2024高考数学第一轮复习：810 与球有关的切、接问题(解析版)

8.10与球有关的切、接问题

思维导图

知识点总结

研究与球有关的切、接问题，既要运用多面体、旋转体的知识，又要运用球的几何性质，要特

别注意多面体、旋转体的有关几何元素与球的半径之间的关系，解决此类问题的关槌是确定球

心.

知识点一；正方体、长方体外接球

1、正方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半.

2、长方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半.

3、补成长方体

（I）若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，则可将其放入某个长方体内，如图1所示.

（2）若三棱锥的四个面均是直角三角形，则此时可构造长方体，如图2所示.

PA

(3)正四面体可以补形为正方体旦正方体的棱长如图3所示.

（4）若三棱锥的对棱两两相等，则可将其放入某个长方体内，如图4所示

图I图2图3图4

知识点二：正四面体外接球

如图，设正四面体ABC。的的棱长为“，将其放入正方体中，则正方体的棱长为也〃，显然正四面体

2

和正方体有相同的外接球.正方体外接球半径为R=@。•且=在。，即正四面体外接球半径为R=

2244

知识点三：对棱相等的三棱锥外接球

四面体A3CO中，AB=CD=m,AC=BD=n,AD=BC=t,这种四面体叫做对棱相等四面体，可

以通过构造长方体来解决这类问题.

22

b+C=加222

如图，设长方体的长、宽、高分别为贝IJ片十°2=〃2,三式相力口可得/+从+。2=竺士工",

,，2

a~+b~=r

Im2+n2+7

而显然四面体和长方体有相同的外接球，设外接球半径为R,则/+6+C2=4R2,所以/?=

知识点四：直棱柱外接球

如图1,图2,图3,直三棱柱内接于球（同时直棱柱也内接于圆柱，棱柱的上下底面可以是任意三角

第一步：确定球心O的位置，。是A48C的外心，则Oq_L平面A8C；

第二步：算出小圆01的半径AQ=r，OO=-A4,=-h（.44=/?也是圆柱的高）；

X22

第三步：勾股定理：。42=0.+002=R2=g）2+/=尺=卜+解出R

知识点五：直棱锥外接球

如图，E4J_平面ABC,求外接球半径.

解题步骤：

第一步：将AABC画在小圆面上，A为小圆直径的一个端点，作小圆的直径A。，连接孔＞,则叨必

过球心0；

第二步：01为A4BC的外心，所以0«_L平面ABC,算出小圆01的半径«。二一(三角形的外接圆直径

算法：利用正弦定理，得三=3=三=2厂)，如：

sinAsinBsinC2

第三步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：①RR/=P*+(2rfo2里=+(2/接

@R2=r2+()0；。R=M+OO：.

知识点六：正棱锥外接球

正棱锥外接球半径：R=不”•.

由此推广：侧棱相等的锥体外接球半径：=

2/1

知识点七：垂面模型外接球

如图I所示为四面体P-A8C,已知平面，平面ABC,其外接球问题的步骤如下:

(1)找出△PA8和AABC的外接圆圆心，分别记为01和01.

(2)分别过。1和。［作平面尸A8和平面ABC的垂线，其交点为球心，记为O.

(3)过01作A8的垂线，垂足记为O,连接。则0/_LA8.

(4)在四棱锥A-。。。。？中，AO垂直于平面。。0。2,如图2所示,底面四边形。0。0二的四个顶

点共圆目03为该圆的直径.

AA

图1图2

知识点八：锥体内切球

3V

方法：等体积法，即R

s表面积

典型例题分析

考向一外接球

角度1补形法一存在侧棱与底面垂直

例1已知三棱锥P-ABC中，B4,PB,尸C两两垂直，且以=1,尸8=2,户。=3,则三棱锥

P-ABC的外接球的表面积为()

A.耳&B.14兀

c.56兀D.qiz花

答案B

解析以线段以，PB,PC为相邻三条棱的长方体以88—C4PC被平面ABC所战的三棱锥

P—A8c符合要求，如图，长方体％8归一CAPC与三棱锥尸一ABC有相同的外接球，其外接

球直径为长方体体对角线pp,

A'

设外接球的半径为R,

WJ(2/<)2=PP,2=PA2PB2+PC2=l2+22+32=14,

则所求球的表面积S=4兀R2=Jt(2/?)2=14兀

角度2补形法——对棱相等

例2已知棱长为1的正四面体的四个顶点都在一个球面上，则这个球的体积为()

C霖D.金

答案A

解析如图将棱长为1的正四面体Bi-ACDi放入正方体ABCD—AiBGOi中，且正方体的棱

历

长为1Xcos45°=2»

所以正方体外接球的体积为我3=%X(乎?邛兀,

因为正四面体的外接球即为正方体的外接球，

.[2

所以正四面体的外接球的体积为七兀

感悟提升补形法的解题策略

(1)侧面为直角三角形或正四面体，或对棱均相等的模型，可以放到正方体或长方体中去求解;

（2）直三棱锥补成三棱柱求解.

角度3截面法

例3（2021•全国甲卷）已知4,B,C是半径为1的球O的球面上的三个点，且AC_LBC,AC=

8c=1,则三棱锥O—43C的体积为（）

A亚B近

A，12012

C应D也

。4u'4

答案A

解析如图所示，因为AC_L8C所以A8为截面圆Oi的直径，且AB=也.连接OOi,

则。0」平面48C,00尸0M—（野=AJ1一停『=乎,

所以三棱锥0—A3C的体积V=ls“5u00i=《X；X1X1乂孚=噜.

JJJJ14

感悟提升与球截面有关的解题策略

（1）定球心：如果是内切球，球心到切点的距离相等且为半径；如果是外接球，球心到接点的

距离相等且为半径；

⑵作截面：选准最佳角度作出截面，达到空间问题平面化的目的.

角度4定义法

例4（2023・德州质检）已知四棱锥P-A8C。的侧棱长均相等，其各个顶点都在球0的球面上,

AB—BC,乙48。一90。，AD—20CD—2,三棱锥P一八8C的体积为学则球O的表面积为

（）

A.25兀

…八一64巾71

C.J2HD.一—

答案A

解析如图，设点〃在底面的射影为〃,

p

・・・四棱锥P-ABCD的侧棱长均相等，

:,HA=HB=HC=HD,

：.AtB,C,。四点共圆.

♦；AB=BC,ZABC=90\：.ZADC=90°.

•・,AO=2小，CD=29

・・・AC=4,:.AB=BC=2也

•・•三棱锥P-ABC的体积为与，

••^SMBCPH=^9PH=4,

设球。的半径为R,・・・(4-R)2+22=R2,

解得R=9，则球。的表面积S=4兀R2=25兀.故选A.

感悟提升到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找

其垂线，则球心一定在垂线上，再根据到其他顶点距离也是半径，列关系式求解即可.

训练1(1)(2023・河南顶级名校联考)四面体的四个顶点都在半径为R的球O\上，该四面体各棱

长都相等，如图①.正方体的八个顶点都在半径为4的球。2上，如图②.八面体的六个顶点都

在半径为R3的球。3上，该八面体各棱长都相等，四边形A8CQ是正方形，如图③.设四面体、

正方体、八面体的表面积分别为S4,So,S8.若Ri：&：R3=小：米：也，则()

A.S8>S4>S6BS=S8>S6

C.S4=S6Vs8D.S4=S（）=Ss

答案D

解析设正四面体的棱长为由，如图正四面体内接于棱长为限的正方体内,

则易求照=竽。4,

设正方体的棱长为46,则2&=仍。6,

2

〃6=-75",Sb~6尿=8R?；

设八面体的棱长为。8,其外接球球心为AC的中点，则痣=地弋,

・・・S8=8X小加=44欣

〈Ri:Ri：R3=S:/：也，

，没Ri=V§凡R2=%R,Ri=y[2R,

・・・S4=S6=58=8小足故选D.

(2)(2023•天津模拟)已知三棱柱ABC-AiBiCi的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上.若该

棱柱的体积为仍，AB=2,AC=I,ZBAC=60°,则外接球的表面积为.

答案8兀

解析由AB=2,AC=1,N5AC=6()。及余弦定理可得

BC=\IAB2-\~AC2-2ABACCO^60°=yj4+1-2X2X1X1=A/3,

所以AC2+BC2=AB2,NAC5=90。，

所以底面外接圆的圆心为斜边AB的中点.

设aABC的外接圆半径为r,

则L竽=1.

।।/3

又S"8C=5BCAC=5X^5X1=ry,

乙乙乙

所以V住=5"班"141所以AAi=2,

因为三棱柱ABC—AIBIG的侧棱垂直于底面，

设其外接球的半径为R,则R2=，+（等）=[2+[2=2,

所以外接球的表面积5=4成2=4花X2=8兀

考向二内切球

例5（2023•江西大联考）己知四面体SABC的所有棱长为2小，球Oi是其内切球.若在该四面体

中再放入一个球。2,使其与平面SA8,平面SBC,平面SAC以及球Oi均相切，则球。2与球

Oi的半径比值为（）

A坐

B4

c4D.5

答案D

解析如图，设S在平面A3C内的射影为O,凡为球Oi的半径，&为球02的半径，F,H分

别为球。，球02与侧面S3。的切点.

在RtZXSA。中，该四面体的高

2

2

和X

h=SO=\ISA2-AO2-

又四面体的表面积S=4X坐X（2，5）2=12小，

则=?X解得Hi=R",

^HO2_S°2小R2_h—2R\-R2

由西一SOJ日后一h-R\-，

即华=2小一

*2啦—呼

解得R2=乎，故缶=3.故选D.

感悟提升“切”的问题处理规律

⑴找准切点，通过作过球心的截面来解决.

（2）体积分割是求内切球半径的常用方法.

训练2（2023•南京调研）已知正方形A8CZ）的边长为2,£为边A8的中点，”为边BC的中点,

将△AEO,△OCRABEF分别沿DE,DF,七尸折起，使A,B,。三点重合于点P,则三棱

锥P-DE/的外接球与内切球的表面积比值为（）

A.6B.12

C.24D.30

答案C

解析如图①，依题意可知4Q_LAE,CD1CF,BELBF,

所以PFLPD,PELPF,如图②.

所以在三棱锥P-DEF中，PD,PE,P尸两两垂直，且PE=P"=1,PD=2,

所以三棱锥夕一。七尸的外接球即为以PO,PE,。尸为邻边的长方体的外接球，

所以三棱锥P-DEF的外接球半径R满足

_______[2

2R=y/1+1+4=a,所以/?=勺，

则其外接球的表面积为4兀尸=6兀.

因为三棱锥P-DEF的表面积为正方形A8CZ）的面积，

所以S表=2X2=4,IX1X2=1.

设三棱锥P-OEb的内切球的半径为r,

所以由;S表•r=Vp-DEF,解得，•=；,

所以内切球的表面积为4兀，=；,

所以三棱锥尸一。七尸的外接球与内切球的表面积比值为3=24.故选C.

兀

BFC

考向三双半径单交线公式

若相互垂直的两凸多边形的外接圆半径分别为4，足,两外接圆公共弦长为/,则由两凸多边

形顶点连接而成的几何体的外接球半径：R=[居+g

例6（2023・河南适应性测试）已知三棱锥P—ABC,△A8C是边长为的等边三角形，PA=PB

=a,且平面%8J_平面ABC若三棱锥P-4BC的每个顶点都在表面积为竽的球面上，则。

答案号或小

解析法一如图，取A8的中点为。，连接产。，CD,

pE

6

/，o;--一

B

因为PA=PB=a,

所以尸

因为平面%81.平面ABC,平面以BA平面A8C=AB,PDu平面aB,

所以PO_L平面ABC,

同理得CDJ_平面PAB.

设点O\为等边△ABC的外心，过点O\作OiE//PD,

则OiE_L平面ABC,

易将直线O归上任意一点到4,B,。二点的距离相等.

设。2为△雨8的外心，则。2在直线PD上，

过点。2作。2。〃。。，交0止于点0,

则点。为三棱锥P-ABC外接球的球心，

因为AABC是边长为的等边三角形,

所以48=2S，

又如=P5=a,

2

所以PD=yja-39

PDylcr—3

sinZ.PBD=~pg=0

设△物8的外接圆的半径为八

I^A〃2

则由正弦定理，得2r=~~/0R/)=/),

sm/PBON〃2—3

22

则尸靖方即。步=武。

L/^_一届一61

所以O2D=r2k、户•

易知四边形00|。。2为矩形,

所以。。1=。2。=卷罟.

657c

由题意可知三棱锥P—ABC外接球的表面积为4，

65兀

设该外接球的半径为R,则所改=4，

所以R=呼.

V65

连接0C,贝1JOC=4，

易得OiC=2小X坐x1=2.

在RtZXOOi。中，。0彳+。1。2=。。2,

整逑得4/—49/+147=0,

21

解得层=年或足=7,

所以a=吗^或a=市.

（注：仿照此解法，可推导出双半径单交线公式）

法二如图，取48的中点为。，连接PQ,CD,

因为PA=PB=a,

所以PDLAB.

因为平面%8_1_平面ABC,

平面布8A平面A3C=A&PDu平面出&

所以PO_L平面A8C.

同理得CO_L平面以及

设点Oi为等边△ABC的外心，过点Oi作

O\E//PDf

则OiE_L平面ABC,易得直线。力上任意一点到A,B,。三点的距离相等，

即三棱锥P-ABC外接球的球心0在直线。石上.

以。为坐标原点，以DB,DC,QP所在直线分别为x,），，z轴建立空间直角坐标系,

因为△ABC是边长为的等边三角形，

所以CQ=2#X乎=3,（?iC=1cD=2,OiO=；CQ=l,

又必=PB=a,

所以。＞小，PD=yla2-3,

则P((),(),或2—3),C((),3,0).

由题意可知三棱锥P—A8C外接球的表面积为竽,

设该外接球的半径为R,则4工巾=等,

所以R=华.

设。(0,1,z),连接OP,OC,则。P=OC=R,

5晅

即5+（亚-J）2=点可

z—4，

解得a=等或a=币.

法三（双半径单交线公式）设△A8C的外接圆半径为4,

由正弦定理得2凡=翁=4,故凡=2.

2

如图，在△%B中，Q是48的中点,

易知sinNB43=^匚(〃＞小),

设△附8外接圆的半径为&,

由正弦定理，得2H2=/\==

y/a-3y/a~—3

a

即R2=

2。yja~—3

设三棱锥P-ABC外接球的半径为R,

则4兀/昨华，故N端，

且平面%BG平面ABC=AB,

/2

由双半径单交线公式得收=用+虺一：,

艮哈4+4（工3）T，

化简得4/49a2I147=0,

解得。=挈或。=市.

基础题型训练

一、单选题

1.若一个正三棱柱存在外接球与内切球，则它的外接球与内切球体积之比为（）

A.3^:1B.5:1C.575:1D.6:1

【答案】C

【分析】设正三棱柱底面正三角形的边长为。，由正三棱柱的结构特征确定正三棱柱的高，再计算出其外接

球的半径，进而由体积公式求解即可.

【详解】设正三棱柱底面正三角形的边长为。，则正三棱柱的内切球半径等于正三角形的内切圆半

径，则内切球的半径加=走〃，正三棱柱的高。=2%=

63

设正三角形的外接圆半径为R,易得R=@

3

2.三棱锥S-A3C中，S4_L平面48C,ABIBC,SA=AB=I3C.过点A分别作4E_LSB,AF工SC交

SB、SC于点区/，记三棱锥S-R1E的外接球表面积为E，三棱锥S-A8C的外接球表面积为反，则今=

D.1

【答案】B

【分析】取SA的中点。1，SC的中点。2,连。七，OF，02Af。28,证明3是三棱锥S-ABC的外接球

的球心，SC为该球的直径；。1是三棱锥S-E4E的外接球的球心，SA为该球的直径，设SA=AB=8C=〃,

求出SC,根据球的表面积公式可求出结果.

【详解】取SA的中点a,SC的中点Q，连。或，OF,。《,02B,

因为SAJ_平面ABC,A及8cACu平面ABC,所以SA14B,SA1BC,SA1AC,

因为SAcA8=A,SA’ABu'K面SAB,所以8c工平面SAB,

因为S3u平面SA8,所以4C_LS,

在直角三角形SAC中，。2是斜边SC的中点，所以02A=。25=。2。，

在直角三角形SBC中，。2是斜边SC的中点，所以o/=O2S=qc,

所以02是三棱锥S-ABC的外接球的球心，SC为该球的直径.

因为AE_LS8,。|是斜边SA的中点，所以«E=O]A=O1S,

因为Af^SC,。是斜边SA的中点，所以«尸=。状=。尸，

所以a是三棱锥的外接球的球心，SA为该球的直径.

设丛=A4=4C=。，则SC=JS*+4B2+BC2=&，

则5]=4兀,（B）2=兀，S?=4兀•=4兀=3/冗，

故选:B.

3.《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年，其中有很多对几何体外接

球与内切球的研究.其中的一些研究思想启发着后来者的研究方向.已知正四棱锥P-A8CD的外接球半燃

R

为R,内切球半径为「，且两球球心重合，则一二()

v

A.2B.1+>/2C.2+&D.2a

【答案】B

【分析】正四楂锥的外接球和内接球球心重合，说明其结构特殊，找出结构的特殊性，再计算.

设底面正方形A8CO的对角线长为2a,高为h,,正方形的中心为。，外接球的球心为0',

,22»22

贝I」有/•=〃-R即R=/?-r,在中，r2=R2-a~=(h-r)-a2,:.r=-———①，R=h-r=1+a-

''2h2h

②，

以。为原点，建立空间直角坐标系如上图,

则有0(0,0/),尸(O,O/),C3O,O),D(OMO),C0=(-aM,O),PC=3O,-/i),PO=(0,0,-/1),

m-CD=0-ar+ay=0

设平面PC。的一个法向量为〃?=（x,y,z）,则有

m-PC=0ax-hz=0

令z=a,则x=/?,y=,

设向量PO与平面PCD的夹角为夕，贝ijsin。一

球心0到平面尸8的距离)=POSin"&二,二(/「「)/:,

，2//+a“yJ2lr+a-

眩-1

2h

ahahfr-a_(T___人

r=।un--

,,，由①得----1,=——即/「一^③，

2

a+\l2lr+a-a+yJ2h~+a2h片2/L+I与

故设/=4,则③可整理成C+1=(产-1)J2r+1,两动平方得广―力2_]=。，./=g+]

由①②得四="£=£==&+】；

rh--a~C-1

故选：B.

4.若一个正六棱柱既有外接球又有内切球，则该正六棱柱的外套球和内切球的表面积的比值为（）

A.2:1B.3:2C.7:3D.7:4

【答案】C

【分析】正六棱柱有内切球，则。到每个面的距离相等，即oa=a。，可求内切球的半径，根据

0A2=OO：+aA?可求外接球的半径，代入球的面积公式计算.

【详解】如图：a，。?分别为底面中心，。为的中点，。为人4的中点

设正六棱柱的底面边长为2

若正六棱柱有内切球，则。«=。。=百，即内切球的半径r=6

042=（叫2+。42=7,即外接球的半径R="

则该正六棱柱的外接球和内切球的表面积的比值为4兀叱：4兀，=/：产=7:3

故选:C.

B

二、多选题

5.用一个平面去截棱长为1的正方体ABC。-A4CA，则下列结论中正确的是（）

A.若该平面过点AC4，则截面的周长为6

B.若该平面过点4C，片，则截得的两个几何体的外接球体积相等

C.若该平面过点AD4,则栽得的两个几何体的表面积均为3+&

D.若该平面过点D片，则其截正方体ABC。-AgG。的外接球所得的截面面积不是定值

【答案】BC

【分析】作出过点A,C,4的截面直接计算可判断A：分析两个几何体的外接球和正方体的外接球的关系可

判断B；直接计算两个几何体的表面积可•判断C；由过。，片的截面过正方体外接球的球心可判断D.

【详解】若该平面过点AC%,则截面为正三角形AC耳，其边长为友,则截面的周长为371A错误；

若该平面过点ACq,则截得的两个几何体的外接球均为正方体ABC。-A4GA的外接球，

故外接球体积相等，B正确；

当该平面过点4D用时，截面为A81G。，则截得的两个几何体为相同的三棱柱，

且三棱柱的表面积均为2xl2+2x：xl2+]x拒=3+x/5,C正确；

若该平面过点。，用，则其过正方体ABC。-A,用G"的外接球球心，

所以截面面积是定值，D错误.

故选：BC.

6.下列关于三棱柱ABC-A&G的命题，正确的是（）

A.任意直三棱柱ABC-4蜴G均有外接球

B.任意直三棱柱/WC-ABG均有内切球

C.若正三棱柱A4C-A4G有一个半径为1的内切球，则该三棱柱的体积为66

D.若直三棱柱4801的外接球球心在一个侧面上，则该三棱柱的底面是直角三角形

【答案】ACD

【分析】根据外接球的特征可知，连接直三棱柱上、下底面三角形外心的线段的中点。到直三棱柱各个顶

点的距离相等，即为外接球球心，从而判断A；根据内切球的特征可知，直三棱柱底面内切圆半径需为直三

棱柱高的一半，即可判断B；根据正三棱柱内切球半径可求得正三棱柱的高和底面正三角形边长，代入棱柱

体积公式，即可判断C：由球心在底面的射影为底面三角形一条边的中点，且到三角形各个顶点距离相等，

即可判断D.

【详解】对于A,取连接直三棱柱上、下底面三角形外心的线段的中点。，

则点。到直三棱柱各个顶点的距离均为,其中广为底面三角形外接圆半径，为直三棱柱的高,

.••点。即为直三棱柱的外接球球心，A正确；

对于B,若直三棱柱有内切球，则其高等于直径，底面内切圆半径等于内切球半径，

即底面内切圆半径需为直三棱柱高的一半，不是所有直三棱柱都符合，B错误；

对于C,若正三棱柱的内切球半径为1,则正三楂柱的高为2,底面正三角形的高为3,

设正三棱柱底面正三角形的边长为。，则加一号=3,解得：a=2也，

「•该正三棱柱的体积V=gx（2可乂争2=66，C正确；

对FD,若外接球球心在直三棱柱的侧面上，则球心为该侧面的中心，其到底面三角形各顶点的距离相等，

•••球心在底面上的射影到底面三角形三个顶点的距离也相等，

又侧面中心在底面的投影在底面三角形的一条边上，

该投影为底面三角形一条边的中点，且到另一顶点的距离为该边长的一半，

.••该底面三角形为直角三角形，D正确.

故选：ACD.

7.如图是一个圆锥和一个圆柱的组合体，圆锥的底面和圆柱的上底面完全重合且圆锥的高度是圆柱高度的

一半，若该组合体外接球的半径为2,则（）

A.圆锥的底面半径为1

B.圆柱的体积是外接球体积的四分之三

C.该组合体的外接球表面积与圆柱底面面积的比值为16:3

D.圆锥的侧面积是圆柱侧面积的一半

【答案】CD

【分析】设圆锥的顶点为尸，圆柱上下底面的圆心分别为。1，。2,的中点为。，设圆锥的高为「。产九，

h+h=2

圆柱的高为。。2=2力，圆柱的上下底面圆半径为「，由题意可得，/）2,解出力和「的值，进而结合圆

柱、圆锥和球体的面积和体积公式求解各选项即可.

【详解】如图，设圆锥的顶点为P，圆柱上下底面的圆心分别为。1，。2，的中点为0,

由题意，设圆锥的高为尸。尸4,阅柱的高为002=2力，圆柱的上下底面圆半径为

,h+h=2L

则，.2个,,解得力=1，r=73»故A错误；

产+h~=2-

圆柱的体不只为%柱=兀x3x2=6兀，

A70

外接球体积为/=：兀X2,=守，

9

则%柱二正/，故B错误；

圆柱底面面积为5底=冗x3=3兀，

外接球表面积S球=4兀x2?=16兀，

则S球:黑=16兀：3兀=16:3,故C正确；

圆锥的母线长为J(V3)2+12=2,

所以圆锥的侧面积为gx2兀XJ5X2=2J5TT,

圆柱侧面积为2X2TTXG=4G兀，

所以圆锥的侧面积是圆柱侧面积的一半，故D正确.

故选：CD.

8.如图，在正方体ABC。-48cA中，E、尸分别是42、CQ的中点，G为线段BC上的动点(含端点),

则下列结论中正确的是()

A.存在点G使得宜.线8。团平面EFG

B.存在点G使得直线AB与EG所成角为45°

C.G为8c的中点时和G、C重合时的三棱锥G-E/。的外接球体枳相等

D.当G与B重合时三棱锥G-EF。的外接球体积最大

【答案】BCD

UUUULM1

【分析】AB选项，建立空间直角竺标系，写出点的坐标，表达出4G=24CnG(-242-240),/IG[0,1],

利用空间向量验证是否存在点G使得线面垂直和异面直线夹角；CD选项，找到球心的位置，设出球心的坐

标。(0,—l,m),利用半径相等，得至lJ-4&〃2=8/l2—12义=83—：一:，由义目0,1］得到me。提上，从

Io

而得到〃2=0时，|O吁取最大值，即外接球半径最大，此时4=0,即G与4重合，故D正确；当G为BC

中点和当G与。重合时，用相等.故外接球半径相等，体积相等.

【详解】设棱长为2&，如图，以底面中心。为坐标原点，建立空间直角坐标系,

E(1,-1,2V2),D(0,-2,0),F(-l,-L2>/2),

UIM1UUUUUU

30=(0,-4,0),BG=2BC=>G(-22,2-2A,0),>ie[0,l].

EG=(-2A-l,3-22,-2x/2),EF=(-2,0,0),

UIWuuu

A选项；显然，BD-EF=(0,-4,01(-2,0,0)=0,故皿_LM,

若平面EfGEG在面EFG内，则8£>_LEG,

uuouun3

而B/>£G=-4x(3—2X)=0=/l=12[0,l],A错误.

B选项；当G为8c中点时，£G=(-2,2,-2>/2),

(-220).卜2,2,-2&)_8「拉

故cos(AB,EG)=]ABEG

AB\-\EG74+4x74+4+8~2y/2x4~2'

故直线A8与EG所成角为45。，结论成B正确.

对于C、D选项；球心。必在过E"中点。2,且与平面EFR垂直的直线上，

ULUU

设。(0,-1,同,G在上运动时，OG=(-22,2-2A,0)-(0,-l,m)=(-22,3-22,-m),

OT=(l,-l,2>/2)-(0,-k/?7)=(l,0,2V2-7H),

故=8A2-12/l+w2+9,|O£|2=W2-4>/2W+9,

由=|0目2可得_4也加=8万一124=8%一（）-共［。，1］，

故当4=4时，-4a机取得最小值，为-2,当2=0时，-46”取得最大值，最大值为0,

42

故Tamw一苫,0,0/MG|（），2⑸，

2J|_16

|O£|2=m2-4"??+9=（〃?一2夜）一+1,

回/〃=0时，|0同2取最大值，即外接球半径最大，此时2=0,即G与8重合，故D正确；

当G为BC中点时，4=!，〃?=也；当G与C重合时，2=1,m=—.

222

故外接球是同一个外接球，C正确.

故选：BCD

【点睛】关键点点睛：解决与球有关的内切或外接的问题时，解题的关键是确定球心的位置.对于外切的

问题要注意球心到各个面的距离相等且都为球半径；对于球的内接几何体的问题，注意球心到各个顶点的

距离相等，解题时要构造出由球心到截面圆的垂线段、小圆的半径和球半径组成的直角三角形，利用勾股

定理求得球的半径或建立空间直角坐标系，利用半径相等，利用空间向量列出方程，求出半径.

9.正方体A8CO-A&CQ的棱长为2,。为底面ABC。的中心.P为线段AQ上的动点（不包括两个端点）,

则（）

A.不存在点P,使得3a〃平面4Po

B.正方体48CO-AAGA的外接球表面积为12兀

C.存在P点，使得尸OJ.AO

D.当P为线段A4中点时，过A,P,。三点的平面截此正方体ABC。-A4cA外接球所得的截面的

面积为w兀

【答案】ABD

【分析】利用反证法，由此判断A；求正方体的外接球的半径，结合球的体积公式判断B；根据勾股定理判

断C；根据球的截面性质判断D.

【详解】假设存在点P，使得BG〃平面APO,

在8c上取点Q,使得=乂F，

所以四边形A4QP为平行四边形,

所以A4〃PQ，A4=PQ，又AB\”AB，AB『AB

所以四边形48。。为平行四边形，枇BQMAP,

又BQ<Z平面APO,人尸u平面APO,

所以3Q〃平面APO,又3G〃平面APO,BCJBQ=B,Bq,BQu平面BCC罔,

所以平面APO//平面8CC隹，与三知矛盾，

所以不存在点P，使得BG〃平面APO,A正确；

正方体的外接球的球心为3。的中点，外接球的半径/?=6,

所以正方体ABCD-48CR的外接球表面积S=4成2=12兀，B正确；

假设存在。点，使得PO_LA。，在线段A。上取点《使得A《=AP,

设则A尸=+/,^6=^X2+2-2X/2-XCOS^,尸0=收一2多+6,

因为尸O_LAO,所以A尸=。。2+人。2,

所以4+/=/一21+6+2,解得、=2,与已知矛盾：C错误；

取GA的中点E,因为P为线段AA中点时，连接PE交与点F,

所以P£〃AG，又AC〃AG，

所以PE"AC,故过4,P,。三点的平面为平面AC",

取8Q的中点。一过01作a"J_F。，垂足为“，

又AC_L平面86QD,01”u平面88QQ,所以Q"_LAC,

FOr>AC=O,bO,ACu平面4CKP,所以•平面ACEP,

过球心。2作则。2〃1平面ACEP,

所以正方体ABC。-A6的外接球的球心到截面ACE尸的距离为。2■的长,

又0、F=专,00\=2产0=当,O.FOO^O.HFO

2|

所以。i"=W，因为。?为。。的中点，所以O?H=w，

故截面圆的半径为小一（3=与，

所以截面圆的面积S=7rx?=?兀，D正确；

故选：ABD.

【点睛】本题为立体几何综合问题，考查面面平行的证明，正方体的外接球，求得截面问题，解决球的截

面问题的关键在于合理使用球的截面的性质.

10.七面体MN-人86中，A8C。为正方形且边长为2,M8,N。都与平面A8CZ）垂直，且MB=ND=h,则

对这个多面体描述正确的是（）

A.当〃=1时，它有外接球，且其半径为］3

B.当〃=2时，它有外接球，且其半径为石

C.当它有内切球时，h=2

D.当它有内切球时，/?=4

【答案】ABD

【分析】以A8CD为底面作长方体4BCQ一尸MQN,计算/?=1,/?=2时外接球半径，得到AB正确；设

CHOF

O〃_LA£垂足为”，根据相似得到々=4,计算得到C假D真，得到答案.

AFAE

【详解】以"CD为底面作长方体A8C力-PMQN,则这个长方体的外接球即为多面体肋V-4BC/）的外接球,

22

当力=2时外接球半径为也三运=6,故AB均为真命题；

2

设E，”分别为MM4C中点，若这个多面体有内切球，则其球心。必在E/上，且半径为,•=1.

OHOE

设。"J.AE垂足为〃，则由器=等，可得正1=赤/1-=1，可得。=4,故C假D真.

综上，本题答案为ABD.

故选：ABD

11.已知圆锥OP的底面半径r=右，侧面积为6花，内切球的球心为。…外接球的球心为利，则下列说法

正确的是()

B.设内切球。1的半径为心外接球。2的半径为弓，则弓=2q

C.过点P作平面。截留锥OP的截面面积的最大值为2

D.设母线P8中点为M,从A点沿圆锥表面到M的最近路线长为加

【答案】ABD

【分析】易知，圆锥轴截面为等边三角形，该三角形的内切圆半径与外接圆的半径即为圆锥OP的内

切球半径和外接球半径，求出即可判断A、B项；由jRW为等边三角形，可知过点尸作平面a截圆锥OP

的横面中，面积最大的截面即为PAB,即可判断C项；将圆锥测面沿4处剪开，连结AM即为最小值，可

得到D项.

【详解】设母线长为/，侧面积为兀”山=6兀，所以/=26.

所以/=2-，二E4月为等边三角形.

则圆锥的轴截面二A4A的内切圆半径即为圆锥内切球的半径，其外接圆的半径为圆锥外接球的半径，如图1

设内切球。।的半径为外接球。2的半径为小

则Sv卬〃=《/;(E4+4/3+PB)=$65=3后,

又SVPAB=；%•ABsinNPAB=；x(2可x4=36,

所以，4=1.

PR2r--1

由正弦定理可得，在一八钻中，——=2^,即“2-G-4,则=2.

sinZ.PAB—

2

所以，外接球。2的表面积为4%2=16兀，A正确.

因为，々=1,r2=2,所以4=2”，B项正确.

显然，过点P作平面。截圆锥0P的截面均为腰长为等腰三角形,如图2,在底面圆上任取一点C,易

7T

知乙4PCW/AP8=—.

3

所以，SACPSSABP=36即最大面积为36，C项错误.

图2

将圆锥侧面沿丛剪开，得到的扇形的半径R=/=26,弧长4=2兀「2岛,

则扇形的圆心角。=4=理=兀，如图3所示.

R2V3

A\A)

图3

连结AM,即为最近路线，在RhMPM中，有PA=R=20PM=PB=6,

所以，AMZPA^+PM?=#6j+（百j=屈,D项正确.

故选:ABD.

12.如图，在四棱锥P-48CO中，平面Q4O_L平面A8C。，四边形"CO为矩形，..24。是边长为2G的

正三角形，平面月4。与平面P8C所成锐二面角的余弦值为亘，£是棱CO的中点，则（）

7

A.AB=6B.八6=2百

C.平面Q4£截四棱锥2-"CO的外接球所得截面的面积为6〃D.平面24£截四棱锥P-A8C。的外

接球所得截面的面积为5%

【答案】BC

【