山东省济宁市邹城市北大新世纪高级中学2025届高三上学期开学考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1山东省济宁市邹城市北大新世纪高级中学2025届高三上学期开学考试数学试题第一部分选择题（共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C.或 D.【答案】C【解析】由，即，解得，所以，又，所以或.故选：C2.为虚数单位，若，则（）A.5 B.7 C.9 D.25【答案】A【解析】因为，所以，故选：A.3.已知向量．若与平行，则实数λ的值为（）A. B. C.1 D.【答案】D【解析】由，得，而，与平行，因此，解得，所以实数λ的值为.故选：D4.已知，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意，即，即，所以.故选：B.5.陀螺起源于我国，最早出土的石制陀螺是在山西夏县发现的新石器时代遗址．如图所示的是一个陀螺立体结构图．已知，底面圆的直径，圆柱体部分的高，圆锥体部分的高，则这个陀螺的表面积(单位：)是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意可知：圆锥的母线长为，所以这个陀螺的表面积是.故选：C.6.若函数在上单调递增，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因为函数在上单调递增，所以在上恒成立，即在上恒成立，令，，变形得，因为，所以，所以当，即时，，所以.故选：A．7.函数的图象与直线有且仅有两个不同的交点，则k的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】，如图所示，要使的图象与直线有且仅有两个不同的交点，则只需.故选：C.8.函数是定义在R上的偶函数，且，若，，则（）A.4 B.2 C.1 D.0【答案】B【解析】因为，且是定义在R上的偶函数，所以，令，则，所以，即，所以函数的周期为2，所以故选：B.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.李明每天7：00从家里出发去学校，有时坐公交车，有时骑自行车．他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到：坐公交车平均用时30分钟，样本方差为36；自行车平均用时34分钟，样本方差为4．假设坐公交车用时X和骑自行车用时Y都服从正态分布，则（）A.P(X＞32)＞P(Y＞32)B.P(X≤36)＝P(Y≤36)C.李明计划7：34前到校，应选择坐公交车D.李明计划7：40前到校，应选择骑自行车【答案】BCD【解析】A.由条件可知，，根据对称性可知，故A错误；B.,，所以，故B正确；C.=，所以，故C正确；D.，，所以，故D正确.故选：BCD10.已知函数，则下列说法正确的有（）A.f（x）无最大值 B.f（x）有唯一零点C.f（x）在（0，＋∞）单调递增 D.f（0）为f（x）的一个极小值【答案】ACD【解析】，记因为，且，在区间上显然递增，所以记为的零点，则有所以当时，，在上单调递增，又因为，所以当时，，当时，，所以当时，有极小值，D正确；由上可知，上单调递增，且当x趋近于正无穷时，也趋于正无穷，故AC正确；易知，故B错误，故选：ACD11.平面内到两定点距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线，它是1675年卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现的.已知在平面直角坐标系中，，，动点P满足，其轨迹为一条连续的封闭曲线C.则下列结论正确的是（）A.曲线C与y轴的交点为， B.曲线C关于x轴对称C.面积的最大值为2 D.的取值范围是【答案】ABD【解析】设点，依题意，，整理得：，对于A，当时，解得，即曲线C与y轴的交点为，，A正确；对于B，因，由换方程不变，曲线C关于x轴对称，B正确；对于C，当时，，即点在曲线C上，，C不正确；对于D，由得：，解得，于得，解得，D正确.故选：ABD.第二部分（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知双曲线分别为其左､右焦点，为双曲线上一点，，且直线的斜率为2，则双曲线的离心率为__________.【答案】【解析】由于直线的斜率为2，因此，又，故，由双曲线定义得，因此，又，所以，故双曲线的离心率为.13.已知函数的图象与函数的图象在公共点处有相同的切线，则公共点坐标为________.【答案】【解析】函数的定义域为，可得，由，设曲线与曲线的公共点为，由于在公共点处有共同的切线，所以，所以，由，可得，联立可得，解得，所以，所以公共点坐标为.14.在n维空间中（，），以单位长度为边长的“立方体”的顶点坐标可表示为n维坐标，其中.则5维“立方体”的顶点个数是______；定义：在n维空间中两点与的曼哈顿距离为.在5维“立方体”的顶点中任取两个不同的顶点，记随机变量X为所取两点间的曼哈顿距离，则______.【答案】32【解析】（1）的可能值为0，1（，）.故五维立方体的顶点有个.（2）依题意，样本空间的样本点记为，M，N为五维立方体的顶点样本点总数：当时，有k个第i维坐标值不同，有个第i维坐标值相同满足的样本点个数为.所以.故分布列为：X12345P.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸.15.已知的内角的对边分别为的面积为．（1）求；（2）若，且的周长为5，设为边BC中点，求AD.解：（1）依题意，，所以，由正弦定理可得，，由余弦定理，，解得，因为，所以；（2）依题意，，因为，解得，因为，所以，所以．16.设椭圆的左焦点为，右顶点为，离心率为.已知是抛物线的焦点，到抛物线的准线的距离为.（I）求椭圆的方程和抛物线的方程；（II）设上两点，关于轴对称，直线与椭圆相交于点（异于点），直线与轴相交于点.若的面积为，求直线的方程.（Ⅰ）解：设的坐标为.依题意，，，，解得，，，于是.所以，椭圆的方程为，抛物线的方程为.（Ⅱ）解：设直线的方程为，与直线的方程x=-1联立，可得点，故.将与联立，消去，整理得，解得，或.由点异于点，可得点.由，可得直线的方程为，令，解得，故.所以.又因为的面积为，故，整理得，解得，所以.所以，直线的方程为，或.17.在底面为梯形的多面体中．，且四边形为矩形．点在线段上．（1）点是线段中点时，求证：平面；（2）是否存在点，使得直线与平面所成的角为60°？若存在，求．若不存在，请说明理由．解：（1）由，则为等腰直角三角形，有，则，则，在中，，取线段中点，连接，则，又因为直线平面，平面，所以直线平面，同理直线平面，又因为，、平面，所以平面平面，因为直线平面，所以平面；（2）因为四边形为矩形，则，又，、平面，故平面，以点为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，则，所以,设，其中，解得，故，设平面的法向量为，则，即，令，则，故，因为直线与平面所成的角为，所以，即，解得或，故存在点或.18.已知函数．（1）讨论函数的单调性；（2）设函数．（ⅰ）求的值；（ⅱ）证明：存在实数，使得曲线关于直线对称．解：（1）由题意可知，则Fx的定义域为，，，当时，，则Fx在上单调递减；当时，令，即，解得，若，；若，，则Fx在上单调递减，在上单调递增．综上所述，当时，Fx在上单调递减；当时，Fx在上单调递减，在上单调递增．（2）（ⅰ）函数，则，，故．（ⅱ）函数的定义域为．若存在，使得曲线y=gx关于直线对称，则关于直线对称，所以由．可知曲线y=gx关于直线对称．19.若有穷数列（是正整数），满足，，…，即（是正整数，且），就称该数列为“对称数列”．（1）已知数列bn是项数为8的对称数列，且，，，成等差数列，，，试写出bn的每一项．（2）已知是项数为（其中，且）的对称数列，且构成首项为，公差为的等差数列，数列的前项和为，则当为何值时，取到最大值？最大值为多少？（3）对于给定的正整数，试写出所有项数为的对称数列，使得成为数列中的连续项；当时，并分别求出所有对称数列的前项和．解：（1）因为，，，成等差数列，，，设前项的公差为