2023-2024学年新教材高中数学第4章指数函数与对数函数过关检测

第四章过关检测(时间:120分钟满分:150分)一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.函数f(x)=ln(x2x)的定义域为()A.(0,1) B.[0,1] C.(∞,0)∪(1,+∞) D.(∞,0]∪[1,+∞)答案C解析由题意,可知x2x>0,得x>1或x<0,故函数f(x)的定义域为(∞,0)∪(1,+∞).2.函数y=log12x,x∈(0,8]的值域是(A.[3,+∞) B.[3,+∞)C.(∞,3) D.(∞,3]答案A解析∵函数y=log12x在定义域内单调递减,又x∈(0,8],∴log12x≥log128,∴log3.函数f(x)=x+1x2A.1 B.1 C.±1 D.0答案B解析令f(x)=0,得x+1x即x+1=0,所以x=1.4.若2<a<3,化简(2-aA.52a B.2a5 C.1 D.1答案C解析∵2<a<3,∴(2-a)2=|2a|=a2,4(∴原式=a2+3a=1.故选C.5.设f(x)=3xx2,则下列区间中,使函数f(x)有零点的是()A.[0,1] B.[1,2] C.[2,1] D.[1,0]答案D解析∵f(1)=31(1)2=131=23<0,f(0)=3002=1∴f(1)f(0)<0,∴有零点的区间是[1,0].6.如图,函数f(x)的图象为折线ACB,则不等式f(x)≥log2(x+1)的解集是()A.{x|1<x≤0}B.{x|1≤x≤1}C.{x|1<x≤1}D.{x|1<x≤2}答案C解析令g(x)=y=log2(x+1),在同一直角坐标系中画出函数g(x)的图象如图所示.易得线段BC在直线x+y=2上,由x结合图象知不等式f(x)≥log2(x+1)的解集为{x|1<x≤1}.7.已知定义在R上的函数f(x)=2|xm|1(m为实数)为偶函数,记a=f(log0.53),b=f(log25),c=f(2m),则a,b,c的大小关系为()A.a<b<c B.c<a<bC.a<c<b D.c<b<a答案B解析由f(x)为偶函数得m=0,所以a=f(log0.53)=2|log0.53b=f(log25)=2|log25|1=2log251=4,c=f(0)=28.已知函数f(x)=x2+2x,x≤0,3xxA.(1,3) B.(1,3]C.(1,+∞) D.[1,+∞)答案A解析由题意可知,函数y=f(x)m有两个不同的零点,等价于函数f(x)=x2+2x,x≤由图象可知,1<m<3.故选A.二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.设a,b,c都是正数,且4a=6b=9c,那么()A.ab+bc=2ac B.ab+bc=acC.2c=2答案AD解析依题意设4a=6b=9c=k(k>0),则a=log4k,b=log6k,c=log9k.对于A,ab+bc=2ac,即bc+b因为bc+ba=log6klog9k+对于C,2a+1b=2log4k+1log6k=2logk4+log对于D,2b-1a=2logk6logk4=logk364=logk10.有一组实验数据如下表所示:x12345y1.55.913.424.137则下列所给函数模型不适合的有()A.y=logax(a>1) B.y=ax+b(a>1)C.y=ax2+b(a>0) D.y=logax+b(a>1)答案ABD解析由所给数据可知y随x的增大而增大,且增长速度越来越快,而A,D中的函数增长速度越来越慢,B中的函数增长速度保持不变,故选ABD.11.已知函数f(x)=ln(1+x)ln(3x),则下列说法正确的是()A.f(x)在区间(1,3)内单调递增B.y=f(x)的图象关于直线x=1对称C.y=f(x)的图象关于点(1,0)对称D.f(x)的值域为R答案ACD解析f(x)的定义域是(1,3),f(x)=lnx+13-x,令t(x)=x+13-x=-4x-31(x∈(1,3)),则t(x)∈(0,+∞),且t(又f(1+x)=ln2+x2-x,f(1x)=ln2-x2+x,所以对定义域内的任意x,有f(1+x)=f(1x),而f(1+x)≠f(1x)(只有当x=0时,才有f(1+x12.已知函数f(x)=kx+1,x≤0,log2x,A.当k>0时,有3个零点 B.当k<0时,有2个零点C.当k>0时,有4个零点 D.当k<0时,有1个零点答案CD解析由y=f(f(x))+1=0,得f(f(x))=1,设f(x)=t,则方程f(f(x))=1等价于f(t)=1.①若k>0,作出函数f(x)的图象如图①.则此时方程f(t)=1有两个根,其中t2<0,0<t1<1,由f(x)=t2<0,知此时方程有两个解,由f(x)=t1∈(0,1),知此时方程有两个解,此时共有4个解,即函数y=f(f(x))+1有4个零点.图①图②②若k<0,作出函数f(x)的图象如图②.则此时方程f(t)=1有一个根t3,且0<t3<1,由f(x)=t3∈(0,1)知此时方程只有1个解,即函数y=f(f(x))+1有1个零点.故选CD.三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.已知函数f(x)=3x,x≤1,-x,x>答案log32解析当x∈(∞,1]时,f(x)∈(0,3];当x∈(1,+∞)时,f(x)∈(∞,1).∵f(x)=2,∴3x=2⇒x=log32.14.若关于x的方程3x25x+a=0的一个根大于1,另一个根小于1,则a的取值范围是.

答案(∞,2)解析设f(x)=3x25x+a.由题意知,f(1)<0,即2+a<0,得a<2.15.某种病毒经30分钟繁殖为原来个数的2倍,且知病毒的繁殖规律为y=ekt(其中k为常数,t表示时间,单位:h,y表示病毒个数),则k=,经过5h,1个病毒能繁殖为个(第一空2分,第二空3分).

答案2ln21024解析当t=0.5时,y=2.则2=e12k,得k=2ln2,于是y=e2故当t=5时,y=e10ln2=210=1024.16.已知函数f(x)=log2(x+a答案[1,+∞)解析由题意知,log2(x+a)=0在区间(∞,0]上有一个根,x23ax+a=0在区间(0,+∞)上有两个不相等的根.由log2(x+a)=0,得x=1a,所以1a≤0,所以a≥1;x23ax+a=0在区间(0,+∞)上有两个不相等的根,所以实数a满足9a2-4综上所述,实数a的取值范围为[1,+∞).四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)(1)计算:27912+(lg5)(2)解方程:log3(6x9)=3.解(1)原式=25912+(lg5)0+343-1(2)由方程log3(6x9)=3,得6x9=33=27,则6x=36=62,得x=2.经检验,x=2是原方程的解.故原方程的解为x=2.18.(12分)已知函数f(x)=x2+2(m1)x+2m+6有两个零点x1,x2,且满足0<x1<1<x2<4,求实数m的取值范围.解由题意可得f即2解得75<m<5故实数m的取值范围为75,54.19.(12分)已知函数y=log4(2x+3x2).(1)求函数的定义域;(2)求y的最大值,并求取得最大值时的x值.解(1)由2x+3x2>0,解得1<x<3,所以函数的定义域为{x|1<x<3}.(2)原函数为y=log4u,u=2x+3x2(1<x<3)两个函数的复合函数.因为u=2x+3x2=(x1)2+4≤4,所以y=log4(2x+3x2)≤log44=1.所以y的最大值为1,此时x=1.20.(12分)直播带货是通过互联网直播平台进行商品线上展示、咨询答疑、导购销售的新型营销模式.据统计,某职业主播的粉丝量不低于2万人时,其商品销售利润y(单位:万元)随粉丝量x(单位:万人)的变化情况如表所示:x/万人235y/万元159(1)根据表中数据,分别用模型①y=loga(x+m)+b(a>0,且a≠1,m,b∈R)和②y=cx+n+d(c,n,d∈R)求y关于x(2)已知该主播的粉丝量为9万人时,商品销售利润为3.3万元,你认为(1)中哪个函数模型更合理?说明理由.(参考数据:57≈7.55)解(1)对于模型①y=loga(x+m)+b(a>0,且a≠1,m,b∈R),由题意得loga所以y=log2(x1)+14(x≥2)对于模型②y=cx+n+d(c,n,d∈由题意得c2+n所以y=2·x-15(2)对于函数y=log2(x1)+14(x≥2),当x=9时,y=134=3.对于函数y=2·x-158-14因为572-143.3≈0.225>|3.253.3|=0所以选择模型①更合理.21.(12分)已知函数f(x)=x.(1)判断函数f(x)在区间[0,+∞)内的单调性,并用定义证明.(2)函数g(x)=f(x)+log2x2在区间(1,2)内是否有零点?若有零点,用“二分法”求零点的近似值(精确度为0.3);若没有零点,说明理由.(参考数据:1.25≈1.118,1.5≈1.225,1.75≈1.323,log21.25≈0.322,log21.5≈0.585,log21解(1)函数f(x)在区间[0,+∞)内单调递增.证明如下:设x1,x2∈[0,+∞),且x1<x2,则f(x1)f(x2)=x1-所以f(x1)<f(x2).故函数f(x)在区间[0,+∞)内单调递增.(2)由(1)可得,g(x)=x+log2x2,易知g(x)在区间(1,2)内单调递增,且g(1)=1+log212=1<0,g(2)=2+log222=21>0,所以函数g(x)在区间(1,2)内有且仅有一个零点x0.因为g(1.5)=1.5+log21.52≈1.225+0.5852所以x0∈(1.5,2).又因为g(1.75)=1.75+log21.752≈1.323+0.8072所以x0∈(1.5,1.75).又1.751.5=0.25<0.3,所以g(x)的精确度为0.3的零点的近似值可取1.5.(注:函数g(x)零点的近似值取区间[1.5,1.75]上的任意一个数都可以)22.(12分)已知定义域为R的函数f(x)=b-2(1)求a,b的值;(2)证明:f(x)在R上为减函数;(3)若对于任意t∈R,不等式f(t22t)+f(2t2k)<0恒成立,求k的取值范围.(1)解因为f(x)为R上的奇函数,所以f(0)=0,得b=1,又f(1)=f(1),即1-2-12-经检验a=1,b=1符合题意.(2)证明由(1)可知,f(x)=1-任取x1,