北京市海淀区2024届高三上学期期末练习数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1北京市海淀区2024届高三上学期期末练习数学试题第一部分（选择题）一、选择题1.已知集合，，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意集合，，，则，.故选：A.2.如图，在复平面内，复数，对应的点分别为，，则复数的虚部为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】在复平面内，复数，对应的点分别为，，则，，得，所以复数的虚部为.故选：D3.已知直线，直线，且，则（）A.1 B. C.4 D.【答案】B【解析】由题意直线，直线，且，所以，解得.故选：B.4.已知抛物线的焦点为，点在上，，为坐标原点，则（）A. B.4 C.5 D.【答案】D【解析】设，，又因为，所以，故.故选：D.5.在正四棱锥中，，二面角的大小为，则该四棱锥的体积为（）A.4 B.2 C. D.【答案】C【解析】连接，相交于点，则为正方形的中心，故⊥底面，取的中点，连接，则，，故为二面角的平面角，所以，故，所以该四棱锥的体积为.故选：C.6.已知圆，直线与圆交于，两点.若为直角三角形，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】因为圆，圆心为，半径为，即因为为直角三角形，所以,设圆心到直线的距离为，由弦长公式得，所以，化简得.故选：A.7.若关于的方程（且）有实数解，则的值可以为（）A.10 B. C.2 D.【答案】D【解析】对比选项可知我们只需要讨论时，关于的方程的解的情况，若关于的方程（且）有实数解，即与的图像有交点，因为与互为反函数，所以与的图像关于直线对称，如图所示：设函数与直线相切，切点为，，则有，解得：，由图像可知，当时，曲线与直线有交点，即与的图像有交点，即方程有解.故选：D.8.已知直线，的斜率分别为，，倾斜角分别为，，则“”是“”的（）A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由题意两直线均有斜率，所以，若取，则有，但；若，又，所以，而，综上所述，“”是“”必要而不充分条件.故选：B.9.已知是公比为的等比数列，为其前项和.若对任意的，恒成立，则（）A.是递增数列 B.是递减数列C.是递增数列 D.是递减数列【答案】B【解析】是公比为的等比数列，为其前项和,恒成立,恒成立,若，则可能为正也可能为负，不成立所以,当是递减数列,当是递减数列,故选:B.10.蜜蜂被誉为“天才的建筑师”.蜂巢结构是一种在一定条件下建筑用材面积最小的结构.如图是一个蜂房的立体模型，底面是正六边形，棱，，，，，均垂直于底面，上顶由三个全等的菱形，，构成.设，，则上顶的面积为（）（参考数据：，）A. B. C. D.【答案】D【解析】由于，所以,连接,取其中点为，连接,所以,由，且多边形为正六边形，所以，由于,所以，故一个菱形的面积为，因此上顶的面积为，故选：D第二部分（非选择题）二、填空题11.在的展开式中，的系数为__________.【答案】【解析】的展开式的通项为令得，所以，的系数为.故答案为：.12.已知双曲线的一条渐近线为,则该双曲线的离心率为__________.【答案】2【解析】由题意得，易知双曲线，即的渐近线方程为得所以该双曲线的离心率故答案为：.13.已知点，，在正方形网格中的位置如图所示.若网格纸上小正方形的边长为1，则__________；点到直线的距离为__________.【答案】【解析】以为原点建立如图所示的平面直角坐标系，由题意，所以，而直线的表达式为，即所以点到直线的距离为.故答案为：，.14.已知无穷等差数列的各项均为正数,公差为,则能使得为某一个等差数列的前项和的一组,的值为__________,__________.【答案】11（答案不唯一）【解析】设等差数列前项和为,则又是公差为的等差数列,即整理得由题知故满足题意的一组,的值为,.（答案不唯一）故答案为：1;1（答案不唯一）15.已知函数.给出下列四个结论：①任意，函数的最大值与最小值的差为2；②存在，使得对任意，；③当时，对任意非零实数，；④当时，存在，，使得对任意，都有.其中所有正确结论的序号是__________.【答案】②④【解析】对于①，当时，其最大值为1，最小值为0，的最大值与最小值的差为1，故①错误；对于②，当时，，，因此对任意，，故②正确；对于③，，，当时，故③错误；对于④，当时，取，，使得对任意，都有，故正确.故答案为：②④.三、解答题16.如图，在四棱柱中，侧面是正方形，平面平面，，，为线段的中点，.（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.（1）证明：连接，如下图所示：在四棱柱中，侧面为平行四边形，所以，,因为，，为中点，所以，，所以，,所以四边形为平行四边形，所以，因为平面，所以平面，（2）解：在正方形中，，因为平面平面，平面平面；所以平面，而平面，即可得，因为，平面，与相交，所以平面，而平面，即；如图建立空间直角坐标系.不妨设，则，，，.所以，，.设平面的法向量为，则，令，则，，于是；因为，所以直线与平面所成角的正弦值为.17.在中，.（1）求的大小；（2）若，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在，求边上中线的长.条件①：的面积为；条件②：；条件③：.注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.解：（1）由正弦定理及，得.①因为，所以.②由①②得.因为，所以.所以.因为，所以.（2）选①，的面积为，即，即，解得，因为，由余弦定理得，即，解得，由基本不等式得，但，故此时三角形不存在，不能选①，选条件②：.由（1）知，.所以.所以.因为，所以.所以，即.所以是以为斜边的直角三角形.因为，所以.所以边上的中线的长为.选条件③：.由余弦定理得，即.设边上的中线长为，由余弦定理得.所以边上的中线的长为1.18.甲、乙、丙三人进行投篮比赛，共比赛10场，规定每场比赛分数最高者获胜，三人得分（单位：分）情况统计如下：场次12345678910甲8101071288101013乙9138121411791210丙121191111998911（1）从上述10场比赛中随机选择一场，求甲获胜的概率；（2）在上述10场比赛中，从甲得分不低于10分的场次中随机选择两场，设表示乙得分大于丙得分的场数，求的分布列和数学期望；（3）假设每场比赛获胜者唯一，且各场相互独立，用上述10场比赛中每人获胜的频率估计其获胜的概率.甲、乙、丙三人接下来又将进行6场投篮比赛，设为甲获胜的场数，为乙获胜的场数，为丙获胜的场数，写出方差，，的大小关系.解：（1）根据三人投篮得分统计数据，在10场比赛中，甲共获胜3场，分别是第3场，第8场，第10场.设表示“从10场比赛中随机选择一场，甲获胜”，则.（2）根据三人投篮得分统计数据，在10场比赛中，甲得分不低于10分的场次有6场，分别是第2场，第3场，第5场，第8场，第9场，第10场，其中乙得分大于丙得分的场次有4场，分别是第2场、第5场、第8场、第9场.所以的所有可能取值为0，1，2.，，.所以的分布列为012所以.（3）设10场比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，丙获胜的概率为而甲、乙、丙获胜的场数符合二项分布，所以，，故.19.已知椭圆过点，焦距为.（1）求椭圆的方程，并求其短轴长；（2）过点且不与轴重合的直线交椭圆于两点，，连接并延长交椭圆于点，直线与交于点，为的中点，其中为原点.设直线的斜率为，求的最大值.解：（1）由题意知，.所以，.所以椭圆的方程为，其短轴长为4.（2）设直线的方程为，，，则.由，得.所以.由得直线的方程为.由得.因为，所以，.所以.因为为的中点，且，所以.所以直线的斜率.当时，.当时，因为，当且仅当时，等号成立.所以.所以当时，取得最大值.20.已知函数.（1）当时，求证：①当时，；②函数有唯一极值点；（2）若曲线与曲线在某公共点处的切线重合，则称该切线为和的“优切线”.若曲线与曲线存在两条互相垂直的“优切线”，求，的值.（1）证明：①当时，.记，则.所以在上是增函数.所以当时，.所以当时，.②由得，且.当时，.因为，，所以.因为对任意恒成立，所以当时，.所以0是的唯一极值点.（2）解：设曲线与曲线的两条互相垂直的“优切线”的切点的横坐标分别为，其斜率分别为，，则.因为，所以.所以.不妨设，则.因为，由“优切线”的定义可知.所以.由“优切线”的定义可知，所以.当，，时，取，，则，，，，符合题意.所以.21.对于给定的奇数，设是由个实数组成的行列的数表，且中所有数不全相同，中第行第列的数，记为的第行各数之和，为的第列各数之和,其中.记.设集合或，记为集合所含元素的个数.（1）对以下两个数表，，写出，，，的值；（2）若中恰有个正数，中恰有个正数.求证：；（3）当时，求的最小值.（1）解：，；，.由定义可知：将数表中的每个数变为其相反数，或交换两行（列），，的值不变.因为为奇数，，所以，均不为0.（2）证明：当或时，不妨设，即，若，结论显然成立；若，不妨设，，则，，.所以，结论成立.当且时，不妨设，，，，则当时，；当时，.因当，时，，，所以.所以.同理可得：，，.所以.（3）解：当时，的最小值为.对于如下的数表，.111111111下面证明：.设