专题05 椭圆、双曲线、抛物线（选填）（考点清单+知识导图+ 15个考点清单-题型解读）（解析版）-25学年高二数学上学期期末考点大串讲

清单05椭圆、双曲线、抛物线（选填）（个考点梳理+题型解读+提升训练）【清单01】椭圆的定义1、椭圆的定义：平面内一个动点到两个定点、的距离之和等于常数，这个动点的轨迹叫椭圆.这两个定点（,）叫椭圆的焦点，两焦点的距离（）叫作椭圆的焦距.说明：若，的轨迹为线段；若，的轨迹无图形2、定义的集合语言表述集合.【清单02】椭圆的标准方程焦点位置焦点在轴上焦点在轴上标准方程（）（）图象焦点坐标，，的关系【清单03】双曲线的定义1、定义:一般地,我们把平面内与两个定点,的距离的差的绝对值等于非零常数(小于)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.2、集合语言表达式双曲线就是下列点的集合:.3、说明若将定义中差的绝对值中的绝对值符号去掉,则点的轨迹为双曲线的一支,具体是哪一支,取决于与的大小.(1)若,则,点的轨迹是靠近定点的那一支;(2)若,则,点的轨迹是靠近定点的那一支.【清单04】双曲线的标准方程焦点位置焦点在轴上焦点在轴上标准方程（）（）图象焦点坐标，，的关系两种双曲线，（）的相同点是:它们的形状、大小都相同,都有,;不同点是:两种双曲线的位置不同,它们的焦点坐标也不同.【清单05】抛物线的定义1、抛物线的定义：平面内与一个定点和一条定直线（其中定点不在定直线上）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线．2、抛物线的数学表达式：(为点到准线的距离).【清单06】抛物线的标准方程设，抛物线的标准方程、类型及其几何性质：方程（）（）（）（）图形焦点准线【考点题型一】椭圆,双曲线，抛物线定义辨析【例1】（24-25高二上·北京·阶段练习）下列说法正确的个数是（

）①动点满足，则P的轨迹是椭圆②动点满足，则P的轨迹是双曲线③动点满足到y轴的距离比到的距离小1，则P的轨迹是抛物线④动点满足，则P的轨迹是圆和一条直线（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】A【知识点】轨迹问题——圆、轨迹问题——椭圆、双曲线定义的理解、抛物线定义的理解【分析】根据椭圆、双曲线、抛物线、直线和圆的知识对四个说法进行分析，从而确定正确答案.【详解】①，表示点与点的距离和为，而两点的距离为，所以点轨迹是两点间的线段，①错误.②，表示点与点的距离和为，而两点的距离为，，所以点的轨迹是椭圆，②错误.③，动点满足到y轴的距离比到的距离小1，当点在y轴左侧或在y轴上时则动点满足到直线的距离和到的距离相等，则P的轨迹是抛物线；当点在y轴右侧时，此时P的轨迹是射线，③不正确.④，动点满足，则或，表示的是直线在圆外和圆上的部分；表示一个圆，所以P的轨迹是圆和两条射线，④错误.所以正确的有0个.故选：A【变式1-1】（24-25高二上·江苏连云港·期中）一动圆与圆外切，与圆内切，则该动圆圆心的轨迹是（

）A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线【答案】B【知识点】椭圆定义及辨析、轨迹问题——椭圆【分析】先把两圆方程化成标准方程，得出圆心和半径，设出动圆圆心坐标，根据两圆相切的性质推导出满足的关系式后即可求解.【详解】由可得，，圆心为，半径；由可得，圆心为，半径.设动圆的圆心为，半径为，由于动圆和外切，根据两圆外切的性质，，由于动圆和内切，根据两圆内切的性质，，于是，即动点到的距离之和是，且大于两定点间距离，根据椭圆的定义，动圆圆心的轨迹是椭圆.故选：B【变式1-2】（24-25高二上·全国·课前预习）设定点，，动点满足条件，则点的轨迹是（

）A．椭圆 B．线段 C．射线 D．椭圆或线段【答案】D【知识点】椭圆定义及辨析【分析】利用基本不等式求出的范围，根据椭圆的定义可得答案.【详解】因为，所以，当且仅当时等号成立，当时，，而，此时点的轨迹是线段；当时，，此时点的轨迹是以、为焦点的椭圆．综上所述，点的轨迹是以、为焦点的椭圆或线段.故选：D.【考点题型二】利用圆锥曲线定义求轨迹方程【例2】（24-25高二上·重庆渝中·阶段练习）平面内，动点的坐标满足方程，则动点的轨迹方程为（

）A． B．C． D．【答案】B【知识点】利用椭圆定义求方程、轨迹问题——椭圆【分析】根据椭圆的定义求解即可.【详解】由题意，点到两个定点，的距离之和等于常数，故根据椭圆的定义可知：此点的轨迹为焦点在轴上的椭圆，且，，故，故椭圆的标准方程为.故选：B【变式2-1】（2024高三·全国·专题练习）已知点，若动点满足，则点的轨迹方程为（

）A． B．C． D．【答案】B【知识点】利用双曲线定义求方程、根据a、b、c求双曲线的标准方程【分析】根据中为定值，故先化简再分析满足的距离关系即可.【详解】设Mx,y，因为，故，即.故点Mx,y的轨迹是以为焦点的双曲线的下支，且，故.所以点的轨迹方程为.故选：B.【变式2-2】（22-23高三·全国·课后作业）已知点F（1，0），直线，若动点P到点F和到直线l的距离相等，则点P的轨迹方程是.【答案】【知识点】利用抛物线定义求动点轨迹【分析】根据抛物线的定义，结合焦点坐标，直接求轨迹方程.【详解】根据抛物线定义可知，点在以为焦点，直线为准线的抛物线上，所以，，抛物线方程为.故答案为：.【考点题型三】圆锥曲线上点到焦点距离及最值【例3】（2023·河南郑州·一模）设，为双曲线C：的左、右焦点，Q为双曲线右支上一点，点P（0，2）．当取最小值时，的值为（

）A． B． C． D．【答案】A【知识点】利用双曲线定义求点到焦点的距离及最值、利用定义求双曲线中线段和、差的最值【分析】结合双曲线定义数形结合判断取最小值时，三点共线，联立直线及双曲线方程解出Q的坐标为，即可求解的值.【详解】由双曲线定义得,故如图示，当三点共线，即Q在M位置时，取最小值，，故方程为，联立，解得点Q的坐标为(Q为第一象限上的一点)，故故选：A【变式3-1】（24-25高二上·吉林·期中）已知动点在椭圆上，若点，点满足，且，则的最小值为（

）A． B．3 C． D．【答案】C【知识点】椭圆上点到焦点的距离及最值【分析】由得，，问题转化为求，结合图象可知当点为椭圆的右顶点时，有最小值，计算，得到.【详解】椭圆中，.

如图，由得，∴，∴当取最小值时，最小.由题意得，点A为椭圆右焦点，当点为椭圆的右顶点时，，∴.故选：C.【变式3-2】（23-24高二上·上海·期末）设，为双曲线的左右焦点，为双曲线右支上一点，点，当取最小值时，的值为.【答案】/【知识点】利用双曲线定义求点到焦点的距离及最值【分析】结合双曲线定义数形结合判断出取最小值时，、、三点共线，且点在点、之间，后续计算即可得.【详解】由双曲线为，则，为双曲线右支上一点，则，即故，当且仅当点、、三点共线，且点在点、之间时，等号成立，由题意可得，又，则，即，代入得，，化简得，故或，由，故舍去，则，即点，则.故答案为：.【考点题型四】椭圆，双曲线中焦点三角形问题（周长问题）核心方法：圆锥曲线定义+余弦定理【例4-1】（24-25高二上·重庆·阶段练习）经过椭圆的右焦点的直线交椭圆于，两点，是椭圆的左焦点，则的周长是（

）A．8 B．9 C．10 D．20【答案】D【知识点】椭圆定义及辨析、椭圆中焦点三角形的周长问题【分析】为焦点三角形，周长等于两个长轴长，再根据椭圆方程，即可求出的周长．【详解】为椭圆的两个焦点，，的周长为．故选：D．【例4-2】（24-25高二上·广东江门）设双曲线的左、右焦点分别为，，离心率为，是双曲线上一点，且．若的面积为，则的周长为（

）A． B． C． D．23+26【答案】A【知识点】利用定义解决双曲线中焦点三角形问题、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形【分析】由三角形面积公式可求，结合余弦定理得，由离心率可求出，同理结合代入余弦定理可求，进而得解.【详解】由题可知，，求得，对由余弦定理可得，即，即，因为，解得，又，即，解得，，所以的周长为.故选：A【变式4-1】（23-24高二上·河南周口·期中）设椭圆：的左、右焦点分别为，.若点在上，则的周长为.【答案】6【知识点】椭圆中焦点三角形的周长问题【分析】根据条件得出，再利用椭圆的定义即可求出结果.【详解】因为在椭圆：上，所以，得到，又，所以，又，所以，由椭圆的定义知，，所以的周长为，故答案为：.【变式4-2】（24-25高二上·江苏南通·阶段练习）设圆C与两圆，中的一个内切，另一个外切.(1)求圆心C的轨迹E的方程；(2)过曲线E上一点M（2，3）作斜率为的直线l，与曲线E交于另外一点N.试求的周长.【答案】(1)(2)10【知识点】利用定义解决双曲线中焦点三角形问题、利用双曲线定义求方程【分析】（1）根据几何意义即可求得轨迹方程；（2）求出直线l的方程，结合双曲线的几何性质即可得解.【详解】（1）圆C与两圆，中的一个内切，另一个外切，则，所以的轨迹是以为焦点，2为实轴长的双曲线，其标准方程（2）过曲线E上一点M（2，3）作斜率为的直线l，其方程，恰好经过，N在线段上，，，即，所以的周长【考点题型五】椭圆，双曲线中焦点三角形问题（面积问题）核心方法：圆锥曲线定义+正、余弦定理+面积公式+基本不等式【例5-1】（23-24高二下·四川内江·阶段练习）设是双曲线C:的两个焦点，O为坐标原点，点P在C上且，则面积为.【答案】3【知识点】求双曲线中三角形（四边形）的面积问题、利用定义解决双曲线中焦点三角形问题【分析】利用双曲线定理结合勾股定理求出的长，再利用三角形面积公式即可.【详解】由题意得双曲线中，，则其焦点坐标，根据双曲线对称性，不妨假设点在第一象限，设，其中，因为，则，根据勾股定理知，即，解得（负舍），则，则面积为.故答案为：3.【例5-2】（24-25高二上·安徽·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，且直线与轴垂直.(1)证明：；(2)若的角平分线恰好过点，求的面积.【答案】(1)证明见解析(2)【知识点】椭圆中焦点三角形的面积问题、椭圆定义及辨析【分析】（1）利用椭圆定义以及勾股定理计算可得结论；（2）由角平分线定理可得，，解得，代入可求得面积.【详解】（1）由椭圆的定义得，因为直线与x轴垂直，所以，即，故.（2）因为平分，所以，即，如下图所示：由和，解得，，代入得，解得；故的面积为.【变式5-1】（23-24高二上·江西·阶段练习）已知点在椭圆上，是椭圆的左､右焦点，若，且的面积为，则的最小值为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【知识点】三角形面积公式及其应用、椭圆中焦点三角形的面积问题、基本不等式求和的最小值【分析】根据题意由向量数量积和三角形面积公式可得，再利用椭圆定义和基本不等式即可求出.【详解】如图所示：

不妨设，则可知，，两式相除可得，所以，又，所以，可得，由椭圆的定义，得（当且仅当时等号成立），所以.故选：B.【变式5-2】（23-24高二上·四川达州·期中）已知双曲线的左、右焦点分别是，点为双曲线上一点，若到原点的距离，则的面积是.【答案】【知识点】轨迹问题——圆、利用定义解决双曲线中焦点三角形问题【分析】由可得点在圆上，且，利用双曲线定义和勾股定理可得，即可知的面积为.【详解】如下图所示：不妨取点在双曲线的右支上，由可得点在圆上，又易知，所以即为圆的直径，所以，利用双曲线定义可得，利用勾股定理可得，所以，可得，因此的面积为.故答案为：【考点题型六】椭圆，双曲线中焦点三角形问题（其他问题）【例6】（多选）（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期中）已知椭圆上有一点P，分别为左､右焦点，，的面积为S，则下列选项正确的是（

）A．若，则B．使得为直角三角形的点共6个C．若为钝角三角形，则D．的最大值是9【答案】AC【知识点】余弦定理解三角形、基本不等式求积的最大值、椭圆中焦点三角形的面积问题、椭圆中焦点三角形的其他问题【分析】对于A，利用椭圆的定义结合余弦定理和三角形的面积公式可求得结果，对于B，利用余弦定理求出，结合椭圆的性质进行判断，对于C，当时，为钝角三角形，从而可求出三角形面积的范围，对于D，利用基本不等式结合椭圆的定义求解.【详解】对于A，由，得，则，设，则由椭圆的定义，在中，，则余弦定理得，，所以，，得，所以的面积为，所以A正确，对于B，当时，为直角三角形的点有2个，当时，为直角三角形的点有2个，设椭圆的上顶点为，则，在中，，所以为锐角，所以在中不可能为是直角，综上，使得为直角三角形的点共4个，所以B错误，对于C，设，由选项B可知，当时，为钝角三角形，当时，，得，所以时，，所以，即，所以C正确，对于D，因为，所以，当且仅当时取等号，所以，当且仅当时取等号，所以的最大值为16，所以D错误，故选：AC【点睛】关键点点睛：此题考查椭圆的几何性质，考查余弦定理的应用，解题的关键是利用椭圆的定义结合其性质求解，考查计算能力，属于较难题.【变式6-1】（多选）（23-24高二上·江苏常州·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，的面积为，则（

）A．点的横坐标为 B．的周长为16C．的内切圆的半径为 D．的外接圆的半径为【答案】BCD【知识点】椭圆中焦点三角形的周长问题、椭圆中焦点三角形的面积问题、椭圆中焦点三角形的其他问题【分析】根据椭圆的标准方程，椭圆的定义式，三角形的周长，以及三角形的周长与三角形的内切圆半径的关系，正余弦定理，即可依次得出答案.【详解】由题意知，，，则，.对于A选项，因为，解得，又，则，，故A错误；对于B选项，的周长为，故B正确；对于C选项，设的内切圆的半径，则，又，，解得，故C正确；对于D选项，在中，由，解得，又，即，整理得：，即，即，又，解得，设的外接圆的半径为，由正弦定理知：，即，解得，故D正确.故选：BCD.【变式6-2】（多选）（24-25高二上·山东·期中）已知椭圆：（）与双曲线：有相同的焦点，，且它们的离心率之积为，点是与的一个公共点，则（

）A．椭圆的方程为 B．C．为等腰三角形 D．对于上的任意一点，【答案】ABC【知识点】椭圆定义及辨析、根据a、b、c求椭圆标准方程、双曲线定义的理解、利用定义解决双曲线中焦点三角形问题【分析】根据椭圆的关系可求解选项A；利用椭圆和双曲线的定义求解选项B、C；利用向量数量积的坐标表示求解选项D.【详解】由双曲线：的方程可知，双曲线的焦点，，离心率为，所以椭圆的焦点为，，离心率为，所以椭圆中，，所以椭圆的方程为，A正确；因为点是与的一个公共点，所以点在双曲线上，所以根据双曲线的定义可知，，且，所以，B正确；根据对称性，不妨设，则，又根据椭圆的定义可知，，所以联立，解得，所以，所以为等腰三角形，C正确；设，则，，所以，解得，此时，所以存在点的坐标为或或或，使得，D错误；故选：ABC.【考点题型七】圆锥曲线中线段和差最值问题【例7】（24-25高二上·吉林·期中）已知椭圆的右焦点为，上顶点为，点是上一点，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】C【知识点】椭圆定义及辨析、椭圆上点到焦点和定点距离的和、差最值、求椭圆中的最值问题【分析】运用椭圆定义对长度进行转化计算即可.【详解】设椭圆的左焦点为，则由椭圆的定义知，所以.当三点共线时，，所以的最小值为.故选：C.【变式7-1】（24-25高二上·江苏扬州·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，为上任意一点，为圆上任意一点，则的最小值为.【答案】【知识点】定点到圆上点的最值（范围）、椭圆上点到焦点和定点距离的和、差最值【分析】根据圆上的点到定点的距离范围可知，即，结合椭圆的定义可转化为，即可得解.【详解】由椭圆可知椭圆的实轴长，F1−1,0，F2圆的圆心，半径，由已知圆上任意一点到得距离，所以，又根据椭圆定义，则，当且仅当，都在线段上时，等号成立，故答案为：.【变式7-2】（24-25高二上·重庆北碚·阶段练习）已知双曲线的左右焦点分别为､，为双曲线右支上一点，点的坐标为，则的最小值为.【答案】/【知识点】利用定义求双曲线中线段和、差的最值【分析】利用双曲线定义可将转化为，结合三角形三边关系可确定最小值为三点共线时的取值，由此可计算得到结果.【详解】

由双曲线方程知：，，，则，，由双曲线定义知：，（当且仅当在线段上时取等号），又，.故答案为：.【考点题型八】求圆锥曲线方程【例8】（24-25高二上·广西玉林·期中）一动圆与圆和都外切，则动圆的圆心的轨迹方程为.【答案】【知识点】利用双曲线定义求方程、求双曲线的轨迹方程【分析】求出已知圆的圆心和半径，再利用两圆外切建立等式求出轨迹方程.【详解】圆的圆心，半径，圆的圆心，半径，设动圆的圆心，半径为，依题意，，则，因此动圆的圆心的轨迹是以为焦点，实轴长为的双曲线下支，实半轴长，半焦距，虚半轴长，方程为.故答案为：【变式8-1】（24-25高二上·江苏常州）在直角坐标平面内，已知，若，则点所在曲线的方程为.【答案】【知识点】求平面轨迹方程、双曲线定义的理解、利用双曲线定义求方程【分析】由题意判断满足双曲线的定义，通过双曲线的定义求出所求的方程即可．【详解】因为在直角坐标平面内，已知，，所以点满足双曲线的定义，到与到的距离的差是常数2，轨迹是双曲线的一支．由题意可知，，所以，所求的点所在曲线的方程为：，即．故答案为：．【变式8-2】（24-25高二上·云南大理·期中）分别求满足下列条件的椭圆的标准方程：(1)两个焦点分别是，，并且椭圆经过点；(2)经过两点、.【答案】(1)(2)【知识点】利用椭圆定义求方程、根据a、b、c求椭圆标准方程、根据椭圆过的点求标准方程【分析】（1）法：根据焦点坐标以及点在椭圆上得到关于的方程组，由此可求的值，则椭圆标准方程可知；法：根据椭圆定义求解出的值，根据求出的值，则椭圆标准方程可知；（2）设出椭圆方程，代入点的坐标可求，则椭圆标准方程可求.【详解】（1）法：由题意可知椭圆的焦点在轴上，设它的标准方程为，由已知得，又因为，所以，因为点在椭圆上，所以，即，从而有，解得或（舍去），因此，从而所求椭圆的标准方程为.法：由题意可知椭圆的焦点在轴上，且，所以，故，从而所求椭圆的标准方程为.（2）设椭圆的方程为，因为椭圆经过两点、，所以，解得，，即椭圆方程为，故椭圆的标准方程为：.【考点题型九】判断方程为椭圆、双曲线的条件【例9】（23-24高二下·广西柳州·阶段练习）已知曲线.下列正确的是（

）A．若，则是椭圆，其焦点在轴上B．若，则是圆，其半径为C．若，则是双曲线，其渐近线方程为D．若，则是两条直线【答案】A【知识点】判断方程是否表示双曲线、判断方程是否表示椭圆、二元二次方程表示的曲线与圆的关系【分析】根据给定条件，结合椭圆、圆、双曲线的标准方程逐一判断各个选项即可得解.【详解】对于A，若，则化为，由，得，因此曲线C表示焦点在y轴上的椭圆，A正确；对于B，若，则化为，此时曲线C表示圆心在原点，半径为的圆，B错误；对于C，若，则化为，此时曲线C表示双曲线，由得渐近线方程为，C错误；对于D，，方程，若，方程不表示任何曲线，D错误．故选：A【变式9-1】（多选）（23-24高二上·陕西宝鸡·期末）若方程所表示的曲线为C，则（

）A．曲线C可能是圆B．若，则C不一定是椭圆C．若C为椭圆，且焦点在x轴上，则D．若C为双曲线，且焦点在y轴上，则【答案】ABC【知识点】根据方程表示双曲线求参数的范围、判断方程是否表示双曲线、根据方程表示椭圆求参数的范围、判断方程是否表示椭圆【分析】令即可判断AB；由方程表示椭圆、双曲线的条件即可判断CD.【详解】对于AB，当时，曲线C的方程为，所以曲线C可能是圆，不一定是椭圆故AB正确；对于C，若C为椭圆，且焦点在x轴上，则，解得，故C正确；对于D，若C为双曲线，且焦点在y轴上，则，解得，故D错误.故选：ABC.【变式9-2】.（多选）（23-24高二上·湖北武汉·期中）若方程所表示的曲线为，则下列说法错误的是（

）A．若为椭圆，则B．若为双曲线，则或C．若为椭圆，则焦距为定值D．若为双曲线，则焦距为定值【答案】ACD【知识点】根据方程表示椭圆求参数的范围、判断方程是否表示双曲线、根据方程表示双曲线求参数的范围、求双曲线的焦距【分析】根据椭圆以及双曲线的标准方程，即可结合选项逐一求解.【详解】方程，由，解得,,，此时曲线是椭圆，所以A不正确．

由得或，此时表示的曲线是双曲线，所以B正确，当，解得，此时曲线表示焦点在轴上的椭圆，故焦距为，不为定值，故C错误，当，解得时，此时曲线表示焦点在轴上的双曲线，则焦距为，不为定值，故D错误，故选：ACD．【考点题型十】圆锥曲线中的离心率（定值）【例10】（24-25高二上·江苏扬州·期中）设双曲线的左、右焦点分别为，，直线过点，若点关于的对称点恰好在双曲线右支上，且，则的离心率为（

）A． B． C． D．2【答案】B【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围【分析】根据已知结合双曲线的定义可推得，.然后根据，可推得.最后根据余弦定理，即可得到关于的齐次方程，即可得出离心率.【详解】设，由已知可得，，根据双曲线的定义有.又，所以.在中，由余弦定理可得，，即，整理可得，等式两边同时除以可得，，解得或（舍去），所以.故选：B.【变式10-1】（24-25高二上·广东佛山·期中）已知A，B分别为椭圆的左、右顶点，，直线与轴交于点，与直线交于点，且平分，则此椭圆的离心率为.【答案】【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围【分析】由题意可得，求得，由角平分线定理，结合离心率公式计算即可得到所求值.【详解】如图，由题意可知，所以，所以，因为平分，所以，解得，所以，所以离心率，故答案为：.【变式10-2】（24-25高二上·湖南·期中）已知双曲线的左焦点为，过的直线交圆于，两点，交的右支于点，若，则的离心率为.【答案】【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围【分析】作出辅助线，结合题目条件得到方程组，求出，结合双曲线定义得到方程，求出离心率.【详解】设的半焦距为cc>0，如图，设为坐标原点，的中点为的右焦点为，连接，.

因为，所以也是的中点.设，由双曲线的定义得，所以，在中，由，得，所以，在中，由，得.故答案为：.【点睛】方法点睛：求解离心率的常用方法：（1）直接法：直接求出，求解；（2）变用公式，整体求出；（3）利用题目中所给的几何关系或者条件得出的关系；（4）构造的齐次式，解出.【考点题型十一】圆锥曲线中的离心率（最值+范围）【例11】（24-25高二上·安徽·期中）已知为坐标原点，是椭圆的左焦点．若椭圆上存在两点满足，且关于原点对称，则椭圆的离心率的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围【分析】设椭圆C的右焦点为，连接．由椭圆的性质分析出以为直径的圆与椭圆有公共点，得到，消去，即可求出离心率的取值范围.【详解】设椭圆C的右焦点为，连接．由椭圆的性质得，，，即椭圆上存在点A，满足，即以为直径的圆与椭圆有公共点．设椭圆C的半焦距为cc>0，所以只需，所以，即，所以椭圆C的离心率的取值范围为．故选：C【变式11-1】（24-25高二上·河北石家庄·阶段练习）设分别是椭圆的左、右焦点，且，若在直线上存在P，使线段的中垂线过点，则椭圆离心率的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围【分析】先由题意得，设直线与x轴交于点D，从而得，再结合离心率公式和范围解该不等式即可得解.【详解】由题意可得，设直线与x轴交于点D，则，所以即，即，故，又，所以.，所以椭圆离心率的取值范围是.故选：D.【变式11-2】（2024·全国·模拟预测）已知双曲线的左焦点为，若双曲线右支上存在点满足（为坐标原点），则双曲线的离心率的取值范围是．【答案】【知识点】数量积的坐标表示、求双曲线的离心率或离心率的取值范围【分析】设，则，然后由函数单调性及题意可得，即可得答案.【详解】设，则，则，令，则在上单调递增，所以当时，，要使双曲线右支上存在点满足，则.故，即，又因为，所以双曲线的离心率的取值范围是．故答案为：【考点题型十二】抛物线中的和差最值问题【例12】（24-25高二上·湖南·期中）已知抛物线的焦点为点，P是C上一个动点，则的最小值为（

）A．4 B．5 C．6 D．8【答案】C【知识点】抛物线定义的理解、抛物线上的点到定点和焦点距离的和、差最值【分析】利用抛物线的定义可求的最小值.【详解】由题意得，准线为，点A在抛物线C的内部，过点A作AB垂直于准线，垂足为B，过点P作PD垂直于准线，垂足为D，则有，当且仅当，P为AB与抛物线的交点时，等号成立，所以的最小值为故选：C.【变式12-1】（2024·湖南·模拟预测）已知点，抛物线的焦点为为抛物线上一动点，当运动到时，，则的最小值为（

）A．6 B．5 C．4 D．3【答案】A【知识点】抛物线上的点到定点和焦点距离的和、差最值【分析】利用抛物线的定义结合三点共线即可解决.【详解】由抛物线的定义可知，，所以，所以抛物线的方程为，过点作垂直抛物线的准线，垂足为，则，当且仅当和三点共线时等号成立.故选：A.

【变式12-2】（23-24高二下·河南安阳·阶段练习）已知抛物线：的准线为，点的坐标为，点在抛物线上，点到直线的距离为，则的最大值为（

）A． B． C．1 D．【答案】A【知识点】抛物线定义的理解、抛物线上的点到定点和焦点距离的和、差最值【分析】利用抛物线定义，把问题转化为抛物线上的点到点A和焦点F距离差的最大值求解.【详解】抛物线：的焦点，依题意，，则，当且仅当点P，F，A共线，即点P为抛物线顶点时取“=”，所以的最大值为.故选：A【考点题型十三】抛物线中焦半径问题【例13】（24-25高二上·河南·期中）已知为抛物线的焦点，点，，在抛物线上，为的重心，则（

）A． B． C． D．【答案】A【知识点】抛物线的焦半径公式【分析】根据重心坐标公式，焦半径公式求解．【详解】由题意，，设，，，是的重心，则，，故选：A．【变式13-1】（2024·北京西城·三模）点F抛物线的焦点，A，B，C为抛物线上三点，若，则（

）A．2 B． C．3 D．【答案】C【知识点】抛物线定义的理解、抛物线的焦半径公式【分析】设，根据抛物线方程求出焦点坐标和准线方程，再由可得为的重心，从而可求出，再根据抛物线的定义可求得结果.【详解】设，由，得，所以，准线方程为，因为，所以为的重心，所以，所以，所以，故选：C【考点题型十四】抛物线的标准方程【例14】（23-24高二上·全国·课后作业）以为焦点的抛物线的标准方程是（

）A． B．C． D．【答案】D【知识点】根据焦点或准线写出抛物线的标准方程【分析】由题意设抛物线方程为，结合焦点坐标求得，即可得出答案.【详解】因为抛物线焦点为，所以可设抛物线方程为，且，则，所以抛物线方程为．故选：D．【变式14-1】（23-24高三下·湖北·开学考试）已知抛物线的顶点在原点，焦点在坐标轴上，点关于其准线的对称点为，则的方程为（

）A． B． C． D．【答案】A【知识点】根据焦点或准线写出抛物线的标准方程【分析】设抛物线的方程为，设焦点关于准线的对称点为，求得，得到，进而得抛物线的方程.【详解】由题意，设抛物线的方程为，可得焦点坐标，准线方程为，设焦点关于准线的对称点为，可得，解得，因为点关于其准线的对称点为，可得，解得，所以抛物线的方程为.故选：A.【变式14-2】（24-25高三上·云南昆明·开学考试）已知点到点的距离比它到直线的距离小，则点的轨迹方程为（

）A． B．C． D．【答案】B【知识点】求抛物线的轨迹方程【分析】分析可知点的轨迹是以点为焦点，以直线为准线的抛物线，进而可求得点的轨迹方程.【详解】由题意，点到点的距离等于它到直线的距离，则点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，则点的轨迹方程为，故选：B.【变式14-3】（2024高二·全国·专题练习）到点的距离比到直线的距离小的动点的轨迹方程为（

）A． B．C． D．【答案】C【知识点】求抛物线的轨迹方程【分析】分析可知点的轨迹是抛物线，确定该抛物线的焦点坐标和准线方程，即可得出点的轨迹方程.【详解】由题意可知，动点到点的距离等于到直线的距离，故点的轨迹为以点为焦点，以直线为准线的抛物线，其轨迹方程为.故选：C.【考点题型十五】圆锥曲线中新定义题（小题）【例15】（24-25高二上·上海·期中）在平面直角坐标系中，定义为两点，的“切比雪夫距离”，又设点与直线上任意一点，称的最小值为点与直线间的“切比雪夫距离”，记作，给定下列两个命题：①已知点，直线，则；②定点、，动点满足，则点的轨迹与直线（k为常数）有且仅有2个公共点；下列说法正确的选项是（

）A．命题①成立，命题②不成立 B．命题①不成立，命题②成立C．命题①②都成立 D．命题①②都不成立【答案】C【知识点】求点到直线的距离、求平面轨迹方程【分析】对于①，设是直线上一点，且，可得，讨论与的大小，可得距离，再由函数的性质，可得最小值；对于②，根据定义得，再根据对称性进行讨论，求得轨迹方程，即可判断.【详解】设点是直线上一点，且，可得由，解得，即有，由，解得或，，所以故①正确；对于②，定点、，动点满足，则：，显然上述方程所表示的曲线关于原点对称，故不妨设，当时，有，得：；当时，有，此时无解；当时，有，；则点的轨迹是如图所示的以原点为中心的两支折线.结合图像可知，点的轨迹与直线（为常数）有且仅有个公共点，因此②正确.故选：C.【点睛】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解，对于此题中的新概念，对阅读理解能力有一定的要求，但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好基础知识，以不变应万变才是制胜法宝,【变式15-1】（24-25高二上·吉林·期中）如图，已知半椭圆与半椭圆组成的曲线称为“果圆”，其中.“果圆”与轴的交点分别为，与轴的交点分别为，点为半椭圆上一点（不与重合），若存在.，则半椭圆的离心率的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】D【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围【分析】解法一：利用参数方程，代入计算向量数量积得，再结合以及和的关系得到关于的齐次不等式，解出即可；方法二：利用椭圆上点的坐标从而得到向量坐标，利用向量坐标表示数量积得到相应等量关系，再由点的变化范围得到相应不等式，进而求得取值范围.【详解】（解法1）设，因为，所以.，所以.因为，所以.因为，所以，即，解得.（解法2）设，因为，所以，所以.因为，所以.因为存在.，所以在上有解.因为，且，所以在上有解，即在上有解.因为，所以，即解得.故选：D.【点睛】关键点点睛：本题的关键是采用设点法，再代入计算相关向量数量积，转化为在上有解，从而得到不等式组，解出即可.【变式15-2】（24-25高二上·浙江台州·期中）数学中有许多寓意美好的曲线，曲线被称为“四叶玫瑰线”（如图所示）．给出下列三个结论：①曲线C关于直线对称；②曲线C上任意一点到原点的距离都不超过2；③存在一个以原点为中心、边长为的正方形，使曲线C在此正方形区域内（含边界）．其中，正确结论的序号是（

）A．①② B．②③ C．①③ D．①②③【答案】A【知识点】由方程研究曲线的性质、求两曲线的交点、求平面两点间的距离【分析】对于①，只需任取曲线上一点，证明点也在曲线上即可；对于②，在曲线的第一象限部分上任取点，利用基本不等式，推理得到，即可分析得到，再利用图形对称性即可判断；对于③，联立得四个交点，满足条件的最小正方形是各边以为中点，边长为4的正方形，即得③错误.【详解】对于①，设点是曲线上任一点，则有，易得也成立，即点也在曲线上，故曲线C关于直线对称，①正确；对于②，不妨设点为曲线上的任一点，则，化简得，当且仅当时取等号，于是即得，故可得曲线C上任意一点到原点的距离都不超过2，故②正确；对于③，联立，解得，从而可得四个交点坐标分别为，依题意满足条件的最小正方形是各边以为中点，边长为4的正方形（如图），故不存在一个以原点为中心、边长为的正方形，使曲线C在此正方形区域内（含边界），即③错误.故选：A.【点睛】思路点睛：本题主要考查由曲线方程研究曲线的对称性，考查了不等式知识和求曲线交点坐标，属于较难题.解题思路即是判断最远距离点时，常在曲线上任取一点，计算距离，运用基本不等式或函数的值域求出其最值；对于区域覆盖问题，要结合图形的对称性，通过计算关键点，求得其面积再判断.提升训练一、单选题1．（24-25高二上·山东济宁·期中）设分别为椭圆的两个焦点，过且不与坐标轴重合的直线椭圆于两点，则的周长为（

）A． B． C． D．【答案】B【知识点】椭圆定义及辨析、椭圆中焦点三角形的周长问题【分析】根据条件，利用椭圆的定义，即可求解.【详解】如图，的周长为又椭圆，得到，所以的周长为，故选：B.2．（福建省龙岩市非一级达标校联盟2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷）已知是双曲线的右焦点，则点到的渐近线的距离为（

）A． B． C． D．【答案】A【知识点】求点到直线的距离、求双曲线的焦点坐标、已知方程求双曲线的渐近线【分析】根据题设写出焦点坐标、渐近线方程，应用点线距离公式求距离.【详解】由题设，渐近线为，则点到的渐近线的距离.故选：A3．（24-25高二上·广东佛山·期中）已知是椭圆的两个焦点，点在上，则的最大值为（

）A．3 B． C．4 D．【答案】C【知识点】求椭圆中的最值问题、椭圆中焦点三角形的其他问题【分析】设点，用焦半径公式代入化简成二次函数，求其最值即得.【详解】由，可得，设点，则，于是，因，故当时，取得最大值为4.故选：C.4．（2024·陕西商洛·一模）已知直线与抛物线交两点，为坐标原点，若，则（

）A． B． C． D．【答案】C【知识点】根据韦达定理求参数、垂直关系的向量表示【分析】联立抛物线与直线方程可得，，进而可得，由可得，进而可得的值.【详解】如图所示，设Ax1,y1，B则，解得且，，，所以，因为，所以，即，解得．故选：C.5．（24-25高二上·黑龙江鸡西·期中）已知双曲线C：分别为双曲线的左、右焦点，是双曲线右支上一点.连接交双曲线C左支于点，若是以为直角顶点的等腰直角三角形，则双曲线C的离心率是（

）A． B．2 C． D．5【答案】A【知识点】利用定义解决双曲线中焦点三角形问题、求双曲线的离心率或离心率的取值范围、余弦定理解三角形【分析】设，由双曲线定义表达各边，且，在中，由余弦定理得到方程，求出，得到答案.【详解】由题意得，设，因为是以为直角顶点的等腰直角三角形，故，由双曲线定义知，，故，，其中，解得，则，，因为，所以，在中，由余弦定理得，解得，故双曲线C的离心率为.故选：A6．（24-25高二上·广西南宁·期中）已知抛物线，直线过抛物线的焦点，直线与抛物线交于A，B两点，弦AB长为12，则直线的方程为（

）A．或 B．或C．或 D．或【答案】B【知识点】根据抛物线方程求焦点或准线、与抛物线焦点弦有关的几何性质、根据韦达定理求参数【分析】设直线l的方程为，直曲联立，由韦达定理表示弦长求出斜率即可；【详解】根据题意可得抛物线的焦点，根据题意可得直线的斜率存在，（显然当斜率不存在时，不符合题意）设直线l的方程为，联立，得，所以，因为，解得，则直线l的方程为或.故选：B.7．（24-25高二上·河北石家庄·期中）如图所示，点是抛物线的焦点，点分别在抛物线及圆的实线部分上运动，且AB总是平行于轴，则的周长的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【知识点】抛物线上的点到定点和焦点距离的和、差最值【分析】过点作准线的垂线，垂足为，则的周长为，求出后可得所求的范围.【详解】过点作准线的垂线，垂足为，则的周长为，由可得，故，故的周长的取值范围为，故选：D.8．（24-25高二上·安徽·阶段练习）已知曲线，过上任意一点向轴引垂线，垂足为，则线段的中点的轨迹方程为（

）A． B．C． D．【答案】D【知识点】轨迹问题——椭圆【分析】设，，，则，然后利用，得到点，然后代入即可求解.【详解】设，，，则，由题意可知，即，将点代入，得，即故选：D.9．（24-25高二上·浙江·期中）已知双曲线：，过点的直线与双曲线交于，两点.若点为线段的中点，则直线的方程是（

）A． B．C． D．【答案】A【知识点】直线的点斜式方程及辨析、由弦中点求弦方程或斜率【分析】运用点差法，设，代入双曲线方程，作差变形，由是线段AB的中点，求得直线的斜率，再用点斜式可得直线方程.【详解】设，代入双曲线方程，可得，作差，因为点为线段的中点，所以所以，即，所以直线的方程是，即，经检验，直线满足题意.故选：A.10．（24-25高二上·云南昆明·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为、，若上存在一点，使得，则的离心率的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【知识点】椭圆定义及辨析、求椭圆的离心率或离心率的取值范围【分析】根据椭圆的定义，可求得的长，根据三角形的几何性质，即可求得答案，【详解】由椭圆的定义可得，又，所以，在椭圆中，，所以，即，又，所以，所以该椭圆离心率的取值范围是.故选：B二、多选题11．（24-25高二上·重庆·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点为椭圆上一点，则（

）A．的周长为B．存在点，使得C．若，则的面积为D．使得为等腰三角形的点共有4个【答案】AB【知识点】椭圆中焦点三角形的周长问题、椭圆中三角形（四边形）的面积、椭圆定义及辨析、椭圆中焦点三角形的其他问题【分析】根据焦点三角形的周长为判断A的真假；考虑为短轴顶点时，焦点三角形的形状判断B的真假；结合椭圆定义和余弦定理，计算焦点三角形的面积，判断C的真假；分情况讨论，找出使为等腰三角形的所有点，判断D的真假.【详解】对于，由题意，，，故周长为，所以A正确；对于B，当点位于上下顶点时，为直角，所以B正确.