安徽省江淮十校2025届高三上学期第二次联考数学试卷（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1安徽省江淮十校2025届高三上学期第二次联考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，集合，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由，得到，所以，由，得到，又，所以，得到，故选：C.2.复数z满足，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意知，所以，.故选：B3.在等差数列中，，等比数列满足，则（）A.9 B. C.16 D.4【答案】A【解析】由条件及等差数列通项公式的性质知，则，于是由等比数列通项公式的性质可知.故选：A4.在中，已知，点O是的外心，则（）A.16 B.8 C.4 D.-8【答案】B【解析】如图，过点O作于D，可知，则故选:5.已知，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由条件可知，整理得，即，所以，故选：C.6.函数满足，且对任意的都有，则曲线y=f(x)在点处的切线方程为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】根据题意可知函数y=f(x)的最小正周期为，所以，因为，所以，结合，解得，所以，于是，对函数y=f(x)求导得，于是，所以曲线y=f(x)在点处的切线方程为，整理得，故选：D．7.已知，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】

，，

，，等号取不到，，

，

，，令，∵，∴单调递减，且，，可得

于是

，，故选：A.8.三棱锥的底面是等边三角形，，二面角的大小为，若三棱锥外接球的表面积为，则该三棱锥体积的最大值等于（）A. B. C. D.【答案】A【解析】设，三棱锥外接球的半径为R，则，解得，设的外心为，该点是棱AC的中点，设等边的外心为，过点作平面APC的垂线，过点作平面ABC的垂线，两垂线交于点O，即为三棱锥外接球的球心．因为二面角的大小为，所以，于是，，，因为，即，解得，即，因为，所以当时，点P到平面ABC的距离最大，其最大距离为，所以三棱锥体积的最大值等于.故选：A.二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知a>0，，则的一个必要不充分条件是（）A.且 B. C. D.【答案】BD【解析】对于A，当且时，成立，反之不成立，所以“且”是“”的充分不必要条件，A错误；对于B，因为，所以，必要性成立，反过来，当，时，满足，但，不符合，所以“”是“”的必要不充分条件，B正确；对于C，因为，所以，充分性成立，反过来，当，时，满足，此时，所以“”是“”的充分不必要条件，C错误；对于D，当，时，满足，但，充分性不成立，又，因为，所以，必要性成立，于是D正确．故选：BD.10.在棱长为2的正方体中，点E，F分别为棱，的中点，点G在底面内运动(含边界)，且平面，则（）A.若，则平面B.点G到直线的距离为C.若，则D.直线与平面所成角的正弦值为【答案】ACD【解析】分别取棱，，，的中点M，N，P，Q，∵点E，F分别为棱，的中点，∴，∵，∴，∵平面，平面，∴，∵平面，∴平面，∵平面，∴，同理，∵平面，∴平面，根据条件平面，可得平面即为平面，于是点G的轨迹即为线段对于A，若，则点G在上，又点G的轨迹即为线段，则点G为棱的中点P，连，∵，∴为平行四边形，∴，又平面，平面，所以平面，故A正确；对于B，∵点F，Q分别为棱，的中点，∴，∴正六边形的边长为，设正六边形的中心，则均是边长为的正三角形，∵,∴，即与间的距离，因为，所以点G到的距离即为与间的距离，所以点G到的距离为，所以B错误；对于C，连，交点为，∵，则点G在上，又点G的轨迹即为线段，则点G为与的交点，∵分别为的中点，则，此时，于是满足，所以C正确；对于D，设平面，根据对称性可知，为的中点，∴，∵平面，∴为直线与平面所成的角，又，∴，所以直线与平面所成角的正弦值为，故D正确，故选：ACD.11.已知定义在上的函数满足：对，，且，函数为偶函数，则（）A. B.C.为偶函数 D.【答案】ABD【解析】定义在上的函数满足：对，，对于A，令，则，，A正确；对于C，令，则，于是，则，因此不是偶函数，C错误；对于B，由函数为偶函数，得，即，于是，即，，因此函数的周期为，，B正确；对于D，由，得，因此，D正确.故选：ABD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知平面向量，满足，则__________．【答案】【解析】由题意知，解得.13.记Sn为数列的前n项和．已知，，则数列的通项公式是__________．【答案】【解析】，①，当时，②，①-②得，，，，，是等差数列，又，14.已知，对任意的，不等式恒成立，则k的取值范围是__________．【答案】【解析】由条件得，构造函数，对其求导得，令得，于是当时，f'x<0，函数单调递减；当时，f'x>0因为，，所以，，根据，得到，分离参数得对恒成立，只需构造函数，，对其求导得，令得，于是当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减，所以，于是，因此k的取值范围是四、解答题：本题共5小题，共60分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.在斜中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，且，（1）求的值；（2）点D是边AB的中点，连接CD，且，求的面积．解：（1）由正弦定理可知，所以，于是，因为是斜三角形，所以，，于是，因为，所以或，因为，所以，因此，因为，于是；（2）由条件知，两边同时平方得，即，根据正弦定理得，即，代入，得，解得，，又，所以的面积为16.已知各项均为正数的数列满足：，.（1）求数列的通项公式；（2）设，求.解：（1）由条件，知，，，，累加，得，所以，又，所以，又符合上式，所以数列的通项公式为.（2）由（1），知，设，则，两边同乘以2，得，两式相减，得，所以，即.17.如图，四棱锥中，平面，四边形是矩形，且，，，连接（1）求证：（2）当与平面所成角的正弦值为时，求棱的长．（1）证明：过点E在平面内作交棱于点，连∵，∴，又∵，∴，于是，又∵，∴∽，∴，∵，于是，∴，∵平面，，∴平面，∴，又∵，且、平面，∴平面，又∵平面，∴（2）解：以点A为原点，分别以，，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图所示．设，则，，，∴，，，设平面BPC的法向量为，则，即，取，于是，设CE与平面BPC所成角为，则，化简整理得，解得或，所以棱的长为：或18.已知函数叫做双曲正弦函数，函数叫做双曲余弦函数，其中是自然对数的底数．（1）类比等式，请探究与，之间的等量关系，并给出证明过程；（2）求函数的零点；（3）解关于的不等式：解：（1）由条件类比得到，证明如下：因为，，所以；（2）因为，令，则，即，即，解得或，又，所以，于是，整理得，于是或，解得或，所以函数hx的零点为，；（3）因为，，所以原不等式可化为，于是，整理得，也即当时，原不等式的解集为；当时，令可得或，且，原不等式的解集为；当时，令可得或，且，原不等式的解集为综上所述不等式的解集是：当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为.19.已知函数（1）当m>0时，讨论函数的单调性；（2）求证：（3）已知，且，求证：解：（1）函数的定义域为，对函数求导得，当，即时，，函数在上单调递减；当，即时，令，得，于是函数在，上单调递减，在上单调递增，综上所述，当时，函数在上单调递减；当时，函数在，上单调递减，在上单调递增，（2）由（1