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第十章计数原理、概率、随机变量及其分布微专题二项分布与超几何分布模型识别问题

二项分布与超几何分布是概率中最重要的两种数学模型，也是高考的热点问题．解答此类问题时，必须要弄清题意，分清是哪种分布问题，这样才能有目的的解答．类型一超几何分布【例1】(2024·衡水模拟)温室蔬菜种植技术是一种比较常见的技术，它使人们在任何时间都可以吃到新鲜的蔬菜，深受大众喜爱．温室蔬菜生长和蔬菜产品卫生质量与温室内土壤、灌溉水、环境空气等环境质量有关，温室蔬菜产地环境质量等级划定如表所示．环境质量等级土壤各单项或综合质量指数灌溉水各单项或综合质量指数环境空气各单项或综合质量指数等级名称1≤0.7≤0.5≤0.6清洁20.7～1.00.5～1.00.6～1.0尚清洁3>1.0>1.0>1.0超标各环境要素的综合质量指数超标，灌溉水、环境空气可认为污染，土壤则应做进一步调研，若确对其所影响的植物(生长发育、可食部分超标或用作饮料部分超标)或周围环境(地下水、地表水、大气等)有危害，方能确定为污染．某乡政府计划对所管辖的甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛共8个村发展温室蔬菜种植，对各村试验温室蔬菜产地环境质量监测得到的相关数据如图：

ξ0123P

超几何分布的识别、求解策略(1)超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数．(2)超几何分布的特征：①考察对象分两类；②已知各类对象的个数；③从中抽取若干个个体，考查某类个体个数X的概率分布．(3)超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其实质是古典概型，计算分布列和期望时直接套用公式即可．思维建模

年级成绩合计合格不合格高一

16

高三54

合计

100

年级成绩合计合格不合格高一241640高三54660合计7822100

X0123P

判断某随机变量是否服从二项分布的关键点(1)在每一次试验中，事件发生的概率相同．(2)各次试验中的事件是相互独立的．(3)在每一次试验中，试验的结果只有两个，即发生与不发生．提醒：在实际应用中，往往出现数量“较大”“很大”“非常大”等字眼，这表明试验可视为n重伯努利试验，进而判定是否服从二项分布．思维建模

X1012…nP…

X2012…nP

(3)有一批产品共有N件，其中M件为次品，采用不放回地抽取方法抽取n件，出现次品的件数为X3(N－M≥n＞0，且M≥n)．解：X3的分布列为

X3服从超几何分布．X301…nP

超几何分布和二项分布的区别与联系区别超几何分布二项分布需要知道总体的容量不需要知道总体的容量描述的是不放回抽样问题，总体在变化描述的是有放回抽样问题，总体不改变各次抽取不相互独立各次抽取相互独立考察对象分为两类，并且已知各类对象的个数每一次试验

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