专题11 导数与不等式（含恒成立能成立问题）（考点清单+知识导图+ 7个考点清单-题型解读）（原卷版）

清单11导数与不等式（含恒成立，能成立问题）（个考点梳理+题型解读+提升训练）【清单01】分离参数法用分离参数法解含参不等式恒成立问题，可以根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的不等式；步骤：①分类参数（注意分类参数时自变量的取值范围是否影响不等式的方向）②转化：若)对恒成立，则只需；若对恒成立，则只需．③转化：，使得能成立；，使得能成立．④求最值.【清单02】分类讨论法如果无法分离参数，可以考虑对参数或自变量进行分类讨论求解，如果是二次不等式恒成立的问题，可以考虑二次项系数与判别式的方法(，或，)求解．【清单03】等价转化法①当遇到型的不等式恒成立问题时，一般采用作差法，构造“左减右”的函数或者“右减左”的函数，进而只需满足，或者，将比较法的思想融入函数中，转化为求解函数的最值的问题.②当遇到型的不等式有解（能成立）问题时，一般采用作差法，构造“左减右”的函数或者“右减左”的函数，进而只需满足，或者，将比较法的思想融入函数中，转化为求解函数的最值的问题.【清单04】最值定位法解决双参不等式问题（1）,,使得成立（2）,,使得成立（3）,,使得成立（4）,,使得成立【清单05】值域法解决双参等式问题,,使得成立①，求出的值域，记为②求出的值域，记为③则,求出参数取值范围.【考点题型一】借助分离变量法解决恒成立问题核心方法：变量分离【例1】（24-25高三上·江西·期中）已知函数(1)求函数图象上点到直线的最短距离；(2)若函数与的图象存在公切线，求正实数a的最小值；(3)若恒成立，求a的取值范围.【变式1-1】（24-25高三上·山西太原·期中）已知函数，令，过点作曲线y=fx的切线，交轴于点，再过作曲线y=fx的切线，交轴于点，……，以此类推，得到数列（）.(1)证明：数列为等差数列；(2)若数列的前项和为，求实数的值；(3)当时，若恒成立，求实数的取值范围..【变式1-2】（24-25高三上·天津河北·期中）已知函数在处取得极小值.(1)求的值；(2)求函数在点处的切线方程；(3)若恒成立，求实数的取值范围.【变式1-3】（24-25高三上·四川成都·阶段练习）设函数.(1)若在处的切线方程为，求实数的取值；(2)试讨论的单调性；(3)对任意的，恒有成立，求实数a的取值范围.【考点题型二】借助分离变量法解决能成立（有解）问题核心方法：变量分离【例2】（24-25高三上·甘肃兰州·阶段练习）已知函数.(1)讨论在区间上的单调性；(2)若时，不等式有解，求的取值范围.【变式2-1】（2024·福建泉州·模拟预测）已知函数．(1)求的单调区间；(2)若存在，使得成立，求实数的取值范围．【变式2-2】（2024·河南洛阳·模拟预测）已知函数在处取得极值4．(1)求a，b的值；(2)若存在，使成立，求实数的取值范围．【变式2-3】（23-24高二下·江苏无锡）已知函数．（1）若在点处的切线斜率为．①求实数的值；②求的单调区间和极值．（2）若存在，使得成立，求的取值范围．【考点题型三】借助分类讨论法解决恒成立问题核心方法：分类讨论法【例3】（2024·福建·三模）函数，其中为整数.(1)当时，求函数在处的切线方程；(2)当x∈0,+∞时，恒成立，求的最大值.【变式3-1】（24-25高三上·海南省直辖县级单位·期中）已知函数.(1)讨论的单调性;(2)若恒成立，求a的取值范围.【变式3-2】（24-25高三上·江苏南通·期中）已知函数的导函数为，且．(1)求函数在点处的切线方程；(2)若对于任意的恒成立，求实数的取值范围．【变式3-3】（24-25高三上·河北衡水·阶段练习）已知函数．(1)当时，试判断在上零点的个数，并说明理由；(2)当时，恒成立，求的取值范围．【考点题型四】借助分类讨论法解决能成立（有解）问题核心方法：分类讨论法【例4】（24-25高三上·江苏泰州·期中）已知函数．(1)求证：；(2)过点作直线与函数的图象均相切，求实数的值；(3)已知，若存在，使得成立，求实数的最大值．【变式4-1】（2024·湖南娄底·一模）已知函数，其中为自然对数的底数.(1)求函数的单调区间；(2)证明：；(3)设，若存在实数使得，求的最大值.【变式4-2】（23-24高三上·广西玉林·开学考试）已知函数，.(1)讨论函数的单调性；(2)证明：当时，，使得.【考点题型五】最值定位法解决双参不等式问题核心方法：最值定位法【例5】（2024高二·全国·专题练习）已知函数．(1)试讨论的极值；(2)设，若，，使得，求实数的取值范围．【变式5-1】（2024高三·全国·专题练习）已知两函数，，若对，，，，恒有成立，求的取值范围.【变式5-2】（23-24高二下·安徽滁州）已知函数，，若函数的图象与函数的图象的一个公共点的横坐标为且两函数图象在点处的切线斜率之和为.（1）求的值；（2）对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围.【变式5-3】（23-24高二下·辽宁·阶段练习）已知是定义在上的奇函数，时，，是定义在0,+∞的函数，且．（1）求函数的解析式；（2）若对于，，使得成立，求实数a的取值范围．【考点题型六】等价转化法解决问题核心方法：等价转化法【例6】（23-24高三上·四川成都）已知函数是自然对数的底数）.(1)若函数在处的切线方程为，求实数的值；(2)若，使得成立，求实数的取值范围.【变式6-1】（2024高三·全国·专题练习）已知函数f（x）=mx--lnx，mR，函数在上为增函数，且．(1)当m=0时，求函数f（x）的单调区间和极值;(2)求θ的值;(3)若在[1，e]上至少存在一个x0，使得f(x0)>g(x0)成立，求m的取值范围．【变式6-2】（23-24高二下·四川眉山·阶段练习）已知函数.（1）求函数的极值点；（2）设，若在上至少存在一个，使得成立，求m的取值范围.【考点题型七】值域法解决双参等式问题核心方法：值域法【例7】（23-24高三上·河南驻马店·阶段练习）已知函数.（1）若，求曲线在处切线方程；（2）讨论的单调性；（3）时，设，若对任意，均存在，使得，求实数的取值范围.【变式7-1】（23-24高二下·重庆万州·阶段练习）函数，，若对任意，总存在，使得成立，则实数的取值范围为.【变式7-2】（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知函数，函数.（1）求函数的最小值；（2）若对于任意，都存在，使得成立，求实数的取值范围.提升训练一、单选题1．（2024高三·全国·专题练习）已知关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．2．（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·期中）已知函数，若，当时，恒成立，则的取值范围是（

）A． B． C． D．[0,8]3．（24-25高三上·福建龙岩·期中）已知函数，若对任意，都有，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．4．（24-25高三上·安徽合肥·阶段练习）已知函数，，若，使得，则实数a的取值范围是（

）A． B．C． D．5．（24-25高三上·安徽六安·阶段练习）对于，不等式恒成立，则实数m的取值范围为（

）A． B． C． D．6．（23-24高二上·江苏南通·阶段练习）函数，，若对任意的，总存在，使得成立，则实数a的范围是（

）A． B．C． D．7．（23-24高二下·广东广州·阶段练习）已知函数，若存在，使得成立，则实数m的最小值是（

）A． B． C． D．48．（2022高三·全国·专题练习）已知，，若，，使得成立，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．二、填空题9．（24-25高三上·江西宜春·阶段练习）若关于的不等式在区间上有解，则实数的取值范围是.10．（24-25高三上·安徽·期中）已知，对任意的，不等式恒成立，则k的取值范围是．三、解答题11．（23-24高二下·广东湛江·期中）已知函数．(1)求的单调区间；(2)若在上恒成立，求实数a的取值范围．12．（2024·陕西西安·三模）已知函数．(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)若当时，恒成立，求的取值范围．13．（24-25高三上·浙江金华·开学考试）已知函数．(1)讨论函数的单调性；(2)当时，不等式恒成立，求实数a的取值范围．14．（2024·西藏拉萨·二模）已知函数.(1)当时，求函数的最值；(2)若方程在上