2024成都中考数学复习逆袭卷 专题六 圆 (含详细解析)

2024成都中考数学复习逆袭卷专题六圆

考点1圆周角定理及其推论

针对考向I圆周角定理及其推论的有关计算

（针对诊断小卷十一第1,8题、小卷十二第3题）

1.（诊断小卷十一第1题变式练一结合内接三角形）如图，△ABC内接于。0,AO是6。的

直径，连接CQ,若CD=AO,则N4BC的度数为（）

A.30°B.45°C.60°D,90°

第I撅图

2.（诊断小卷十二第3题变式练一变为圆心角的倍数关系）如图，A"。中，N48C=108。，

。。是△ABC的外接圆，连接。4,OB,OC,若N4OB=3/BOC,则/84C的度数为（）

A.12°B.15°C.18°D,20°

第2题图

3.（结合角平分线）如图，内接于。。，NAC8=90。，30平分N/WC交。。于点Q,

连接C。，若N8/）C=30。，。。的半径为3,贝1J/"）的长为（)

A.坐B.小C.2小

D.3小

第3题图

4.（诊断小卷十一第8题变式练一变为求锐角三角函数）如图，AB,AC为。O的弦，BD为

。0的直径，连接OC,若/A=60。，则cosNQOC的值为.

I)

第4题图

5.（结合等腰三角形）如图，△ABC内接于（DO,连接OB,0C,若/BOC=68。，ZOCA=20°,

则

逅

第5题图

6.（创新考法•阅读理解）如图①,若AD为〉ABC的边BC边上的高，且AD=BC,则称△ABC

是等高底三角形，3。叫作等底.如图②，△ABC内接于。。，ZBAC=60°,AD上BC于点

D,若△ABC是等高底三用形，BC为等底,SAABC=24,则。。的半径长为.

稔

第6题图

针对考向2圆内接四边形性质的相关计算

（针对诊断小卷十一第4题、小卷十二第2题）

7.（诊断小卷十一第4题变式练一变为求角度）如图，四力形ABCO内接于AB,。。的

延长线交于点E,连接OA，0C,若N40C=100。，则/CBE的度数是（）

A.50°B.80°C.100°D.130°

第7题图

8.（诊断小卷十二笫2题变式练一变为求长度）如图，四边形A8C。是。。的内接四边形,

若。。的半径为4,且NC=3NA,连接8。，则8。的长为（）

笫8题图

A.4小B.4小C.6^2D.3镉

9.（结合角平分线）如图，四边形ABCD内接于。O,AC平分NBA。，点E在A8的延长线上,

且4£=AQ,点尸在5C」二（不与点8,。重合），连接CE,CF,BF,若NE=36。，则尸C

的度数为.

第9题图

针对考向3与圆性质有关的证明与计算

（针对诊断小卷十二第10题）

10.（诊断小卷十二第10题变式练一变图形汝I图，在。。中，弦C。垂直于直径4氏交

于点E,点尸是。。上一点，连接QF,BF,CF,AD,DE交AB于点G,NBFD=60。.

（1）求证：。尸平分N8FC；

（2）若。。的半径为1,当。E=EG时，求C尸的K.

第10题图

11.（结合菱形判定）如图，四边形A8C。内接于。0,且AO=C。，过点。作。七〃8C交

48于点E,连接8Q,ZC=ZBED.

⑴求证：四边形BCQE为菱形；

（2）若。。的半径为3,铛,求9的长.

/iZ>3

第11题图

12.（结合锐角三角函数）如图,AB是。。的直径,AC,BC与分别交于点ZXE,且OD〃BC,

连接B。，DE.

⑴求证：DE=DC；

(2)若AC=6,EC=2,求sin/0Q8的值.

第12题图

考点2与垂径定理有关的计算

（针对诊断小卷十一笫2题、小卷十二笫5题）

1.（诊断小卷H^一第2题变式练）如图，48为。。的一条弦，点。是84延长线上一点，连

接OC,己知0O的半径为3,OC=4,/ACO=30。，则弦A3的长为（）

A.4小B.2小C.4D.2

殖

第I题图

2.（结论判断）如图，点A,B,。是。。上的三点，连接。4,OB,OC,BC,8c与Q4交于

点。，BD=CD,若80=小0D,则下列说法错误的是（）

A.OALBCB.ZAOB=ZAOCC.AD=0DD.NC0D=3NC

3.（诊断小卷十二第5题变式练一变为求锐角三角函数）如图,AB是。。的直径，弦C/XLAB

于点E,连接0C,AD,若OE=I,CE=2,贝ijlanNADE的值为（）

A.坐+1B.^-lC.亨D.号

靖

第3题图

4.（结合线段等量关系）如图，48是。。的直径，C,。是异侧。。上的两点，连接

交于点E,COJLAB.若C7）=BE,。。的半径为5,则△BCO的面积为（）

第4题图

A.32B.35C.38D.40

5.（结合弧相等）如图，A8为。。的直径，AC=AD,连接AC,AD,CD,CD交AB于点、

E,若N4CD=22.5。，AB=4,则AE的长为.

第5题图

6.（创新考法・数学文化）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，图①是筒车的实景图,

图②是筒车抽象成的平面示意图，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆.已知圆

心。在水面上方.，且。。被水面截得的弦48长为6米，若运行轨道的最低点C到弦48的

距离为1米，则。。的半径为米.

第6题图

考点3与切线性质有关的证明与计算

针对考向।单切线性质有关的证明与计算

（针对诊断小卷十一第3,10题、小卷十二第11题）

1.（诊断小卷十一第3题变式练一结合垂直关系）如图，AB是。O的切线，A为切点.OB

交。。于点C,ODLOB交00于点D,连接AD,若N8=40。，则NBA。的度数为（）

A.110°B.80°C.70°D.40°

上

第I题图

2.（结合锐角三角函数）如图，是。。的切线，B为切点,连接04交。。于点C,过点C

作CD_L4B于点。，连接BC,若NABC=30。，则sin/AC。的值为（）

第2题图

A.B.*C.坐D.坐

3.（结合勾股定理）如图，在△A8C中，BC=8,A8=16,点。为A8上一点，以OA为半径

的。O与8C相切于点C,则。。的半径为.

第3题图

4.（结合平行线）如图，4B为。。的直径，AC,C。为。。的两条弦，且4B与C。交于点E,

连接OD,过点B作。O的切线与OD的延长线交于点凡且BF//CD,若/4CD=67.5。,

BF=4,则CD的长为.

Il

第4题图

5.(诊断小卷十一第10题变式练)如图，48是。。的直径，点。在。。上且不与点A,8重

合，8是0O的切线，过点8作3£>_LCD于点£>,交。O于点连接AC,BC.

(1)求证：点C是的;

(2)若8。=4,cosNABD=g,求。0的半径.

第5题图

6.(诊断小卷十二第11题变式练一变为证线段位置关系)如图，4"是。。的直径，延长弦

BC至点、D,使CO=3C,连接A。，过点C作。。的切线，交AD于点、E.

(1)求证：CE1AD；

(2)若。。的半径为4,AE=2,求BC的长.

第6题图

针对考向2双切线性质有关的证明与计算

（针对诊断小卷十二第4题）

7.（诊断小卷十二第4题变式练一变为求角度）如图，48为。。的直径，AC,BD,CD分别

与。O相切于A,B,E三点、,连接。C,0。则NCO。的度数为（）

A.100°B.90°C,85°D.80。

第7题图

8.（结合切线的判定）如图：A8是。。的直径，ACLA8于点A,CQ与。O相切于点。，若

/4CD=60°,AC=2巾,则〃。的长为（）

A.1B.小C.2D.25

第8题图

9.（结合直角三角形）如图，在RSA8C中，/C=90。，O为48上一点，以点。为圆心作。。

与直角边8C,AC分别相切于。，£两点，连接0。，OE,若四边形OECO的面积为12,

则。。的半径为.

第9题图

10.（结合等边三角形）如图，等边。外切于。O,连接OA若AO=6,则△A3。的边长

为.

第10题图

考点4与切线判定有关的证明与计算

（针对诊断小卷十一第II题）

【典例学方法】

例（结合全等三角形）如图，48是。。的直径，四边形。8c。是平行四边形，QA与。。相

切于点A,8c与。。相交于点E,连接。E.

例题图

（I）求证：OE是。。的切线；

思维模型解题过程

【思路引导】要求的长，需要知道圆心角N80E的度数和半径的长度，根据sinNODE

=|，由特殊角的三角函数值，可得到NODf=30。，根据平行四边形和等边三角形的性质，

求得NBOE的度数和半径OB的长即可求解.

针对训练

1.(诊断小卷十一第11题变式练一变图形)如图，以△A8C的边8C为直径作。O,分别交

AB,AC于点。，E,连接CO,DE,DB=DE,过点。作N3Qb=N8CQ交C8的延长线

于点E

(I)求证：力尸是。。的切线；

ly[2

⑵若。少一2噂»tan，求八C的长.

第1题图

2.(结合平行线的性质)如图，。。是△A8C的外接圆，AB=AC,过点A作A。〃/3C交3。

的延长线于点。，连接CD,与AC相交于点£

(I)求证：人。是。。的切线；

(2)若AE=4,CE=6,求8c的长.

第2题图

3.(结合相似三角形)如图，在aABC中，NACB=90。，。是边8C上一点，以0C为半径作

。。与8c的另一个交点为£连接A0,过点。作OQ//AC交A8于点。，且AQ=OD.

(I)判断/W与。0的位置关系，并证明;

(2)若=|,BE=I,求的长.

第3题图

考点5与辅助圆有关的问题

针对考向利用辅助圆求最值

（针对诊断小卷十一第9题、小卷十二第9题）

类型1定点定长作辅助圆

典例学方法

例（结合图形折叠）如图，在矩形A8CD中，A6=6,BC=5,产是边A6的中点，。是A。

边上一动点，将△AP。沿。。所在直线折叠，得到AA/Q,连接AC,AQ,则△HC。面积

的最小值为.工

例题图

思维模型解题过程

针对训练

1.（诊断小卷H—第9题变式练一变图形）如图，在△A6C中，ZABC=90°,A3=8,BC=

6,点。是以4为圆心，2为半径的圆上一动点，连接PC,若点。是PC的中点，连接80,

则BD的最小值为.

第1题图

类型2定弦定角作辅助圆

典例学方法

例（结合等腰三角形）如图，在^ABC中，BC=4巾,/B4C=45。，点D是边BA上一点,

连接CO,CD=AD,则△8CO面积的最大值为

例题图

思维模型解题过程

针对训练

I.（诊断小卷十二第9题变式练一变图形汝1图，在正方形人BCD中，点石是对角线上

一动点，连接4E,CE,点尸是射线AE上一点，连接8尸，DF,若NABF=NDCE,AB=2,

则DF的最小值为.

舄

第1题图

类型3定角定高作辅助圆

典例学方法

例（结合矩形）如图，在矩形/WCO中，相=3,点P是人。的中点，点用，N是直线

上的两个动点，连接PM,PN,NMPN=45。，则MN的最小值为.

针对训练

1.（结合等腰三角形）如图，在△A3。中，ZBAC=60°,AQ是8c边上的高，若A£>=4,则

△ABC面积的最小值为.

第1题图

类型4最大张角作辅助圆

典例学方法

例（结合平行四边形）如图，在平行四边形A8CD中，4B=8,8c=6,/84。=60。.点E是

边CO上一点，连接AE,BE,当的值最大时，sinNA仍的值为.

例题图

针对训练

1.（结合直角）如图，已知/MON=90。，点A,8是射线ON上两点，04=2,AB=6,点C

是射线0M上一点，连接4C,BC,当NACB的值最大时，0C的长为.

第1题图

类型5四点共圆作辅助圆

典例学方法

例（结合中位线）如图，在四边形ABC。中，NB=NQ=90。，AB=\,BC=2,点E,尸分

别是边8c0c的中点，则EF的最大值为.

硝

例题图

思维模型解题过程

针对训练

1.（结合角平分线）如图，在四边形A6C。中，AC=4、&,AC平分/6A。，若/6AD与N6C。

互补，则四边形43co的面积的最大值为.

第1题图

类型6利用阿氏圆转化线段

典例学方法

例（结合等腰直角三角形）如图，在RtZiABC中，A8=8C=4,点。是三角形内部一点,

且80=2,连接A。，CD,则JAQ+CO的最小值为

思维模型解题过程

针对训练

1.（结合菱形折叠）如图，在菱形/WC。中，N8AO=60。，AB=2小，点E是人B的中点,

点产是上一动点，将^AEF沿EF折叠得到^A'EF,连接AfC,AQ,则AA'D

的最小值为

第1题图

拓展考向与圆有关的最值问题

类型1点圆最值

典例学方法

例（结合等腰直角三角形）如图,48是。。的弦，点P是优弧A3上的动点，且NAP8=45。,

以AB为斜边向AB右恻作等腰直角△ABC,连接CP.若AB=2P,则CP的最大值为

针对训练

1.（结合轴对称性质）如图，在边长为6的正方形A8C。中，点石是BC的中点，点尸是对角

线AC上一动点，点尸是以点8为圆心，2为半径的圆上一点，连接七凡尸凡则EF+尸产

的最小值为.

第1题图

类型2线圆最值

典例学方法

例（结合面积最值）如图，在RSABC中，N4=30。，NABC=90。，AB=5小，点。是

AC上一点，以点。为圆心，04长为半径的圆交A8于点。，点〃是。。上一动点，连接

PB,PC,若4）=2小，则△尸8c面积的最小值为.

思维模型解题过程

针对训练

1.（结合线段最值汝口图，在半径为4的。O中，3。是。0的弦，A是。。上一点，连接A3,

AC,过点A作AQ_L4C交8c于点。，若NB4C=45。，则A。长的最大值为.

第1题图

考点6弧长、扇形面积的有关计算

针对考向।与弧长有关的计算

（针对诊断小卷十一第6题）

1.（诊断小卷十一第6题变式练一结合弧的中点）如图，在半径为3的。。中，点C是的

中点，是。0的直径，连接AC,BC,若NA=40。，则劣弧8。的长为（）

A.2兀B.乃C.胃D.玄

第1题图

2.（结合圆周角定理）如图，4,B,C,。是GO上的点.区是47的中点，若N4DB=30。，AC

的长为坐，则。0的半径为（）

第2题图

A.小B.2C.2小D.3小

3.若扇形的弧长为々万，圆心角为60。，则该扇形的半径为.

4.（结合图形的旋转）如图，在RtZkABC中，/84C=90。，A8=1.将△48C绕点A顺时针方

向旋转得到△AAC，点B的对应点与恰好落在8c边的中点处,8G交AC于点。，CCi

是点C到点G所经过的路径，则图中阴影部分的周长为.

第4题图

针对考向2与扇形面积有关的计算

（针对诊断小卷十二第1题）

5.（诊断小卷十二第1题变式练一结合圆周角定理）如图,△ABC内接于。。,连接0A,。。,

若04=6,扇形A0C的面积为6万，则NA3c的度数为（）

A.50°B.40°C.30°D.20°

第5题图

6.（结合等边三角形）如图,。0是4ABC的外接圆，连接BO并延长交。。于点E,连接CE,

OC,若/A=60。，S岁形改=亨，则。。的半径为（）

第6题图

A.y[2B.2C.4D.8

7.（结合菱形）如图，菱形A8CO对角线AC,8D的长分别为4,4小，以点8为圆心，BA

长为半径画弧，则扇形A8C的面积为（）

第7题图

A.nB.-yC.2兀D.竽

8.（结合弧长）若扇形的半径为4,面积为野，则该扇形的弧长为.

针对考向3与圆锥有关的计算

（针对诊断小卷十二第6题）

9.（诊断小卷十二第6题变式练一结合圆柱）如图，以圆柱的上面为底面，下底面的圆心为

顶点的圆锥的母线长为5,若圆柱的底面积为9兀，则该圆锥的侧面积为.

・Y

-------"

第9题图

10.（创新考法・跨学科）链形漏斗是化学实验中常见的一种仪器，它的主要作用是在其内部

放上流纸以达到过滤的效果.如图，为一个锥形漏斗示意图，若其锥形部分的底面直径A/3

为12cm,侧面积为60乃52,则该锥形漏斗的锥形部分的高PQ为cm.

第10题图

考点7阴影部分面积的计算

针对考向।添加辅助线构造图形和差求阴影部分面积

（针对诊断小卷十二第8题）

1.（结合三等分点）如图，在扇形A08中，0A=2,NAOB=135。，以点。为圆心，1为半径

作CQ分别交08于点C,。，点E是的三等分点，nAE<8E,则图中阴影部分

的面积是（）

A.苧+乎B.y+乎C.y+也D,竽+也

第I题图

2.（结合平行四边形）如图，在。ABC。中，入。=1,NA=60。，以点B为圆心，长为半径

画弧交于点E,交C。于点F,以点C为圆心，C。长为半径画弧恰好过点E则图中阴

影部分的面积为（）

第2题图

7T7T7T_7C

A-3BZC6D-12

3.（诊断小卷十二第8题变式练一变图形）如图，4B是。0的直径，且48=6,四边形CQE/

是内接于。。的矩形，将。。沿CD,曰7分别折叠，使点A,B恰好落在圆心。处，则图中

阴影部分的面积为.

第3题图

针对考向2等积转化求阴影部分面积

（针对诊断小卷H^一第5题）

4.（诊断小卷十一第5题变式练一变图形）如图，半圆0的直径48=4,点C是半圆上一点，

连接AC,BC,且AC=8C,以点A为圆心，A8为半径作弧，交4C的延长线于点Q,连接

OC,则图中阴影部分的面积为（）

A.乃一2B.兀+2C,2兀—2D.4—兀

第4题图

5.（结合半圆的三等分点）如图，点C,。是以A8为直径的半圆上的三等分点，点P是直径

AB上任一点，若AB=10,则图中阴影部分的面积为.

忆

APOh

第5题图

6.（结合菱形）如图，在扇形AQC中，己知菱形A8co的顶点3在AC上，其两条对角线相

交于点。，以点。为圆心，长为半径画弧，分别交DC,AO于点E,F,若BD=2,则

拓展考向直接图形和差求阴影部分面积

1•（结合实物）折扇是一种用竹木或象牙做扇骨，韧纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子，用时须

撒开，成半规形，聚头散尾.如图是某公司生产的一种扇骨为竹木，扇面为韧纸的折扇，已

知整个折扇完全展开（扇形AOB）的面积为3（）0兀，外侧两竹木。4,0B之间的夹角为120。，

AC长为20cm，则折扇贴纸部分的面积为（）

A.100乃B.800乃C,nD.黑。n

第1题图

2.（创新考法・数学文化）我国占代数学家赵爽在为天文学著作《周髀算经》作注解时，用4

个全等的直角三角形和中句的一个小正方形拼成一个大工方形，这个图被称为“弦图”.如图，

已知。。内切于大正方形人8CQ,直角三角形的两直角边人”和。〃分别为6和2,则图中

阴影部分的面积为（）

扃

第2题图

5

A.5兀B.5乃一8C.8-JnD.8

3.（结合直角三角形旋转）如图，在RsA8c中，BC=1,，将△48C绕点A顺时针

旋转90。得到△AFE,线段AE与BF交于点G,连接CG,则图中阴影部分的面积为.

第3题图

考点8正多边形与圆

（针对诊断小卷十一第7题、小卷十二第7题）

1.（诊断小卷十一第7题变式练一变为求边数）如图,A/3,AC分别为。。的内接正十二边形、

正三角形的一边，是圆内接正〃边形的一边，则〃的值为（)

A.4B.5C.6D.7

靖

第I题图

2.（结论判断）如图，正五边形ABCQE的顶点都在。。上，点。是。。上不与点A,/T重合

的一动点，连接AQ,BQ,下列说法正确的是（）

培

第2题图

A.当点。的位置变化时，N8Q4的度数不变

B.当点Q在劣弧A4上时，NBQ4=I44。

C.当点。与点。重合时，3。的长度最大

D.△BQA面积的最大值为正五边形ABC。月面积的三分之一

3.（结合阴影部分面积）如图，正六边形A8CDE尸内接于€>0,连接AC,若。。的半径为2,

则图中阴影部分的面积为1）

A.亨B.华-小C•苧D.竽+小

至

第3题图

4.（结合三角形面积）如图，正八边形AbCDEFGH内接丁OO,连接A”，BF,若OO的半径

为2,则△A8/；的面积为（)

A.^2B.2C.2啦D.4

第4题图

5.（诊断小卷十二第7题变式练一变图形）如图，。。是正五边形48CQE的内切圆，点F,

G分别是边A3,灰?与。。的切点，H,例是。。上的两点（不与点RG重合），连接777,

MH,若M是阳的中点，则的度数为.

6.（创新考法・填空双空）如图，点F为正六边形0ABe£陀上的动点，以点0为圆心.OF

长为半径作圆.

第6题图

⑴若点F在上，与正六边形QABCQE的边OA交于点H,点G为劣弧FH的中点，

连接GF,GH,旦GH=W,则。。的半径为；

⑵若点产与点。重合，连接BD,此时。。的半径为4,则点。到8。的距离为

参考答案与解析

考点1圆周角定理及其推论

针对考向1圆周角定理及其推论的有关计算

1.C【解析】如解图，连接OC,・・・CO=AO,是。。的直径，・・.O4=0C=0O=C£>,

•••△OCD是等边三角形，••.NOOC=60。，・・・NABC=NOOC=60。（同弧所对的圆周角相等）.

亳

第1题解图

2.C【解析】：A8=A3,・・・NA0B=2NACB（一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角

的一半）.1BC=BC,：.ZBOC=2ZBAC,ZAOB=3ZBOC,A2ZACB=3X2ZR4C.

，NAC8=3NBAC,在△人BC中，NA8C+NB人C+NAC8=180。，,108。+NB人C+3/BAC

=180°,・・.4N8AC=72°,：.ZBAC=\S0.

（一题多解）

如解图，在优瓠AC上任意选取一点。（不与点A,。重合），连接4D,CD,构造圆内接四

边形ABCD,・・・乙48。=108。，，ND=180。-/48。=180。-108。=72。（圆内接四边形的对

角互补），・・・乙4。。=2/。=2X72。=144。（一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半）,

*：ZAOB=3ZBOC,：,ZAOC=4ZBOC,：,ZI3OC=^ZAOC=^X144°=36°,：,ZBAC

=3N8OC=；X36°=18°.

第2题解图

3.D【解析】如解图，连接AO,・・・NAC8=90。，JAB为。O的直径（90。的圆周角所对的

弦是直径），乙4。8=90。（同弧或等弧所对的圆周角相等），・・・N4QC=30。，•••N8AC=N/3QC

=30。（同弧或等弧所对的圆周角相等），・・・/八〃。=90。一/84。=60。（直角三角形两锐角互

余），・・・8£>为NABC的平分线，・・・NABD=NC5D=30。，二。。的半径为3,・・・A8=6,・•・

在RC。中,cos/加。=器，/.BD=4B.cosZ^D=6cos30-6=3小.

第3题解图

4.1【解析】・・・/A=60。，・・・N8OC=2NA=120。（一条弧所对的圆周角等于它所对的圆

心角的一半），AZDOC=180°-ZBOC=180°-120°=60°,/.cosZDOC=cos60°=1.

5.14【解析】••・△ABC内接于。0,：.OB=OC,："OBC=/OCB,VZfiOC=68°,

：.AOBC=^OCB=\（I80°-ZBOC）=56°,VZOCA=20°,AZACB=ZOCB+ZOCA

=76。，・・・N8OC=68。，.・.NA=WN8OC=34。（一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角

的一半），在△ABC中，^ABC=180°-ZA-ZACB=180°-34°-76°=70°,AZABO=

NABC-ZOBC=70°-56°=14°.

第5题解图

（一题多解）

如解图，连接AO/：AO=CO,・•・ZOAC=ZOC4=20°,VN3OC=68。，，NBAC=：NBOC

=34。（一条瓠所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半），；・ZOAB=ZBAC-ZOAC=34°

-20°=14°,•・・04=04,ZABO=ZOAB=140.

6.4【解析】•••△ABC是等高底三角形，8c为等底,ADLBC,：.BC=AD,VSA4BC=24,

.•.5AZBC=|BCAD=\亦2=24,解得BC=4小（负值已舍去），如解图，连接OB,0C,

过点。作OEJ_BC于点£••・NB4C=60。，・・・NBOC=120。（一条弧所对■的圆周角等于它所

11一

对的圆心角的一半），・・・OB=OC,0E上BC,：・NBOE=w/BOC=60。，BE=gBC=2y）3,

在Ri^OB石中，sinZBOE=j^，,=斐=4,即。。的半径长为4.

czDsinouA/j

2

展1

第6题解图

针对考向2圆内接四边形性质的相关计算

7.A

8.B【解析】如解图①，连接BO,DO,•・•四边形是。。的内接四边形，

NA=180。（圆内接四边形的对角互补），・・・NC=3NA,・・・NA=45。，・・・/8。£>=90。（一条弧

所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半），•••OB=O。，・・・NOBD=NODB=45。，・；。0

的半径为4,・••在RtZXBO。中，8。=老a=46.

第8题解图①

（一题多解）

如解图②，连接。。并延长交。。于点七连接3E,

凄

第8题解图②

IDE为。。的直径，・・・N&8E=90。（直径所对的圆周角为90。），•・•四边形ABCD是。。的

内接四边形，・・・NC+N4=180。（圆内接四边形的对角互补），・・・NC=3/A,・・・/A=45。，

・・・NE=NA=45。（同瓠所,对的圆周角相等）,的半径为4,・・・QE=8,在中,

BDyl2

SinE=DE，.・・BQ=OasinE=8X苧=4啦r.

9.1440【解析】..・AC平分NBA。，・・・N84C=ND4C,BC=CZ）（在同圆或等圆中，相

等的圆周角所对应的弧相等），，8C=C。，•・•四边形A8CO内接于（DO,，/AOC+NA8C

=180。（圆内接四边形的对角互补），VZEBC+ZABC=180°,AZADC=ZEBC,'：AD=

EB,：.AACD^AECB(SAS),/.ZC4D=ZE=36°,AZBAC=ZC4D=36%:.NBFC=

180。一/84。=180。-36。=144。（圆内接四边形的对角互补）.

针对考向3与圆性质有关的证明与计算

10.（1）证明：:。。_148

・•・AC=AO（垂直于弦的直径平分弦且平分这条弦所对的两条弧），乙4£。=90。,

•・・/8F。=/。48=60。（同弧或等弧所对的圆周角相等），・・・/4。。=30。，

DAC=2AC,AZCFD=2ZADC=60°,

:・NCFD=NBFD,平分NB/C：

（2）解：如解图①，连接OO,CG,

第10题解图①

由(1)得NO4Q=60。,

•••OA=OQ,•••△OAO是等边三角形（有一个角是60。的等腰三角形是等边三角形）,

,：CDA.AB,04=1,

:・CE=DE,AE=OE=^,

•♦.AB是CO的垂直平分线,

:,CG=DG,

：.ZDCG=ZEDG,

在RlZ\AZ)E中，DE=AElan^EAD=^X小=坐

,:DE=EG,CDA,AB,

•••△OEG是等腰直角三角形，

AZEDG=45°,DG=jDE=^,

：.ZDCG=ZEDG=45°,

•••△QCG是等腰直角三角形，ZCGD=90°,

:・CG=DG=^,

乙

・••在RtACFG中，sin60。=延，

Cr

V62

近

•CG

S1n602

由已知条件计算出C。的长为小,当。E=EG时，在Rt^QEG中，易得NEOG=45。，由

（1）知NCFD=60。，则可籽C尸放在△CFD中通过作CALL。产于点”（如解图②），直接构造

含45。和含60。的直角三角形，解直角三角形即可（此时不需连接CG并证明CGLDF）.

笫10题解图②

11.（1）证明：YDE//BC,/.ZBED+ZEBC=180°,

♦：/C=/BED,・・・N£4C+NC=180。，

・・・CO〃4£・••四边形4CDE是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形），

•・•四边形ABCD内接于。O,

:./A+NC=180。（圆内接四边形的对角互补），

,/ZAED+ZBED=\S00,

AZA=ZAED,・・・AO=EZ）,

*/AD=CD,：,AD=CD,：.CD=ED,

・•・四边形BCDE为菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）；

（2）解：如解图，过点。作_L48交于点F,则4/=七尸（等腰三角形三线合一），连接

CE交BD于点G,连接0。，

第11题解图

.・嘲=3,

・,•设AB=5%,AD=3k,

；・AD=ED=BE=3k,

：.AE=2k,AF=EF=k,

；・BF=4k,

在RtZXAQ尸中，

DF=yjAD2-AF2=2^2k,

，在Rt^B。/中，BD=^DF2+BF2=2<6k,

•••西边形BCDE是菱形，

垂直平分成>（菱形的对角线互相垂直且平分），

则点E,O,G,。四点共线，

在RtZXCQG中，CQ=AZ）=3hGD=gBD=y[bk,

：.CG=ylDC2-DG2=小k,・・・OG=OC-CG=3一5k,

在RtZ\OG。中，OG?十。62=。。2,

即（3—小人）?+（加k）2=32,

解得Z=¥或2=0（舍去），

，AO=32=2小.

12.（1）证明:如解图,连接AE,

第12题解图

为OO的直径,

，NAE8=90。，

••・NAEC=9（T,

YOD//BC,OA=OB,

：,AD=DC,即点力为AC的中点，

••・E7）=OC（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）;

（一题多解）

•••48为。。的直径，/.ZADB=90°,即8O_LAC,

•：OD〃BC,OA=OB,：,AD=DCy

是AC的垂直平分线，・・.A8=8C,

•••△A4C为等腰三角形，

・・・3。为N/WC的平分线，

:.NABD=NCBD,：.AD=DE,：.DE=DC\

(2)解：VOD//BC,：,NODB=NDBC,

由(1)知AQ=C。，VAC=6,AC=3,

•・・NA+NBFO=180。，Z/)EC+Z^ED=I8O°,

••・NA=NDEC,

VZC=ZC,AACDE^ACBA,

.CD=CE.J,=2

••CB~CA，FB-6，

〈AB为。。的直径，AZADB=90°f

AZBDC=90°,

DC31

Asin/008=sin/DBC=~^=z.

考点2与垂径定理有关的计算

1.B【解析】如解图，过点。作0Q_LA8于点。，连接0A,则（垂直于弦的直径

平分弦），・・・0C=4,ZAC0=3（）°,A0D=10c=2（30。角所对的直角边等于斜边的一半）,

•••。。的半径为3,：,AD=y]OA2-OD2=y）32-22=*,，AB=2AD=2小.

第I题解图

2.D【解析】逐项分析如下:

选

逐项分析正误

项

•・・Q4是。0的半径，BO=C。，，OAJ_BC（平分弦（非直径）的直径垂直于弦），

AX

不符合题意

是。0的半径，BO=CO,=（平分弦（非直径）的直径平分弦

B所对的两条弧），由同圆中相等的弧所对的圆心角相等可得NA08=NA0C,X

不符合题意

•・・QA_LBC,・・・NBDO=90°,由8力=小0D,可设。。=4。＞0）,则8。=#

Cx,在Rt^AO。中，由勾股定理得08=4（小x）?+『=2x,：,OA=OH=X

2x,：.AD=OA-OD=2x-x=x,：,AD=0D,不符合题意

,:BD=CD,8。=小0D,・・・。£>=小0D,在Rtz^COO中，tan。=铝=

D=坐,AZC=30°,由直角三角形两锐角互余可得NCOQ=60。，V

，NCO£>=2/C#3/C,符合题意

3.C【解析】TA〃为。。的直径，A8_LC。，・・・DE=CE=2（垂直于弦的直径平分弦），在

为△OCE中，OC=、O产+CR=小，/.OA=OC=\5,：,AE=\+y[5,AtanZADE

AE小+1

=~DE