2024高考数学第一轮复习：88 几何法求线面角、二面角及距离(解析版)

8.8几何法求线面角、二面角及距离

知识点总结

利用几何法求线面角、二面角、距离的难点在于找到所求的角或距离，相对于向量法，几

何法运算简单、不易出错.知识点1：线与线的夹角

平行直线

共面直线

（1）位置关系的分类:相交直线

异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点

（2）异面直线所成的角

①定义：设a,b是两条异面直线，经过空间任一点。作直浅"〃a,Z/〃8，把"与"所成的锐角（或

直角）叫做异面直线“与人所成的角（或夹角）.

②范围：

③求法：平移法：将异面直线〃，〃平移到同一平面内，放在同一三角形内解三角形.

知识点2：线与面的夹角

①定义：平面上的一条斜线与它在平面的射影所成的锐知即为斜线与平面的线面角.

②范围：［0,

③求法：

常规法：过平面外一点3做BE_L平面a,交平面a于点"；连接A8',则448即为直线与平

面。的夹角.接下来在放八钻5'中解三角形.即sinN8A8'=理=上'（其中力即点8到面a的距离,

AB斜线长

可以采用等体积法求〃，斜线长即为线段的长度）；

知识点3：二面角

（1）二面角定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形称为二面角，这条直线称为二面角的棱，

这两个平面称为二面角的面.（二面角或者是二面角A-CO-3）

（2）二面角的平面角的概念：平面角是指以二面角的棱上一点为端点，在两个半平面内分别做垂直于

棱的两条射线，这两条射线所成的角就叫做该二面角的平面角；范闱［0,网.

（3）二面角的求法

法一：定义法

在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，这两条星线所成的角的大小就是二面角的平面角，

如图在二面角a-/一0的棱上任取一点O,以O为垂足，分别在半平面a和4内作垂直于棱的射线OA和OB,

则射线Q4和08所成的角称为二面角的平面角（当然两条垂线的垂足点可以不相同，那求二面角就相当于

求两条异面直线的夹角即可）.

法二：三垂线法

在面。或面广内找一合适的点八，作人。_1_尸于。，过人作AB_Lc于8,则80为斜线科在面分内的

射影，/43O为二面角a-c•一4的平面角.如图1,具体步骤：

①找点做面的垂线；即过点A,作AO_L尸于O；

②过点（与①中是同一个点）做交线的垂线：即过A作/连接40；

③计算：NABO为二面角。-。-尸的平面角，在R/A4AO中解三角形.

图1图2图3

法三：射影面积法

凡二面角的图形中含有可求原图形面积和该图形在另一个平面上的射影图形面积的都可利用射影面

积公式（cos0=&=<3,如图2）求出二面角的大小；

S斜SABC

法四：补棱法

当构成二面角的两个半平面没有明确交线时，要将两平面的图形补充完整，使之有明确的交线（称为

补棱），然后借助前述的定义法与三垂线法解题.当二平面没有明确的交线时，也可直接用法三的摄影面

积法解题.

法五：垂面法

由二面角的平面角的定义可知两个面的公垂面与棱垂直，因此公垂面与两个面的交线所成的角，就是

二面角的平面角.

例如：过二面角内一点A作A3_Lc于8,作ACJ.77于C,面ABC交棱”于点O,则血心就是二面

角的平面角.如图3.此法实际应用中的比较少，此处就不一一举例分析了.

知识点4：空间中的距离

求点到面的距离转化为三棱锥等体积法求解.

典型例题分析

考向一几何法求线面角

例1（2023・杭州质检）在三棱柱ABC-A必G中，各棱长都相等，侧棱垂直于底面，点。是8G

与B\C的交点，则AD与平面3BGC所成角的正弦值是（）

A」B也

A,502

一近n1

C.-z-D.5

答案C

解析取的中点£,

连接DE,AE,如图.

晨

B

依题意三棱柱ABC—为正三棱柱，

设棱长为2,则A£=小，DE=\,

因为。，E分别是BCi和BC的中点，

所以。E〃CG,所以。EJ_平面ABC,

所以DELAE,

所以AD=ylAE2+DE2=WH=2.

因为AE_L8C,AE±DE,BSDE=E,

所以AE_L平面BB6C,

所以NADE是A。与平面88GC所成的角，

所以sin/AZ）E=^=坐，

所以A。与平面BBCC所成角的正弦值是坐.

感悟提升求线面角的三个步骤：

一作（找）角，二证明，三计算，其中作（找）角是关键，先找出斜线在平面上的射影，关键是作

垂线，找垂足，然后把线面角转化到三角形中求解.

训练1（2023・湖州模拟）如图,已知正四棱锥P—ABC。底面边长为2,侧棱长为4,M为侧棱

PC的中点，则直线3M与底面A3C。所成角的正弦值为（）

a

AB

A亚B*

A.3

「逗D等

「6

答案D

解析作。。_1_底面A3CO于0,连接oc,

*B

因为正四棱锥P-ABCD底面边长为2,故。。=啦，

又测棱长为4,故P0=yjPC2-OC=714.

又M为侧棱PC中点，取OC的中点F,连接MF,8M,

则历尸统少）。，且MRL平面ABC。，

故NMBF是BM与平面A8C所成角，

且Mb=：PO=乎

JJ

BC

「21

又cosPC"-4"

在△BCM中，由余弦定理有用0=朗8。2+CM?—28CCMcosNBCM=«

MF_V14_V2T

在△BEW中，sinZMBF=

BVf_2加一6,

故直线8M与底面ABCD所成角的正弦值为等.

考向二几何法求二面角

例2如图所示，在三棱锥S—A3c中，ASBC,5c都是等边三角形，且3c=2,SA=，5,

则二面角S-8C-4的大小为（）

A.300B.45°

C.60°D.75°

答案C

解析如图所示，取8。的中点。，连接AO,SD,

VAABC,△S^C都是等边三角形,

:・SB=SC,AB=AC1

因此有4O_L8C,SD±BC.

/ADS为侧面SBC与底面ABC所成的二面角的平面角.

因为BC=2,AD±BC,SDLBC,ASBC,△45C都是等边三角形，

所以SD=qSB2_=小=1=5,AD=\JAB2—B»K4—]=事,

而%=小，所以△SD4是正三角形,

工/AOS=60。，

即二面角S-BC-A的大小为60°.

感悟提升作二面角的平面角的方法:

作二面角的平面角可以用定义法，也可以用垂面法，即在一个半平面内找一点作另一个半平面

的垂线，再过垂足作二面角的棱的垂线，两条垂线确定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二

面角的平面角.

训练2我国古代数学名著《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”.在

如图所示的“堑堵”中，AC=CB=CCi,则二面角G—AB—C的正切值为（）

A.1

c亚

。2D.V2

答案D

解析由AC=C3知，ACA.CB,CM,

由条件，可知NGMC即为二面角G-A8-C的平面角,

设AC=C8=CCi=〃，则CM=^〃，

tanZCMC=-^=y[2.

考向三几何法求距离

角度1点线距

例3如图，在四棱锥P-ABC7）中，平面ABC。，PB=AB=2BC=4,AB_LBC,则点。

到直线PA的距离为（

A2小B.2小

C.A/2

答案A

解析如图，取物的中点M,连接CM,

因为尸8_L平面A8CQ,

又8Cu平面A8CQ,

所以PBLBC,

又因为A8_L3C,PBCAB=B,PB,ABu平面加8,

所以BC_L平面办B,又％u平面%B,

所以BC_L%,BC上PB,

因为M是出的中点，PB=AB,

所以3M_LB4,

又8C_LMBMCBC=B,8W,8Cu平面8cM,

所以雨平面BCM,又CMu平面BCM,

所以CM_L%,

即CM为点C到直线%的距离.

在等腰Rl△%B中，BM=^~乙PB=2版

在RtABCM中，CM=7BM2+BC2=78+4=2小,

故点C到直线PA的距离为2小.

角度2点面距

例4如图所示，在长方体中，AD=AAi=2,AB=4,点E是棱A5的中点,

则点E到平面ACD\的距离为（）

AEB

A.lB?

C.TD.也

答案B

解析设点E到平面AC。的距离为〃，

因为点E是棱AB的中点，

所以点E到平面\CDx的距离等于点B到平面ACD^的距离的一半,

又平面ACG过8。的中点，

所以点B到平面ACDi的距离等于点D到平面ACDi的距离，

由等体积法VD-ACD[=VD1-ACD,

所以;S“a）/2/7=；SMC/>QD1,

S△力e=；X2X4=4,DD\=2,

在△ACQ1中，ADi=2®AC=CDi=2»

所以S"6=\X2啦义、（2#）2一（啦）2=6,

112

则；X6X2〃=gX4X2,解得/?='!，

即点E到平面AS的距离为导

感悟提升1.求点线距一般要作出这个距离，然后利用直角三角形求解，或利用等面积法求解.

2.求点面距时，若能够确定过点与平面垂直的直线，即径出这个距离，可根据条件求解，若不

易作出点面距，可借助于等体积法求解.

基础题型训练

一、单选题

1.在中国古代数学著作《九章算术》中记载了一种称为“曲池〃的几何体，该几何体的上、下底面平行，且

均为扇环形（扇环是指圆环被扇形截的部分），现有一个如图所示的曲池，它的高为2,AA，驱,CC,,

。。均与曲池的底面垂直，底面扇环对应的两个圆的半径分别为1和2,对应的圆心角为90。，则图中异面

直线A%与CR所成角的余弦值为（）

【答案】A

【分析】根据异面直线的夹角运算求解.

［详解】设ABICD=O,%GA=日，分别延长DC,D,C,到E,日,使得OE=OC=CD,O,旦=0£=C,Dt,

连接E%O（L，Ea，BE,

可得A瓦〃EOJ/CD.,则异面直线与CR所成角NBQE（或其补角）,

则BQ]=EOi=君,BE=O,

BO；+E/-BE?=5+5-2=4

在普印中,由余弦定理可得cos/8。石=

2帕•EO、--2xx/5xV5-5

4

即异面直线AB.与CD、所成角的余弦值为（.

2.一个正六棱锥，其侧面和底面的夹角大小为6（），则该正六棱锥的高和底面边长之比为（）

A.3:2B.3:1C.2:3D.1:3

【答案】A

pn

【分析】如图正六楂锥尸-MCZ郎中，取科的中点小则NPMO为侧面和底面的夹角‘根据说的值

p（）

可求得肉的值.

如图正六棱锥尸-48CO即中，底面中心为。，取人4的中点连接尸M,OM,

则八ABA.OM,所以NPMO为侧面和底面的夹角，即NPMO=60°

因为PO_Z底面ABCDEF,OMu底面ABCDEF,

POr-

所以尸OJ_OM,所以---=tan60=J5,

OM

P。=£

又0M=皂AB,所以6

2——AB

2

所啜S#3

2,

故选：A

3.在正方体ABC。-A4aA中，。是AG的中点，则异面直线AO与6c的夹角为（）

A.30°B.45°C.60°D.90°

【答案】A

【分析】先利用线线平行推得/"AO是异面直线AO与8G的夹角，再利用勾股定理依次求得AA，〃O，A。,

从而得解.

【详解】连接

因为正方体A8CO—ASGA中，ABiIC\D\,AB=C\D\,

所以四边形A8G2是平行四边形，则ADJ/8G，

所以ZD.AO是异面直线AO与BC、的夹角，

不妨设正方体ABC。—A4GA的棱长为2,则4〃=20,D,O=x/2,AO=ylA.A2+A.O2=76,

故AD；=£>02+AO2,即R0JL4。，则0。<卬40<90。,

所以sin/〃AO=^=g,则？7)MO30?.

故选:A.

4.如图，在长方体ABCO-AAGA中，48=2,4。=。。|=1.则直线人。|与平面48℃所成角的余弦值是

()

A-TBYC-T

【答案】c

【分析】根据线面角的定义，可知/AC/即为宜线AG与平面84。。所成角，解三角形即可求得结果.

【详解】如图，连接直线Bq,显然，在长方体ABC。-AgC心中，482平面BBC。，故/AC用即为直

线AG与平面B8CC所成角,

r?

在RtAC/中，A5=2,C1B=^/BC+qC=x/2,AC；=JdB?=百+（五＞=瓜,

C；8五二石

:.cosNAG4=

AC1瓜—3

故选：C.

5.在正四面体/WCD中，点E,F,G分别为棱"C,CD,HC的中点，则异面直线AK,AG所成用的

余弦值为（）

DT

【答案】A

【分析】根据异面直线夹角的定义结合余弦定理运算求解.

【详解】连接OE,设正四面体ABCD的棱长为2,

因为G,产分别为AC,CD的中点，则G产〃A。，

所以异面直线AE,FG所成角为/DAE（或其补角），

在VAO£中，则AE=QE=6,AO=2,

由余弦定理可得cosNDAE=、0+4＞一°回2=4+3-3=立，

2ADAE2x2x63

所以异面直线AE,"G所成角的余弦值为由.

3

故选：A.

A

6.如图，在三棱柱ABC-AAG中，底面48c是正三角形，侧棱与底面A8C垂直，^.AB=4,AAi=2>/3,E,F

分别是AG.8C的中点，则异面直线律与CG所成的角的余弦值为（）

A1c3不

A・--------RD•C・--------

727

【答案】D

【分析】根据异面直线夹角的定义分析求解.

【详解】如图，取AC的中点。，连接力上力石,贝IJOE//CG，且。石=CC=2G,

所以NDE厂为异面直线E户与GC所成的角（或其补角）,

又因为尸是8c的中点，则加尸=；A8=2,

又因为三楂柱48C-A4C的侧极与底面垂直,

则平面人BC,且G〃u平面人8C,所以DE工DF,

在RiZkf）即中，EF=ylDE2+DF~=4»所以8S/。七F="=噂

EF2

故选:D.

7.在直二棱柱A3C-A心G中，ABJ.BC,Ab=3C=，过点A作直线/与A&和6。所成的角均为。，

则a的最小值为（）

A.60°B.45°C.30°D.15°

【答案】C

【分析】计算异面直线AG和qc所成的角，则。的最小值为异面直线AG和8c所成角的一半.

【详解】依题意，直三棱柱是正方体的一半，如图所示，

AC〃AG，.•./印”为异面直线4G和8。所成角，

又AC=HC=A4，..VABC是等i力三角形，・•・/瓦。=60。，

过C作直线/的平行线则当/'与/a。的角平分线重合时，a取得最小值30。.

故选：C

二、填空题

8.已知正三棱柱AB。-。为”WC的外心，则异面直线AG与OB所成角的大小为

【答案】

【分析】根据异面直线夹角的定义结合线面垂直分析求解.

【详解】延长8。交AC于点”，

因为为正三角形，则点”为AC的中点，可得8WJ.AC,

又因为叫1平面4BC,平面ABC,可得BA/J.AA，

且ACAAA=4,AC,AA,U平面ACGA，可得平面ACGA，

由于AGU平面ACGA，所以BMJLAG，即OBIAG，

所以异面直线AG与。3所成角的大小为

故答案为：--

9.如图，在三棱锥P—A3C中，24_L底面A8C,Z4CB=90°,且AC=BC=PA=2,M是尸"的中点,

则AM与平面尸8c所成角的正弦值是.

P

【答案】近R加

33

【分析】根据图形特征，取尸C中点。，连接4ROM,通过线面垂直的性质与判定得到AO1面2CB,因

而NAW是AM与平面P8C所成角，再通过相关计算，在直角三角形中计算其正弦值即可.

【详解】如图，取PC中点O,连接AQOM,

因为而ABC,ACu面A8C,

所以B4_LAC,

又因为AC=E4=2,

所以At)_LPC,

因为尸A_1_面ABC,ACuiEABC,

所以PA_LAC,

又因为NAC8=90。，所以8C_LAC,

因为PAACu面尸AC,PAAC=A,

所以8c工面PAC,

因为ADu面PAC,

所以8C_LA0,

因为PCBCu面PCB,PCcBC=C

所以AD_L面尸C8,

所以/AMD是AM与平面PBC所成角，

因为如J.4C,AC=PA=2,

所以4。=专=&,

由已证知，BC_Z面PAC,因为ACu面PAC,

所以BC±AC,

所以AB=JAC2+8C2=2后

因为尸AJ_面ABC,A8u面A8C,

所以B4_LAB,

所以P3=JPT+482="7^=2"

所以AM=“8=G,

由已证知，4。_1_面夕。4,

又因为OMu面PC4,所以AO_LZW

所以sinNAMD==率=—.

AM石3

即AM与平面P8C所成角的正弦值是远.

故答案为：如

3

10.长度为15cm的线段两个端点到平面。的距离分别为3cm和12cm,且这两个端点都在平面。的同一侧,

则这条线段所在直线与平面。所成角的正弦值为.

3

【答案】1/0.6

【分析】根据线面夹角的定义分析运算.

【详解】如图所示，设线段两个端点A4在平面a的投影分别为co,连接AC8ACO,

则AC=3,B£>=12,A5=15,

在线段8。上取点E,使得OE=38石=9,连接CE,

因为AC〃QE,AC=DEf则ACEO为平行四边形，可得AB〃CE,AB=CE=\5

则线段A3所在直线与平面。所成角的即为线段CE所在直线与平面。所成角N7)CE,

所以这条线段所在直线与平面a所成角的正弦值sinNOCE=IDgE==9=:3

CE155

三、解答题

11.如图，在三棱柱ABC-A4G中，面为正方形，面例GC为菱形，NC4A=60。侧面AAGCJL

面A83M.

⑴求证：从61面。14；

⑵求二面角C-BB1-A的余弦值.

【答案】⑴证明见解析

⑵乎

【分析】(1)利用面面垂直的性质定理和线面垂直的判定定理即可得证.

(2)过C作CWLAA于〃，过〃作于K,连接CK,利用线面垂直的性质定理得出NCKH为二

面角C-BB.-A的平面角，在□△C77K中直接求解即可.

【详解】(1)由菱形A4.G。可得/1G，AC,

面AAGC，面4阴A，面AAGC面人网4=44，

又正方形A34A中44，相1,

.♦.A4_1面44,。。，又AGu平面A41GC,A.B.A.AC,,

AB|AC=A，AA，ACU平面CAiBl,ACtJL面CA81.

(2)过C作C〃1A4,于〃，则C”J_面

过H作HK工BBI于K,连接CK,

因BB,u平面ABB,A,,则CH1阴，

又CH,HKu平面CHK,CHHK=H,故BBJ平面CHK,

又CKu平面CHK,所以

故/CK〃为二面角C-BB1-A的平面角，

在RtaC/ZK中，设AC=a,AA,=AB=a,ZCA4,=60°,

:.CH=叵，HK=AB=a,CK=slcH2+HK2=—,

22

cosZ.CKH==—

\/7a7•

~T

即二面角C-BBX-A的余弦值为硬.

BKB、

12.如图，48是圆。的直径，点P在圆。所在平面上的射影恰是圆。上的点C,且4c=28C,点、D是PA

的中点，PO与交于点E,点尸是PC上的一个动点.

p

A

⑴求证：BC-LPA；

⑵求二面角3—PC-O平面角的余弦值.

【答案】（1）证明见解析

(2)与

【分析】（1）通过证明8cl平面PAC来证得8C_ZQ4；

（2）判断出二面角"-长-。平面角，解直角三角形求得其余弦值；

【详解】（1）证明：点尸在圆0所在平面上的射影恰是圆。上的点C,二夕。，平面A3C,

BCu平面A8C,BC上PC,

又A8是圆。的直径，有8CJ.AC,旦PCcAC=C,PC,ACu平面P4C,

所以8C工平面P4C,又Q4u平面PAC,所以8CJ.P4.

（2）尸C_L平面人BC,0coeu平面48c,所以尸C_Lbr,PC±OC,

・•.“CO为二面角8-尸C-O的平面角.

设AC=2BC=2,则43=有，OA=OB=OC=—f有NBCO=NOBC,NBCO为锐角,

2

在直角.ABC中可得cosNABC=空=；=£,故cos/BCO=在，

ABV555

故二面角8-PC-O平面角的余弦值为李.

13.如图，正三棱柱ABC-ABC中，瓦尸分别是棱8月上的点，A,E=BF=^AAi.

B

（1）证明：平面C$_L平面ACGA；

⑵若AC=AE=2,求二面角£—C/—G的余弦值.

【答案】（1）证明见解析

⑵手

4

【分析】（1）建立空间直角坐标系，求解两个平面的法向量，利用法向量证明面面垂直;

（2）求出两个平面的法向量，利用法向量的夹角求出二面角的余弦值.

【详解】（1）证明：取3。的中点0,连接04,

在正三棱柱八BC-A与G中，不妨设4B=2a・/V\=3；

以。为原点，08,04分别为x轴和V轴正方向，建立空间直角坐标系，如图所示,

则C（-4U,U）,月8,6。,0）,尸（4,0,1）,&（0,&42）,

CT=(23(),1),CE=(«岛,2),。上a、0),CC；=(0,0,3)；

n-CF=02ax+z=0

设平面C£F的一个法向量为〃=（X,y,z）,则

n-CE=0ax+\[3ay+2z=0

取尸一1,贝!11y=-6,z=2a,即〃二（一1,一石,2。）；

m•C4=0

设平面4CCA的一个法向量为〃?=（N，y,zJ,则，

m-CCj=0'

即卜匚f孙二°，取,一得，"=（石1，。）.

3Z1—U

因为m•〃=-出+4=0，所以平面CE£_L平面ACGA；

（2）因为4c=AE=2,由（1）可得。=1,即〃=（一1,一6,2）,

易知平面CTG的一个法向量为。4=（0,6,0）,

nOA-3

cos(〃,O4)=1工仁=--

\/闻例限64，

二面角E-CF-C,的余弦值为业.

4

14.如图所示，平面平面ABC。，四边形A£7方为矩形，I3C//AD,AB1AD,AE=AD=2AB=4,

BC=2.

⑴求多面体ABCDEF的体积;

（2）求二面角CO—A的余弦值.

40

【答案】（1）5

⑵;

【分析】（1）通过割补法，结合锥体体积计算公式求得正确答案.

（2）作出二面角歹-C0-A的平面角，进而计算出其余弦值.

【详解】（1）如图，连接3。，

团四边形4EFB为矩形，

0AE1AB,I3F±AB,

（3平面48石对平面ABCD,平面ABMn平面A8CO=48,

AEu平面A8ER班'u平面ABE尸,

(MWffiABCD,8咫平面/WS

回ADu平面ABC。,

^AELAD,

又ADIAB,ABnAE=A,人民斗石匚平面人石「火，

MP0平面AE/次

1132

®%校徘。-八国=ZS矩形AEFB'A。=-x4x2x4=—,

JJJ

BBC//AD,ABLAD,

mAB.LBC.

।]j8

0VElSi#F-HCD=75BC/r^F=TX-X2X2X4=-»

团多面体A8CDE/的体积为

_32840

VV+V

^mMCDEF=Vn^D-AEFB-:极锵F-BCD=+=•

(2)如图，过4作AGJ_C。交。C的延长线于点G,连接尸G,

BFWffiABCD,£>Gu平面A8CO,

团。施户73,

又D5BG,BGcFB=B,BG,FBu平面FBG,

团。电平面FBG,

回凡;u平面五8G,

0DG0FG,

00FGB为二面角F-CD-A的平面角，由题意得ZADC=45°,

BBC//AD,

0ZfiCG=45°,

在R/0F9G中，FB^AE-4,BG=BCsm45c=应,

0FG=VFB2+BG2=y/42+（x/2）2=3立，

1

0cosZFG«=—=",

FG3

自二面角F-CD-A的余弦值为g.

15.如图，已知点。是正方形43co所在平面外一点，M,N分别是PC的中点.

⑴求证：MN//平面%D；

⑵若中点为Q,求证：平面MNQ〃平面以D.

⑶若雨（3平面A3CQ,AB=PA=2,求直线M与面布。所成的侑.

【答案】（1）证明见解析

⑵证明见解析

⑶45。

【分析】（1）利用三角形的中位线可.得线线平行，进而由线面平行的判断即可求证，

（2）由线面平行即可求证，

（3）利用线面垂直得线线垂直，进而可由几何法求解线面角，即可由三角形的边角关系求角大小.

【详解】（1）取尸。的中点七，连接AE,NE,

因为N是PC的中点，所以NE〃DC且NE=；DC,

又必是48的中点，ABC。是正方形，所以AM〃衣且AM=!AB=1OC,

22

所以NE〃AM且NE=AM,

所以四边形4WNE为平行四边形，所以MN//AE,

又MN（Z平面见D,AKu平面以。，所以MN//平面%D.

（2）因为。为PB的中点，M是A8的中点

所以MQ〃AP,又MQ（Z平面办D,APu平面附D,所以MQ〃平面附D,

又A/N〃平面附£>,MQcMN-M,MQ,MNu平面MNQ,

所以平面用NQ〃平面%D.

（3）因为附回平面ABCQ,EAu平面以Q,

所以平面以。3平面ABCD,

又ABCD为正方形，所以人HMD,A4u平面ABC。，平面孔Wc平面ABCO=AO,

所以A碗平面PAD,

所以融出即为直线与面以。所成的角，乂A3=%=2,所以她以为等腰直角三角形，所以她以=45。,

即直线尸8与面以。所成的角为45。.

16.如图，在四棱锥P-A3C/）中，四边形A8CO是边长为2的正方形，AC与BD交于点0,A4_L[SABC。,

且R4=2.

⑴求证401平面PAC.；

⑵求P。与平面P4C所成角的大小.

【答案】（1）证明见解析

（2）30

【分析】（1）由4C/4。，因为%，平面A8CO,得到R4_L3D,结合直线与平面垂直的判定定理，即可

证得8。/平面「AC；

（2）连接PO,得到NOPO为尸£>与平面尸AC所成的角，在直角.OPO中，即可求得尸。与平面尸AC所成

的角.

【详解】（1）解:因为A8C。是正方形，所以AC/8O,

又因为1%_L平面AHA,8£>u平面ASC£>,所以/M_L以）,

因为PAAC=A,2Au平面PAC,ACu平面PAC,

所以BD_Z平面PAC.

(2)解：连接PO,因为4。_Z平面BAO,所以NOPO为P。与平面PAC所成的角,

因为45=24=2,所以PO=娓,DO=g,

在直角DPO中,tanZDPO=—=^=—,

POR3

所以NZ)PO=30,即尸。与平面PAC所成的角为30.

提升题型训练

一、多选题

1.已知圆锥的顶点为P,底面圆心为O,AB为底面直径，ZAFB=120°,E4=2,点C在底面圆周上，且

二面角尸一AC—O为45。，则().

A.该圆锥的体积为冗B.该圆锥的侧面积为467c

C.AC=20D.ZXPAC的面积为名

【答案】AC

【分析】根据圆锥的体积、侧面积判断A、B选项的正确性，利用二面角的知识判断C、D选项的正确性.

【详解】依题意，ZAPB=120°,PA=2,所以O尸=1,04=08=6,

A送项，圆锥的体积为:XTTX(G)xl=7C,A选项正确;

B选项，圆锥的侧面积为兀xgx2=267t,B选项错误;

C选项，设。是AC的中点，连接

则AC_LO£>,AC_LPO,所以NP3是二面角P—AC—O的平面角,

则/尸DO=45。，所以OP=8=1,

故AQ=CQ=G^F=&,则AC=2夜，C选项正确;

D选项，PD=正+12=叵，所以S丹仁=Jx2&x0=2,D选项错误.

2.已知点尸是空间中的一个动点，正方体棱长为2,下列结论正确的是（）

A.若动点。在棱48上，则直线4。与始终保持垂直

B.若动点P在棱AB上，则三棱锥G-APC的体积是定值

C.若动点P在对角线AC上，当点P为AC中点时，直线与平面4BCO所成的角最小

D.若动点P在四面体AC内部时，点P与该四面体四个面的距离之和为定值

【答案】ABD

【分析】根据立体儿何相关定理逐项分析.

【详解】对于A,连接如图：

D,G

则BC~L8G，A8_L平面8c=8,48u平面48coi,BJu平面A8CQ1,

.•.8C~L平面ABGA，。/<=平面48。1。，二4。，。/,正确;

对于B,如图:

连接PC,PC，DC，则三棱锥G-RPC的体积等于三棱锥P-CGA的体积,

.•.A8//平面8AG，点P到平面8RG的距离=8C为定值，即三棱锥P-CGA的高为定值，底面三角形

C〃G的面积为定值，

所以三棱锥尸-CGA的体积为定，直，正确；

对于C,连接。P,如图：

设直线。/与平面/WCO的夹角为a,在R/RDP中，tana=部,当P为AC的中点时，。尸最小，tana

最大，即。最大，错误；

对于D,因为AC=8C=gA=q。，四面体4C4A是正四面体，

本问题等价于当夕点在四面体S-A3c内部时到各个面的距离之和为定值，如图；

s

^S-ABC=^P-ARS+^P-ACS+^P-BCS+^P-ABC=§(4+力2+‘4+^4)S.，其中

%，%,%也是点P到四个面的距离,

.•.4+色+/4+区二%也，为定值，正确;

、ABC

故选:ABD.

3.如图，在正四棱柱ABCO-AMGA中，底面边长AB=&，侧棱长M=退，尸为底面48CD内的动点,

且A/与班彳所成角为30。，则下列命题正确的是（）

B.当卅P〃平面A。。时，用P与平面ACQ的距离为日

C.直线C/与底面A8CO所成角的最大值为5

D.二面角P-AG-o的范围是哈曰

【答案】AC

【分析】选项A根据A/与84所成角为30。求出AP=],从而确定动点P的轨迹并求出长度；选项B利用

等体积法即可求得；选项C根据直线与平面所成角的定义找到直线G2与底面ABC。所成角，再计算最大值

即可：选项D通过点尸在特殊位置时求出二面角尸-AG-力的平面角超出选项范围进行排除.

【详解】正四棱柱A8CZ）-A4GA中，底面是正方形，侧棱垂直于底面.

对于A选项，因为M84且A尸与BB1所成角为30。，所以AP与AA所成角也为30。.又M1AP,

，AP=A4,"tan30=1.

又•尸在底面A8CO内，的轨迹为以A为圆心，1为半径的圆周的四分之一，长度为JX2T：X1=5.故选

项A正确;

对于B选项，当与尸〃平面AG。时，e到平面ACQ的距离即为与平面4G。的距离.

VD.W=15WI-M=|X|XV2XV2XV3=^.

v_v一正

VD-A,B,C,~VB,-A,C,D~~,

在,AG。中，AD=GD=6AJ=2,AG边上的高为2,

设4到平面AC。的距离为〃，则匕一^〃=,3.门/?=’乂,乂2>2乂/2=也，

个M】〃3323

解得〃=且.故选项B错误；

2

对于C选项，连接CQ,则线段CP为线段GP在底面A8CO的投影，故直线GP与底面A3CO所成角为

Z.PCXC,且tanZPCjC='^，

7T

由选项A可知，当P为正方形A8CO中心时，CP最短为1,此时tan/尸CC最大为6,即NPCC=3•故选项

C正确；

对于D选项，当〃在线段AS上时，AP=l,BP=&-1，

因为,AG。是等腰三角形，所以取AG中点o,连接。。，则。D1AG.

过。作PM〃AG交8。于点M,分别连接ARCM,则AP=GM=2,故四边形4PMG是等腰梯形，取

PM中点N,则ON_LAG，所以NOON是二面角p-AG-D的平面角.

在四边形APMG中，A2=GM=2，AG=2,PM=&PB=2-日故ON=叵.又BN=、PM="显,

222

=z

故DN=2-(1-

2

由选项B知，OD=2.

4+--(l+-+x/2)

226-V2V2

在△DON中,由余弦定理得cosADON=

x/14

2ox2ox

2

所以〃ON*,故选项D错误.

故选：AC.

4.两个相交平面构成四个二面角，其中较小的二面角称为这两个相交平面所成角；在正方体中，不在同一

表面上的两条平行的棱所确定的平面称为该正方体的对角面.则在某正方体中，两个不重合的对角面所成角

的大小可能为（）

7171

AA.-BC.-兀C.-兀DC.一

6432

【答案】CD

【分析】结合图象，根据两个相交平面所成角的定义确定两个不重合的对角面所成角的可能大小即可.

【详解】如图：

平面ABCR与平面CD\B.的交线为EF,

因为AE//BF,AE=B*,ABJ.AEt

所以四边形为矩形，故AK_LQ,同理

所以ZA.EA为二面角\-EF-A的平面角,

又乙4,£尸=90,所以二面角A「Ef-人的平面角为90,

由相交平面所成角的定义可得平面人与平面CD4冏所成的角的大小为90,

如图（2）

TmBCDA与半囿ABCR的交线为叫,

因为4。，八"，AQJLAB,AO,A8u平面ABCQ,ADtnAB=A,

所以AQ_L平面A4GR,设4。AD、=N,

则AN_L平面A8CQ,过点N作NMJ.8A，

则”MN为二面角A.-BD.-A的平面角，

设正方体的边长为〃，则AN=空，

因为NND\M=4BD、A"NMD\=£BAD、=90,

MND.N

所以NMD、s8A0,所以二五二3，

ABUXD

也

所以的二军

>J3a6

所以tan"MN=A^=6,又幺MV€（0,90）,

MN

所以NA,MN=60,

所以平面ABG。与平面CD4,B1所成的角的大小为60,

故选：CD.

5.如图，在正方体48CQ-AMG。中，EEG分别为GO，C£，A2的中点，则以下结论正闹的是（）

DiEG

AB

A.A.E1CG

B.平面G〃Cc平面A28=4C

C.DE//平面GFC

D.异面直线A。与尸c所成角的余弦值是噜

【答案】BCD

【分析】由题意可得出CG1GC-可判断A；因为四点G,RAC共面，所以平面GFCc平面他C£)=AC可

判断B；由线面平行的判定定理可判断C；由异面直线所成角可判断D.

【详解】对于A,连接GG,易证AE//GG，因为CG，平面44G

而GC]U平面A4G。，所以CC]_LGC],

所以在△GGC中，GG与GC不垂直，所以AECG不垂直，故A不正确;

对于B,连接ACAG，因为EG分别为C£,A4的中点,

所以AG/A4C7/G户,所以四点G,凡AC共面,

所以平面G"Cc平面488=4。，故B正确；

对于C,连接GE,易证GE//AO,GE=A£>,所以四边形AOEG是平行四边形,

所以ED//G4,所以平面GE4C,A