专题10 导数在研究函数中的作用（考点清单+知识导图+ 13个考点清单-题型解读）（原卷版）-25学年高二数学上学期期末考点大串讲

清单10导数在研究函数中的作用（个考点梳理+题型解读+提升训练）【清单01】由函数的单调性求参数的取值范围的方法（1）已知函数在区间上单调①已知在区间上单调递增，恒成立.②已知在区间上单调递减，恒成立.注：已知单调性，等价条件中的不等式含等号.（2）已知函数在区间上存在单调区间①已知在区间上存在单调增区间使得有解②已知在区间上存在单调减区间使得有解（3）已知函数在区间上不单调，使得有变号零点【清单02】含参问题讨论单调性第一步：求的定义域第二步：求（导函数中有分母通分）第三步：确定导函数有效部分，记为对于进行求导得到，对初步处理（如通分），提出的恒正部分，将该部分省略，留下的部分则为的有效部分（如：，则记为的有效部分）.接下来就只需考虑导函数有效部分，只有该部分决定的正负.第四步：确定导函数有效部分的类型：①为一次型（或可化为一次型）②为二次型（或可化为二次型）第五步：通过分析导函数有效部分，讨论的单调性【清单03】函数的极值一般地，对于函数，（1）若在点处有，且在点附近的左侧有，右侧有，则称为的极小值点，叫做函数的极小值.（2）若在点处有，且在点附近的左侧有，右侧有，则称为的极大值点，叫做函数的极大值．（3）极小值点与极大值点通称极值点，极小值与极大值通称极值.注：极大（小）值点，不是一个点，是一个数.【清单04】函数的最大（小）值一般地，如果在区间上函数的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值与最小值.设函数在上连续，在内可导，求在上的最大值与最小值的步骤为：（1）求在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.【清单05】函数的最值与极值的关系（1）极值是对某一点附近(即局部)而言，最值是对函数的定义区间的整体而言；（2）在函数的定义区间内，极大（小）值可能有多个（或者没有），但最大（小）值只有一个（或者没有）；（3）函数的极值点不能是区间的端点，而最值点可以是区间的端点；（4）对于可导函数，函数的最大(小)值必在极大(小)值点或区间端点处取得.【考点题型一】求已知函数（不含参）的单调区间核心方法：求导（一定要注意定义域）【例1】（2024·海南海口·模拟预测）已知函数，则的单调递减区间为（

）A． B．C． D．【变式1-1】（23-24高二下·江苏南通·阶段练习）函数的单调增区间为（

）A． B．0,1 C． D．1,+∞【变式1-2】（24-25高三上·山西运城·开学考试）函数的单调递减区间为（

）A． B．C． D．【变式1-3】（24-25高二上·全国·课后作业）函数的单调递减区间为（

）A． B． C． D．【考点题型二】已知函数在区间上单调，求参数核心方法：①已知在区间上单调递增，恒成立.②已知在区间上单调递减，恒成立.【例2-1】（24-25高二上·浙江宁波·期中）若函数在上单调递增，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【例2-2】（23-24高二下·安徽合肥·期中）已知函数.若函数在上单调递减，则实数的最小值为（

）A．0 B．3 C． D．【变式2-1】（24-25高三上·云南保山·期中）已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【变式2-2】（2024·广西玉林）若函数在上为增函数，则a的取值范围是（

）A． B．C． D．【考点题型三】已知函数在区间上存在单调区间，求参数核心方法：①已知在区间上存在单调增区间使得有解②已知在区间上存在单调减区间使得有解【例3】（23-24高二下·重庆巴南·期中）已知函数在上存在单调递减区间，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【变式3-1】（2024·全国·模拟预测）已知函数在上存在单调递减区间，则实数的取值范围为（

）A． B．C． D．【变式3-2】（23-24高二下·湖北武汉·阶段练习）若函数在区间内存在单调递增区间，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【考点题型四】已知函数在区间上不单调，求参数核心方法：，使得有变号零点【例4】（24-25高三上·重庆渝中·阶段练习）若函数在区间上不单调，则k的取值范围是（

）A． B． C． D．【变式4-1】（24-25高三上·河北沧州·期中）若函数在上不单调，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【变式4-2】（2024·四川·模拟预测）已知函数在区间上不单调，则m的取值范围是.【考点题型五】函数与导函数图象之间的关系核心方法：导函数看正负，原函数看增减【例5】（24-25高三上·安徽黄山·期中）已知函数与其导函数的图象的一部分如图所示，则关于函数的单调性说法正确的是（

）A．在单调递减 B．在单调递减C．在单调递减 D．在单调递减【变式5-1】（24-25高三上·江苏·阶段练习）下列在同一坐标系中的图象，可以作出三次函数fxA． B．C． D．【变式5-2】（多选）（24-25高三上·广东汕尾·阶段练习）如图所示是的导函数的图象，则下列结论中正确的是（

）

A．在区间上单调递增 B．是的极小值点C．在区间上单调递减 D．是的极小值点【考点题型六】导函数有效部分是一次型或可化为一次型核心方法：图象法【例6】（23-24高二下·吉林辽源·阶段练习）已知函数，(1)讨论函数的单调性；【变式6-1】（24-25高三上·四川成都·期中）已知函数．(1)讨论的单调性；【变式6-2】（23-24高二上·福建莆田·期末）已知函数．(1)讨论的单调性；【变式6-3】（2024高三·全国·专题练习）已知函数.(1)求函数的单调区间.【考点题型七】导函数有效部分是二次型或可化为二次型核心方法：因式分解法【例7】（24-25高三上·云南玉溪·期中）已知函数.(1)若函数在处的切线平行于轴，求的值；(2)讨论的单调性；【变式7-1】（2024·江西新余·模拟预测）已知函数.(1)若，求在处的切线方程.(2)讨论的单调性.【变式7-2】（24-25高三上·福建龙岩·期中）已知函数.(1)求fx【变式7-3】（2024·广东佛山·一模）已知函数.(1)求函数在处的切线方程；(2)讨论函数的单调性；【考点题型八】导函数有效部分是不可因式分解的二次型核心方法：法【例8】（23-24高二下·河南许昌·期末）函数.(1)讨论的单调性；【变式8-1】（2024高三·全国·专题练习）已知函数．(1)讨论函敞的单调性；【考点题型九】根据图象判断函数极值，最值【例9】（23-24高二下·北京顺义·阶段练习）如图所示为函数的导函数图象，则下列关于函数的说法正确的有（

）①单调减区间是；

②和4都是极小值点；③没有最大值；④最多能有四个零点.A．①② B．②③ C．②④ D．②③④【变式9-1】（多选）（23-24高二下·吉林长春·期中）已知定义在R上的可导函数和的导函数f′x、图象如图所示，则关于函数的判断正确的是（

）A．有1个极大值点和2个极小值点 B．有2个极大值点和1个极小值点C．有最大值 D．有最小值【变式9-2】（多选）（23-24高二下·河南洛阳·阶段练习）已知定义域为的函数的导函数为f′x，且f′x的图象如图所示，则（

A．在上单调递减 B．有极小值C．有3个极值点 D．在处取得最大值【考点题型十】求已知函数（不含参）极值（点）最值【例10】（24-25高三上·上海·期中）已知.(1)求函数的导数；(2)求函数的单调区间和极值.【变式10-1】（23-24高二下·甘肃张掖·阶段练习）设函数，曲线在点处取得极值.(1)求的值；(2)求函数的极值点.【变式10-2】（23-24高二下·重庆九龙坡·阶段练习）已知函数，且在点处的切线与平行．(1)求切线的方程；(2)求函数的单调区间和极值点．【考点题型十一】根据函数的极值（点）求参数【例11】（23-24高二下·四川成都·期中）已知在处的极大值为5，则（

）A． B．6 C．2 D．【变式11-1】（24-25高三上·甘肃天水·阶段练习）已知在处取得极大值16.(1)求的解析式；(2)求经过坐标原点且与曲线相切的切线方程.【变式11-2】（24-25高三上·山东聊城·期中）已知函数在处取得极小值.(1)求m，n的值；(2)若函数有3个不同零点，求实数的取值范围.【考点题型十二】求已知函数（含参）极值（点）、最值【例12】（23-24高二下·全国·课前预习）已知函数，，.(1)求的值；(2)求在区间上的最大值.【变式12-1】（24-25高三上·河南·期中）已知向量，.若存在不同时为零的实数和，使得，，且.(1)求的解析式；(2)求（1）中的在上的极值.【变式12-2】（24-25高三上·全国·期中）已知函数．(1)讨论的单调性；(2)求在上的最大值．【考点题型十三】根据函数的最值求参数【例13】（24-25高三上·云南昆明·期中）已知函数.(1)若直线是曲线的一条切线，求a的值；(2)若在上的最大值为1，求a的取值范围.【变式13-1】（河南省金科新未来大联考2024-2025学年高三上学期11月质量检测数学试题）已知函数的图象关于点中心对称.(1)求、的值；(2)若，当时，的最小值为，求的值.【变式13-2】（24-25高三上·江苏苏州·阶段练习）已知函数(1)若在上单调递减，求a的取值范围，(2)若在区间的最小值为，求a的值.提升训练一、单选题1．（24-25高三上·江西新余·阶段练习）已知函数在定义域内是增函数，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．2．（24-25高二上·全国·课后作业）函数的最小值为（

）A．0 B．1 C． D．3．（24-25高三上·江西赣州·阶段练习）若对任意的，且，则的最小值是（

）A． B． C．1 D．4．（24-25高三上·黑龙江鸡西·期中）函数在R上存在极大值的充分条件是：（

）A． B． C． D．5．（2024·辽宁·模拟预测）已知函数在处有极大值，则（

）A．1 B．2 C．3 D．46．（24-25高三上·重庆涪陵·开学考试）已知函数在内有最小值点，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．7．（24-25高三上·贵州贵阳·阶段练习）已知函数，当时，函数取得最大值，则（

）A． B．或C． D．8．（24-25高三上·辽宁·期中）已知定义在上的函数及其导函数，满足，且，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．二、多选题9．（24-25高三上·宁夏银川·阶段练习）设函数，则（

）A．当时，是的极大值点B．当时，有三个零点C．若满足，则D．当时，若在上有最大值，则10．（24-25高三上·福建南平·期中）设函数，，给定下列命题，则正确的命题是（

）A．不等式的解集为；B．函数在单调递增，在单调递减；C．若函数有两个极值点，则实数；D．时，总有恒成立.三、填空题11．（23-24高二下·福建龙岩·期中）函数既有极大值，又有极小值，则整数a的最大值为．12．（2024·全国·模拟预测）已知函数，若对任意恒成立，则的最大值为．四、解答题13．（24-25高三上·山西大同·期中）已知函数的图象在点处的切线与直线平行．(1)求；(2)求在区间上的最大值．（参考数据：）14．（24-25高三上·北京朝阳·期中）已知函数.(1)若，求的最小值；(2)若存在极小值，求的取值范围.15．（24-