山东省济南市2023-2024学年高一上学期1月期末考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1山东省济南市2023-2024学年高一上学期1月期末数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.函数的定义域为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由题意，解得或，所以函数的定义域为.故选：B.2.（）A. B. C. D.【答案】C【解析】.故选：C.3.命题“”的否定是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题知，命题“”的否定是.故选：A.4.工艺扇面是中国书画的一种常见表现形式.如图所示，已知扇面展开后形成一个中心角为的扇环，其中扇环的外圆半径为，内圆半径为，某同学准备用布料制作这样一个扇面，若不计损耗，则需要布料（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意可知，扇环的面积为.故选：C.5.已知函数则的图象大致为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】结合题意可得：当时，易知为幂函数，在单调递增；当时，易知为幂函数，在单调递增，故函数，图象如图所示：要得到，只需将的图象沿轴对称即可得到.故选：C.6.已知，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意.故选：B.7.如图所示，线段为半圆的直径，为圆心，为半圆弧上不与重合的点，.作于于，设，则下列不等式中可以直接表示的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】因为，所以，在中，，又，所以，在中，，故，得到，所以，所以，即，故选：D.8.已知函数在区间有且仅有2个零点，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意，当时，，若函数在区间有且仅有2个零点，则这两个零点只能是，则当时，，解得.故选：A.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列说法正确的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则【答案】BC【解析】对于A，当时，，错误；对于B，因为，所以，又，所以，正确；对于C，由，可得，根据不等式的性质，可得，正确；对于D，取，满足，而，错误故选：BC.10.已知函数，则（）A.为奇函数 B.为增函数C.的值域为 D.对，方程有两个根【答案】ACD【解析】因为，易知定义域为，定义域关于原点对称，又，即为奇函数，所以选项A正确，对于选项B，因为定义域为，当时，，当时，，而，所以选项B错误，因为在定义域上单调递增，在区间上单调递增，所以的增区间为，又易知，当时，的值域为，当时，的值域为，所以对，方程有两个根，即选项C和D均正确.故选：ACD.11.如图所示，已知角的始边为轴的非负半轴，终边与单位圆的交点分别为，为线段的中点，射线与单位圆交于点，则（）A.B.C.点的坐标为D.点的坐标为【答案】ABC【解析】对于A：因为，，所以，正确；对于B：依题意为线段的中点，则，则，又，所以，正确；对于C：为线段的中点，射线与单位圆交于点，则为的中点，所以，又，所以点的坐标为，正确；对于D：，，所以点的坐标为，错误.故选：ABC.12.通常我们把一个以集合作为元素的集合称为族.若以集合的子集为元素的族，满足下列三个条件：（1）和在中；（2）中的有限个元素取交后得到的集合在中；（3）中的任意多个元素取并后得到的集合在中，则称族为集合上的一个拓扑.已知全集为的非空真子集，且，则（）A.族为集合上的一个拓扑B.族为集合上的一个拓扑C.族为集合上的一个拓扑D.若族为集合上的一个拓扑，将的每个元素的补集放在一起构成族，则也是集合上的一个拓扑【答案】ABD【解析】对于A，首先满足条件（1），其次，中有限个元素取交后得到的集合为或，都在中，满足条件（2），再次，中的任意多个元素取并后得到的集合为或，都在中，满足条件（3），故A正确；对于B，首先满足条件（1），其次，中的有限个元素取交后得到的集合为或或，都在中，满足条件（2），再次，中的任意多个元素取并后得到的集合为或或，都在中，满足条件（3），故B正确；对于C，不妨设，则，不在中，故C错误；对于D，由题意不妨设族为集合上的一个拓扑，由条件（2）可知中的有限个元素取交后得到的集合都在，且由条件（3）可知中的任意多个元素取并后得到的集合都在，所以不妨设，则，且，首先满足条件（1），其次，中的有限个元素取交后得到的集合都在中，满足条件（2），再次，中的任意多个元素取并后得到的集合都在中，满足条件（3），故D正确.故选：ABD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知为第二象限角，若，则的值为______.【答案】【解析】因为为第二象限角，且，所以，所以.故答案为：.14.定义域为的奇函数满足，且当时，，则的值为__________.【答案】1【解析】由题意.故答案为：1.15.已知函数图象关于直线对称，则的值为______.【答案】0【解析】由题意得函数，显然，，又函数的图象关于直线对称，故，则，故，则，故.故答案为：0.16.已知函数，，若函数有三个零点，则的取值范围是__________.【答案】【解析】由题意设，则函数的零点即为方程的根，在同一平面直角坐标系中分别画出函数的图象以及直线如图所示：若函数有三个零点，（不妨设为），则方程的根有三个根，且，所以，且，因为在单调递增，所以，即，所以，令，，解得，令，，解得，所以.故答案为：.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.已知集合.（1）若，求；（2）若是的充分不必要条件，求的取值范围.解：（1）解可得，故可知，当时，，所以，.（2）因为是的充分不必要条件，所以⫋，则，解得.18.已知函数的最大值为3，最小值为1.（1）求和的值；（2）把的图象上所有的点向右平移个单位长度得到函数的图象，求的单调递减区间.解：（1）因为，由题意可得，解得.（2）由（1）得，所以，由，得，所以的单调递减区间为.19.已知函数为偶函数.（1）求实数的值；（2）解不等式.解：（1）设的定义域为，因为为偶函数，所以，都有，即对都成立，等价于对都成立，整理得都成立，所以，解得，所以的值为1.（2）由题意，移项得，所以，所以，整理得，即，解得，所以不等式的解集为.20.如图所示，在等腰直角中，为线段的中点，点分别在线段上运动，且，设.（1）设，求的取值范围及；（2）求面积的最小值.解：（1）因为为等腰直角三角形，为线段的中点，所以，因为点在线段上运动，所以，因为，所以，所以.（2）因为，所以，所以，所以，当且仅当时，等号成立，所以面积的最小值为.21.中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关.经验表明：某种红茶用的水泡制，再等到茶水温度降至时饮用可以产生最佳口感，现在室温下，某实验小组为探究刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的放置时间，每隔测量一次茶水温度，得到茶水温度随时间变化的数据：时间012345水温95.0088.0081.7076.0570.9366.30设茶水温度从开始，经过后的温度为，现给出以下三种函数模型：①；②；③.（1）从上述三种函数模型中选出你认为最符合实际的函数模型，简单叙述理由，并利用前的数据求出相应的解析式；（2）根据（1）中所求的函数模型，求刚泡好的红茶达到最佳饮用口感的放置时间.参考数据：.解：（1）选择②作为函数模型，对于模型①，当时，函数无意义，故而排除；对于模型③，由表中数据可知当自变量增大时，函数值减小，故而排除；对于模型②，所给函数单调递减，且符合茶水温度不低于室温的要求；故应选择模型②，将前的数据带入，得，解得，所以所求函数解析式为.（2）由（1）中模型可得，即，所以，即所以刚泡好的红茶放置能达到最佳饮用口感.22.已知函数.（1）若为单调函数，求的取值范围；（2）设函数，记的最大值为.（i）当时，求的最小值；（ii）证明：对.解：（1）由，可得