专题05 空间距离+空间角（期末压轴专项训练30题）（解析版）-25学年高二数学上学期期末考点大串讲

专题05空间距离+空间角（期末压轴专项训练30题）一、单选题1．如图，在直三棱柱中，分别为的中点，则直线到平面的距离为（

）

A． B． C． D．【答案】B【知识点】点到平面距离的向量求法【分析】以为原点建立空间直角坐标系，利用空间坐标运算，即可求得点F到平面的距离，又可证得平面，即可得出直线到平面的距离.【详解】在直三棱柱中，，如图所示，以为原点建立空间直角坐标系，因为，E、F分别为的中点，则，，，，，所以，，，

设平面的法向量为，则，即，取，则，，所以是平面的一个法向量，又因为，所以点F到平面的距离为.因为在直三棱柱中，分别为的中点，则且，所以四边形是平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面，则点F到平面的距离即为直线到平面的距离.故选：B.2．已知直线经过点，且是的方向向量，则点到的距离为（

）A． B． C． D．【答案】C【知识点】点到直线距离的向量求法【分析】通过向量的运算求出向量在直线方向向量上的投影，然后利用勾股定理求出点到直线的距离.【详解】已知点和点，则.向量在上的投影长度.先求.再求.所以.根据勾股定理，点到直线的距离.先求.则.故选：C.3．在长方体中，，，，则异面直线与的距离是（

）A． B． C． D．【答案】A【知识点】求异面直线的距离、异面直线距离的向量求法【分析】建立空间直角坐标系，求解直线与的公垂线的方向向量，利用异面直线距离的向量公式求解即可.【详解】如图，以为原点，分别以，，为，，轴的正向建立空间直角坐标系，则A2,0,0，，，，，，设直线与的公垂线的方向向量为，则，取，则，，，又，异面直线与的距离是.故选：A.4．如图，在直三棱柱中，，，E，F分别为，BC的中点，则点到平面AEF的距离为（

）A． B．2C． D．【答案】A【知识点】求平面的法向量、点到平面距离的向量求法【分析】建系标点，求平面AEF的法向量，利用空间向量求点到面的距离.【详解】如图所示，以为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系，则，可得，设平面AEF的法向量为，则，令，则，可得，所以点到平面AEF的距离.故选：A.5．如图，正方体的棱长为，其中分别是棱的中点，则到平面的距离是（

）

A． B． C． D．【答案】D【知识点】点到平面距离的向量求法【分析】建立空间直角坐标系，利用空间距离的向量求法求解即可.【详解】如图，以为原点，建立空间直角坐标系，

因为正方体的棱长为，所以，因为分别是棱的中点，所以，，，所以，，，设面的法向量为，到平面的距离是，所以，，令，解得，故为平面的一个法向量，由点到平面的距离公式得，故D正确.故选：D6．如图，在直三棱柱中，，，，且，，，则点到平面的距离为（

）A．1 B． C． D．【答案】B【知识点】空间向量的坐标表示、点到平面距离的向量求法【分析】由题意建立空间直角坐标系，求出点A坐标以及平面EFG的法向量，再利用向量法求出点到平面的距离即可.【详解】如图所示建立空间直角坐标系，则A2,0,0，，，，，，设为平面的一个法向量，则可取，则点到平面的距离为．故选：B.7．二面角的棱上有、两点，直线、分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于，已知，，，，则该二面角的大小为（

）

A．30° B．60° C．120° D．150°【答案】C【知识点】空间向量数量积的应用、面面角的向量求法【分析】根据向量的线性运算，结合模长公式可得，即可向量根据夹角公式求解.【详解】由可得,故，进而可得,由于，由于，故，由于夹角的大小即为二面角的大小，故二面角大小为120°，故选：C8．三棱锥中，，，直线与平面所成角的正弦值为（

）A． B． C． D．【答案】C【知识点】线面角的向量求法【分析】根据几何体棱长建立空间直角坐标系，由线面角的向量求法计算即可得结果.【详解】取的中点为，连接，如下图所示：因为，所以可得，又，所以即，即，故，满足，所以；所以两两垂直，以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，则，即；设平面的一个法向量为，则，令，可得；可得，设直线与平面所成的角为，则.所以直线与平面所成角的正弦值为.故选：C9．在正方体中，是BD的中点，则直线和夹角的余弦值为（

）A． B． C． D．【答案】A【知识点】求异面直线所成的角、异面直线夹角的向量求法【分析】由空间向量求解异面直线夹角即可.【详解】以点为原点，分别以为轴，轴，轴建立空间直角坐标系（如图所示），设正方体的棱长为2，则，，，，则，所以，，设直线和夹角为，所以.故选：A.10．在正方体中，若点P（异于点B）是棱上一点，则满足与所成的角为的点P的个数为（

）A．0 B．3 C．4 D．6【答案】B【知识点】已知线线角求其他量【分析】根据给定条件，建立空间直角坐标系，利用线线角的向量求法建立点坐标间的等式，再分类讨论得解.【详解】在正方体中，以点为原点建立如图所示的空间直角坐标系，令，则，设，，，于是，整理得，显然点不能在坐标轴上，否则，当时，，而，无解，即点不能在棱上；当时，，若，则；若，则无解；若，则，于是点不能在棱上，可以在棱上；当时，，若，则无解；若，则，于是点不能在棱上，可以在棱上，所以可以在棱上，点P的个数为3.故选：B【点睛】思路点睛：建立空间直角坐标系，利用空间向量结合线线角的求法建立等式，分类讨论求解.11．在正方体中，为的中点，则平面与平面夹角的余弦值为（

）A． B． C． D．【答案】D【知识点】证明线面垂直、面面角的向量求法【分析】设正方体的棱长为1，利用向量法求平面与平面夹角的余弦值.【详解】两两垂直，故以为坐标原点，所在的直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，设，取的中点为，连接，则，A1,0,0，，则，又因为，，，平面，故平面，所以为平面的一个法向量，设平面的一个法向量为，则，所以为平面的一个法向量，设平面与平面的夹角为，则，故平面与平面夹角的余弦值为．故选：D．12．、、是从点出发的三条射线，每两条射线的夹角均为，那么直线与平面所成的夹角的余弦值是（

）A． B． C． D．【答案】B【知识点】线面角的向量求法【分析】将、、三条射线截取出来放在正方体中进行分析，建系，利用空间向量法求解.【详解】如图所示，把、、放在正方体中，使得这三条线成为正方体的三条面对角线，则、、的夹角均为．建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为，则、、、，所以，，，设平面的法向量，则令，则，，所以，所以．设直线与平面所成角为，所以，所以．故选：B．二、填空题13．如图，在棱长为1的正方体中，是棱(不包含端点)上一动点，则三棱锥的体积的取值范围为.

【答案】【知识点】锥体体积的有关计算、点到平面距离的向量求法【分析】利用空间向量求出点到平面的距离，从而求解.【详解】由题知以点为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图，

则，，，，，，，，，设，，得，则，设平面的一个法向量为，则，令，得，所以点到平面的距离，又因为，所以，由题知，所以为等边三角形，其面积，所以三棱锥的体积，故答案为：.14．在四棱锥中，平面平面，四边形为等腰梯形，为等边三角形，，则四棱锥的外接球球心到平面的距离是.【答案】【知识点】球的截面的性质及计算、点到平面距离的向量求法【分析】根据题意分析可得外接球球心必在上，结合球的相关性质求，再建系，利用空间向量求点到面的距离.【详解】取的中点，连接∵为等边三角形，则平面平面，平面平面∴平面取的中点，由于四边形为等腰梯形，且，则可以得到，即为等腰梯形的外接圆的圆心过作的平行线，则外接球球心必在上，设，在梯形中，，则∵，即，解出，建系如图，则设平面的法向量，则令，则，则∵，则到平面的距离故答案为：.【点睛】对于具有外接球的锥体：其外接球的球心位于过底面多边形的外心且与底面垂直的垂线上.再结合球的截面性质列方程求其半径.15．在正方体中，点P、Q分别在、上，且，，则异面直线与所成角的余弦值为【答案】45/【知识点】异面直线夹角的向量求法【分析】以D为原点，为x轴，为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线与所成角的余弦值.【详解】设正方体中棱长为3，以D为原点，为x轴，为y轴，为z轴，建立如图所示空间直角坐标系，

则，，，，，，设异面直线与所成角为，则.即异面直线与所成角的余弦值为.故答案为：.16．在直三棱柱中，，，点P满足，其中，则直线AP与平面所成角的最大值为【答案】【知识点】空间向量的坐标运算、已知线面角求其他量【分析】分别取中点，建立如图所示的空间直角坐标系，由空间向量法求线面角的正弦值，然后结合函数知识得最大值.【详解】分别取中点，则，即平面，连接,因为,所以,以为原点，分别以所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系,由已知,,,,,则,因为，，，易知平面的一个法向量是，设直线AP与平面所成角为，，则，所以时，，即的最大值是．故答案为：．三、解答题17．如图，在三棱锥中，分别是的中点.(1)求证:平面；(2)若四面体的体积为，求；(3)若，求直线AD与平面所成角的正弦值的最大值.【答案】(1)证明见解析(2)(3)【知识点】锥体体积的有关计算、证明线面垂直、线面角的向量求法【分析】（1）证明，可证线面垂直；（2）由已知四面体体积求得体积，再由体积公式可得；（3）建立如图所示的空间直角坐标系，用空间向量法求线面角．【详解】（1）.的中点为，则..，则，故，即.因为，，平面，平面，所以平面.（2）因为，所以.而，所以，解得：.（3）过作轴垂直平面，以方向分别为则，，设平面法向量为由得，所以为平面的一个法向量，设与平面所成角为，所以所以直线与平面所成角的正弦值的最大值为．18．如图，已知圆锥的底面圆周上有三点，为底面圆的直径，且为的中点．(1)证明：平面平面；(2)若，求二面角的正弦值．【答案】(1)证明见解析；(2)【知识点】证明面面垂直、线面垂直证明线线垂直、面面角的向量求法【分析】（1）利用圆锥性质以及圆的性质，由面面垂直判定定理即可得出结论；（2）建立空间直角坐标系求出两平面的法向量，再由空间向量夹角的计算公式可得结果.【详解】（1）根据圆锥性质可得平面，平面，可得，又为的中点，利用圆的性质可得，因为平面，可得平面，又平面，所以平面平面.（2）取的中点为，连接，又为底面圆的直径，且为的中点，可知，且为等边三角形，因此可得两两垂直，以为坐标原点，以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，如下图所示：由可知；所以因此，设平面的一个法向量为m=x则，令，可得;即；设平面的一个法向量为n=x则，解得，令，可得;即；易知，所以二面角的正弦值为.19．如图，四棱锥的底面是边长为2菱形，，，分别是，的中点.(1)求证；平面；(2)若，，，求平面与平面所成角的余弦值.【答案】(1)证明见解析(2).【知识点】证明线面平行、证明线面垂直、面面角的向量求法【分析】（1）利用中位线的性质构造线线平行，再利用线面平行的判定证明即可；（2）根据线面垂直的判定先证明平面，再建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量计算面面夹角即可.【详解】（1）取的中点为，连接，.点，分别是，的中点，是的中位线，即，，在菱形中，，.，，即四边形为平行四边形，则，又平面，平面，平面.（2）连接，，，，，平面，平面，平面，又平面，，，又，则，所以.即直线，，两两垂直.如图，以为坐标原点建立空间直角坐标系，则，，，，，，，.设平面的法向量为，平面的法向量为，由得取.由得取.设平面与平面所成角为，则，即平面与平面所成角的余弦值为.20．如图，在圆锥中，为圆锥底面的直径，为底面圆周上一点，点在线段上，，．

(1)证明：平面；(2)若圆锥的侧面积为，求二面角的正弦值．【答案】(1)证明见解析(2)【知识点】证明线面垂直、空间位置关系的向量证明、面面角的向量求法【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法证明、，然后利用线面垂直的判定定理证明即可；（2）根据圆锥的侧面积求得及，求出平面、平面的一个法向量，利用向量法求得二面角的余弦值.【详解】（1）平面，，故以为坐标原点，为轴正方向，为轴正方向，与同向的方向为轴正方向建立空间直角坐标系．设，故，，，，，，，．，．故，，，，平面，平面；（2）圆锥的侧面积，，,由（1）可知，为平面的法向量，设平面的法向量为，而，，故，令得，则，所以二面角的正弦值为．21．如图，在四棱锥中，是以为斜边的等腰直角三角形，，，，为的中点.

(1)证明：平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析(2)【知识点】证明线面平行、线面角的向量求法【分析】(1)取的中点，先根据题意证明四边形是平行四边形，再证明平面即可.(2)建立空间直角坐标系，通过空间向量求直线与平面所成角的正弦值即可.【详解】（1）如图，取的中点，连接，，有，，又，，所以，，所以四边形是平行四边形，所以，因为平面，平面，所以平面.

（2）如图，取的中点，连接，，因为，，所以，，由，，，四边形是正方形，有，，因为，所以平面，因为平面，所以平面平面，在平面内作直线的垂线，则平面，有，，分别以，，所在直线为轴､轴､轴，建立空间直角坐标系，因为，所以平面，因为平面，所以，由，，知，由，知，从而有，，B1,0,0，C1,1,0有，，BC=0,1,0，设平面的法向量为，由，有，取，则，，得平面的一个法向量为，设直线与平面所成的角为，则.22．如图，在四棱锥中，，

，，平面平面．(1)求证：平面；(2)点Q在棱上，与平面所成角的正弦值为，求平面与平面夹角的余弦值.【答案】(1)证明见解析；(2).【知识点】证明线面垂直、面面垂直证线面垂直、已知线面角求其他量、面面角的向量求法【分析】（1）若分别为中点，连接，易得、、、，再应用面面垂直的性质得面，由线面垂直的性质证、，最后综合线面垂直的性质及判断定理证结论；（2）构建合适空间直角坐标系，首先根据线面角的向量求法列方程求Q位置，再应用向量法求面面角的余弦值.【详解】（1）若分别为中点，连接，由，，则为直角梯形，且为中位线，所以，且，由，则，又，可得，面面，面，面面，则面，面，故，则，由面，则，又，均在面内，所以面，面，可得，所以，故，即，由，则，而均在面内，所以平面.（2）由（1）可构建如上图所示的空间直角坐标系，所以，令且，则，则，，，若是面的一个法向量，则，令，则，由题意，整理得，故，则，若是面的一个法向量，则，令，则，所以平面与平面夹角的余弦值.23．如图，在四棱锥中，四边形为正方形，，二面角的大小为．(1)证明：平面平面．(2)求四棱锥的体积．(3)若点在线段上，且平面平面，求直线与平面所成角的正弦值．【答案】(1)证明见解析(2)(3)【知识点】锥体体积的有关计算、证明面面垂直、空间位置关系的向量证明、线面角的向量求法【分析】（1）先证明平面，再由面面垂直的判定定理得证；（2）证明平面，再由棱锥体积公式得解；（3）建立空间直角坐标系，，利用求出，再由向量法求线面角的正弦即可.【详解】（1）设的中点分别为，连接．在中，由，所以．由，所以，因为，所以二面角的平面角为，则．因为，平面，所以平面，由平面，所以，则，所以．又，所以．又因为，平面，所以平面，因为平面，所以平面平面．（2）因为平面平面，平面平面，，平面，所以平面，即四棱锥的高为，所以四棱锥的体积为．（3）以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，．记，则．连接．设，则，．因为平面平面，平面平面，平面，所以平面．因为平面，所以，则，解得，则．又，所以，．设平面的法向量为，则由得取，得．设直线与平面所成的角为，，所以直线与平面所成角的正弦值为．24．如图，在三棱锥中，已知为锐角三角形，平面平面，，点是的中点．(1)求证：；(2)若，二面角的余弦值为，求三棱锥的体积．【答案】(1)证明见解析(2)【知识点】锥体体积的有关计算、线面垂直证明线线垂直、面面垂直证线面垂直、面面角的向量求法【分析】（1）过点作于点，由面面垂直的性质得到平面，再根据线面垂直的判定定理与性质证明平面，进而得到.（2）建立空间直角坐标系，求相关点和向量的坐标，分别求平面、平面的一个法向量，利用向量的夹角公式，根据二面角的余弦值求参数的值，进而求三棱锥的体积.【详解】（1）如图，过点作于点，因为平面平面，平面平面，平面，所以平面．又平面，所以．又，，，平面，所以平面．因为平面，所以．（2）由（1）可知，可以以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，设，，∵为锐角三角形，则，，，，故，因此，．∴是平面的一个法向量,设平面的法向量为，则，即，化简得，取，则，，因此．由题意知，解得，因此三棱锥的体积为．25．如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面是正三角形，．(1)求证：平面平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值．【答案】(1)证明见解析(2)【知识点】证明面面垂直、线面角的向量求法【分析】（1）由已知条件，结合勾股定理，可以判定，根据面面垂直的判定定理，即可证明结论；（2）以中点为原点，所在直线为轴，构建空间直角坐标系，利用空间向量，即可求得线面所成角的正弦值.【详解】（1）不妨设正方形边长为2，则，由，得，再由，，平面，得平面，因为平面，所以平面平面．（2）取中点，连结，则，由（1）可知，平面平面ABCD，平面平面，所以平面，以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示，则，设平面的法向量为，则取，记与平面所成角为，则．26．如图，四边形ABCD是正方形，AE，DF，BG都垂直于平面ABCD，且，，，M，N分别是EG，BC的中点.

(1)证明：平面ABCD.(2)若，求点N到平面AMF的距离.【答案】(1)证明见详解(2)【知识点】证明线面平行、点到平面距离的向量求法【分析】（1）取的中点，连接，，根据题意可得，结合线面平行的判定定理分析证明；（2）建系标点，求平面AMF的法向量，利用空间向量求点到面的距离.【详解】（1）因为，，都垂直于平面，则.取的中点，连接，，则，且，所以且，所以四边形为平行四边形，可得，且平面，平面，所以平面.（2）连接.以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则A2,0,0，，，，可得，，.设平面的法向量为n=x,y,z，则，取，得，，可得.故点到平面的距离.27．如图，在斜三棱柱中，为边长为3的正三角形，侧面为正方形，在底面内的射影为点O．

(1)求证：；(2)若，求直线和平面的距离．【答案】(1)证明过程见解析(2)【知识点】证明线面垂直、求点面距离、线面垂直证明线线垂直、点到平面距离的向量求法【分析】（1）分析得知要证，只需证，取的中点分别为，故只需证明即可，而这又可以通过线面垂直的判定定理、性质定理证明；（2）将问题转换为求点到平面的距离，建立适当的空间直角坐标系，根据题意分别求出即可，其中为平面的法向量，进一步由公式即可得解.【详解】（1）

一方面：因为在底面内的射影为点O，而平面，所以，故要证，只需证；另一方面：取的中点分别为，连接，因为为边长为3的正三角形，所以也是边长为3的正三角形，又点是的中点，从而，因为，所以，因为四边形为正方形，的中点分别为，所以，又因为，，，平面，所以平面，因为平面，所以，又点是的中点，所以；综上所述，；（2）一方面：注意到平面，平面，所以平面，要求直线和平面的距离，只需求点到平面的距离即可；另一方面：若，则点为三角形的外心，从而三点共线，过点作交于点，易知，因为平面，平面，所以，从而两两互相垂直，所以以点为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，

由题意，，从而，，，设平面的法向量为，则，故可取，所以点到平面的距离为；综上所述，直线和平面的距离为.28．如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD与ABEF均为直角梯形，平面平面ABEF，，，，，，且．(1)已知点G为AF上一点，且，证明：平面DCE；(2)若平面DCE与平面BDF所成锐二面角的余弦值为，求点F到平面DCE的距离．【答案】(1)证明见解析(2)【知识点】证明线面平行、面面垂直证线面垂直、已知面面角求其他量、点到平面距离的向量求法【分析】（1）作出辅助线，得到四边形ABEG为平行四边形，故O为AE中点，由中位线得到且，即四边形BCHO为平行四边形，故，得到平面DCE，即平面DCE；（2）由面面垂直得到线面垂直，建立空间直角坐标系，设，写出点的坐标，求出平面的法向量，利用锐二面角的余弦值列出方程，求出，从而得到点到平面的距离.【详解】（1）证明：如图，连接AE交BG于点O，取DE中点为H，连接HO，HC，GE，在四边形ABEG中，，，故四边形ABEG为平行四边形．故O为AE中点，所以在中，OH为中位线，则且，又且，故且，即四边形BCHO为平行四边形，所以，又∵平面DCE，平面DCE，∴平面DCE，即平面DCE．（2）因为平面平面ABEF，平面平面，，平面ABCD，所以平面ABEF，如图，以点A为坐标原点，分别以，，为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系，设，，，，，，则，，，设平面DCE的法向量为，则，取，∵，，设平面BDF的法向量为，∴，取．由平面BDF与平面DCE所成锐二面角的余弦值为，可得，解得或（舍去）故，点F到平面DCE的距离，故点F到平面DCE的距离为．29．如图所示，半圆柱与四棱锥拼接而成的组合体中，是半圆弧上（不含）的动点，为圆柱的一条母线，点在半圆柱下底面所在平面内，.(1)求证：；(2)若平面，求平面与平面夹角的余弦值；(3)求点到直线距离的最大值.【答案】(1)证明见解析；(2)；(3)【知识点】证明线面垂直、空间位置关系的向量证明