福建省福州十校2025届高三上学期期中考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1福建省福州十校2025届高三上学期期中考试数学试题一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数(其中是虚数单位)，则复数的虚部为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】，其虚部为2.故选：B2.设集合，，若，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由，得，即，此时，由，得，而，所以.故选：A3.已知和的夹角为，且，则（）A. B. C.3 D.9【答案】C【解析】故选：C4.设，是两个平面，是两条直线，则下列命题为真命题的是（）A.若，，，则B.若，，，则C.若，，，则D.若，，，则【答案】C【解析】根据题意，依次分析选项：对A，若，，，直线可能平行、相交或异面，故错误；对B，若，，，平面可能相交或平行，故错误；对C：如图，若，，，过直线作两个平面，，根据线面平行的性质可得可得，则，因为，，则，又因为，，则，则，故C正确；对D，若，，，则，故D错误.故选：C.5.若，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由，得，解得，所以.故选：B.6.设，分别是椭圆的右顶点和上焦点，点在上，且，则的离心率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】令椭圆半焦距为c，依题意，，由，得，则，而点在椭圆上，于是，解得，所以的离心率为.故选：A7.已知函数，则下列结论不正确的是（）A.函数的对称轴为 B.函数为偶函数C.函数在区间上单调递增 D.的最小值为【答案】A【解析】对于A:令，得，故A错误；对于B：偶函数，故B正确；对于C：，，单调递增，故C正确；对于D：的最小值为-2，故D正确.故选：A.8.已知定义在上的函数，若，则的取值范围是（）A B. C. D.【答案】B【解析】记，则所以所求解不等式为，，是奇函数在上是增函数由得，化简得，所以的取值范围是，故选：B二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列说法正确的是（）A.一组样本数据的方差，则这组样本数据的总和为60B.数据13，27，24，12，14，30，15，17，19，23的第70百分位数是23C.若一个样本容量为8的样本的平均数是5，方差为2.现样本中又加入一个新数据5，此时样本的平均数不变，方差变大D.若样本数据的标准差为8，则数据的标准差为16【答案】AD【解析】对于A，由方差的公式可知，该组数据的平均数是3，这组样本数据的总和为，A正确；对于B，数据13，27，24，12，14，30，15，17，19，23共10个数，从小到大排列为12，13，14，15，17，19，23，24，27，30，由于，故选择第7和第8个数的平均数作为第70百分位数，即，所以第70百分位数是23.5，故B错误；对于C，某8个数的平均数为5，方差为2，现又加入一个新数据5，设此时这9个数的平均数为，方差为，则，故C错误．对于D，样本数据，，，的标准差为8，故数据，，，的标准差为，故D正确；故选：AD．10.如图，在正方体中，分别为的中点，则下列结论正确的是（）A.直线与所成的角的大小为B.直线平面C.平面平面D.四面体外接球的体积与正方体的体积之比为【答案】ABD【解析】对于A：连接，如图，由正方体的结构特征知，，即为正三角形．又因为分别为的中点，则，因此直线与所成的角即为直线与所成的角，即或其补角，又，所以直线与所成的角的大小为，A正确；对于B：因为，所以平面平面，故直线平面，B正确；对于C：取的中点为，连接，显然的中点为，则，假设平面平面，而平面平面，于是平面，又平面，则，与矛盾，C错误；对于D：不妨设正方体的棱长为，则正方体的体积为，又因为四面体的三条侧棱两两垂直，则它的外接球即为以为棱的长方体的外接球，于是球的直径，体积为，于是，D正确，故选：ABD．11.已知定义域在上的函数满足以下条件：①对于任意的x，，；②；③，其中k是正常数，则下列结论正确的是（）A. B.C.是偶函数 D.【答案】ACD【解析】对于A，令，可得，由可得，A正确；对于B，令，可得，所以，B错误；对于C，令，可得，所以，C正确；对于D，将代入x，将k代入y，可得，D正确.故选：ACD三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分12.已知函数，则________.【答案】【解析】因为，所以.13.已知点，抛物线的焦点为，线段与抛物线交于点，则_________________.【答案】【解析】易知抛物线的焦点为，线段的方程为，联立，解得，即点，由抛物线的定义可得.14.已知数列为公差不为0的等差数列，，且，，成等比数列，则__________.设表示不超过的最大整数，如，，记，为数列的前项和，则__________．【答案】【解析】由数列是等差数列，设其公差为，因为，，成等比数列，所以，即，解得或，因为，所以，所以，则；当时，，即，共有个，因为，所以，令，则，两式相减得，则，所以.故答案为：；.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.记的内角，，的对边分别为，，，的面积为.已知.（1）求；（2）若点在边上，且，，求的周长.解：（1）由，则，又B∈0,π，故（2）由（1）可知，，又，则；由题可知，，故，所以，因为，所以，，在中，，故的周长为.16.如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，，点、为分别为、的中点．（1）证明：平面；（2）若，求平面与平面夹角的余弦值．（1）证明：取的中点，连接，因为点、E分别为、中点，所以是的中位线所以且，又因为为的中点，可得且，所以且，所以四边形为平行四边形，所以，又因为平面，且平面，所以平面．（2）解：取的中点，连结，因为，可得，且，又因为，且，所以，所以，又因为，且平面，所以平面，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，可得，因为为的中点，为的中点，可得，则，设是平面的法向量，则，取，可得，所以，设是平面的法向量，则，取，可得，所以；设平面与平面的夹角为，则，即平面与平面的夹角的余弦值为．17.已知数列的前n项和为，且.（1）求数列的通项公式；（2）若，求使取得最大值时的n的值.解：（1）由，可得：两式相减得：即，，又因为且，所以，所以，综上，，，所以为首项和公比均为的等比数列.（2）由（1）可得，所以，时，由，可得；故当，，当时，因此即，综上，或时，的取得最大值.18.已知函数．（1）当时，求在处的切线方程；（2）当时，求的单调区间和极值；（3）若对任意，有恒成立，求的取值范围．解：（1）当时，，则，，，所以切线方程为．（2）当时，，．令，，故在R上单调递减，而，因此0是在R上的唯一零点即：0是在R上的唯一零点当x变化时，，变化情况如下表：x00极大值的单调递减区间为：；递增区间为：的极大值为，无极小值（3）由题意知，即，即，设，则，令，解得，当，，单调递增，当，，单调递减，所以，所以19.已知椭圆的离心率为，，分别为椭圆的左顶点和上顶点，为左焦点，且的面积为．（1）求椭圆的标准方程：（2）设椭圆的右顶点为、是椭圆上不与顶点重合的动点．（i）若点，点在椭圆上且位于轴下方，直线交轴于点，设和的面积分别为，若，求点的坐标：（ii）若直线与直线交于点，直线交轴于点，求证：为定值，并求出此定值（其中、分别为直线和直线的斜