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文档简介

2024高考数学讲义:求函数的值域

目录

1.基础知识:...................................................................1

2.典型例题:将介绍求值域的几种方法,并通过例题进行体现......................4

3.附:分式函数值域的求法:...................................................17

3.1.所用到的三个函数(其性质已在前文介绍)...................................18

3.2.分式函数值域的求法......................................................18

作为函数三要素之一,函数的值域也是高考中的一个重要考点,并且值域

问题通常会渗透在各类题目之中,成为解题过程的一部分。所以掌握一些求值

域的基本方法,当需要求函数的取值范围时便可抓住解析式的特点,寻找对应

的方法从容解决。

1.基础知识:

1、求值域的步骤:

(1)确定函数的定义域

(2)分析解析式的特点,并寻找相对应的方法(此为关键步骤)

(3)计算出函数的值域

2、求值域的常用工具:尽管在有些时候,求值域就像神仙施法念口诀一

样,一种解析式特点对应一个求值域的方法,只要掌握每种方法并将所求函数

归好类即可操作,但也要掌握一些常用的思路与工具。

(1)函数的单调性:决定函数图像的形状,同时对函数的值域起到决定性作

用。若为单调函数,则在边界处取得最值(临界值)。

(2)函数的图像(数形结合):如果能作出函数的图像,那么值域便一目了然

(3)换元法:/(X)的解析式中可将关于A■的表达式视为一个整体,通过换

元可将函数解析式化归为可求值域的形式。

(4)最值法:如果函数在[。,可连续,且可求出/(E)的最大最小值

M,m,则/(x)的值域为上小

注:一定在/(x)连续的前提下,才可用最值来解得值域

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3、常见函数的值域:在处理常见函数的值域时,通常可以通过数形结

合,利用函数图像将值域解出,熟练处理常见函数的值域也便于将复杂的解析

式通过变形与换元向常见函数进行化归。

(1)一次函数(y=H+〃):一次函数为单调函数,图像为一条直线,所以

可利用边界点来确定值域

(2)二次函数(),=o?+A+c):二次函数的图像为抛物线,通常可进行配

方确定函数的对称轴,然后利用图像进行求解。(关键点:①抛物线开口方

向,②顶点是否在区间内)

例:f(-^)=x2-2x-3,xe[-1,4]

解:/(x)=(x-l)2-4

:对称轴为:x=\

.\/(X)G[-4,5]

(1)图像关于原点中心对称

⑵当x0

当xf-oo,yf0

(4)对勾函数:y=x+-\a>0)

①解析式特点:%的系数为1;4>0

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注:因为此类函数的值域与。相关,求。的值时要先保证X的系数为1,再

去确定。的值

4(2>

例:y=2x+-,并不能直接确定。=4,而是先要变形为y=2x+—,

xk

再求得。=2

②极值点:x=4a,x=->/a

③极值点坐标:

(&2GM-疯-2&)

④定义域:(-co,。)(0,4oo)

⑤自然定义域下的值域:(-co,-2亚]一〔2&+00)

(5)函数:y=.v--(6/>0)注意与对勾函数进行对比

X

①解析式特点:工的系数为1;。>0

②函数的零点:X=±G

③值域:R

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对象。

(4)换元也是将函数拆为两个函数复合的过程。在高中阶段,与指对数,三

角函数相关的常见的复合函数分为两种

①),=a"y=k)gj/(x)k,=sin[ya)]:此类问题通常以指对,三角

作为主要结构,在求值域时可先确定/(X)的范围,再求出函数的范围

v

②y=/(tz),=f(log<zx),y=y(sinx):此类函数的解析式会充斥的大

量括号里的项,所以可利用换元将解析式转为),=/(,)的形式,然后求值域即

可。当然要注意有些解析式中的项不是直接给出,而是可作转化:例如

=4'-2"J8可转化为y=(2')2-2・2、-8,从而可确定研究对象为t=2V

例1:函数f[x)=2x->JX-\的值域是()

「17、5

A.B.—,+8C.—,+ooD.

8J4

15

—,4-00

8

思路:解析式中只含一个根式,所以可将其视为一个整体换元,从而将解

析式转为二次函数,求得值域即可。

解:/(X)的定义域为[1,+8)

令f=Jx-l.-./>o,则x=『+l

15

・•・y=2(/+1)-+一

<4,8

rG[0,+OO)

.•J(X)的值域为£,+8

o

例2(1)函数y=3H的值域为()

A.(0,+co)B.(OJ)U(U-^)C.{x|xwl}D.

(1,+co)

⑵函数/(x)=4X-2X+,-8,X€[-2,2]的值域为

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x+1

(3)函数y=In」P的值域为_______

e-I

思路:(1)本题可视为),=3小)的形式,所以可将指数进行换元,从而转化

为指数函数值域问题:令t=」一,则止(e,O)U(O,心),所以可得

x-1

),=3'£(O,1)U(1,3)

(2)如前文所说,“月=4,-2川-8=(2)-22-8,将2,视为一个整体

令f二21则可将其转化为二次函数求得值域

vA+,r2X

解:/(x)=4-2-8=(2)-2-2-8

令f=2"vxe卜2,2]

tG?4

y=r2-2r-8=(r-l)2-9

.•J(x)的值域为[-90]

(3)所求函数为ln[/(x)]的形式,所以求得沼的范围,再取对数即可。

X

对P'々+I进行变形可得:二P+I=1+23,从而将视为一个整体,即可

e-1e-1e-1

转为反比例函数,从而求得范围

解:定义域:-1>0=>xe(0,+oo)

x4.12

V—e——=1+———令f=/./€(0,+oo)

ex—1ex—1

/.1H--G(l,+8)

.ex+1/八、

y=ln——-G(0,+CO)

e—1

答案:⑴B(2)[-9,0][3)(0,4W)

例3:已知函数/(x)=3+log2X,x«l,4],则g(x)=/(x2)—[/(x)了的值

域为()

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A.[-18,-2]B.[-11,-6]C.[-18,6]D.

[一11,一2]

思路:依题意可知

22

^(x)=3+log2x-(3+log2x)-=-(log2x)-41og2x-6,所以可将logzX视为

一个整体换元,从而将问题转化为求二次函数值域,但本题要注意的是g")的

定义域.,由已知/")的定义域为[1,4],则g(x)=/(d)—[”切2的定义域

1"一"4,解得:而不是「4]

为:<

1<x<4

2

解:g(X)=3+log2X-(3+log2x)

2

=3+2log2x-|^(log2x)+61og2x+9

2

=-(log2x)-41og2x-6

・."(£)的定义域为[1,4],且g(x)=f(巧一"(叫2

解得:XE[1,2]

1<X<4L」

令ulogzX,则

y=-r-4r-6=-(r+2)2-2

ye[-l1,-6],即的值域为[T1,-6]

答案:C

2、数形结合:即作出函数的图像,通过观察曲线所覆盖函数值的区域确

定值域,以下函数常会考虑进行数形结合

(1)分段函数:尽管分段函数可以通过求出每段解析式的范围再取并集的方

式解得值域,但对于一些便于作图的分段函数,数形结合也可很方便的计算值

域。

(2)/")的函数值为多个函数中函数值的最大值或最小值,此时需将多个

函数作于同一坐标系中,然后确定靠下(或靠上)的部分为该/")函数的图

像,从而利用图像求得函数的值域

(3J函数的解析式具备一定的几何含义,需作图并与解析几何中的相关知识

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进行联系,数形结合求得值域,如:分式T直线的斜率;被开方数为平方和的

根式T两点间距离公式

例4:(1)设函数),=/(%)定义域为R,对给定正数例,定义函数

九3〜则称函数九(X)为/(X)的“挛生函数”,若给定函数

=则的值域为()

A.[-2,1]B.[-1,2]C.(-oo,2]D.

(-co,T

(2)定义min{a,Z?,c}为a,〃,c,中的最小值,设

/(x)=min|2x+3,x2+1,5-3x},则/(x)的最大值是_______

思路:⑴根据“挛生函数”定义不难发现其图像特点,即以y=M为分界

线,/(x)图像在y=M下方的图像不变,在M上方的图像则变为y=M,通

过作图即可得到fM(x)的值域为[-2,1]

(2)本题若利用min{«〃",}的定义将/(元)转为分段函数,则需要对三个式

子两两比较,比较繁琐,故考虑进行数形结合,将三个解析式的图像作在同一

坐标系下,则为三段函数图像中靠下的部分,从而通过数形结合可得

〃工)的最大值点为y=1+1与y=5-3x在第一象限的交点,即

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y=x2+1x=\

n[尸2,所以/GL=2

y=5-3x

例5:已知函数/(力=%2一2(4+2)3+/遥(%)=一/+2(4一2)%一/+8,

设H}(x)=max{/(x),g(x)},(x)=min{/(x),g(x)},(其中max{p,q}表示

p,<7中的较大值,min{p,q}表示〃闯中的较小值)记乜(x)的值域为A,//2(x)

的值域为8,则ACB=

思路:由H(E),%(X)的定义可想到其图像特点,即若将/(x),g(x)的图

像作在同一坐标系中,那么“(X)为〃x),g(x)图像中位于上方的部分,而

NW为/(力拓(外图像中位于下方的部分。对/(x),g(x)配方可得:

/(刈=卜-(。+2)]r-4«-4

,其中4一4<4/+12,故g(x)的顶点在

g(x)=-2)]2-4a+\2

/(x)顶点的上方。由图像可得:褐色部分为g(力的图像,红色部分为也(月

的图像,其值域与〃x),g(x)的交点有关,即各自的顶点

(a-2,T4+12),(a+2,T〃-4),所以乜(力的值域A=[-4a-4,+co),H2(x)

的值域8=(-co,To+12]。从而A。8=[-4〃-4,-4a+12]

答案:[-4tz-4,-4tz+12]

例6:⑴函数y=m+3,x£[2,4]的值域为

x—1

(2)函数y=+4+-2「+1。的值域为

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思路:(1)函数为分式,但无法用“变形+换元'的方式进行处理,虽然可以

用导数,但求导后需对分子的符号进行进一步研究。那么换一个视角,从分式

的特点可联想到直线的斜率,即y是(x,xlnx)与定点(1,-3)连线的斜率,那么

只需在坐标系中作出/(x)=xlnx在[2,4]的图像与定点(1,-3),观察曲线上的

点与定点连线斜率的取值范围即可

解:所求函数y是(x,xlnx)与定点(1,-3)连线的斜率

设/(x)=A:lnx

/./(x)=l+lnx,当xe[2,4]时,/(x)>0恒成立

.-./(X)为增函数/(2)=21n2,/(4)=41n4=81n2

设曲线上两点A(2,21n2),B(4,81n2)定点。(1,一3)

.,81n2+3

/.kAC=2In24-3,KHC=---------

・••),同cAc]=21n2+3,^-+1

(2)思路:y=\/x2+4+\/x2-2x+\0=-Jx2+22+^(x-1)2+32,所以y可

视为点”,0)到点(0,2),(1,3)距离和的取值范围。结合图形可利用对称性求出其

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最小值,且当动点向X轴两侧运动时,其距离和趋向无穷大,进而得到值域。

解:

y=五+4+-2-2X+10=次+(0—2)2+J(x_1)2+(0—3)2

1.y为动点P(x,0)到点A(0,2),B(l,3)距离和,即y=|PA|+|尸耳

作A点关于x轴的对称点A(0,-2)

.■.|PA|+1PZ?|=|PA|+1PZ?|>|AB|=V26(等号成立条件:P,A',3共线)

当x—>+oo或x—>-oo时,|E4|+|PB|—>-F00

.••函数的值域为[腐,+8)

小炼有话说:本题在选择点时要尽量让更少的点参与进来简化问题,所以

要抓住两个距离共同的特点(例如本题中都抓住含根式中的匕0,所以找到了一

个共同的动点(x,0))

答案:(1)21n2+3,^y^+l(2)[后,+8)

3、函数单调性:如果一个函数为单调函数,则由定义域结合单调性(增、减)即

可快速求出函数的值域

(1)判断函数单调性的方法与结论:

①增+增一增减+减->减

(-l)x增一减若函数的符号恒正或恒负,则1一减

②复合函数单调性:复合函数可拆成y=〃f)/=g(x),则

若),=〃r)/=g(x)的单调性相同,则),=/"(切单调递增;若

y=/⑺,f=g(x)的单调性相反,则),=/[履初单调递减

③利用导数:设国像不含水平线的函数〃工)的导数/(X),则

f(x)20=/(/)单增;/(X)«0=/(x)单减

(2)在利用单调性求值域时,若定义域有一侧趋近于+00或-OO,则要估计

当Xf+8或XfYO时,函数值是向一个常数无限接近还是也趋近于+00或YO

(即函数图象是否有水平渐近线),;同样若/(X)的定义域抠去了某点或有一侧

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取不到边界,如XW(4句,则要确定当Xf4时,“X)的值是接近与一个常数

(即临界值)还是趋向或-8(即函数图象是否有竖直渐近线),这样可以使得

值域更加准确

例7:⑴函数/(x)=+的值域为()

A.[-3,1]B.[-1,-FW)C.[2,25/2]D.

[1,2>/2-1]

(2)函数/(力=1一^^的值域为()

X+11-x|

A.(-00J)B.(-oo,l]C.(0,1]D.

[°』

A/3-2X+5

⑶函数/3=的值域为

x/2x—2+1

思路:(1)函数的定义域为[-35,含有双根式,所以很难依靠传统的换元

Vx+3-V1-A

解决问题,但/(X)的导数/(月=较易分析出单调性,所以考

2\/17•Jx+3

虑利用导数求出/(X)的单调区间,从而求得最值

11Jx+3--x

f(x)=

2J1—X2,yJX+32J1—X♦X+3

令/(x)>0即解K等式:

/.X+3>1-X=>A>-1

••./(x)在(-3,-1)单调减,在(-1,1)单调递增

v/(-l)=2V2-l,/(-3)=l,/(l)=l

.♦./")的值域为[1,2a-1]

小炼有话说:本题还可以利用换元解决,但利用的是三角换元:观察到被

开方数的和为常数,所以想到(后:『十(4TT/=4,从而可设

IVl-x=2sina由隹。

可知"畤'所以原函数的值域转化为求

|Jx+3=2cosaIVx+3>()

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y=2sina+2cosa-l的值域,从而有y=2&sina+--1,由aw0,—可

求得yw[l,2后-1]。由此题可知:含双根式的函数若通过变形可得到被开方

数的和为常数,则可通过三角换元转为三角函数值域问题

(2)思路:函数的定义域为了《1,从而发现|1-目=1-x,所以函数的解析

式为/(人)=人_"37,观察可得/(人)为增函数,且人—时,

/(X)—>-00,所以当/£(-00,1]时,/(X)的值域为(-8,1]

小炼有话说:①本题中函数的定义域对解析式的化简有极大的促进作用。

所以在求函数的值域时,若发现函数解析式较为特殊,则先确定其定义域

②本题也可用换元法,设z==7后即可将函数转为二次函数求值域,

但不如观察单调性求解简便。

⑶思路:先确定函数的定义域:“X)为分式且

含有根式,求导则导函数较为复杂。观察分子分母可知:行3+5>0且关

于九单减,=1+1>0且关于犬单增,即r=」一单减,所以

\j2x-2+1

省3+5为减函数,由、£1,-可知/(x)的值域为-,6

V2X-2+1

小炼有话说:在函数单调性的判断中有“增+增一增”,那么如果一个函数可

表示为两个函数的乘法,例如〃(工)=/3超3,则当/a),g(x)均为增(减)

函数,且/(x)送(x)恒大于o,才能得到〃(工)为增(减)函数

答案:(1)D(2)B(3)|,6

4、方程思想:本方法是从等式的角度观察函数,将其视为一个含参数),

的关于x的方程方(乂);)=0。由函数的对应关系可知,对于值域中的任一值

),,必能在定义域中找到与之对应的X。这个特点反应在方程中,即为若X)在

值域中,则关于大的方程b(x,),)=0在),=),。时只要有一个根。从而将求值域

问题转化为“y取何值时,方程尸(苍),)=0有解”的问题。利用方程的特点即可

第13页共21页

列出关于),的条件,进而解出),的范围即值域

9r24-4r-7

例8:⑴函数y=:大的值域为()

x+2x+3

D.

(2)函数),二曲二1的值域为

cosx+2

思路:(1)观察分式特点可发现若将去掉分母后可构造为一个关于x的二次

方程(其中),为参数):(y_2)d+(2y_4)x+3y+7=0,因为函数的定义域为

R,所以y的取值要求只是让方程有解即可,首先对最高次数系数是否为0进

行分类讨论;当),=2,方程为13=0,无解;当yw2时,二次方程有解的条

件为ANO,即得到关于),的不等式,求解即可

解:由y=2,+4「一7可得:

x+2x+3

x2y+2xy+3y=2x2+4x-7

.'.(y-2)x2+(2y-4)x+3y+7=0

•・・/+2.1+3=(1+1『+2>().•.函数的定义域为R

/.y的取值只需让方程有解即可

当),=2时,13=0不成立,故舍去

当),/2时,△=(2y—4)2一4(),-2)(3y+7)>0

即:(2y+9)(y-2)<0

9

r声2

9

综上所述:函数的值域为32

小炼有话说:①对于二次分式,若函数的定义域为R,则可像例8这样

通过方程思想,将值域问题转化为“y取何值时方程有解”,然后利用二次方程

根的判定ANO得到关于〉的不等式从而求解,这种方法也称为“判别式法”

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②若函数的定义域不是R,而是一个限定区间(例如可),那么如果也

想按方程的思想处理,那么要解决的问题转化为:"),取何值时,方程在可

有根”,对于二次方程就变为了根分布问题,但因为只要方程有根就行,会按

根的个数进行比较复杂的分类讨论,所以此类问题通常利用分式的变形与换元

进行解决(详见附)

(2)本题不易将函数变为仅含4nx或cosx的形式,考虑夫分母得:

sinx-),cosx=2y+l则),的取值只要让方程有解即可。观察左侧式子特点可想

到俯角公式,而得至UJl+)」sin(x+夕)=(2y+l)nsin(x+°)=,可

知方程有解的条件为:解出),的范围即为值域

解:),=四匚1的定义域为R

cosx+2

sinx-1

且y==ycosx+2y=sinx-1

cosx+2

,sinx-ycosx=2y+1

Jl+Vsin(x+0)=(2y+l),KPsin(x+(p)=+*,其中lan0=-y

V1+)产

因为该方程有解

<l=>(2y+l)2=l+y2

4

.\3/+4.y<0nyE—,0

3

小炼有话说:本题除了用方程思想,也可用数形结合进行解决,把分式视

为(85%输司,(-2,1)连线斜率的问题,从而将问题转化为定点(-2,1)与单位圆

上点连线斜率的取值范围。作图求解即可。本类型运用方程思想处理的局限性

在于辅角公式与y的取值相关,不过因为xtR,所以均能保证只要sin(x+0)

在中,则必有解。但如果本题对x的范围有所限制,则用方程的思想不

易列出),的不等式,所以还是用数形结合比较方便

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4

答案:⑴D(2)--,0

以上为求值域的四种常见方法,与求函数的理念息息相关,有些函数也许

有多种解法,或是在求值域的过程中需要多种手段综合在一起解决。希望你再

遇到函数值域问题时,能迅速抓住解析式的特点,找到突破口,灵活运用各种

方法处理问题。

例9:已知函数y=lg(Y+2x+"。的值域为R,则用的取值范围是()

A.m>IB.m>1C.m<1

D.mwR

思路:木题可视为y=lgfj=x2+2x+机的复合函数,函数的值域为R,

结合对数函数的性质可知/应取遍所有的正数(定义域可不为R),即若函数

/=的值域为A,则(O,+x>)=A,由二次函数的图像可知,当A20

时,可满足以上要求。所以A=4-4mN0解得mV1

答案:C

例10:在计算机的算法语言中有一种函数次]叫做取整函数(也称高斯函

数),卜]表示不超过九的最大整数,例如:[2]=2,[35=3卜2.6]=-3,设函数

=贝幅数片[/(切+[/(一切的值域为()

A.{0}B.{-1,0}C.卜1,0,1}

D.{-2,0}

思路:按卜]的定义可知,若要求出M,则要将确定里面R的范围,所以

若求y=+的值域,则要知道/"),/(—)的范围。观察到

一[/(X)]+[/(-x)]为偶函数,所以只需找到x>。的值域即可,

f(-X)=--------=—7-----r,/(X)=--------=—;-----r,即

八71+2.*220+2、)1+2"22(1+2')

f(x)=_f(r)成立,所以〃力为奇函数,只需确定“力的范围即可。对

/(x)中的分式进行分离常数可得:f(x)=—当x>0时,

V722“'+1

第16页共21页

2'+1e(2,4-00),从而;—-e0,—,所以,由

/(-x)=-f(x)ef-1()]oE|j[/(A-)]=0,[/(-x)]=-1,可得),=—l,再利用

偶函数性质可得x<OE寸,),=-1。当x=0时,/(x)=/(-x)=0,所以

),=0,综上所述:尸卜(切+[/(-切的值域为{-叫

答案:B

小炼有话说:(1)本题在处理值域时,函数奇偶性的运用大量简化了运算。

首先判断出所求函数为偶函数,所以关于),轴对称的两部分值域相同,进而只

需考虑x>()的情况。另外从解析式的特点判断出“冷为奇函数,从而只需计

算“X)的范围,再利用奇函数的性质推出了(-”的范围。所以在求函数值域

时,若能通过观察或简单的变形判断出函数具备奇偶的性质,则解题过程能够

达到事半功倍的效果。

2TI

/(-x)=———-

(2)本题在判断的奇偶性时,由2很难直接看出

/(x)=-------

[1+2,2

f(X),“T)之间的联系,但通过“通分”即可得到'7,奇偶性

2V-1

立即可见;在求〃力的范围时,利用/(戈)=的形式,分式较为复

2(l+2r)

杂,分子分母均含变量,不易确定其范围。但通过“分离常数”得到

--L则非常便于求其范围。由以上的对比可知,在判断奇偶性或

者分式的符号时,通常一个大分式较为方便;在求得分式函数值域时,往往通

过“分离常数”的手段简化分式中的分子,从而便于求得范围

3.附:分式函数值域的求法:

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分式函数也是高中所学函数的一个重要分支,求解分式函数的值域也考查

了学生分式变形的能力以及能否将分式化归为可求值域的形式,学会求分式函

数值域也是处理解析兀何中范围问题的重要工具。求分式函数值域的方法很

多,甚至也可以考虑对函数进行求导,但相对计算量较大,本节主要介绍的方

式为如何通过对分式函数进行变形,并用换元的方式将其转化为熟悉的函数进

行求解。

3.1.所用到的三个函数(其性质已在前文介绍)

1、反比例函数:),=4

X

2、对勾函数:y=x+—(a>O)

3、函数:y=x--(a>0)注意与对勾函数进行对比

3.2.分式函数值域的求法

请看下面这个例子:

求y=3+—yxG[1,2]的值域

思路:此函数可看为1的结果再加上3所得,故可利用反比例函数求已,

xx

的范围,再得到值域

r17,

解:vxe[l,2]A-ey=3+—e—,4

X2''x2

问题不难,但观察可发现:),=3+'=主里,所以当遇到的函数为

xx

),=主土1,总可以将分子的每一项均除以分母,从而转化为),=3+,进行求

xx

解。由此得到第一个结论:

对于形如/(力二竺^的函数,总可以变换成“到=〃+2转化为反比例

XX

函数进行求解。

注:如果在分式中,分子的表达式可将一部分构造为分母的形式,则可用

这部分除以分母与分式分离得到常数,从而使得分式中的分子变得简单,这种

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方法称为“分离常数法”,是分式变形常用的一种手段

例:/(x)=——^,xe(l,3)

x+1

思路:本题分母为表达式,比较复杂,但如果视分母为一个整体(进行换

元),则可将分式转化成为〃/)=巴史的形式,从而求解

解;令r=%+1/«2,4):.x=t-\

.•,/(/)=^=2--,进而可求出值域:ye(--,~

tt<24;

注:换元法是求函数值域时,通过将含有变量的一部分式子视为一个整

体,用一个变量表示,进而将陌生的函数

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