专题10 导数在研究函数中的作用（考点清单+知识导图+ 13个考点清单-题型解读）（解析版）-25学年高二数学上学期期末考点大串讲

清单10导数在研究函数中的作用（个考点梳理+题型解读+提升训练）【清单01】由函数的单调性求参数的取值范围的方法（1）已知函数在区间上单调①已知在区间上单调递增，恒成立.②已知在区间上单调递减，恒成立.注：已知单调性，等价条件中的不等式含等号.（2）已知函数在区间上存在单调区间①已知在区间上存在单调增区间使得有解②已知在区间上存在单调减区间使得有解（3）已知函数在区间上不单调，使得有变号零点【清单02】含参问题讨论单调性第一步：求的定义域第二步：求（导函数中有分母通分）第三步：确定导函数有效部分，记为对于进行求导得到，对初步处理（如通分），提出的恒正部分，将该部分省略，留下的部分则为的有效部分（如：，则记为的有效部分）.接下来就只需考虑导函数有效部分，只有该部分决定的正负.第四步：确定导函数有效部分的类型：①为一次型（或可化为一次型）②为二次型（或可化为二次型）第五步：通过分析导函数有效部分，讨论的单调性【清单03】函数的极值一般地，对于函数，（1）若在点处有，且在点附近的左侧有，右侧有，则称为的极小值点，叫做函数的极小值.（2）若在点处有，且在点附近的左侧有，右侧有，则称为的极大值点，叫做函数的极大值．（3）极小值点与极大值点通称极值点，极小值与极大值通称极值.注：极大（小）值点，不是一个点，是一个数.【清单04】函数的最大（小）值一般地，如果在区间上函数的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值与最小值.设函数在上连续，在内可导，求在上的最大值与最小值的步骤为：（1）求在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.【清单05】函数的最值与极值的关系（1）极值是对某一点附近(即局部)而言，最值是对函数的定义区间的整体而言；（2）在函数的定义区间内，极大（小）值可能有多个（或者没有），但最大（小）值只有一个（或者没有）；（3）函数的极值点不能是区间的端点，而最值点可以是区间的端点；（4）对于可导函数，函数的最大(小)值必在极大(小)值点或区间端点处取得.【考点题型一】求已知函数（不含参）的单调区间核心方法：求导（一定要注意定义域）【例1】（2024·海南海口·模拟预测）已知函数，则的单调递减区间为（

）A． B．C． D．【答案】B【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）【分析】求导，根据导数为负即可求解.【详解】的定义域为0,+∞，，令，解得，故的单调递减区间为0,1，故选：B【变式1-1】（23-24高二下·江苏南通·阶段练习）函数的单调增区间为（

）A． B．0,1 C． D．1,+∞【答案】B【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）【分析】求出导数，利用导数大于0可得答案.【详解】函数的定义域为0,+∞，，由得，解得，所以的单调增区间为0,1.故选：B.【变式1-2】（24-25高三上·山西运城·开学考试）函数的单调递减区间为（

）A． B．C． D．【答案】B【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）【分析】根据函数的单调性和导数的关系，即可求解.【详解】，，令，得，所以函数的单调递减区间是.故选：B【变式1-3】（24-25高二上·全国·课后作业）函数的单调递减区间为（

）A． B． C． D．【答案】A【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）【分析】求出导数，解不等式可得解.【详解】，令，则，所以在区间上单调递减．故选：A【考点题型二】已知函数在区间上单调，求参数核心方法：①已知在区间上单调递增，恒成立.②已知在区间上单调递减，恒成立.【例2-1】（24-25高二上·浙江宁波·期中）若函数在上单调递增，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】D【知识点】由函数的单调区间求参数、函数不等式恒成立问题【分析】求出导函数，根据单调性把问题转化为不等式恒成立，利用函数单调性求出最值即可【详解】由，得，又在上单调递增，所以f′x≥0在上恒成立，即在上恒成立，即在上恒成立，只需求出的最小值即可，又在单调递减，所以，则，所以，故.故选：D【例2-2】（23-24高二下·安徽合肥·期中）已知函数.若函数在上单调递减，则实数的最小值为（

）A．0 B．3 C． D．【答案】C【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、由函数在区间上的单调性求参数、由函数的单调区间求参数【分析】求导函数，令恒成立，变量分离转化为求新函数的最大值.【详解】，令，得，令，若函数在上单调递减，则，当时，，所以函数在上单调递增，则，所以.故选：C【变式2-1】（24-25高三上·云南保山·期中）已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【知识点】由函数的单调区间求参数【分析】利用题给条件列出关于实数的不等式组，解之即可求得实数的取值范围.【详解】法一：令，则在上单调递减，且在上恒成立，所以解得.法二：，则，则在区间上恒成立，则或，解之得.故选：A.【变式2-2】（2024·广西玉林）若函数在上为增函数，则a的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】B【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、由函数的单调区间求参数【分析】对函数求导，根据题意可得对恒成立，列出不等式组，解之即可求解.【详解】依题意得对恒成立，即对恒成立．因为y＝ax＋a＋1的图象为直线，所以，解得．故选：B.【考点题型三】已知函数在区间上存在单调区间，求参数核心方法：①已知在区间上存在单调增区间使得有解②已知在区间上存在单调减区间使得有解【例3】（23-24高二下·重庆巴南·期中）已知函数在上存在单调递减区间，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】B【知识点】由函数在区间上的单调性求参数、根据极值求参数【分析】根据导数的性质，结合常变量分离法、配方法进行求解即可.【详解】因为在0,+∞上存在单调递减区间，而在0,+∞上有解，即在0,+∞上有解，而，当且仅当时，等号成立，若，，不符合题意，所以，即，所以实数a的取值范围为.故选：B.【变式3-1】（2024·全国·模拟预测）已知函数在上存在单调递减区间，则实数的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】D【知识点】函数单调性、极值与最值的综合应用、利用导数研究能成立问题、由函数在区间上的单调性求参数【分析】根据题意，转化为在上有解，得到在上有解，令，利用导数求得函数的单调性与最大值，即可求解.【详解】因为函数，可得，因为函数在上存在单调递减区间，可得在上有解，即在上有解，令，则，且，当时，，所以；当时，，所以，所以在上单调递增，在上单调递减，故，所以.故选：D．【点睛】结论点睛：“恒成立问题”与“有解问题”在等价转化上的区别：恒成立问题：①恒成立；恒成立．②恒成立；恒成立．③恒成立；恒成立．④．有解问题：①有解；有解．②有解；有解．③有解；有解．④，使得．【变式3-2】（23-24高二下·湖北武汉·阶段练习）若函数在区间内存在单调递增区间，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【知识点】由函数在区间上的单调性求参数【分析】根据在有解，结合参变分离，即可求得参数范围.【详解】，若在区间内存在单调递增区间，则在有解，故有解，而在递增，，故.故选：A.【考点题型四】已知函数在区间上不单调，求参数核心方法：，使得有变号零点【例4】（24-25高三上·重庆渝中·阶段练习）若函数在区间上不单调，则k的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【知识点】由函数在区间上的单调性求参数、根据函数零点的个数求参数范围【分析】求出函数的导数，利用在上有变号零点列式求解即得.【详解】函数，求导得，由函数在区间上不单调，得在上有变号零点，由，得，则，令，于是，即有，令，函数在上单调递减，函数值从减小到，在上单调递增，函数值从增大到，由在上有变号零点，得直线与函数的图象有交点，且当有两个交点时，两个交点不重合，因此，解得，所以k的取值范围是.故选：B【变式4-1】（24-25高三上·河北沧州·期中）若函数在上不单调，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【知识点】由函数在区间上的单调性求参数、利用函数单调性求最值或值域【分析】求出函数的导数，由在上有变号零点求解得答案.【详解】函数，求导得，依题意，在上有变号零点，由，得，函数在上单调递减，；在上单调递增，，所以实数的取值范围是.故选：A【变式4-2】（2024·四川·模拟预测）已知函数在区间上不单调，则m的取值范围是.【答案】【知识点】由函数在区间上的单调性求参数【分析】根据题意可知在区间有变号零点，结合变号零点与给定区间的关系求解即可.【详解】由题意知，因为在区间上不单调，即在区间有变号零点，又，所以，，，所以在区间内，所以，解得，即m的取值范围是.故答案为：.【考点题型五】函数与导函数图象之间的关系核心方法：导函数看正负，原函数看增减【例5】（24-25高三上·安徽黄山·期中）已知函数与其导函数的图象的一部分如图所示，则关于函数的单调性说法正确的是（

）A．在单调递减 B．在单调递减C．在单调递减 D．在单调递减【答案】B【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、函数与导函数图象之间的关系【分析】根据图象判断出过点的为的图象，过点的为导函数的图象，求导得到，在上单调递减，在上单调递增，得到答案.【详解】从图象可以看出过点的为的图象，过点的为导函数的图象，，当时，，故，在上单调递减，当时，，故，在上单调递增，ACD错误，B正确，故选：B【变式5-1】（24-25高三上·江苏·阶段练习）下列在同一坐标系中的图象，可以作出三次函数fxA． B．C． D．【答案】C【知识点】函数与导函数图象之间的关系【分析】分析可知，f′【详解】因为fx=ax3+b对于A选项，如下图所示：当或时，f′x<0，则函数在区间、上均为减函数，不合乎题意，A错；对于B选项，由图可知，，f′x>0，则函数在上为增函数，不合乎题意，B错；对于C选项，由图可知，，f′x>0，则函数在上为增函数，合乎题意，C对；对于D选项，如下图所示：当或时，f′x<0，则函数在区间、上均为减函数，不合乎题意，D错.故选：C.【变式5-2】（多选）（24-25高三上·广东汕尾·阶段练习）如图所示是的导函数的图象，则下列结论中正确的是（

）

A．在区间上单调递增 B．是的极小值点C．在区间上单调递减 D．是的极小值点【答案】BC【知识点】函数与导函数图象之间的关系、函数（导函数）图像与极值点的关系【分析】先由导函数图象得到原函数的单调性，进而得到极值点情况，得到答案.【详解】A选项，由导函数图象可知，当时，，时，，时，，时，，故在，上单调递增，不能用连接，A错误；B选项，在上单调递减，在上单调递增，，故为的极小值点，B正确；C选项，在区间上单调递减，C正确；D选项，在上单调递增，在上单调递减，，故是的极大值点，D错误.故选：BC【考点题型六】导函数有效部分是一次型或可化为一次型核心方法：图象法【例6】（23-24高二下·吉林辽源·阶段练习）已知函数，(1)讨论函数的单调性；【答案】(1)当时，函数在上单调递增；当时，函数在上单调递减，在上单调递增.【知识点】求已知函数的极值、含参分类讨论求函数的单调区间【分析】（1）求导后，分类讨论a，利用导数的符号判断函数的单调性；【详解】（1）函数，定义域为，，①当时，，函数在(0,+∞)上单调递增；②当时，令，得，令，得，所以函数在上单调递减，在上单调递增.综上所述，当时，函数在上单调递增；当时，函数在上单调递减，在上单调递增.【变式6-1】（24-25高三上·四川成都·期中）已知函数．(1)讨论的单调性；【答案】(1)答案见解析【知识点】含参分类讨论求函数的单调区间、根据极值求参数【分析】（1）对函数求导并分类讨论参数，即可得出的单调性；【详解】（1），①当时，在上单调递增，无递减区间，②当时，，可得f′x>0，，所以在上单调递增，在上单调递减，综上当时，在上单调递增，无递减区间，当a>0时，在上单调递增，在上单调递减．【变式6-2】（23-24高二上·福建莆田·期末）已知函数．(1)讨论的单调性；【答案】(1)答案见解析【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、含参分类讨论求函数的单调区间、利用导数证明不等式【分析】（1）将原函数求导，就参数进行分类讨论导函数的符号，即得函数的单调性；【详解】（1）的定义域,若则在0,+∞上单调递增；若当时，则单调递减，时，则单调递增.综上：当时，在0,+∞上单调递增，无减区间；当时，在上单调递减，在上单调递增.【变式6-3】（2024高三·全国·专题练习）已知函数.(1)求函数的单调区间.【答案】(1)答案见解析【分析】（1）求导后，对进行分类讨论，研究导数正负即可；【详解】（1）因为，所以的定义域为.当时，，所以函数在上单调递增.当时，由得，所以函数在上单调递增；由得，所以函数在上单调递减.综上所述，当时，函数的单调递增区间为，无单调递减区间；当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为.【考点题型七】导函数有效部分是二次型或可化为二次型核心方法：因式分解法【例7】（24-25高三上·云南玉溪·期中）已知函数.(1)若函数在处的切线平行于轴，求的值；(2)讨论的单调性；【答案】(1)；(2)答案见解析；【知识点】利用导数研究函数的零点、含参分类讨论求函数的单调区间、根据函数零点的个数求参数范围、已知切线（斜率）求参数【分析】（1）求出函数的导数，利用导数的几何意义求出.（2）利用导数分类讨论求出函数的单调区间.【详解】（1）函数，求导得，由函数在处的切线平行于轴，得，则，此时，，函数图象在处的切线为，符合题意，所以.（2）函数的定义域为，由（1）知，，当时，由，得或，由，解得，函数在上单调递增，在上单调递减；当时，，在上单调递增；当时，由，得或，由，得，函数在上单调递增，在上单调递减；当时，由，得，由，得，函数在上单调递增，在上单调递减，所以当时，函数的递增区间是，递减区间是；当时，函数的递增区间是；当时，函数的递增区间是，递减区间是；当时，函数的递增区间是，递减区间是.【变式7-1】（2024·江西新余·模拟预测）已知函数.(1)若，求在处的切线方程.(2)讨论的单调性.【答案】(1)；(2)答案见解析；【知识点】利用导数研究函数的零点、含参分类讨论求函数的单调区间、零点存在性定理的应用、求在曲线上一点处的切线方程（斜率）【分析】（1）把代入，利用导数的几何意义求出切线方程.（2）根据给定条件，按，，，分类，利用导数求出单调区间.【详解】（1）当时，，求导得，则，而，所以函数的图象在处的切线方程为，即.（2）函数的定义域为，求导得，①当时，由，得，由，得，则函数在上单调递增，在上单调递减；②当时，由，得，由，得，则函数在上单调递增，在，上单调递减；③当时，，函数在上单调递减；④当时，由，得，由，得，则函数在上单调递增，在，上单调递减，所以当时，函数的递增区间为，递减区间为；当时，函数的递增区间为，递减区间为，；当时，函数的递减区间为；当时，函数的递增区间为，递减区间为，.【变式7-2】（24-25高三上·福建龙岩·期中）已知函数.(1)求fx【答案】(1)答案见解析【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、含参分类讨论求函数的单调区间、利用导数研究能成立问题【分析】（1）求导，根据导数分情况讨论导函数零点情况及函数单调性；【详解】（1）由，，得.令，解得.当时，，当时，单调递增；当时，单调递减；当时，单调递增.当时，恒成立，在上单调递增.当时，，当时，单调递增；当时，单调递减；当时，单调递增.综上所述，当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为，；当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为.【变式7-3】（2024·广东佛山·一模）已知函数.(1)求函数在处的切线方程；(2)讨论函数的单调性；【答案】(1)(2)答案见解析【知识点】利用导数研究函数的零点、含参分类讨论求函数的单调区间、求在曲线上一点处的切线方程（斜率）【分析】（1）求出，再求出导函数，即可得到切线的斜率，从而求出切线方程；（2）由（1）可得，再分、、三种情况讨论，分别求出函数的单调区间；【详解】（1）因为，所以，，则，所以函数在处的切线方程为；（2）函数的定义域为，且，当时，恒成立，所以在上单调递增；当时，则当或时，当时，所以在，上单调递增，在上单调递减；当时，则当或时，当时，所以在，上单调递增，在上单调递减；综上可得，当时，在上单调递增；当时，在，上单调递增，在上单调递减；当时，在，上单调递增，在上单调递减.【考点题型八】导函数有效部分是不可因式分解的二次型核心方法：法【例8】（23-24高二下·河南许昌·期末）函数.(1)讨论的单调性；【答案】(1)答案见解析【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、含参分类讨论求函数的单调区间【分析】（1）先求导函数，分两情况谈论，分别求函数的单调性；【详解】（1）由题意，定义域为，即，

对于方程，，当，即时，，，在上单调递增，

当，即或时，方程有两不等根，，，而，，所以当时，，在上恒成立，即在上单调递增；当时，，或时，，时，，所以在和上单调递增，在上单调递减，

综上，当时，在上单调递增；当时，在和上单调递增，在上单调递减；【变式8-1】（2024高三·全国·专题练习）已知函数．(1)讨论函敞的单调性；【答案】(1)答案见解析【知识点】利用导数证明不等式、含参分类讨论求函数的单调区间【分析】（1）求导，分，两种情况可求的单调区间；【详解】（1）函数的定义域为．若，则在恒成立，在单调递增．若，则．当时，在恒成立，在单调递增．若，则有两个正实数根，从而在递增，在递减，在递增．综上，当时，在单调递增；当时，在递增，在递减，在递增．【考点题型九】根据图象判断函数极值，最值【例9】（23-24高二下·北京顺义·阶段练习）如图所示为函数的导函数图象，则下列关于函数的说法正确的有（

）①单调减区间是；

②和4都是极小值点；③没有最大值；④最多能有四个零点.A．①② B．②③ C．②④ D．②③④【答案】C【知识点】函数（导函数）图象与极值的关系、函数与导函数图象之间的关系、用导数判断或证明已知函数的单调性、零点存在性定理的应用【分析】利用给定的导函数图象，求出函数的单调区间，再逐一分析各个命题判断得解.【详解】观察图象知，当或时，，当或时，，因此函数在上单调递减，在上单调递增，函数在上不单调，①错误；和4都是极小值点，②正确；函数在取得极大值，当不小于函数在上的所有函数值时，函数有最大值，③错误；当，，且函数函数在上的图象都与轴相交时，函数在上各有1个零点，共有4个零点，因此最多能有四个零点，④正确，所以关于函数的说法正确的有②④.故选：C【变式9-1】（多选）（23-24高二下·吉林长春·期中）已知定义在R上的可导函数和的导函数f′x、图象如图所示，则关于函数的判断正确的是（

）A．有1个极大值点和2个极小值点 B．有2个极大值点和1个极小值点C．有最大值 D．有最小值【答案】BC【知识点】函数极值的辨析、函数最值与极值的关系辨析、函数（导函数）图象与极值的关系【分析】图象可知，的图象有三个不同交点，将其横坐标按从小到大依次设为，则，结合图象，利用导数判定的单调性，即可得到极值点.【详解】根据的图象可得，与的图象有三个不同的交点，设这些点的横坐标依次为，满足，其中.由图可知，当时，，即，故函数在上单调递增，当时，，即，故函数在上单调递减，当时，，即，故函数在上单调递增，当时，，即，故函数在上单调递减.综上所述，函数分别在时取得极大值，在时取得极小值,即函数有2个极大值点和1个极小值点,故B项正确，A项错误；因时，的趋近值未知，时，的趋近值也未知，故无法判断函数的最小值能否取得，但因函数分别在时取得极大值，故可取与中的较大者作为函数的最大值，故C项正确，D项错误.故选：BC.【变式9-2】（多选）（23-24高二下·河南洛阳·阶段练习）已知定义域为的函数的导函数为f′x，且f′x的图象如图所示，则（

A．在上单调递减 B．有极小值C．有3个极值点 D．在处取得最大值【答案】ABC【知识点】函数与导函数图象之间的关系、函数（导函数）图象与极值的关系【分析】首先分析给定图像，由f′x的图象可知时，f′x<0，则单调递减，进一步分析其他选项，由f′x的图象可知当时，【详解】由f′x的图象可知时，f则单调递减，故A正确；又时，f′x>0，则单调递增，所以当时，有极小值，故B正确；由f′x的图象可知时，有极值，所以有3个极值点，故C正确；当时，f′x>0，则单调递增，所以，则在处不能取得最大值，故D错误．故选：ABC．【考点题型十】求已知函数（不含参）极值（点）最值【例10】（24-25高三上·上海·期中）已知.(1)求函数的导数；(2)求函数的单调区间和极值.【答案】(1)(2)单调递增区间为和,单调递减区间为,函数的极大值为19,极小值为.【知识点】基本初等函数的导数公式、求已知函数的极值、利用导数求函数的单调区间（不含参）【分析】（1）根据导数运算法则求解；（2）令求其解，分区间判断导数的正负，列表确定函数单调性及极值.【详解】（1）因为，所以.（2）因为,所以,令,可得或,当变化时,的变化情况如下表,−24正0负0正单调递增极大值19单调递减极小值单调递增所以函数的单调递增区间为和,单调递减区间为,函数的极大值为19,极小值为.【变式10-1】（23-24高二下·甘肃张掖·阶段练习）设函数，曲线在点处取得极值.(1)求的值；(2)求函数的极值点.【答案】(1)(2)极大值点为，极小值点为.【知识点】求已知函数的极值点、根据极值点求参数【分析】（1）求出函数得导函数，根据曲线在点（1，f（1））处取得极值可得，从而可求出a的值，再检验所得结果是否符合要求即可；（2）根据导数的符号求出函数的单调区间，再根据极值的定义求出极值即可.【详解】（1）函数的定义域为，导函数，因为曲线在点处取得极值，所以，所以，解得，当时，，，当时，，当时，，，所以为函数的极值点，满足条件，所以.（2）由（1）可知，，则，当时，，函数在上单调递减，当时，，函数在上单调递增，当时，，函数在上单调递减，故的极大值点为，极小值点为.【变式10-2】（23-24高二下·重庆九龙坡·阶段练习）已知函数，且在点处的切线与平行．(1)求切线的方程；(2)求函数的单调区间和极值点．【答案】(1)(2)增区间，减区间，极小值点为2，无极大值点【知识点】已知切线（斜率）求参数、求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、求已知函数的极值点、利用导数求函数的单调区间（不含参）【分析】（1）求导，然后通过列方程求出的值，代入求出，利用点斜式可求出切线的方程；（2）令，求出单调区间，根据单调区间可得极值点.【详解】（1）由已知，在点处的切线与平行，，解得，，切线的方程为，即；（2）由（1）得，令，得，令，得，函数的单调增区间为，单调减区间为，极小值点为2，无极大值点.【考点题型十一】根据函数的极值（点）求参数【例11】（23-24高二下·四川成都·期中）已知在处的极大值为5，则（

）A． B．6 C．2 D．【答案】B【知识点】根据极值求参数、根据极值点求参数、求已知函数的极值【分析】求出函数的导数，利用极大值及极大值点求出,并验证即得.【详解】函数，求导得，依题意，，即，解得或，当时，，当或时，f′x>0，当时，f′x<0，因此在当时，，当时，f′x>0，当或时，f′x<0，因此在所以，所以.故选：B【变式11-1】（24-25高三上·甘肃天水·阶段练习）已知在处取得极大值16.(1)求的解析式；(2)求经过坐标原点且与曲线相切的切线方程.【答案】(1)(2).【知识点】求过一点的切线方程、根据极值求参数、根据极值点求参数【分析】（1）由函数的极值点处导数为零和极值列方程组解出即可；（2）设切点坐标为，由导数的几何意义和点斜式得到切线方程，再由切线过原点求出即可；【详解】（1）解得，经检验，函数在处取得极值.（2）设切点坐标为，，则切线方程为.切线的过原点，，解得，所以斜率为12，切线方程为.【变式11-2】（24-25高三上·山东聊城·期中）已知函数在处取得极小值.(1)求m，n的值；(2)若函数有3个不同零点，求实数的取值范围.【答案】(1)，(2)【知识点】根据极值求参数、利用导数研究函数的零点、用导数判断或证明已知函数的单调性、根据极值点求参数【分析】（1）求导，根据得到方程组，求出，，检验为极小值点，得到答案；（2）在（1）基础上，得到的极大值为，极小值为，转化为y=fx与有3个不同的交点，所以.【详解】（1），，，解得，，故，，令得或，令得，所以在上单调递增，在上单调递减，故为极小值点，满足要求；（2）由（1）知，在上单调递增，在上单调递减，且，，故的极大值为，极小值为，又趋向于时，趋向于，当趋向于时，趋向于，综上，要想有3个不同零点，即有3个不同的实数根，即y=fx与有3个不同的交点，所以.【考点题型十二】求已知函数（含参）极值（点）、最值【例12】（23-24高二下·全国·课前预习）已知函数，，.(1)求的值；(2)求在区间上的最大值.【答案】(1)(2)【知识点】由导数求函数的最值（含参）、求某点处的导数值、导数的乘除法【分析】（1）求出f′x，代值计算可得出（2）求得，对实数的取值进行分类讨论，利用导数分析函数在上的单调性，即可求得函数在区间上的最大值.【详解】（1）解：由得，所以.（2）解：由得，当时，对任意的恒成立，故在区间上单调递增，所以；当时，令，可得.（1）当时，即当时，对任意的恒成立，此时，函数在上为减函数，则；（2）当时，即当时，对任意的恒成立，此时，函数在上为增函数，则；（3）当时，即当时，列表如下：增极大值减此时，函数在上单调递增，在上单调递减，则.综上可得：.【变式12-1】（24-25高三上·河南·期中）已知向量，.若存在不同时为零的实数和，使得，，且.(1)求的解析式；(2)求（1）中的在上的极值.【答案】(1)；(2)当，没有极大值，也没有极小值；当，有极小值为，没有极大值.【知识点】求已知函数的极值、向量垂直的坐标表示【分析】（1）根据向量垂直的坐标表示可得答案；（2）利用导数判断出的单调性，分、讨论，结合单调性可得答案.【详解】（1）因为，，所以，又因为，所以，所以，所以；（2）由（1）得，当或时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递增，在上单调递减，由题可得，当时，在上单调递减，所以没有极大值，也没有极小值；当，在上单调递减，在上单调递增，所以在时有极小值，为，没有极大值.综上所述，当，没有极大值，也没有极小值；当，有极小值为，没有极大值.【变式12-2】（24-25高三上·全国·期中）已知函数．(1)讨论的单调性；(2)求在上的最大值．【答案】(1)答案见解析(2)【知识点】含参分类讨论求函数的单调区间、由导数求函数的最值（含参）【分析】（1）分、两种情况讨论，分析导数的符号变化，由此可得出函数的增区间和减区间；（2）分、、三种情况讨论，分析函数在上的单调性，可得出的表达式.【详解】（1）解：函数的定义域为，则.当时，对任意的，，此时函数的减区间为，无增区间；当时，由，可得，由，可得.此时，函数的增区间为，减区间为.综上所述，当时，函数的减区间为，无增区间；当时，函数的增区间为，减区间为.（2）解：由（1）知，当时，函数在上单调递减，此时，；当时，函数在上单调递增，在上单调递减，此时，；当时，函数在上单调递增，此时，.综上所述，.【考点题型十三】根据函数的最值求参数【例13】（24-25高三上·云南昆明·期中）已知函数.(1)若直线是曲线的一条切线，求a的值；(2)若在上的最大值为1，求a的取值范围.【答案】(1)(2)【知识点】已知切线（斜率）求参数、已知函数最值求参数、由导数求函数的最值（含参）【分析】（1）求导，令，可得或，分类讨论计算可得结论；（2），分，，，，五种情况讨论可得结论.【详解】（1）因为切线为，所以切线斜率为0，由，令，解得或，若是函数在的切线，则有，所以，即，令，求导得，令，解得，当时，，函数在上单调递减，当时，，函数在上单调递增，所以，所以无解；若是函数在的切线，，解得；（2）因为，因为，令，解得或，当时，若，，函数在单调递增，所以不符合题意，当时，若时，，函数在单调递减，若，，函数在单调递增，若，，函数在单调递减，所以时，函数在时取得极大值，所以，解得，又，所以当，可得时，，函数在单调递减，符合题意；当时，若，，函数在单调递减，若，，函数在单调递增，若，，函数在单调递减，所以时函数取得极大值，又，令，求导，所以，即，所以，所以时，在上的最大值为1，当时，在单调递减，在单调递增，，符合题意，综上所述：a的取值范围为.【变式13-1】（河南省金科新未来大联考2024-2025学年高三上学期11月质量检测数学试题）已知函数的图象关于点中心对称.(1)求、的值；(2)若，当时，的最小值为，求的值.【答案】(1)，(2)【知识点】已知函数最值求参数、由函数对称性求函数值或参数【分析】（1）由已知可得出，可得出关于、的方程组，即可解得这两个未知数的值；（2）利用导数分析函数的单调性，分、两种情况讨论，结合函数在上的最小值为，可求得实数的值.【详解】（1）依题意，，即，所以，，所以，.（2）由（1）可知，，则，所以当时，f′x<0，当x∈1,+∞时，f′若，则在区间内的最小值为，即，解得或，均不符题意；若，则函数在0,1上单调递减，在上单调递增，则在区间内的最小值为，解得，符合题意..【变式13-2】（24-25高三上·江苏苏州·阶段练习）已知函数(1)若在上单调递减，求a的取值范围，(2)若在区间的最小值为，求a的值.【答案】(1)(2)【知识点】函数单调性、极值与最值的综合应用、由函数在区间上的单调性求参数、已知函数最值求参数【分析】（1）求出函数导数，根据单调性建立不等式，分离参数即可得解；（2）求出导数的零点和0，根据与所给自变量区间0,2分类讨论，利用导数得出最小值，解得.【详解】（1）因为，在上单调递减，所以在上恒成立，故在上恒成立，由，所以.（2）由，令，则或，当时，，∴fx在0,2上单调递增，，不符合题意；当时，，则当时，f′x<0，当时，f′x∴fx在上单调递减，在上单调递增，解得，符合题意；当时，，则当时，，在上单调递减，，解得，不符合题意，若在区间0,2的最小值为，则的值为.提升训练一、单选题1．（24-25高三上·江西新余·阶段练习）已知函数在定义域内是增函数，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】D【知识点】求二次函数的值域或最值、导数的运算法则、由函数在区间上的单调性求参数【分析】题目转化为在上恒成立，然后用分离参数的方法求解即可．【详解】函数的定义域为，因为函数在内是增函数，所以在恒成立，所以在上恒成立，只需,即可，因为,，当，即时，，所以，即的取值范围为．故选：D．2．（24-25高二上·全国·课后作业）函数的最小值为（

）A．0 B．1 C． D．【答案】D【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、由导数求函数的最值（不含参）【分析】利用导数判断出函数的单调性即可得解.【详解】的定义域为，所以当x∈0,1时，f′x当x∈1,+∞时，所以的最小值为．故选：D.3．（24-25高三上·江西赣州·阶段练习）若对任意的，且，则的最小值是（

）A． B． C．1 D．【答案】D【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、由函数在区间上的单调性求参数【分析】先根据函数有意义得出，再构造函数，根据题意得出在上单调递减，进而求出的单调递减区间，再根据即可求解.【详解】解：对任意的，且，易知：，化简得：，即，即，令，则函数在上单调递减，因为，由，可得：，所以的单调递减区间为，所以，所以，因此，实数的最小值为.故选：D.4．（24-25高三上·黑龙江鸡西·期中）函数在R上存在极大值的充分条件是：（

）A． B． C． D．【答案】A【知识点】根据极值求参数、判断命题的充分不必要条件【分析】求导，利用判别式求出的范围，然后由包含关系可得.【详解】要使在R上存在极大值，只需有两个异号零点，所以，即，记集合，则在R上存在极大值的充分条件是的子集.故选：A5．（2024·辽宁·模拟预测）已知函数在处有极大值，则（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【知识点】根据极值点求参数【分析】首先根据，求，再代入验证，即可求解.【详解】，由题意可知，，得或，当时，，得或，当f′x>0，得或，f′x所以函数的单调递增区间是和1,+∞，单调递减区间是，所以是极小值，故，时，，得或，当f′x>0，得或，f′x所以函数的单调递增区间是和，单调递减区间是，所以是极大值，故.故选：C6．（24-25高三上·重庆涪陵·开学考试）已知函数在内有最小值点，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】C【知识点】根据极值点求参数【分析】求出函数的导函数，即可得到函数的单调区间，从而求出函数的极小值点，从而得到关于的不等式组，求解即可.【详解】函数的定义域为，，令，可得或（舍），当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以在处取得极小值，即最小值，又因为函在内有最小值，故，解得，所以的取值范围是.故选：C.7．（24-25高三上·贵州贵阳·阶段练习）已知函数，当时，函数取得最大值，则（

）A． B．或C． D．【答案】D【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、已知函数最值求参数【分析】根据题设有、求参数，注意验证所得函数是否符合题设，进而求对应函数值.【详解】由题设，故，且，所以，故，即，此时，且，所以，时，在上单调递增；时，在上单调递减；故处为极大值，也是最大值，满足题设；所以.故选：D8．（24-25高三上·辽宁·期中）已知定义在上的函数及其导函数，满足，且，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．【答案】B【知识点】导数的运算法则、用导数判断或证明已知函数的单调性、根据函数的单调性解不等式【分析】令，结合题意得，所以在0,+∞上单调递增，，即，即，根据单调性解不等式即可.【详解】令，则，因为，所以，所以在0,+∞上单调递增，，即，又，则，所以，即，所以，解得.故选：.二、多选题9．（24-25高三上·宁夏银川·阶段练习）设函数，则（

）A．当时，是的极大值点B．当时，有三个零点C．若满足，则D．当时，若在上有最大值，则【答案】AC【知识点】求已知函数的极值、利用导数研究函数的零点、由函数对称性求函数值或参数、由导数求函数的最值（含参）【分析】根据导数的形式讨论导数的符号后可判断A的正误，再讨论单调性后可判断BD的正误，根据题设中的恒等式可求的值，故可判断C的正误.【详解】对于A，，当时，或时，f′x<0；当时，f′x故为的极大值点，故A正确；对于B，当时，由A的分析同理可得：当或时，f′x>0；当时，f′故在为减函数，在上为增函数，而，，，故只有一个零点；对于C，，由题设可得恒成立，故即，故C正确.对于D，取，由B的分析可得：在为增函数，在上为减函数，在为增函数，而，，此时在无最大值，故选：AC.10．（24-25高三上·福建南平·期中）设函数，，给定下列命题，则正确的命题是（

）A．不等式的解集为；B．函数在单调递增，在单调递减；C．若函数有两个极值点，则实数；D．时，总有恒成立.【答案】AD【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、利用导数研究不等式恒成立问题、根据函数的单调性解不等式、根据极值点求参数【分析】根据的正负可求得的单调性，结合可确定AB正误；将Fx极值点个数问题转化为与有两个不同交点问题，采用数形结合的方式可知C错误；根据fx,gx的单调性可求得最值，通过最值比较可知D正确.【详解】对于AB，，，，当x∈0,1时，；当x∈1,+∞时，；在0,1上单调递增，在1,+∞上单调递减，B错误；又，当时，gx>0恒成立，的解集为，A正确；对于C，，，有两个极值点，有两个不等正实根，由得：，与有两个不同交点，图象如下图所示，结合图象可知：当，即时，与有两个不同交点，即若函数有两个极值点，则实数，C错误；对于D，，当时，，∴fx在上单调递增，；在0,1上单调递增，，的最大值与的最小值不同时取得，当时，恒成立，D正确.故选：AD.【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数求解函数的单调性、求解函数不等式、根据极值点个数求解参数范围、恒成立问题的求解；根据极值点个数求解参数范围的关键是能够将问题转化为函数交点个数的求解问题，采用数形结合的方式，利用函数图象来进行求解.三、填空题11．（23-24高二下·福建龙岩·期中）函数既有极大值，又有极小值，则整数a的最大值为．【答案】【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、根据极值求参数【分析】求导，当时，恒成立，不合要求，，至少有两个变号零点，令，则至少有两个不等正根，由根的判别式和韦达定理得到不等式，求出，得到答案.【详解】定义域为R，，当时，恒成立，故在R上单调递增，故不存在极值，不合要求，故，且至少有两个变号零点，令，则需有两个不等正根，令，需满足，解得，综上，，故整数a的最大值为.故答案为：12．（2024·全国·模拟预测）已知函数，若对任意恒成立，则的最大值为．【答案】1【知识点】函数单调性、极值与最值的综合应用、由导数求函数的最值（含参）、函数不等式恒成立问题【分析】可判断时不合题意，时研究的条件，可得，进而，构造最大值即可得到的最大值.【详解】解：，当时，f′x<0所以在R上单调递减，不满足，故，因此由，解得，所以在单调递减，在单调递增，，所以，所以，令，则，因此在0,2上单调递增，在上单调递减，，所以的最大值为．故答案为：.四、解答题13．（24-25高三上·山西大同·期中）已知函数的图象在点处的切线与直线平行．(1)求；(2)求在区间上的最大值．（参考数据：）【答案】(1)(2)【知识点】已知切线（斜率）求参数、利用导数求函数的单调区间（不含参）、由导数求函数的最值（不含参）【分析】（1）先求导函数再根据点处的切线与直线平行得出求参；（2）先根据导函数正负得出函数单调性，进而比较端点函数