山东省青岛市黄岛区2025届高三上学期期中考试数学试卷（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1山东省青岛市黄岛区2025届高三上学期期中考试数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题.每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.已知为坐标原点，点，，，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意可得，，，，故，，，，因此，故选：A2.如图，正方形的边长为，取正方形各边的中点，，，，作第个正方形，然后再取正方形各边的中点，，，，作第个正方形，依此方法一直继续下去.则从正方形开始，连续个正方形面积之和为，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由题意得，第一个正方形边长为，面积为，第二个正方形边长为，面积为，第三个正方形边长，面积为，第四个正方形边长为，面积为，第五个正方形边长为，面积为，由题有，得到，解得，故选：D.3.已知平面向量满足，若，则与的夹角为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题设，而，所以，，所以.故选：B.4.设集合，则是的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由集合，又，所以，所以是的必要不充分条件.故选：B.5.若正数满足，则的最小值是（）A. B. C. D.2【答案】A【解析】由可得，，当且仅当，即时，等号成立，此时符合题意.所以的最小值为.故选：A6.如图，已知函数，点，是直线与函数y=fx的图象的两个交点，若，则fπ3=（）A. B. C. D.【答案】C【解析】设，由，得到，当，由，得到，所以，得到，又，结合图象有，得到，所以，当时，，由，得到，所以，得到，又，结合图象有，得到，所以，综上，，所以，故选：C.7.2024年1月1日，第五次全国经济普查正式启动.甲、乙、丙、丁、戊5名普查员分别去城东、城南、城西、城北四个小区进行数据采集，每个小区至少去一名普查员，若甲不去城东，则不同的安排方法共有（）A.36种 B.60种 C.96种 D.180种【答案】D【解析】城东去1人，不同安排方法为（种）；城东去2人，不同安排方法是（种），所以不同的安排方法共有（种）.故选：D.8.定义在上的函数满足：，，，当时，，则（）A.2 B.1 C. D.0【答案】A【解析】由可得中令可得，又因为时，，又，所以时，，由可得，因为，所以，所以,故选：A二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知二项式，则其展开式中（）A.的系数为15 B.各项系数之和为1C.二项式系数最大项是第3项 D.系数最大项是第3项或第5项【答案】AD【解析】的展开式的通项为，对于A，取，则，故的系数为，故A正确；对于B，因为，令，则各项系数之和为，故B错误；对于CD，由展开式的通项可得展开式中各项的系数依次为：，故二项式系数最大项是第3项或第5项，故C错误，D正确；故选：AD.10.数列满足，，则（）A.数列为等差数列 B.C. D.【答案】BCD【解析】对于选项A，因为，则不为常数，由等差数列的定义可知，数列不为等差数列，故选项A错误，对于选项B，由，得到，当时，，又当时，，满足，所以，故选项B正确，对于选项C，由选项B知，得到，所以，故选项C正确，对于选项D，由选项B知，，即，整理得到，下面用数学归纳法证明成立，当，不等式左边等于，不等式右边等于，所以时，等式成立，假设时，成立，则时，因为，令，则在区间上恒立，即在区间上单调递减，所以，得到在上恒成立，所以，即时，也成立，综上，对任意的成立，故选项D正确，故选：BCD.11.在中，角，，所对的边分别为，，，，，已知点是所在平面内一点，点在上，点为中点，，则（）A.若，则的面积为2B.若在方向上的投影向量为，则的最小值为C.若点为中点，则D.若，则【答案】ACD【解析】对于A，因为，故，所以即即，故的面积为，故A正确；对于B，若在方向上的投影向量为，则，当时取最小值，此时，故为的中点，故此时，故B错误；对于C，因为，故，则即，故C正确；对于D，设，因为均为单位向量，故在的角平分线上，而，故的角平分线与垂直，故，取的中点为，连接，则，且，故，故D正确.故选：ACD.三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知函数为上增函数，写出一个满足要求的的解析式______【答案】（答案不唯一）【解析】的解析式为（答案不唯一），理由如下，因为时，在区间上单调递增，当时，在区间上单调递增，且，所以时，函数为上的增函数，故答案为：（答案不唯一）13.记为正项数列的前项积，，则______.【答案】2025【解析】数列的各项均为正，当时，，解得，由，得当时，，即，因此，数列是以为首项，公差为等差数列，，所以.14.某警察学院体育比赛包括“射击”、“游泳”、“折返跑”、“百米接力”、“伤员搬运”、“400米障碍”六个项目，规定：每个项目前三名得分依次为，，，其中，选手的最终得分为各场得分之和.最终甲、乙、丙三人包揽了每个项目的前三名，在六个项目中，已知甲最终得分为26分，乙最终得分为12分，丙最终得分为10分，且丙在“射击”这个项目中获得了第一名，那么______，“游泳”这个项目的第二名是______.【答案】乙【解析】因为甲乙丙包揽了每个项目的前三名，故它们的得分总和为，故，若，则，此时，与矛盾；故，故，故或，若，则丙在除射击外的5个项目共拿6分，但其余5个项目丙拿5分或7分以上，矛盾；故，所以丙在除射击外的5个项目中每个项目均拿1分，共计5分；甲共计分，则甲在除射击外的5个项目中拿分或分，若甲在除“射击”外的5个项目中拿分，则甲在射击项目中拿1分，其余5个项目中每个项目都拿5分，此时乙在6个项目中的分数为，符合题意；若甲在除“射击”外的5个项目中拿分，故甲在射击中拿2分，乙拿1分，则其余5个项目中，甲在4个项目中每个项目拿5分，1个项目中拿2分，此时甲的总分达不到分，故，游泳的第二名为乙，故答案为：，乙.四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知函数.（1）求的最大值及相应的取值集合；（2）设函数，若在区间上单调递增，求的取值范围.解：（1）依题意，，当，即时，，此时，的取值集合为．（2）由（1）知，，当时，，由在区间上单调递增，可得：，解得：，所以的取值范围是16.记数列是公差不为0的等差数列，，且是和的等比中项.（1）求数列的通项公式；（2）数列满足：，，，（ⅰ）求证：为等比数列；（ⅱ）求取最大值时的值.解：（1）设的公差为，则，所以即，而，故，故.（2）（ⅰ），,而，故，而，，所以所以为等比数列且公比为2，首项为.（ⅱ）由（ⅰ）可得，所以，故当时，，当时，，故，故取最大值时.17.在中，记角，，所对的边分别为，，，.（1）求；（2）若，为中点，，分别在线段，上，且，，求面积的最小值及此时对应的的值.解：（1）由，得到，又，所以，又，得到，即，又，所以，得到.（2）由（1）知，如图，因为，所以．在中，因为，所以，在中，因为，所以，所以，设，，所以化简可得：所以当时，取得最小值．18.已知函数.（1）求函数的单调区间；（2）求证：当时，函数只有两个零点；（3）若对任意的实数，，曲线与直线总相切，则称函数为“函数”.当时，若函数是“函数”，求.解：（1）易知函数定义域为，因为，则，当时，，所以在区间上单调递减，当时，由，得到，即，得到，又易知为增函数，所以当时，f'x>0，即在区间单调递增，当时，f'x<0，即在区间单调递减，综上得：当时，的减区间为，无增区间；当时，的增区间为，减区间为.（2）令，得到，当时，，方程无解，即无零点，所以有零点，则零点只能在区间上，当时，由，得到，设，，则零点可以转化为的零点，因为，设hx=ax+a-1(x>-1)因为，则hx在上单调递增，又，时，，则，使得，当时，hx<0，当，hx即在上递减，在上递增，又，所以，又由于时，，故在内存在唯一零点，又时，，故在内存在唯一零点，所以当时，只有两个零点，故当时，函数只有两个零点.（3）当时，函数是“函数”，且，设函数与直线切点，又，则，故，由，得到，又，所以，因为，所以是方程的根，设，，易知，且是增函数，当时，h'x>0，hx单调递增，当时，h'所以，所以是方程的根，且唯一，所以.19.给定正整数，设，，…，是1，2，…，中任取个互不相同的数构成的一个递增数列.对，如果是奇数，则是奇数，如果是偶数，则是偶数，就称，，…，为“数列”.（1）若，，写出所有“数列”；（2）对任意“数列”，，…，，，证明：.（注：表示不超过的最大整数）；（