专题02 不等式（考点讲析）-【中职专用】2024-2025学年高一数学上学期期末（高教版2023基础模块）(解析版)

专题02不等式（考点讲析）【中职专用】2024-2025学年高一数学上学期期末（高教版2023基础模块）知识总结：1实数大小的性质注：比较实数大小的方法：作差比较法步骤：①做差；②变形；③判断；④结论2不等式的基本性质加法法则乘法法则传递性同向可加性3区间集合表示数轴表示区间表示4一元二次方程不等式只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式，一元二次不等式的一般形式是或判别式方程的实数解的个数210二次函数的图像与轴的交点个数210二次函数的图像二次函数的图像方程的实数解两个不等的实数解两个相等的实数解无实数解一元二次不等式的解集RRR5含绝对值的不等式不等式数轴表示区间表示题型一:比较两个实数的大小例1比较两个实数与的大小，下列选项正确的是（

）A． B．C． D．以上均错误【答案】A【分析】根据作差法比较大小即可.【详解】已知两个实数与，则，所以.故选：A.变式训练一、选择题1设，下列结论正确的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】把三个数平方后比较大小，直接得到结果.【详解】，因为所以，故选：A.2如果且，那么，，，的大小关系为（

）.A． B．C． D．【答案】D【分析】由已知条件判断出，且即可比较大小.【详解】因为且，所以且，所以，，则，，，的大小关系为，故选：.3若函数在上是增函数，对于任意的，（），则下列结论不正确的是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据函数的单调性定义可判断结果.【详解】由函数的单调性定义知，若函数在给定的区间上是增函数，则与同号，由此可知，选项A，B，D都正确.若，则，故选项C不正确.故选：C4比较与的大小关系为（

）A．＞ B．＜ C．＝ D．不能确定【答案】B【分析】利用作差比较法即可得解.【详解】∵，∴.故选：B.5已知，则与的大小关系是（

）A． B． C． D．不能确定【答案】A【分析】用作差法即可比较大小.【详解】，则有，故选：A一、解答题1比较：与的大小.【答案】【分析】根据作差法判断大小即可.【详解】因为，即，所以.2设为实数，试比较以下两个式子的大小(1)与(2)与【答案】(1)(2)【分析】利用作差法即可比较两代数式的大小.【详解】（1）因为，所以.（2）因为，所以.题型二:不等式的性质例2下列不等式正确的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据赋值法，结合不等式的基本性质即可求解.【详解】对A，B令a=-1，则，故AB错误.对C，由不等式左右两边同时加上一个数，不等号方向不变可得，，则，故C正确.对D，令，则，故D错误.故选：C.变式训练一、选择题1已知，，则下列各式一定成立的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据不等式的基本性质证明或举出反例即可求解.【详解】对于A，因为，，所以，由不等式的同向可加性，可知，故A选项正确.对于B，当时，，符合题意，而，即，故B选项错误.对于C，当时，，符合题意，而，即，故C选项错误.对于D，当时，，符合题意，而，即，故D选项错误.故选：A.2如果，则的大小关系是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据不等式的基本性质，即可求解.【详解】因为，所以，又因为，所以，，所以.故选：B.3如果a>b，下列不等式不一定成立的是（

）A．b<a B．a+c>b+c C． D．【答案】C【分析】利用不等式的性质可判断.【详解】由不等式的基本性质可知，A，B正确；当时，，故C不正确；若时，；若，即时，由已知可得，综上所述：，故D正确.故选：C4若，，，下列结论正确的是（

）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，，则【答案】D【分析】由不等式的基本性质即可得解.【详解】选项,时不成立,故错误.选项,若则,故错误.选项,如果成立则即与矛盾,故错误.选项,若，则,故正确.故选:.5若，则下列式子中正确是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由不等式的基本性质判断选项即可.【详解】A:因为，所以，所以A选项错误，B:当，时，，，此时，所以B选项错误，C:因为，所以，两边同时减一个相同的数不等号方向不变，即，所以C选项正确，D:当时，成立，同时为负数时不成立，所以D选项错误.故选:C.6设，且，则（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】取特殊值，可排除A、B、C，根据不等式的基本性质，可判断D正确.【详解】对A选项，取，满足已知，但不成立，故错误；对B选项，取，满足已知，但不成立，故错误；对C选项，取，满足已知，但不成立，故错误；对D选项，根据不等式的基本性质：，故正确.故选：D二、填空题1已知函数是区间上的减函数，比较大小：（填“”或“”）．【答案】【分析】先判断与的大小关系，再利用函数的单调性判断和的大小关系即可．【详解】由，又函数是区间上的减函数，所以．故答案为：．2已知实数，则，(用>，<填空).【答案】【分析】运用不等式的性质和作差法，化简即可得到所求关系．【详解】解：，，可得；，由，，，可得，可得．故答案为：；．【点睛】本题考查不等式的性质和作差法比较两式的大小，考查运算能力，属于基础题．3若，均为实数，且，则.（用“”或“”填空）【答案】【分析】利用不等式的基本性质求解即可.【详解】，，.故答案为：.4若，则.（用不等号填空）【答案】【分析】根据不等式的性质比较大小即可.【详解】已知，则，由不等式的两边同时除以一个正数，不等号方向不变可知，，故答案为：.5不等式组的解集用区间表示为.【答案】【分析】求出不等式组的解集，再根据区间的定义求解即可．【详解】不等式组,化简为即,解得,用区间表示为.故答案为：三、解答题1己知a，b分别满足不等式和.(1)求实数a的取值范围；(2)求实数b的取值范围；(3)求的取值范围.【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根据一元二次不等式的解法求解；（2）根据含绝对值不等式的解法求解；（3）分别求出、的范围，再根据不等式的基本性质求解.【详解】（1）不等式可化为，解得.故实数a的取值范围为（2）不等式可化为，解得.故实数b的取值范围为；（3）由（1）（2）知，，，故.所以的取值范围为.2解不等式组【答案】【分析】分别解两个一元一次不等式，然后求出两个不等式解集的交集．【详解】由①得：，解得；由②得：，解得.所以不等式组的解集为：.题型三:区间例3设集合，，则（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用区间的运算即可得解.【详解】因为，，所以.故选：B.变式训练一、选择题1＝（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据区间的运算求解即可.【详解】.故选：D.2集合用区间表示为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用区间的表示方法即可得解.【详解】集合用区间表示为.故选：A.3不等式组的解集是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】解一元一次不等式组，结果用区间表示即可.【详解】由不等式组，可得，所以不等式组的解集是.故选：A4知集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据交集的运算性质计算即可.【详解】因为，，所以.故选：C．二、填空题1如图数轴，阴影部分的范围用区间表示是.

【答案】【分析】根据阴影区域表示的不等式进行区间表示.【详解】由阴影区域可知表示的不等式为，因此所对应的区间为.故答案为：.2已知集合，，则=.（写成区间形式）【答案】【分析】解一元二次不等式求并集即可解得.【详解】，则,解得或，得到或，又，所以．故答案为：.三、解答题1解不等式组的解集，并用区间表示.【答案】【分析】利用一元一次不等式组的解法求解即可.【详解】因为，可得，，，即，所以不等式组的解集为，区间表示为.2已知区间，求．【答案】【分析】根据交集和并集的概念，以及区间的含义，求解即可.【详解】∵，∴，．题型四:一元二次不等式例4不等式的解集为（

）A． B．或x>1C． D．或【答案】C【分析】结合一元二次不等式的解法即可解出不等式.【详解】因为二次函数开口向上，两根为，所以不等式的解集为.故选：C.变式训练一、选择题1一元二次不等式的解集是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】解一元二次不等式即可得解.【详解】一元二次不等式，解得，所以解集为，故选：.2若方程无实数解，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用二次方程无实数时判别式小于零，列式即可得解.【详解】因为方程无实数解，即，，解得，可得的取值范围是.故选：B.3关于x的不等式的解集是，则等于（

）A． B．7 C． D．5【答案】A【分析】根据题意，结合根与系数的关系即可求解.【详解】因为关于x的不等式的解集是，所以当时，，则，，所以，故选：A4已知二次函数的图像如图所示，则不等式的解集是（

）A． B．或C． D．或【答案】A【分析】根据二次函数与二次不等式的关系分析求解即可.【详解】由二次函数图像知时，，当时，在和之间，则有，所以不等式的解集是.故选：A.5已知关于x的不等式的解集为，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由题意根据含绝对值的不等式的解法求解，代入求解一元二次不等式解集即可.【详解】已知的解集为，可知，由可得，所以，解得a=2，.所以不等式即为，即，解得，则不等式的解集为.故选：B.二、解答题1已知集合，集合，．(1)求的值；(2)求．【答案】(1)，(2)【分析】（1）根据题意列出方程组即可得解.（2）由（1）可知求出集合根据交集的定义即可得解.【详解】（1）因为集合，所以，解得，所以，.（2）集合，，解得，所以，集合，，解得，所以，所以.2若一元二次不等式的解集为，求实数范围．【答案】【分析】根据一元二次不等式恒大于零的条件且列式求解即可.【详解】即.3若不等式的解集是，(1)求的值；(2)求不等式的解集.【答案】(1)；(2)【分析】（1）利用韦达定理由一元二次不等式的解集求参数即可；（2）利用一元二次不等式的解法可解.【详解】（1）依题意可得：=0的两个实数根为和2，由韦达定理得：，解得：；.（2）不等式，可化为，即，所以，解得：，故不等式的解集．题型五:含绝对值的不等式例5不等式的解集是（

）A．R B． C．或 D．【答案】B【分析】根据解含绝对值不等式的基本解法即可求解.【详解】由题意得，，则，所以，解得，所以不等式的解集为.故选：B.变式训练一、选择题1不等式的解集为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由解含绝对值的不等式的解法求解即可.【详解】因为，所以或，解得或，则不等式的解集为.故选：C.2已知关于x的不等式的解集为，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由题意根据含绝对值的不等式的解法求解，代入求解一元二次不等式解集即可.【详解】已知的解集为，可知，由可得，所以，解得a=2，.所以不等式即为，即，解得，则不等式的解集为.故选：B.3不等式的解集为（

）A．或 B．C． D．【答案】B【分析】根据绝对值的性质判定，此绝对值的解集.【详解】由可知，为任意实数，即.故选：B.4函数y=fx的图像如图所示，下列不等式中，解集与相同的是（

A． B．C． D．【答案】A【分析】先根据一元二次不等式的基本解法，得到的解集，再分别求得各选项的解集，即可求解.【详解】根据函数图像可知，的解集为.选项A中，可化为，则解集为，故正确.选项B中，可化为，则解集为，故错误.选项C中，的解集为，故错误.选项D中，中，因为分母不为零，则，且，或者且，且时，空集.且时，得到.综上，解集为，故错误.故选：A.5关于x的不等式的解集为，则m的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用绝对值的性质以及空集的概念求解即可.【详解】因为，所以若要使不等式的解集为空集，则，所以.故选：D.6若不等式的解集为，则实数等于（

）A．8 B．2 C． D．【答案】C【分析】将不等式等价转化为一次不等式，对a分类讨论，结合已知可求解．【详解】不等式可化为，即.①当时，解集为，不符合题意；②当时，则，故，方程组无解；③当时，则，故，解得.综上所述，故选：C三、解答题1解下列不等式：(1)；(2).【答案】(1)或x≥1(2)【分析】（1）利用绝对值不等式的解法即可求得.（2）利用一元二次不等式的解法即可求得.【详解】（1）因为，所以或，解得或；所以不等式的解集为或