专题01 高二上期末真题精-选（人教A版（2019）选择性必修第一册常考123题23类考点专练）（原卷版）-25学年高二数学上学期期末考点大串讲

专题01高二上期末真题精选（常考123题23类考点专练）用基底表示向量空间向量共面空集中两个向量乘锐角（钝角）借助向量证明平行（垂直）关系借助向量求点到直线距离向量法求异面直线所成角向量法解决线面角问题向量法解决二面角问题向量法解决点到平面的距离问题直线的倾斜角和斜率求直线方程两条直线平行于垂直的判断直线中的距离问题二元二次方程表示圆的条件求圆的方程直线与圆的位置关系圆与圆的位置关系圆锥曲线中的定义问题圆锥曲线中上的点到定点的和差问题焦点三角形问题离心率问题弦长问题（含焦点弦）中点弦问题一、用基底表示向量（共3小题）1．（23-24高一下·重庆·期末）如图，在三棱锥中，为的中点，设，则用表示为（

）A． B．C． D．2．（23-24高二上·安徽宣城·期末）在三棱柱中，分别是的中点，，则（

）A． B．C． D．3．（23-24高二上·浙江金华·期末）如图，在四面体中，分别是上的点，且是和的交点，以为基底表示，则．二、空间向量共面（共3小题）1．（22-23高二上·辽宁丹东·期末）已知空间向量，，，若，，共面，则实数的值为（

）A． B．6 C． D．122．（22-23高二上·浙江宁波·期末）对空间中任意一点和不共线的三点，能得到在平面内的是（

）A． B．C． D．3．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·期末）在空间四面体中，对空间内任意一点，满足，则下列条件中可以确定点与，，共面的为（

）A． B． C． D．三、空集中两个向量乘锐角（钝角）（共4小题）1．（23-24高一下·山西长治·期末）已知平面向量，满足，，，夹角为，若与夹角为锐角，则的取值范围是（

）A． B．C． D．2．（20-21高三上·安徽安庆·期末）已知向量，若与的夹角为钝角，则实数的取值范围为．3．（23-24高一下·内蒙古锡林郭勒盟·期末）已知向量，，若，的夹角为钝角，则的取值范围是.4．（23-24高一下·四川自贡·期末）已知向量．(1)证明：；(2)与的夹角为钝角，求实数的取值范围．四、借助向量证明平行垂直关系（共5小题）1．（23-24高二上·江西景德镇·期末）在直三棱柱中，四边形是边长为3的正方形，，，点分别是棱的中点．(1)求的值；(2)求证：．2．（23-24高二上·山东青岛·期末）在正四棱柱中，，点在线段上，且，点为中点.

(1)求点到直线的距离；(2)求证：面.3．（23-24高三上·广东深圳·期末）正方体中分别是的中点.(1)证明：平面；4．（23-24高二上·广东深圳·期末）如图，在正四棱柱中，底面边长为2，高为4.

(1)证明：平面平面；5．（23-24高二上·北京东城·期末）如图，在直三棱柱中，，，D，E分别为，的中点.(1)证明：平面；五、借助向量求点到直线距离（共4小题）1．（23-24高二上·湖北孝感·期末）已知空间向量，，则B点到直线的距离为（

）A． B． C． D．2．（23-24高二下·福建莆田·期末）已知，，三点，则到直线的距离为.3．（23-24高二上·河南驻马店·期末）在空间直角坐标系中，，则点B到直线的距离为．4．（23-24高二上·陕西渭南·期末）直线的方向向量为，且过点，则点到的距离为．六、向量法求异面直线所成角（共5小题）1．（23-24高三上·江西·期末）已知圆柱的底面半径为1，高为2，，分别为上、下底面圆的直径，四面体的体积为，则直线与所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．2．（23-24高二上·江西上饶·期末）在正四棱柱中，，点是的中点，则与所成角的余弦值．3．（23-24高二上·天津·期末）在直三棱柱中，，，分别是，的中点，，则与所成角的余弦值是.4．（22-23高二上·湖南岳阳·期末）如图，在三棱锥中，底面，，点，，分别为棱，，的中点，是线段的中点，，.(1)求证：平面.(2)已知点在棱上，且直线与直线所成角的余弦值为，求线段的长.5．（21-22高二上·内蒙古包头·期末）在四棱锥中，，，，，为正三角形，且平面平面ABCD.(1)求二面角的余弦值；(2)线段PB上是否存在一点M（不含端点），使得异面直线DM和PE所成的角的余弦值为？若存在，指出点M的位置；若不存在，请说明理由.七、向量法解决线面角问题（共7小题）1．（2023·黑龙江哈尔滨·三模）已知四棱锥的底面为正方形，底面，点是线段上的动点，则直线与平面所成角的最大值为（

）A． B． C． D．2．（22-23高二上·辽宁鞍山·期中）长方体中，，为线段上的动点，则与平面所成角的余弦值的最小值为（

）A． B． C． D．3．（23-24高二上·云南迪庆·期末）如图形中，底面是菱形，，与交于点，底面，为的中点，.(1)求证：平面；(2)求与平面所成角的正弦值.4．（23-24高二下·北京海淀·期末）在五面体中，平面，平面.(1)求证：；(2)若，求直线与平面所成角的正弦值.5．（23-24高二下·安徽阜阳·期末）如图，在三棱柱中，底面，点到平面的距离为2.

(1)证明：.(2)若直线与之间的距离为4，求直线与平面所成角的正弦值.6．（23-24高二上·河南漯河·期末）在梯形中，，为的中点，线段与交于点（如图1）.将沿折起到位置，使得（如图2）.(1)求证：平面平面；(2)线段上是否存在点，使得与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由7．（23-24高三上·宁夏石嘴山·期末）如图，在四棱锥中，底面是等腰梯形，，侧面平面，，，为的中点.

(1)证明：平面；(2)点在棱上，直线与平面所成的角的正弦值为，求的值.八、向量法解决二面角问题（共7小题）1．（23-24高二下·青海·期末）如图，在四棱锥中，底面，平面，.

(1)证明：平面.(2)若，，且直线与直线所成角的正切值为，求二面角的余弦值.2．（23-24高二下·内蒙古·期末）如图，在正四棱柱中，，，分别为的中点，为四边形的中心．(1)证明：∥平面．(2)求二面角的余弦值．3．（23-24高二下·上海金山·期末）如图，在中，.将绕旋转得到，分别为线段的中点．(1)求点到平面的距离；(2)求二面角的正弦值．4．（23-24高二下·浙江温州·期末）在三棱锥中，平面平面，，，分别为的中点.

(1)证明：平面；(2)求二面角的正弦值.5．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·期末）已知四边形为正方形，为，的交点，现将三角形沿折起到位置，使得，得到三棱锥.(1)求证：平面平面；(2)棱上是否存在点，使平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求；若不存在，说明理由.6．（23-24高二下·江苏南京·期末）如图，在直三棱柱中，为的中点．(1)证明：平面；(2)若二面角的余弦值为，求线段的长度．7．（23-24高二上·浙江杭州·期末）在长方体中，点，分别在，上，且，．(1)求证：平面；(2)当，，且平面与平面的夹角的余弦值为时，求的长．九、向量法解决点到平面的距离问题（共5小题）1．（23-24高一下·四川成都·期末）如图，四棱锥中，底面是边长为4的菱形，，，E为中点，与交点为O．(1)求证：平面；(2)求证：平面平面；(3)若，求点C到平面的距离．2．（23-24高二上·浙江嘉兴·期末）如图，在正四棱柱中，，，分别为，的中点．

(1)证明：平面平面；(2)求到平面的距离．3．（23-24高二上·安徽宣城·期末）如图，在直三棱柱中，是的中点.(1)求证：平面；(2)求点到平面的距离.4．（23-24高二上·湖南衡阳·期末）如图所示，在直三棱柱中，，，，分别是的中点．(1)求证：平面；(2)求点到平面的距离．5．（23-24高二上·安徽合肥·期末）如图所示，正方体的棱长是2，E、F分别是线段AB、的中点．(1)证明：平面；(2)求点到平面的距离．十、直线的倾斜角和斜率（共4小题）1．（23-24高二上·河北沧州·期末）已知直线方程为，则其倾斜角为（

）A． B． C． D．2．（23-24高二上·浙江宁波·期末）经过两点的直线的倾斜角为（

）A．30° B．60° C．120° D．150°3．（23-24高二上·安徽亳州·期末）已知两点，若直线与线段有公共点，则直线倾斜角的取值范围为（）A． B．C． D．4．（23-24高二上·江苏南京·期末）在平面直角坐标系中，是直线上不同的两点，直线上的向量以及与它平行的非零向量都称为直线的方向向量．已知直线的一个方向向量坐标为，则直线的倾斜角为．十一、求直线方程（共5小题）1．（23-24高一下·江苏无锡·期末）已知顶点，边AC上的高BH所在直线方程为，边AB上的中线CM所在的直线方程为.(1)求直线AC的方程；(2)求的面积.2．（23-24高二上·安徽蚌埠·期末）求过两条直线与的交点，且分别满足下列条件的直线方程.(1)过点；(2)平行于直线.3．（23-24高二上·四川南充·期末）已知直线．(1)若直线与直线垂直，且经过，求直线的斜截式方程；(2)若直线与直线平行，且与两坐标轴围成的三角形的面积为2，求直线的一般式方程．4．（23-24高二上·北京石景山·期末）菱形的顶点的坐标分别为边所在直线过点.(1)求边所在直线的方程；(2)求对角线所在直线的方程.5．（23-24高二上·北京房山·期末）已知的三个顶点分别为．(1)设线段的中点为，求中线所在直线的方程；(2)求边上的高线的长．十二、两条直线平行与垂直问题（共5小题）1．（23-24高二上·河南驻马店·期末）已知两条不重合的直线和．若，则实数的值为（

）A． B． C．1 D．或12．（23-24高二上·江苏连云港·期末）若两条直线和平行，则实数的值为（

）A．1 B． C． D．3．（23-24高一下·重庆·期末）已知直线和直线垂直，则实数.4．（23-24高二上·四川绵阳·期末）已知直线：与直线：.若，则.5．（22-23高二上·辽宁·期中）已知直线：，直线：(1)若，求实数的值；(2)若，求实数的值．十三、直线中的距离问题（共3小题）1．（23-24高二下·贵州毕节·期末）点到直线l：的距离为（

）A． B． C． D．2．（多选）（23-24高二下·江苏南京·期末）已知动点分别在直线与上移动，则线段的中点到坐标原点的距离可能为（

）A． B． C． D．3．（23-24高二下·广东江门·期末）已知直线与圆交于A，B两点，写出满足“面积为”的m的一个值．十四、二元二次方程表示圆的条件（共4小题）1．（23-24高二上·广东江门·期末）方程表示一个圆，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．2．（23-24高二上·河南漯河·期末）已知点在圆外，则实数的取值范围为.3．（23-24高二上·浙江舟山·期末）方程表示一个圆，则实数的取值范围为．4．（23-24高二上·广东·期末）若方程表示一个圆，则实数m的取值范围是．十五、求圆的方程（共3小题）1．（23-24高二上·河北邯郸·期末）已知圆过点，则圆的标准方程是（

）A．B．C．D．2．（23-24高三上·江苏·期末）已知的顶点是，，，则的外接圆的方程是．3．（23-24高二上·河北沧州·期末）在△OAB中，O是坐标原点，，．(1)求AB边上的高所在直线的方程；(2)求△OAB的外接圆方程十六、直线与圆的位置关系（共4小题）1．（23-24高三上·安徽亳州·期末）已知直线和曲线，当时，直线与曲线的交点个数为（

）A．0 B．1 C．2 D．无法确定2．（23-24高二上·陕西渭南·期末）已知直线和圆，则直线l与圆C（

）A．相切 B．相离C．相交 D．相交且过圆心3．（23-24高三上·河北秦皇岛·期末）在平面直角坐标系中，若对任意，圆与直线恒相切，则直线的斜率是（

）A． B． C． D．4．（多选）（23-24高二下·云南玉溪·期末）已知直线与圆交于A，B两点，则的值可以为（

）A．3 B．4 C．5 D．6十七、圆与圆的位置关系（共5小题）1．（23-24高二上·浙江宁波·期末）已知圆：，圆：，则两圆的位置关系为（

）A．内切 B．相交 C．外切 D．外离2．（23-24高二上·浙江湖州·期末）已知圆：（，）与圆：，则圆与圆的位置关系是（

）A．相交 B．相切 C．外离 D．与m的取值有关3．（23-24高二上·江苏泰州·期末）设，若圆与圆有公共点，则的取值范围为（

）A． B．C． D．4．（23-24高二上·浙江嘉兴·期末）已知与圆：和圆：都相切的直线有且仅有两条，则实数的取值范围是．5．（23-24高二上·福建龙岩·期末）已知圆与圆外离，则实数a的取值范围为.十八、圆锥曲线中的定义问题（共4小题）1．（23-24高二上·天津宁河·期末）设椭圆的中心在坐标原点，对称轴为坐标轴，其中一个焦点在抛物线的准线上，且椭圆上的任意一点到两个焦点的距离的和等于10，则椭圆的方程为（

）A． B．C． D．2．（多选）（23-24高二上·山东聊城·期末）若平面内的动点Px,y满足，则（

）A．时，点的轨迹为圆B．时，点的轨迹为圆C．时，点的轨迹为椭圆D．时，点的轨迹为双曲线3．（多选）（23-24高二上·江苏常州·期中）已知圆，圆，圆，圆，直线，则（

）A．与圆都外切的圆的圆心轨迹是双曲线的一支B．与圆外切､内切的圆的圆心轨迹是椭圆C．过点且与直线相切的圆的圆心轨迹是抛物线D．与圆都外切的圆的圆心轨迹是一条直线4．（23-24高二下·上海宝山·期末）我国著名数学家华罗庚说“数缺形时少直观，形少数时难入微：数形结合百般好，隔离分家万事休”，包含的意思是：几何图形中都蕴藏着一定的数量关系，数量关系又常常可以通过几何图形做出直观的反映和描述，通过“数”与“形”的相互转化，常常可以巧妙地解决问题，所以“数形结合”是研究数学问题的重要思想方法之一.比如：这个代数问题可以转化为点与点之间的距离的几何问题.结合上述观点可得，方程的解为.十九、圆锥曲线中上的点到定点的和差问题（共6小题）1．（23-24高二上·山西太原·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，点M在C上，点N的坐标为，则的取值范围为（

）A． B． C． D．2．（23-24高二上·山东青岛·期末）设抛物线上一点到轴的距离为，到直线的距离为，则的最小值为（

）A．3 B．2 C． D．53．（23-24高二上·安徽滁州·期末）已知，点是抛物线上的一点，点是圆上的一点，则的最小值为（

）A．5 B．6 C．7 D．84．（多选）（21-22高二上·河北沧州·期末）已知点为双曲线右支上一点，、分别为圆：、：上的动点，则的值可能为（

）A．2 B．6 C．9 D．125．（23-24高二上·山东临沂·期中）已知是椭圆的左焦点，点为该椭圆上一动点，若在椭圆内部，则的最大值为；的最小值为．6．（23-24高二上·湖北武汉·期末）已知，是双曲线的左焦点，是双曲线右支上的动点，则的最小值为．二十、焦点三角形问题（共6小题）1．（多选）（23-24高二上·河北石家庄·期末）已知椭圆C：的左右焦点分别为，，P是椭圆C上的动点，点，则下列结论正确的是（

）A． B．面积的最大值是C．椭圆C的离心率为 D．最小值为2．（多选）（23-24高二上·重庆·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为、，上项点为B，直线与椭圆C相交于M、N两点，点，则下列选项正确的是（

）A．四边形的周长为12B．当时，的面积为C．直线，的斜率之积为D．若点P为椭圆C上的一个动点，则的最小值为3．（多选）（23-24高二上·江苏南京·期末）已知为椭圆上一点，分别为椭圆的上焦点和下焦点，若构成直角三角形，则点坐标可能是（

）.A． B．C． D．4．（多选）（23-24高二上·江苏镇江·期末）已知椭圆C：，，分别为椭圆的左、右焦点，A，B分别为椭圆的左、右顶点，点P是椭圆上的一个动点，下列结论正确的有（

）A．存在点P使得B．的最小值为C．若，则的面积为1D．直线PA与直线PB的斜率乘积为定值5．（多选）（23-24高二下·贵州六盘水·期末）圆锥曲线具有丰富的光学性质．双曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点处发出的光线，经过双曲线在点处反射后，反射光线所在直线经过另一个焦点，且双曲线在点处的切线平分．如图，对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线过点，其左、右焦点分别为．若从发出的光线经双曲线右支上一点反射的光线为，点处的切线交轴于点，则下列说法正确的是（

）A．双曲线的方程为B．过点且垂直于的直线平分C．若，则D．若，则6．（多选）（23-24高二上·河北石家庄·期末）已知分别为双曲线的左、右焦点，点A为双曲线右支上任意一点，点，下列结论中正确的是（

）A．B．若，则的面积为2C．过P点且与双曲线只有一个公共点的直线有3条D．存在直线与双曲线交于M，N两点，且点P为中点二十一、离心率问题（共11小题）1．（23-24高二下·广东广州·期末）油纸伞是中国传统工艺品，至今已有1000多年的历史.将油纸伞撑开后摆放在户外场地上，如图所示，该伞的伞沿是一个半径为的圆，圆心到伞柄底端距离为，阳光照射油纸伞在地面形成了一个椭圆形影子（某时刻，阳光与地面夹角为），若伞柄底端正好位于该椭圆的长轴上，则该椭圆的离心率为（

）

A． B． C． D．2．（23-24高二下·海南海口·期末）已知，是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点，，，则C的离心率为（

）A． B． C． D．3．（23-24高二下·安徽宣城·期末）已知双曲线的左右焦点分别为，曲线上存在一点，使得为等腰直角三角形，则双曲线的离心率是（

）A． B． C． D．4．（23-24高二下·山西长治·期末）已知双曲线C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0的左、右焦点分别为，，过点的直线交的左支于两点，若，，成等差数列，且，则的离心率是（

A． B． C． D．5．（23-24高二下·江苏盐城·期末）若双曲线C：的渐近线与圆没有公共点，则双曲线C的离心率的取值范围为（

）A． B． C． D．6．（23-24高二上·河南漯河·期末）已知椭圆和双曲线有共同的焦点、，是它们的一个交点，且，记椭圆和双曲线的离心率分别为，则的最小值为.7．（23-24高二下·四川德阳·期末）已知O为坐标原点，F为椭圆C：的右焦点，若C上存在一点P，使得为等边三角形，则椭圆C的离心率为.8．（23-24高二下·安徽六安·期末）已知椭圆的左､右焦点分别是是椭圆上两点，四边形为矩形，延长交椭圆于点，若，则椭圆的离心率为.9．（23-24高二下·安徽阜阳·期末）已知圆与双曲线的渐近线有公共点，则双曲线的离心率的取值范围为．10．（23-24高二下·贵州遵义·期末）已知，分别为双曲线的左、右焦点，过点作垂直于一条渐近线的直线l，分别交两渐近线于A，B两点，且A，B分别在第一、四象限，若，则该双曲线的离心率为．11．（23-24高二下·安徽·期末）在天文望远镜的设计中利用了双曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点出发的入射光线经双曲线镜面反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.如图，已知双曲线的左、右焦点分别为是的右支上一点，直线与相切于点.由点出发的入射光线碰到点后反射光线为，法线（在光线投射点与分界面垂直的直线）交轴于点，此时直线起到了反射镜的作用.若，则的离心率为.

二十二、弦长问题（含焦点弦）（共10小题）1．（23-24高二下·陕西渭南·期末）已知直线与椭圆交于，两点，当取最大值时的值为（

）A． B． C． D．2．（23-24高二下·广东茂名·期末）已知直线与抛物线：交于两点，则（

）A． B．5 C． D．3．（23-24高二上·宁夏固原·期末）直线过抛物线的焦点，且与该抛物线交于不同的两点､，若，则弦的长是（

）A．2 B．3 C．4 D．54．（23-24高三上·河南·期末）已知抛物线，过点且斜率为的直线l交C于M，N两点，且，则C的准线方程为（

）A． B．C． D．5．（23-24高二上·山东聊城·期末）已知椭圆的上顶点为A，过点A的直线与C交于另一点B，则的最大值为．6．（23-24高三上·北京东城·期末）已知双曲线：，则双曲线的渐近线方程是；直线与双曲线相交于，两点，则.7．（23-24高二上·安徽马鞍山·期末）过点作直线与交于A，B两点，若，则直线的倾斜角为.8．（23-24高二下·安徽安庆·期末）已知椭圆C：（）的左、右焦点分别为，，且，过点且与x轴不重合的直线与椭圆C交于P，Q两点，已知的周长为8．(1)求椭圆C的方程；(2)过点作直线与直线垂直，且与椭圆C交于A，B两点，求的取值范围.9．（23-24高二上·重庆·期末）已知抛物线的焦点与椭圆的一个焦点重合，且椭圆的短轴顶点到长轴顶点的距离为．(1)求椭圆的标准方程；(2)过椭圆左