.故选:D【点睛】本题考查正态分布、空间中点线面的位置关系、充分条件与必要条件的判断、二项分布及不等式的性质等知识,考查理解辨析能力与运算求解能力,属于基础题.7、B【解析】
作出不等式组对应的平面区域,目标函数的几何意义为动点到定点的斜率,利用数形结合即可得到的最小值.【详解】解:作出不等式组对应的平面区域如图:目标函数的几何意义为动点到定点的斜率,当位于时,此时的斜率最小,此时.故选B.【点睛】本题主要考查线性规划的应用以及两点之间的斜率公式的计算,利用z的几何意义,通过数形结合是解决本题的关键.8、D【解析】
根据,得到,即,由等比数列的定义知数列是等比数列,然后再利用前n项和公式求.【详解】因为,所以,所以,所以数列是等比数列,又因为,所以,.故选:D【点睛】本题主要考查等比数列的定义及等比数列的前n项和公式,还考查了运算求解的能力,属于中档题.9、B【解析】
计算抛物线的交点为,代入计算得到答案.【详解】可化为,焦点坐标为,故.故选:.【点睛】本题考查了抛物线的焦点,属于简单题.10、C【解析】
先化简,再求.【详解】因为,又因为,所以,故选:C.【点睛】本题主要考查一元二次不等式的解法、集合的运算,还考查了运算求解能力,属于基础题.11、D【解析】
运用函数的奇偶性定义,周期性定义,根据表达式判断即可.【详解】是定义域为的奇函数,则,,又,,即是以4为周期的函数,,所以函数的零点有无穷多个;因为,,令,则,即,所以的图象关于对称,由题意无法求出的值域,所以本题答案为D.【点睛】本题综合考查了函数的性质,主要是抽象函数的性质,运用数学式子判断得出结论是关键.12、A【解析】
因为给出的解析式只适用于,所以利用周期性,将转化为,再与一起代入解析式,利用对数恒等式和对数的运算性质,即可求得结果.【详解】定义在上的函数的周期为4,当时,,,,.故选:A.【点睛】本题考查了利用函数的周期性求函数值,对数的运算性质,属于中档题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】
先求得的值,由此求得的值,再利用正弦定理求得的值.【详解】由于,所以,所以.由正弦定理得.故答案为:【点睛】本小题主要考查正弦定理解三角形,考查同角三角函数的基本关系式,考查两角和的正弦公式,考查三角形的内角和定理,属于中档题.14、【解析】
计算正四面体的高,并计算该正四面体的体积,利用等体积法,可得结果.【详解】作平面,为的重心如图则,所以设正四面体内任意一点到四个面的距离之和为则故答案为:【点睛】本题考查类比推理的应用,还考查等体积法,考验理解能力以及计算能力,属基础题.15、240【解析】
利用二项式展开式的通项公式,令x的指数等于3,计算展开式中含有项的系数即可.【详解】由题意得:,只需,可得,代回原式可得,故答案:240.【点睛】本题主要考查二项式展开式的通项公式及简单应用,相对不难.16、【解析】
先画出不等式组对应的可行域,再利用数形结合分析解答得解.【详解】画出不等式组表示的可行域如图阴影区域所示.由题得y=-3x+z,它表示斜率为-3,纵截距为z的直线系,平移直线,易知当直线经过点时,直线的纵截距最小,目标函数取得最小值,且.故答案为:-8【点睛】本题主要考查线性规划问题,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和数形结合分析能力.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)(2)证明见解析【解析】
(1)依题意可得,考虑到,则有再分类讨论可得;(2)要证明,即证,即证.利用基本不等式即可得证;【详解】解:(1)由及,得,考虑到,则有,它可化为或即或前者无解,后者的解集为,综上,的取值范围是.(2)要证明,即证,由,得,即证.因为(当且仅当,时取等号).所以成立,故成立.【点睛】本题考查分类讨论法解绝对值不等式,基本不等式的应用,属于中档题.18、(1)见解析(2),最大值.【解析】
(1)先证明,,故平面ADC.由,即得证;(2)可证明平面ABC,结合条件表示出,利用均值不等式,即得解.【详解】(1)证明:∵四边形DCBE为平行四边形,∴,.∵平面ABC,平面ABC,∴.∵AB是圆O的直径,∴,且,平面ADC,∴平面ADC.∵,∴平面ADC.(2)解∵平面ABC,,∴平面ABC.在中,,.在中,∵,∴,∴,∴.∵,当且仅当,即时取等号,∴当时,体积有最大值.【点睛】本题考查了线面垂直的证明和三棱锥的体积,考查了学生逻辑推理,空间想象,转化划归,数学运算的能力,属于中档题.19、(1)证明见解析;(2)当时,AC与平面PCD所成的角为.【解析】
(1)连接交于,由相似三角形可得,结合得出,故而平面;(2)过作,可证平面,根据计算,得出的大小,再计算的长.【详解】(1)证明:连接BD交AC于点O,连接OE,,,又平面ACE,平面ACE,平面ACE.(2),,平面PAD作,F为垂足,连接CF平面PAD,平面PAD.,有,,平面就是AC与平面PCD所成的角,,,,,,时,AC与平面PCD所成的角为.【点睛】本题考查了线面平行的判定,线面垂直的判定与线面角的计算,属于中档题.20、见解析【解析】
选择①时:,,计算,根据正弦定理得到,计算面积得到答案;选择②时,,,故,为钝角,故无解;选择③时,,根据正弦定理解得,,根据正弦定理得到,计算面积得到答案.【详解】选择①时:,,故.根据正弦定理:,故,故.选择②时,,,故,为钝角,故无解.选择③时,,根据正弦定理:,故,解得,.根据正弦定理:,故,故.【点睛】本题考查了三角恒等变换,正弦定理,面积公式,意在考查学生的计算能力和综合应用能力.21、(1)模型y=eλx+t的拟合程度更好;(2)(i)v=0.02x+3.84【解析】
(1)由相关系数求出两个系数,比较大小可得;(2)(i)先建立U额R0关于x的线性回归方程,从而得出y(ii)把y=90代入(i)中的回归方程可得x值.【详解】本小题主要考查回归分析等基础知识,考查数据处理能力、运算求解能力、抽象概括能力及应用意识,考查统计与概率思想、分类与整合思想,考查数学抽象、数学运算、数学建模、数据分析等核心素养,体现基础性、综合性与应用性.解:(1)r1r2则r1<r(2)(i)先建立U额R0由y=eλx+t,得lny=t+λx由于λ=i=1t=所以U额R0关于x所以lny=0.02x+3.84(ii)下一年销售额y需达到90亿元,即y=90,代入y=e0.02x+3.84又e4.4998≈90,所以所以x≈4.4998-3.84所以预测下一年的研发资金投入量约是32.99亿元【点睛】本小题主要考查抛物线的定义、抛物线的标准方程、直线与抛物线的位置关系、导数几何意义等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力,考查函数与方程思想、化归与转化思想、数形结合思想等,考查数学运算、直观想象、逻辑推理等核心素养,体现基础性、综合性与应用性22、(1)当时,递增区间时,无递减区间,当时,递增区间时,递减区间时;(2)或.【解析】
(1)求出,对分类讨论,先考虑(或)恒成立的范围,并以此作为的分类标准,若不恒成立,求解,即可得出结论;(2)有解,即,令
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