2024高考数学讲义：求函数的值域

2024高考数学讲义：求函数的值域

目录

1.基础知识：...................................................................1

2.典型例题：将介绍求值域的几种方法，并通过例题进行体现......................4

3.附：分式函数值域的求法：...................................................17

3.1.所用到的三个函数(其性质已在前文介绍)...................................18

3.2.分式函数值域的求法......................................................18

作为函数三要素之一，函数的值域也是高考中的一个重要考点，并且值域

问题通常会渗透在各类题目之中，成为解题过程的一部分。所以掌握一些求值

域的基本方法，当需要求函数的取值范围时便可抓住解析式的特点，寻找对应

的方法从容解决。

1.基础知识：

1、求值域的步骤：

(1)确定函数的定义域

(2)分析解析式的特点，并寻找相对应的方法(此为关键步骤)

(3)计算出函数的值域

2、求值域的常用工具：尽管在有些时候，求值域就像神仙施法念口诀一

样，一种解析式特点对应一个求值域的方法，只要掌握每种方法并将所求函数

归好类即可操作，但也要掌握一些常用的思路与工具。

(1)函数的单调性：决定函数图像的形状，同时对函数的值域起到决定性作

用。若为单调函数，则在边界处取得最值(临界值)。

(2)函数的图像(数形结合)：如果能作出函数的图像，那么值域便一目了然

(3)换元法：/(X)的解析式中可将关于A■的表达式视为一个整体，通过换

元可将函数解析式化归为可求值域的形式。

(4)最值法：如果函数在［。,可连续，且可求出/(E)的最大最小值

M,m,则/(x)的值域为上小

注：一定在/(x)连续的前提下，才可用最值来解得值域

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3、常见函数的值域：在处理常见函数的值域时，通常可以通过数形结

合，利用函数图像将值域解出，熟练处理常见函数的值域也便于将复杂的解析

式通过变形与换元向常见函数进行化归。

(1)一次函数(y=H+〃)：一次函数为单调函数，图像为一条直线，所以

可利用边界点来确定值域

(2)二次函数()，=o?+A+c)：二次函数的图像为抛物线，通常可进行配

方确定函数的对称轴，然后利用图像进行求解。(关键点：①抛物线开口方

向，②顶点是否在区间内)

例：f(-^)=x2-2x-3,xe[-1,4]

解：/(x)=(x-l)2-4

:对称轴为：x=\

.\/(X)G[-4,5]

(1)图像关于原点中心对称

⑵当x0

当xf-oo,yf0

(4)对勾函数：y=x+-\a>0)

①解析式特点：%的系数为1；4>0

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注：因为此类函数的值域与。相关，求。的值时要先保证X的系数为1，再

去确定。的值

4(2>

例：y=2x+-,并不能直接确定。=4,而是先要变形为y=2x+—，

xk

再求得。=2

②极值点：x=4a,x=->/a

③极值点坐标：

(&2GM-疯-2&)

④定义域：(-co,。)(0,4oo)

⑤自然定义域下的值域：(-co,-2亚］一〔2&+00)

(5)函数：y=.v--(6/>0)注意与对勾函数进行对比

X

①解析式特点：工的系数为1;。>0

②函数的零点：X=±G

③值域：R

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对象。

(4)换元也是将函数拆为两个函数复合的过程。在高中阶段，与指对数，三

角函数相关的常见的复合函数分为两种

①)，=a"y=k)gj/(x)k，=sin[ya)]：此类问题通常以指对，三角

作为主要结构，在求值域时可先确定/(X)的范围，再求出函数的范围

v

②y=/(tz),=f(log<zx),y=y(sinx)：此类函数的解析式会充斥的大

量括号里的项，所以可利用换元将解析式转为)，=/(，)的形式，然后求值域即

可。当然要注意有些解析式中的项不是直接给出，而是可作转化：例如

=4'-2"J8可转化为y=(2')2-2・2、-8,从而可确定研究对象为t=2V

例1:函数f[x)=2x->JX-\的值域是()

「17、5

A.B.—,+8C.—,+ooD.

8J4

15

—,4-00

8

思路：解析式中只含一个根式，所以可将其视为一个整体换元，从而将解

析式转为二次函数，求得值域即可。

解：/(X)的定义域为[1,+8)

令f=Jx-l.-./>o，则x=『+l

15

・•・y=2(/+1)-+一

<4,8

rG[0,+OO)

.•J(X)的值域为£,+8

o

例2(1)函数y=3H的值域为()

A.(0,+co)B.(OJ)U(U-^)C.{x|xwl}D.

(1,+co)

⑵函数/(x)=4X-2X+,-8,X€[-2,2]的值域为

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x+1

(3)函数y=In」P的值域为_______

e-I

思路：(1)本题可视为)，=3小)的形式，所以可将指数进行换元，从而转化

为指数函数值域问题：令t=」一,则止(e,O)U(O,心)，所以可得

x-1

)，=3'£(O,1)U(1,3)

(2)如前文所说，“月=4，-2川-8=(2)-22-8,将2,视为一个整体

令f二21则可将其转化为二次函数求得值域

vA+,r2X

解：/(x)=4-2-8=(2)-2-2-8

令f=2"vxe卜2,2]

tG?4

y=r2-2r-8=(r-l)2-9

.•J(x)的值域为[-90]

(3)所求函数为ln[/(x)]的形式，所以求得沼的范围，再取对数即可。

X

对P'々+I进行变形可得：二P+I=1+23，从而将视为一个整体，即可

e-1e-1e-1

转为反比例函数，从而求得范围

解：定义域：-1>0=>xe(0,+oo)

x4.12

V—e——=1+———令f=/./€(0,+oo)

ex—1ex—1

/.1H--G(l,+8)

.ex+1/八、

y=ln——-G(0,+CO)

e—1

答案：⑴B(2)[-9,0][3)(0,4W)

例3：已知函数/(x)=3+log2X，x«l，4]，则g(x)=/(x2)—[/(x)了的值

域为()

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A.[-18,-2]B.[-11,-6]C.[-18,6]D.

[一11,一2]

思路：依题意可知

22

^(x)=3+log2x-(3+log2x)-=-(log2x)-41og2x-6,所以可将logzX视为

一个整体换元，从而将问题转化为求二次函数值域，但本题要注意的是g")的

定义域.，由已知/")的定义域为[1,4],则g(x)=/(d)—[”切2的定义域

1"一"4,解得：而不是「4]

为：<

1<x<4

2

解：g(X)=3+log2X-(3+log2x)

2

=3+2log2x-|^(log2x)+61og2x+9

2

=-(log2x)-41og2x-6

・."(£)的定义域为[1,4],且g(x)=f(巧一"(叫2

解得：XE[1,2]

1<X<4L」

令ulogzX,则

y=-r-4r-6=-(r+2)2-2

ye[-l1,-6],即的值域为[T1,-6]

答案：C

2、数形结合：即作出函数的图像，通过观察曲线所覆盖函数值的区域确

定值域，以下函数常会考虑进行数形结合

(1)分段函数：尽管分段函数可以通过求出每段解析式的范围再取并集的方

式解得值域，但对于一些便于作图的分段函数，数形结合也可很方便的计算值

域。

(2)/")的函数值为多个函数中函数值的最大值或最小值，此时需将多个

函数作于同一坐标系中，然后确定靠下(或靠上)的部分为该/")函数的图

像，从而利用图像求得函数的值域

(3J函数的解析式具备一定的几何含义，需作图并与解析几何中的相关知识

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进行联系，数形结合求得值域，如：分式T直线的斜率；被开方数为平方和的

根式T两点间距离公式

例4：(1)设函数)，=/(%)定义域为R,对给定正数例，定义函数

九3〜则称函数九(X)为/(X)的“挛生函数”，若给定函数

=则的值域为()

A.[-2,1]B.[-1,2]C.(-oo,2]D.

(-co，T

(2)定义min{a,Z?,c}为a,〃,c,中的最小值，设

/(x)=min|2x+3,x2+1,5-3x},则/(x)的最大值是_______

思路：⑴根据“挛生函数”定义不难发现其图像特点，即以y=M为分界

线，/(x)图像在y=M下方的图像不变，在M上方的图像则变为y=M,通

过作图即可得到fM(x)的值域为[-2,1]

(2)本题若利用min{«〃",}的定义将/(元)转为分段函数，则需要对三个式

子两两比较，比较繁琐，故考虑进行数形结合，将三个解析式的图像作在同一

坐标系下，则为三段函数图像中靠下的部分，从而通过数形结合可得

〃工)的最大值点为y=1+1与y=5-3x在第一象限的交点，即

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y=x2+1x=\

n[尸2,所以/GL=2

y=5-3x

例5：已知函数/(力=%2一2(4+2)3+/遥(％)=一/+2(4一2)%一/+8,

设H}(x)=max{/(x),g(x)},(x)=min{/(x),g(x)},(其中max{p,q}表示

p,<7中的较大值，min{p,q}表示〃闯中的较小值)记乜(x)的值域为A,//2(x)

的值域为8,则ACB=

思路：由H(E),%(X)的定义可想到其图像特点，即若将/(x),g(x)的图

像作在同一坐标系中，那么“(X)为〃x),g(x)图像中位于上方的部分，而

NW为/(力拓(外图像中位于下方的部分。对/(x),g(x)配方可得：

/(刈=卜-(。+2)]r-4«-4

,其中4一4<4/+12,故g(x)的顶点在

g(x)=-2)]2-4a+\2

/(x)顶点的上方。由图像可得：褐色部分为g(力的图像，红色部分为也(月

的图像，其值域与〃x),g(x)的交点有关，即各自的顶点

(a-2,T4+12),(a+2,T〃-4),所以乜(力的值域A=[-4a-4,+co),H2(x)

的值域8=(-co,To+12]。从而A。8=[-4〃-4,-4a+12]

答案：[-4tz-4,-4tz+12]

例6：⑴函数y=m+3,x£[2,4]的值域为

x—1

(2)函数y=+4+-2「+1。的值域为

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思路：(1)函数为分式，但无法用“变形+换元'的方式进行处理，虽然可以

用导数，但求导后需对分子的符号进行进一步研究。那么换一个视角，从分式

的特点可联想到直线的斜率，即y是(x,xlnx)与定点(1,-3)连线的斜率，那么

只需在坐标系中作出/(x)=xlnx在［2,4］的图像与定点(1,-3),观察曲线上的

点与定点连线斜率的取值范围即可

解：所求函数y是(x,xlnx)与定点(1,-3)连线的斜率

设/(x)=A：lnx

/./(x)=l+lnx,当xe[2,4]时,/(x)>0恒成立

.-./(X)为增函数/(2)=21n2,/(4)=41n4=81n2

设曲线上两点A(2,21n2),B(4,81n2)定点。(1,一3)

.,81n2+3

/.kAC=2In24-3,KHC=---------

・••)，同cAc]=21n2+3,^-+1

(2)思路：y=\/x2+4+\/x2-2x+\0=-Jx2+22+^(x-1)2+32,所以y可

视为点”,0)到点(0,2),(1,3)距离和的取值范围。结合图形可利用对称性求出其

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最小值，且当动点向X轴两侧运动时，其距离和趋向无穷大，进而得到值域。

解：

y=五+4+-2-2X+10=次+(0—2)2+J(x_1)2+(0—3)2

1.y为动点P(x,0)到点A(0,2),B(l,3)距离和，即y=|PA|+|尸耳

作A点关于x轴的对称点A(0,-2)

.■.|PA|+1PZ?|=|PA|+1PZ?|>|AB|=V26(等号成立条件：P,A',3共线)

当x—>+oo或x—>-oo时，|E4|+|PB|—>-F00

.••函数的值域为［腐,+8)

小炼有话说：本题在选择点时要尽量让更少的点参与进来简化问题，所以

要抓住两个距离共同的特点(例如本题中都抓住含根式中的匕0,所以找到了一

个共同的动点(x,0))

答案：(1)21n2+3,^y^+l(2)［后,+8)

3、函数单调性：如果一个函数为单调函数，则由定义域结合单调性(增、减)即

可快速求出函数的值域

(1)判断函数单调性的方法与结论：

①增+增一增减+减->减

(-l)x增一减若函数的符号恒正或恒负，则1一减

②复合函数单调性：复合函数可拆成y=〃f)/=g(x),则

若),=〃r)/=g(x)的单调性相同，则),=/"(切单调递增；若

y=/⑺,f=g(x)的单调性相反，则)，=/［履初单调递减

③利用导数：设国像不含水平线的函数〃工)的导数/(X),则

f(x)20=/(/)单增；/(X)«0=/(x)单减

(2)在利用单调性求值域时，若定义域有一侧趋近于+00或-OO,则要估计

当Xf+8或XfYO时，函数值是向一个常数无限接近还是也趋近于+00或YO

(即函数图象是否有水平渐近线)，；同样若/(X)的定义域抠去了某点或有一侧

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取不到边界，如XW(4句，则要确定当Xf4时，“X)的值是接近与一个常数

(即临界值)还是趋向或-8(即函数图象是否有竖直渐近线)，这样可以使得

值域更加准确

例7：⑴函数/(x)=+的值域为()

A.[-3,1]B.[-1,-FW)C.[2,25/2]D.

[1,2>/2-1]

(2)函数/(力=1一^^的值域为()

X+11-x|

A.(-00J)B.(-oo,l]C.(0,1]D.

[°』

A/3-2X+5

⑶函数/3=的值域为

x/2x—2+1

思路：(1)函数的定义域为［-35，含有双根式，所以很难依靠传统的换元

Vx+3-V1-A

解决问题,但/(X)的导数/(月=较易分析出单调性，所以考

2\/17•Jx+3

虑利用导数求出/(X)的单调区间，从而求得最值

11Jx+3--x

f(x)=

2J1—X2,yJX+32J1—X♦X+3

令/(x)>0即解K等式：

/.X+3>1-X=>A>-1

••./(x)在(-3,-1)单调减,在(-1,1)单调递增

v/(-l)=2V2-l,/(-3)=l,/(l)=l

.♦./")的值域为［1,2a-1］

小炼有话说：本题还可以利用换元解决，但利用的是三角换元：观察到被

开方数的和为常数，所以想到(后:『十(4TT/=4,从而可设

IVl-x=2sina由隹。

可知"畤'所以原函数的值域转化为求

|Jx+3=2cosaIVx+3>()

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y=2sina+2cosa-l的值域，从而有y=2&sina+--1,由aw0,—可

求得yw[l,2后-1]。由此题可知：含双根式的函数若通过变形可得到被开方

数的和为常数，则可通过三角换元转为三角函数值域问题

（2）思路：函数的定义域为了《1,从而发现|1-目=1-x,所以函数的解析

式为/（人）=人_"37,观察可得/（人）为增函数，且人—时，

/（X）—>-00,所以当/£（-00,1]时,/（X）的值域为（-8,1]

小炼有话说：①本题中函数的定义域对解析式的化简有极大的促进作用。

所以在求函数的值域时，若发现函数解析式较为特殊，则先确定其定义域

②本题也可用换元法，设z==7后即可将函数转为二次函数求值域，

但不如观察单调性求解简便。

⑶思路：先确定函数的定义域：“X）为分式且

含有根式，求导则导函数较为复杂。观察分子分母可知：行3+5>0且关

于九单减，=1+1>0且关于犬单增，即r=」一单减，所以

\j2x-2+1

省3+5为减函数,由、£1,-可知/（x）的值域为-,6

V2X-2+1

小炼有话说：在函数单调性的判断中有“增+增一增”，那么如果一个函数可

表示为两个函数的乘法，例如〃（工）=/3超3,则当/a）,g（x）均为增（减）

函数，且/（x）送（x）恒大于o,才能得到〃（工）为增（减）函数

答案：（1）D（2）B（3）|,6

4、方程思想：本方法是从等式的角度观察函数，将其视为一个含参数），

的关于x的方程方（乂）；）=0。由函数的对应关系可知，对于值域中的任一值

），，必能在定义域中找到与之对应的X。这个特点反应在方程中，即为若X）在

值域中，则关于大的方程b（x,），）=0在），=），。时只要有一个根。从而将求值域

问题转化为“y取何值时，方程尸（苍），）=0有解”的问题。利用方程的特点即可

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列出关于），的条件，进而解出），的范围即值域

9r24-4r-7

例8：⑴函数y=：大的值域为()

x+2x+3

D.

（2）函数），二曲二1的值域为

cosx+2

思路：（1）观察分式特点可发现若将去掉分母后可构造为一个关于x的二次

方程（其中），为参数）：（y_2）d+（2y_4）x+3y+7=0,因为函数的定义域为

R，所以y的取值要求只是让方程有解即可，首先对最高次数系数是否为0进

行分类讨论；当），=2,方程为13=0,无解；当yw2时，二次方程有解的条

件为ANO,即得到关于），的不等式，求解即可

解：由y=2,+4「一7可得:

x+2x+3

x2y+2xy+3y=2x2+4x-7

.'.(y-2)x2+(2y-4)x+3y+7=0

•・・/+2.1+3=(1+1『+2>().•.函数的定义域为R

/.y的取值只需让方程有解即可

当），=2时，13=0不成立，故舍去

当），/2时，△=（2y—4）2一4（），-2）（3y+7）＞0

即：(2y+9)(y-2)<0

9

r声2

9

综上所述：函数的值域为32

小炼有话说：①对于二次分式，若函数的定义域为R,则可像例8这样

通过方程思想，将值域问题转化为“y取何值时方程有解”，然后利用二次方程

根的判定ANO得到关于〉的不等式从而求解，这种方法也称为“判别式法”

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②若函数的定义域不是R,而是一个限定区间（例如可）,那么如果也

想按方程的思想处理，那么要解决的问题转化为："），取何值时，方程在可

有根”，对于二次方程就变为了根分布问题，但因为只要方程有根就行，会按

根的个数进行比较复杂的分类讨论，所以此类问题通常利用分式的变形与换元

进行解决（详见附）

（2）本题不易将函数变为仅含4nx或cosx的形式，考虑夫分母得：

sinx-），cosx=2y+l则），的取值只要让方程有解即可。观察左侧式子特点可想

到俯角公式，而得至UJl+)」sin(x+夕)=(2y+l)nsin(x+°)=,可

知方程有解的条件为:解出），的范围即为值域

解：）,=四匚1的定义域为R

cosx+2

sinx-1

且y==ycosx+2y=sinx-1

cosx+2

，sinx-ycosx=2y+1

Jl+Vsin(x+0)=(2y+l),KPsin(x+(p)=+*,其中lan0=-y

V1+)产

因为该方程有解

<l=>(2y+l)2=l+y2

4

.\3/+4.y<0nyE—,0

3

小炼有话说：本题除了用方程思想，也可用数形结合进行解决，把分式视

为（85%输司,（-2,1）连线斜率的问题，从而将问题转化为定点（-2,1）与单位圆

上点连线斜率的取值范围。作图求解即可。本类型运用方程思想处理的局限性

在于辅角公式与y的取值相关，不过因为xtR,所以均能保证只要sin（x+0）

在中，则必有解。但如果本题对x的范围有所限制，则用方程的思想不

易列出），的不等式，所以还是用数形结合比较方便

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4

答案：⑴D(2)--,0

以上为求值域的四种常见方法，与求函数的理念息息相关，有些函数也许

有多种解法，或是在求值域的过程中需要多种手段综合在一起解决。希望你再

遇到函数值域问题时，能迅速抓住解析式的特点，找到突破口，灵活运用各种

方法处理问题。

例9：已知函数y=lg(Y+2x+"。的值域为R,则用的取值范围是()

A.m>IB.m>1C.m<1

D.mwR

思路：木题可视为y=lgfj=x2+2x+机的复合函数，函数的值域为R,

结合对数函数的性质可知/应取遍所有的正数(定义域可不为R),即若函数

/=的值域为A,则(O,+x>)=A,由二次函数的图像可知，当A20

时，可满足以上要求。所以A=4-4mN0解得mV1

答案：C

例10：在计算机的算法语言中有一种函数次]叫做取整函数(也称高斯函

数)，卜]表示不超过九的最大整数,例如：[2]=2,[35=3卜2.6]=-3,设函数

=贝幅数片[/(切+[/(一切的值域为()

A.{0}B.{-1,0}C.卜1,0,1}

D.{-2,0}

思路：按卜]的定义可知，若要求出M，则要将确定里面R的范围，所以

若求y=+的值域，则要知道/"),/(—)的范围。观察到

一[/(X)]+[/(-x)]为偶函数，所以只需找到x>。的值域即可，

f(-X)=--------=—7-----r,/(X)=--------=—;-----r,即

八71+2.*220+2、)1+2"22(1+2')

f(x)=_f(r)成立,所以〃力为奇函数，只需确定“力的范围即可。对

/(x)中的分式进行分离常数可得:f(x)=—当x>0时,

V722“'+1

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2'+1e(2,4-00),从而;—-e0,—,所以,由

/(-x)=-f(x)ef-1()]oE|j[/(A-)]=0,[/(-x)]=-1,可得)，=—l,再利用

偶函数性质可得x<OE寸，)，=-1。当x=0时，/(x)=/(-x)=0,所以

)，=0,综上所述：尸卜(切+[/(-切的值域为｛-叫

答案：B

小炼有话说：(1)本题在处理值域时，函数奇偶性的运用大量简化了运算。

首先判断出所求函数为偶函数，所以关于)，轴对称的两部分值域相同，进而只

需考虑x>()的情况。另外从解析式的特点判断出“冷为奇函数，从而只需计

算“X)的范围，再利用奇函数的性质推出了(-”的范围。所以在求函数值域

时，若能通过观察或简单的变形判断出函数具备奇偶的性质，则解题过程能够

达到事半功倍的效果。

2TI

/(-x)=———-

(2)本题在判断的奇偶性时，由2很难直接看出

/(x)=-------

[1+2，2

f(X),“T)之间的联系，但通过“通分”即可得到'7,奇偶性

2V-1

立即可见;在求〃力的范围时,利用/(戈)=的形式，分式较为复

2(l+2r)

杂，分子分母均含变量，不易确定其范围。但通过“分离常数”得到

--L则非常便于求其范围。由以上的对比可知，在判断奇偶性或

者分式的符号时，通常一个大分式较为方便；在求得分式函数值域时，往往通

过“分离常数”的手段简化分式中的分子，从而便于求得范围

3.附：分式函数值域的求法:

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分式函数也是高中所学函数的一个重要分支，求解分式函数的值域也考查

了学生分式变形的能力以及能否将分式化归为可求值域的形式，学会求分式函

数值域也是处理解析兀何中范围问题的重要工具。求分式函数值域的方法很

多，甚至也可以考虑对函数进行求导，但相对计算量较大，本节主要介绍的方

式为如何通过对分式函数进行变形，并用换元的方式将其转化为熟悉的函数进

行求解。

3.1.所用到的三个函数（其性质已在前文介绍）

1、反比例函数：），=4

X

2、对勾函数：y=x+—（a>O）

3、函数：y=x--（a>0）注意与对勾函数进行对比

入

3.2.分式函数值域的求法

请看下面这个例子:

求y=3+—yxG[1,2]的值域

思路：此函数可看为1的结果再加上3所得，故可利用反比例函数求已，

xx

的范围，再得到值域

r17,

解：vxe[l,2]A-ey=3+—e—,4

X2''x2

问题不难，但观察可发现：），=3+'=主里，所以当遇到的函数为

xx

）,=主土1,总可以将分子的每一项均除以分母，从而转化为），=3+,进行求

xx

解。由此得到第一个结论：

对于形如/（力二竺^的函数，总可以变换成“到=〃+2转化为反比例

XX

函数进行求解。

注：如果在分式中，分子的表达式可将一部分构造为分母的形式，则可用

这部分除以分母与分式分离得到常数，从而使得分式中的分子变得简单，这种

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方法称为“分离常数法”，是分式变形常用的一种手段

例：/(x)=——^,xe(l,3)

x+1

思路：本题分母为表达式，比较复杂，但如果视分母为一个整体(进行换

元)，则可将分式转化成为〃/)=巴史的形式，从而求解

人

解；令r=%+1/«2,4):.x=t-\

.•,/(/)=^=2--,进而可求出值域：ye(--,~

tt<24；

注：换元法是求函数值域时，通过将含有变量的一部分式子视为一个整

体，用一个变量表示，进而将陌生的函数