专题04 三角函数（考点讲析）-【中职专用】2024-2025学年高一数学上学期期末（高教版2023基础模块）(解析版)

专题04三角函数（考点讲析）【中职专用】2024-2025学年高一数学上学期期末（高教版2023基础模块）知识总结：1．角的概念(2)终边相同的角：所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合，即任一与角终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和．2．弧度的定义和公式(1)定义：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度单位用符号rad表示．(2)公式①弧度与角度的换算：②弧长公式：③扇形面积公式：说明：②③公式中的必须为弧度制，角度与弧度的换算的关键是，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用．3．三角函数的概念(1)定义：设是一个任意角，，它的终边与单位圆相交于点．①把点的纵坐标叫做的正弦函数，记作，即；②把点的横坐标叫做的余弦函数，记作，即；③把点的纵坐标与横坐标的比值叫做的正切，记作，即．我们将正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数．(2)三角函数定义的推广：设点是角终边上任意一点且不与原点重合，，则(3)三角函数值在各象限内的符号．(口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦)4．特殊角的三角函数值表α0ππππ235π32sinα012313210-0cosα13210----01tanα0313－---0－0利用三角函数的定义求α=0、5．同角三角函数的基本关系平方关系；；商数关系6．诱导公式公式一；；公式二；；公式三；；公式四；；公式五；公式六；7．正弦函数、余弦函数的图像和性质函数正弦函数余弦函数定义域RR值域[-1，1][-1，1]奇偶性奇函数偶函数周期性最小正周期最小正周期单调区间增区间减区间增区间减区间最值点最大值点最小值点最大值点最小值点对称中心对称轴

题型一:任意角和弧度制例1下列命题中正确的是（）A．第一象限角一定不是负角 B．小于90°的角一定是锐角C．钝角一定是第二象限的角 D．终边相同的角一定相等【答案】C【分析】根据锐角、钝角、终边相同的角、象限角的定义，通过举反例排除错误的选项即可求解.【详解】对A，因为是第一象限角，但是负角，故A错误.对B，因为小于，但不是锐角，故B错误.对C，因为钝角是大于90°且小于的角，所以钝角一定在第二象限，故C正确.对D，因为30°和终边相同，但它们不相等，故D错误．故选：C.变式训练1下列与终边相同的角是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据终边相同角的概念即可得出结论.【详解】，所以与终边不相同，故A错误.，所以与终边不相同，故B错误.，所以与终边不相同，故C错误.，所以与终边相同，故D正确.故选：D.2下列各角终边在y轴上的是（

）A． B． C．0 D．【答案】D【分析】根据终边在y轴上的角的集合即可得出结论.【详解】角终边在y轴上的集合为，当时，.当时，.当时，.当k=1时，.当时，.故D选项正确，A、B、C选项错误.故选：D.3设终边在y轴的负半轴上的角的集合为M，则A． B．C． D．【答案】C【解析】利用终边落在坐标轴上角的表示方法即可求解.【详解】终边在y轴的负半轴上的角的集合为：或.故选：C【点睛】本题考查了终边相同角的表示，属于基础题.4化为弧度是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】将角度化为弧度即可解得.【详解】，故选：B.5弧度的角的终边在（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】B【分析】先找到与弧度的角终边相同的角，再判断其所在的象限.【详解】∵，∴的终边与的终边相同.又∵，∴弧度的角的终边在第二象限．即，弧度的角的终边在第二象限．故选：B．6用角度制可表示为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由弧度制和角度制的换算规则进行计算即可.【详解】.所以用角度制可表示为.故选：C.题型二:任意角的三角函数例2已知为第二象限角，则（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据三角函数在各象限的符号求解.【详解】因为为第二象限角，所以，即，所以ABD错误，选项C正确，故选：C.变式训练1（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据诱导公式求值即可.【详解】.故选：B.2已知，且，则角的终边在（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】C【分析】根据正弦及正切函数值在各象限的正负情况判断即可.【详解】由可知，角的终边在第三象限或第四象限或y轴负半轴，由可知，角的终边在第一象限或第三象限，综上，角的终边第三象限.故选：.3的值等于（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用诱导公式和特殊角的三角函数值求解.【详解】故选：C.4设角a是第四象限角，则下列说法正确的是（

）A． B． C． D．不存在【答案】B【分析】由角所在的象限确定三角函数的正负即可.【详解】因为角是第四象限角，所以，存在且.故B选项正确，A、C、D选项错误.故选：B.5已知角a的终边经过，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据任意角的正弦函数的定义求值即可.【详解】已知角a的终边经过，则，所以，故选：C.6若点在角的终边上，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据任意角的三角函数的定义，结合二倍角的余弦公式，即可求解．【详解】因为点在角的终边上，所以，则，故选：B．7若，则角的终边在（

）A．第一、二象限 B．第二、三象限 C．第三、四象限 D．第一、四象限【答案】C【分析】根据三角函数在四个象限的符号即可求解.【详解】因为，所以异号，即在所在的象限一正一负，所以角的终边在第三、四象限.故选：.8若，且，则角是第（

）象限角．A．二 B．三 C．一或三 D．二或四【答案】D【分析】先判断角所在的象限，再判断角所在的象限.【详解】由条件知与异号，则为第二或第三象限角；又与异号，则为第三或第四象限角所以为第三象限角，即，，为第二或第四象限角.故选：D.9角的终边经过点，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用终边上的坐标求正弦值即可.【详解】因为角的终边经过点，所以在第二象限，即有，故选：C.题型三:同角三角函数的基本关系例3若，则（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】分子分母同除以，再代入求值即可.【详解】根据题意得：故选：C.变式训练1若，则的值是（

）A．1 B． C． D．0【答案】B【分析】根据同角三角函数的平方关系，结合三角函数在各象限的符号，即可化简求值．【详解】因为，所以，所以．故选：B．2若，则等于（

）A．0 B．1 C． D．【答案】A【分析】利用同角三角函数平方关系，将两边平方化简单计算即可.【详解】，，.故选：A．3已知，且是第二象限的角，则（

）．A． B． C． D．【答案】C【分析】根据同角的正弦与余弦的平方和为一即可求解.【详解】因为是第二象限角，所以，因为，所以.故选：.4已知，且，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据角的范围判断，再根据同角三角函数的平方关系得到，即可求解.【详解】∵，∴，而，故.即，.故选：B.5已知，，则（）A． B．C．​ D．【答案】B【分析】根据正弦的二倍角公式即可求解.【详解】因为，所以​​，即​，所以​，又​，所以​，即​，则​，故选：B.6化简（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用同角三角函数基本关系式进行化简即可得解.【详解】，所以，故选：.7函数的最小正周期为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用三角函数的基本关系式与倍角公式化简题设函数，再利用正弦函数的周期公式即可得解.【详解】因为，所以的最小正周期为.故选：A.8已知，则（）A． B． C． D．【答案】D【分析】将两边进行平方，利用正弦二倍角公式即可得解.【详解】因为，则，所以即，故选：.9已知，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由同角三角函数基本关系式及象限角的三角函数值的符号即可得解.【详解】因为，，又，所以，即，又所以，故选：.题型四:诱导公式例4（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用诱导公式即可求解.【详解】.故选：B．变式训练1若点在角的终边上，则（

）.A． B． C． D．【答案】A【分析】利用三角函数的定义与诱导公式即可得解.【详解】因为点在角的终边上，所以，则.故选：A.2已知，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据诱导公式求解即可．【详解】∵，∴．故选：C．3（

）A． B． C． D．1【答案】C【分析】根据诱导公式和特殊角的三角函数值即可求解.【详解】．故选：C.4（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用诱导公式和特殊角的三角函数值求出答案.【详解】.故选：B5（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用诱导公式转化角即得.【详解】.故选：D.6已知角的终边经过点，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据单位圆上点的坐标求三角函数值以及诱导公式求解即可.【详解】因为角的终边上的点，所以，又因为，所以.故选：C.7计算（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用诱导公式及特殊角的三角函数值计算即可得到结果．【详解】由诱导公式可得，．故选：A．8若点是角终边上一点，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据三角函数的定义及诱导公式即可得解.【详解】点是角终边上一点，由定义可得，所以.故选：．9若，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用三角函数的诱导公式与基本关系式依次求得，再利用三角函数的倍角公式即可得解.【详解】因为，，所以，，则，所以.故选：D.题型五:三角函数图像与性质例5已知函数的最小正周期为，则的值是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】利用正弦函数的最小正周期公式即可得解.【详解】因为的最小正周期为，所以，解得.故选：D.变式训练1函数的最大值是（

）A． B．1 C．2 D．3【答案】D【分析】根据余弦函数的性质即可求解.【详解】因为，所以，则，所以函数的最大值是3.故选：D.2函数是（

）A．奇函数 B．既奇又偶函数 C．非奇非偶函数 D．偶函数【答案】A【分析】根据函数奇偶性的定义即可判断【详解】因为函数的定义域为R，关于原点对称，又，所以，所以函数是奇函数.故选：A.3已知函数，下列说法错误的是（

）A．值域为 B．最小正周期为2πC．振幅为3 D．经过点【答案】B【分析】分析正弦型函数的解析式，根据正弦函数的性质即可求解.【详解】对A：因为，所以，则函数的值域为，故A项正确；对B：函数的最小正周期为，故B项错误；对C：由函数可知，振幅为3，故C项正确；对D：在函数中，当时，，所以函数经过点，故D项正确.故选：B.4下列选项正确的是（

）．A． B．C． D．【答案】A【分析】根据正弦和余弦函数的单调性及特殊角的三角函数值即可求解.【详解】对A：因为，又函数在单调递增，所以，故A项正确；对B：因为，又函数在单调递减，所以，故B项错误；对C：因为，所以，故C项错误；对D：因为，所以，故D项错误.故选：A.5函数在上的图象大致为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用诱导公式将函数化为，再根据正弦函数的图象和性质可判断结果.【详解】由于函数，故函数的值域为，故A、B选项错误；当时，，当时，，故C选项正确，D选项错误.故选：C6下列函数中，既是奇函数又以π为最小正周期的函数是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据倍角公式，两角和与差的公式，正余弦函数的性质即可求解.【详解】对A，是正弦函数，是奇函数，最小正周期为，故A错误.对B，是余弦函数，是偶函数，最小正周期为，故B错误.对C，，最小正周期为，故C错误.对D，，是奇函数，最小正周期是π，故D正确.故选：D.7函数fx=AsinωxA．函数的周期是B．函数的图象过点C．函数y=fxD．当时，【答案】A【分析】根据正弦函数图像求解析式，然后利用正弦型函数的性质进行判断即可.【详解】由图可知函数最小值为，则最大值为，则，由图可知从到为个周期，则，则，将代入解析式则，，则，因为，则，则，因为周期为，故A错误；将代入解析式，则，故B正确；由正弦函数性质可知函数，在为减区间，即在为减区间，当时，为区间，而区间为区间的子集，故C正确；将代入解析式得，，即，因为，结合正弦函数性质可知，即，当时为，即，所以当时，，故D正确；故选：A.8已知函数，则的最小正周期为，最大值为（

）.A． B．C． D．【答案】A【分析】根据二倍角公式进行化简整理为，再由周期公式求周期，根据的值确定最值即可.【详解】由，得，即，其中，，所以的最小正周期为，最大值为.故选：A．9已知函数，则（

）A．的最小正周期为，最大值为 B．的最小正周期为，最大值为C．的最小正周期为，最大值为 D．的最小正周期为，最大值为【答案】B【分析】利用余弦二倍角公式化简解析式，然后根据余弦函数性质求最值周期即可.【详解】根据题意有，所以函数的最小正周期为，当时取得最大值，最大值为，故选：B.10函数的最小正周期为（