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第六章立体几何与空间向量第八节立体几何中的综合问题·考试要求·1．理解折叠问题中的变量与不变量，掌握折叠问题中线面位置关系的判断和空间角的计算问题．2．理解空间几何体中动点的变化情况，会求解相关量的最大值、最小值问题．3．以空间向量为工具，探究空间几何体中线、面的位置关系或空间角存在的条件．核心考点提升“四能”

图1

图2

图1

三步解决平面图形的折叠问题

最值问题【例2】如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1和平面α，直线AC1∥平面α，直线BD∥平面α.(1)证明：平面α⊥平面B1CD1；证明：如图，连接A1C1，则B1D1⊥A1C1.因为AA1⊥平面A1B1C1D1，B1D1⊂平面A1B1C1D1，所以AA1⊥B1D1.又因为AA1∩A1C1＝A1，所以B1D1⊥平面AA1C1.因为AC1⊂平面AA1C1，所以B1D1⊥AC1.同理B1C⊥AC1.因为B1D1∩B1C＝B1，B1D1，B1C⊂平面B1CD1，所以AC1⊥平面B1CD1.因为AC1∥平面α，过直线AC1作平面β与平面α相交于直线l，则AC1∥l，所以l⊥平面B1CD1.又因为l⊂平面α，所以平面α⊥平面B1CD1.

空间几何体中的某些对象，如点、线、面，在约束条件下运动，带动相关的线段长度、几何体体积等发生变化，进而就有了面积、体积及角度的最值问题．定性分析在空间几何体的变化过程中，通过观察运动点的位置变化，发现其相关量的变化规律，进而发现相关面积或体积等的变化规律，求得其最大值或最小值定量分析将所求问题转化为某一个相关量的问题，即转化为关于其中一个量的函数，求其最大值或最小值的问题．根据具体情况，有函数法、不等式法、三角函数法等多种方法可供选择如图，已知直三棱柱ABC-A1B1C1，侧面AA1B1B为正方形，AB＝BC＝2，E，F分别为AC和CC1的中点，D为棱A1B1上的点，BF⊥A1B1.(1)证明：BF⊥DE；证明：因为侧面AA1B1B为正方形，所以A1B1⊥BB1.因为BF⊥A1B1，BF∩BB1＝B，BF，BB1⊂平面BB1C1C，所以A1B1⊥平面BB1C1C.因为棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱，AB＝BC，所以四边形BB1C1C为正方形．取BC的中点为G，连接B1G，EG，如图．因为F为CC1的中点，易证Rt△BCF≌Rt△B1BG，则∠CBF＝∠BB1G.又因为∠BB1G＋∠B1GB＝90˚，所以∠CBF＋∠B1GB＝90˚，所以BF⊥B1G.因为E，G分别为AC，BC的中点，所以EG∥AB∥A1B1.又因为BF⊥A1B1，所以BF⊥EG.因为B1G∩EG＝G，B1G，EG⊂平面EGB1D，所以BF⊥平面EGB1D.因为DE⊂平面EGB1D，所以BF⊥DE.

1．对于存在判断型问题，应先假设存在，把要成立的结论当作条件，据此列方程或方程组，把“是否存在”问题

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