专题05 椭圆、双曲线、抛物线（选填）（考点清单+知识导图+ 15个考点清单-题型解读）（原卷版）-25学年高二数学上学期期末考点大串讲

清单05椭圆、双曲线、抛物线（选填）（个考点梳理+题型解读+提升训练）【清单01】椭圆的定义1、椭圆的定义：平面内一个动点到两个定点、的距离之和等于常数，这个动点的轨迹叫椭圆.这两个定点（,）叫椭圆的焦点，两焦点的距离（）叫作椭圆的焦距.说明：若，的轨迹为线段；若，的轨迹无图形2、定义的集合语言表述集合.【清单02】椭圆的标准方程焦点位置焦点在轴上焦点在轴上标准方程（）（）图象焦点坐标，，的关系【清单03】双曲线的定义1、定义:一般地,我们把平面内与两个定点,的距离的差的绝对值等于非零常数(小于)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.2、集合语言表达式双曲线就是下列点的集合:.3、说明若将定义中差的绝对值中的绝对值符号去掉,则点的轨迹为双曲线的一支,具体是哪一支,取决于与的大小.(1)若,则,点的轨迹是靠近定点的那一支;(2)若,则,点的轨迹是靠近定点的那一支.【清单04】双曲线的标准方程焦点位置焦点在轴上焦点在轴上标准方程（）（）图象焦点坐标，，的关系两种双曲线，（）的相同点是:它们的形状、大小都相同,都有,;不同点是:两种双曲线的位置不同,它们的焦点坐标也不同.【清单05】抛物线的定义1、抛物线的定义：平面内与一个定点和一条定直线（其中定点不在定直线上）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线．2、抛物线的数学表达式：(为点到准线的距离).【清单06】抛物线的标准方程设，抛物线的标准方程、类型及其几何性质：方程（）（）（）（）图形焦点准线【考点题型一】椭圆,双曲线，抛物线定义辨析【例1】（24-25高二上·北京·阶段练习）下列说法正确的个数是（

）①动点满足，则P的轨迹是椭圆②动点满足，则P的轨迹是双曲线③动点满足到y轴的距离比到的距离小1，则P的轨迹是抛物线④动点满足，则P的轨迹是圆和一条直线（

）A．0 B．1 C．2 D．3【变式1-1】（24-25高二上·江苏连云港·期中）一动圆与圆外切，与圆内切，则该动圆圆心的轨迹是（

）A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线【变式1-2】（24-25高二上·全国·课前预习）设定点，，动点满足条件，则点的轨迹是（

）A．椭圆 B．线段 C．射线 D．椭圆或线段【考点题型二】利用圆锥曲线定义求轨迹方程【例2】（24-25高二上·重庆渝中·阶段练习）平面内，动点的坐标满足方程，则动点的轨迹方程为（

）A． B．C． D．【变式2-1】（2024高三·全国·专题练习）已知点，若动点满足，则点的轨迹方程为（

）A． B．C． D．【变式2-2】（22-23高三·全国·课后作业）已知点F（1，0），直线，若动点P到点F和到直线l的距离相等，则点P的轨迹方程是.【考点题型三】圆锥曲线上点到焦点距离及最值【例3】（2023·河南郑州·一模）设，为双曲线C：的左、右焦点，Q为双曲线右支上一点，点P（0，2）．当取最小值时，的值为（

）A． B． C． D．【变式3-1】（24-25高二上·吉林·期中）已知动点在椭圆上，若点，点满足，且，则的最小值为（

）A． B．3 C． D．【变式3-2】（23-24高二上·上海·期末）设，为双曲线的左右焦点，为双曲线右支上一点，点，当取最小值时，的值为.【考点题型四】椭圆，双曲线中焦点三角形问题（周长问题）核心方法：圆锥曲线定义+余弦定理【例4-1】（24-25高二上·重庆·阶段练习）经过椭圆的右焦点的直线交椭圆于，两点，是椭圆的左焦点，则的周长是（

）A．8 B．9 C．10 D．20【例4-2】（24-25高二上·广东江门）设双曲线的左、右焦点分别为，，离心率为，是双曲线上一点，且．若的面积为，则的周长为（

）A． B． C． D．23+26【变式4-1】（23-24高二上·河南周口·期中）设椭圆：的左、右焦点分别为，.若点在上，则的周长为.【变式4-2】（24-25高二上·江苏南通·阶段练习）设圆C与两圆，中的一个内切，另一个外切.(1)求圆心C的轨迹E的方程；(2)过曲线E上一点M（2，3）作斜率为的直线l，与曲线E交于另外一点N.试求的周长.【考点题型五】椭圆，双曲线中焦点三角形问题（面积问题）核心方法：圆锥曲线定义+正、余弦定理+面积公式+基本不等式【例5-1】（23-24高二下·四川内江·阶段练习）设是双曲线C:的两个焦点，O为坐标原点，点P在C上且，则面积为.【例5-2】（24-25高二上·安徽·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，且直线与轴垂直.(1)证明：；(2)若的角平分线恰好过点，求的面积.【变式5-1】（23-24高二上·江西·阶段练习）已知点在椭圆上，是椭圆的左､右焦点，若，且的面积为，则的最小值为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【变式5-2】（23-24高二上·四川达州·期中）已知双曲线的左、右焦点分别是，点为双曲线上一点，若到原点的距离，则的面积是.【考点题型六】椭圆，双曲线中焦点三角形问题（其他问题）【例6】（多选）（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期中）已知椭圆上有一点P，分别为左､右焦点，，的面积为S，则下列选项正确的是（

）A．若，则B．使得为直角三角形的点共6个C．若为钝角三角形，则D．的最大值是9【变式6-1】（多选）（23-24高二上·江苏常州·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，的面积为，则（

）A．点的横坐标为 B．的周长为16C．的内切圆的半径为 D．的外接圆的半径为【变式6-2】（多选）（24-25高二上·山东·期中）已知椭圆：（）与双曲线：有相同的焦点，，且它们的离心率之积为，点是与的一个公共点，则（

）A．椭圆的方程为 B．C．为等腰三角形 D．对于上的任意一点，【考点题型七】圆锥曲线中线段和差最值问题【例7】（24-25高二上·吉林·期中）已知椭圆的右焦点为，上顶点为，点是上一点，则的最小值为（

）A． B． C． D．【变式7-1】（24-25高二上·江苏扬州·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，为上任意一点，为圆上任意一点，则的最小值为.【变式7-2】（24-25高二上·重庆北碚·阶段练习）已知双曲线的左右焦点分别为､，为双曲线右支上一点，点的坐标为，则的最小值为.【考点题型八】求圆锥曲线方程【例8】（24-25高二上·广西玉林·期中）一动圆与圆和都外切，则动圆的圆心的轨迹方程为.【变式8-1】（24-25高二上·江苏常州）在直角坐标平面内，已知，若，则点所在曲线的方程为.【变式8-2】（24-25高二上·云南大理·期中）分别求满足下列条件的椭圆的标准方程：(1)两个焦点分别是，，并且椭圆经过点；(2)经过两点、.【考点题型九】判断方程为椭圆、双曲线的条件【例9】（23-24高二下·广西柳州·阶段练习）已知曲线.下列正确的是（

）A．若，则是椭圆，其焦点在轴上B．若，则是圆，其半径为C．若，则是双曲线，其渐近线方程为D．若，则是两条直线【变式9-1】（多选）（23-24高二上·陕西宝鸡·期末）若方程所表示的曲线为C，则（

）A．曲线C可能是圆B．若，则C不一定是椭圆C．若C为椭圆，且焦点在x轴上，则D．若C为双曲线，且焦点在y轴上，则【变式9-2】.（多选）（23-24高二上·湖北武汉·期中）若方程所表示的曲线为，则下列说法错误的是（

）A．若为椭圆，则B．若为双曲线，则或C．若为椭圆，则焦距为定值D．若为双曲线，则焦距为定值【考点题型十】圆锥曲线中的离心率（定值）【例10】（24-25高二上·江苏扬州·期中）设双曲线的左、右焦点分别为，，直线过点，若点关于的对称点恰好在双曲线右支上，且，则的离心率为（

）A． B． C． D．2【变式10-1】（24-25高二上·广东佛山·期中）已知A，B分别为椭圆的左、右顶点，，直线与轴交于点，与直线交于点，且平分，则此椭圆的离心率为.【变式10-2】（24-25高二上·湖南·期中）已知双曲线的左焦点为，过的直线交圆于，两点，交的右支于点，若，则的离心率为.【考点题型十一】圆锥曲线中的离心率（最值+范围）【例11】（24-25高二上·安徽·期中）已知为坐标原点，是椭圆的左焦点．若椭圆上存在两点满足，且关于原点对称，则椭圆的离心率的取值范围是（

）A． B． C． D．【变式11-1】（24-25高二上·河北石家庄·阶段练习）设分别是椭圆的左、右焦点，且，若在直线上存在P，使线段的中垂线过点，则椭圆离心率的取值范围是（

）A． B． C． D．【变式11-2】（2024·全国·模拟预测）已知双曲线的左焦点为，若双曲线右支上存在点满足（为坐标原点），则双曲线的离心率的取值范围是．【考点题型十二】抛物线中的和差最值问题【例12】（24-25高二上·湖南·期中）已知抛物线的焦点为点，P是C上一个动点，则的最小值为（

）A．4 B．5 C．6 D．8【变式12-1】（2024·湖南·模拟预测）已知点，抛物线的焦点为为抛物线上一动点，当运动到时，，则的最小值为（

）A．6 B．5 C．4 D．3【变式12-2】（23-24高二下·河南安阳·阶段练习）已知抛物线：的准线为，点的坐标为，点在抛物线上，点到直线的距离为，则的最大值为（

）A． B． C．1 D．【考点题型十三】抛物线中焦半径问题【例13】（24-25高二上·河南·期中）已知为抛物线的焦点，点，，在抛物线上，为的重心，则（

）A． B． C． D．【变式13-1】（2024·北京西城·三模）点F抛物线的焦点，A，B，C为抛物线上三点，若，则（

）A．2 B． C．3 D．【考点题型十四】抛物线的标准方程【例14】（23-24高二上·全国·课后作业）以为焦点的抛物线的标准方程是（

）A． B．C． D．【变式14-1】（23-24高三下·湖北·开学考试）已知抛物线的顶点在原点，焦点在坐标轴上，点关于其准线的对称点为，则的方程为（

）A． B． C． D．【变式14-2】（24-25高三上·云南昆明·开学考试）已知点到点的距离比它到直线的距离小，则点的轨迹方程为（

）A． B．C． D．【变式14-3】（2024高二·全国·专题练习）到点的距离比到直线的距离小的动点的轨迹方程为（

）A． B．C． D．【考点题型十五】圆锥曲线中新定义题（小题）【例15】（24-25高二上·上海·期中）在平面直角坐标系中，定义为两点，的“切比雪夫距离”，又设点与直线上任意一点，称的最小值为点与直线间的“切比雪夫距离”，记作，给定下列两个命题：①已知点，直线，则；②定点、，动点满足，则点的轨迹与直线（k为常数）有且仅有2个公共点；下列说法正确的选项是（

）A．命题①成立，命题②不成立 B．命题①不成立，命题②成立C．命题①②都成立 D．命题①②都不成立【变式15-1】（24-25高二上·吉林·期中）如图，已知半椭圆与半椭圆组成的曲线称为“果圆”，其中.“果圆”与轴的交点分别为，与轴的交点分别为，点为半椭圆上一点（不与重合），若存在.，则半椭圆的离心率的取值范围为（

）A． B． C． D．【变式15-2】（24-25高二上·浙江台州·期中）数学中有许多寓意美好的曲线，曲线被称为“四叶玫瑰线”（如图所示）．给出下列三个结论：①曲线C关于直线对称；②曲线C上任意一点到原点的距离都不超过2；③存在一个以原点为中心、边长为的正方形，使曲线C在此正方形区域内（含边界）．其中，正确结论的序号是（

）A．①② B．②③ C．①③ D．①②③提升训练一、单选题1．（24-25高二上·山东济宁·期中）设分别为椭圆的两个焦点，过且不与坐标轴重合的直线椭圆于两点，则的周长为（

）A． B． C． D．2．（福建省龙岩市非一级达标校联盟2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷）已知是双曲线的右焦点，则点到的渐近线的距离为（

）A． B． C． D．3．（24-25高二上·广东佛山·期中）已知是椭圆的两个焦点，点在上，则的最大值为（

）A．3 B． C．4 D．4．（2024·陕西商洛·一模）已知直线与抛物线交两点，为坐标原点，若，则（

）A． B． C． D．5．（24-25高二上·黑龙江鸡西·期中）已知双曲线C：分别为双曲线的左、右焦点，是双曲线右支上一点.连接交双曲线C左支于点，若是以为直角顶点的等腰直角三角形，则双曲线C的离心率是（

）A． B．2 C． D．56．（24-25高二上·广西南宁·期中）已知抛物线，直线过抛物线的焦点，直线与抛物线交于A，B两点，弦AB长为12，则直线的方程为（

）A．或 B．或C．或 D．或7．（24-25高二上·河北石家庄·期中）如图所示，点是抛物线的焦点，点分别在抛物线及圆的实线部分上运动，且AB总是平行于轴，则的周长的取值范围是（

）A． B． C． D．8．（24-25高二上·安徽·阶段练习）已知曲线，过上任意一点向轴引垂线，垂足为，则线段的中点的轨迹方程为（

）A． B．C． D．9．（24-25高二上·浙江·期中）已知双曲线：，过点的直线与双曲线交于，两点.若点为线段的中点，则直线的方程是（

）A． B．C． D．10．（24-25高二上·云南昆明·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为、，若上存在一点，使得，则的离心率的取值范围是（

）A． B． C． D．二、多选题11．（24-25高二上·重庆·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点为椭圆上一点，则（