内蒙古自治区2023-2024学年高二上学期期末教学质量检测数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1内蒙古自治区2023-2024学年高二上学期期末教学质量检测数学试题注意事项：1．答题前，考生务必将自已的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.直线与两坐标轴围成的三角形的面积为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由题知，直线与轴交于点，与轴交于点，所以围成的三角形的面积为．故选：C2.在等差数列中，是数列的前项和，，则（）A.100 B.50 C.90 D.45【答案】D【解析】由题意得．故选：D.3.已知抛物线：的焦点为，点在上，，则直线的斜率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因为，所以，解得，则，，所以直线的斜率为．故选：D4.若数列满足，则（）A.11 B. C. D.【答案】C【解析】由，得，解得，，，因此是周期为4的数列，所以.故选：C5.已知椭圆的焦点为，为上一点，且点不在直线上，则“”是“的周长大于”的（）A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】因为，所以，又，所以的周长为．若，则．若，则．所以“”是“的周长大于”的必要不充分条件．故C正确.故选：C.6.如图，在三棱柱中，M为的中点，设，，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】连接，如下图所示，因为，，所以，所以．故选：A.7.现有一根4米长的木头，第一天截掉它的，以后每一天都截掉它前一天留下的木头的，到第天时，共截掉了米，则（）A.5 B.6 C.7 D.8【答案】B【解析】设第天截掉的木头长度为，则是首项为2，公比为的等比数列，则该等比数列的前项和.由，得，得.故选：B.8.已知双曲线的离心率为，当时，在数列中，满足为有理数的的最大值为（）A.959 B.960 C.961 D.963【答案】A【解析】双曲线离心率．因为，所以当时，为有理数，且，所以满足条件的的最大值为959．故选：A.二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.数列的通项公式可能是（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】对于A项，分别把代入，即得，故A项正确；对于B项，把代入即得，与数列不符，故B项错误；对于C项，分别把代入，即得，故C项正确；对于D项，把代入即得，与数列不符，故D项错误.故选：AC.10.已知是空间的一个单位正交基底，则（）A.B.构成空间的一个基底C.D.构成空间的一个基底【答案】ACD【解析】因为是空间的一个单位正交基底，所以均为单位向量且两两垂直，所以，A正确．，C正确．因为，所以不能构成空间的一个基底，B错误．假设存在实数，使得，则，该方程组无解，所以构成空间的一个基底，D正确．故选：ACD.11.已知公比为的正项等比数列的前项积为，则（）A.B.当时，C.D.当，且取得最小值时，只能等于6【答案】ABC【解析】由题意，，在正项等比数列中，，A项，，A正确；B项，当时，因为，所以，可得，B正确；C项，，C正确．D项，当时，因为，所以，则的最小值为或，D错误．故选：ABC.12.已知椭圆C：，直线与C交于，两点，若，则实数的取值可以为（）A. B. C.3 D.4【答案】CD【解析】由，得．因为点，在椭圆上，所以消去得，解得．因为直线斜率存在为，所以，所以，显然，解得．故选：CD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.在等比数列中，，则__________．【答案】【解析】由题意得，则．故答案为：.14.若点到抛物线的准线的距离为3，请写出一个的标准方程：__________.【答案】（本题答案不唯一，任选一个即可）【解析】由题意得抛物线的准线可能为直线，所以的标准方程可能为.故答案为：（答案不唯一，中任选一个即可）.15.已知分别是椭圆的左､右焦点，为上一点，与的顶点不重合，分别为的中点，为坐标原点，且，则的焦距为__________．【答案】【解析】如图，因点,分别为,的中点,故，得，则的焦距为．故答案为：.16.在数列中，，则__________．【答案】【解析】因，故有，即得，所以．故答案为：.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤17.在等差数列中，．（1）求的通项公式；（2）若，求数列的前项和．解：（1）设的公差为，由，得，所以．（2）18.已知椭圆的焦距为，短半轴长为．（1）求椭圆C的方程；（2）已知直线l交椭圆C于M，N两点，且的中点为，求直线l的方程．解：（1）因为，，所以，故椭圆C方程为．（2）易知直线l的斜率存在，设直线l的斜率为k，，，则两式相减得，整理得．因为的中点为，所以，，所以，所以直线l的方程为，即，经检验，符合题意.19.已知数列满足.（1）求的通项公式；（2）若，求数列的前项和.解：（1）当时，，当时，由，①得，②①-②得，即，经检验，也符合，所以；（2）由题意得，所以.20.如图，在四棱锥中，底面ABCD是直角梯形，，，．（1）证明：平面平面ABCD．（2）求平面PAD和平面PBC的夹角的余弦值．解：（1）因为，平面PAD，平面PAD，所以平面PAD．因为平面ABCD，所以平面平面ABCD．（2）过点P作，OP交AD于点O，过点O作，OE与BC交于点E．在中，，则，．以O为坐标原点，向量的方向为x轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则．设平面PBC的法向量为，则，即令，得．由（1）知，是平面PAD的一个法向量，所以，故平面PAD和平面PBC的夹角的余弦值为．21.已知数列的前项和为，且为定值．（1）求的通项公式；（2）求数列的前项和．解：（1）因为，且为定值，所以．当时，，又，所以，即，即，所以是首项为1，公比为的等比数列，故．（2）由（1）知，，则，所以，所以，即，故．22.设双曲线的左､右焦点分别为，且焦距为8，一条渐近线方程为.（1）求双曲线的方程；（2）已知是直线上一点，直线交双曲线于两点，其中在第一象限，为坐标原点，过点作直线的平行线，与直线交于点，与轴交于