1.1.2空间向量的数量积运算（教学课件）高二数学选择性必修第一册(人教A版2019)精美版

第一章

空间向量1.1.2空间向量的数量积运算人教A版2019选择性必修二高中数学教研组素养/学习目标1.掌握空间向量的夹角的概念，培养数学抽象的核心素养．2.掌握空间向量的数量积的定义、性质、运算律，提升数学抽象的核心素养．3.了解空间向量投影的概念以及投影向量的意义，培养直观想象的核心素养．4.能用空间向量的数量积解决立体几何中的垂直、夹角、长度等问题，强化数学运算的核心素养.引入新知G20峰会向世界展示了杭州的无穷魅力,一些别致的建筑和设计令人印象深刻!设计、制造这些宏伟的建筑、精美的造型,都会遇到许多立体几何问题,比如建筑的地面垂不垂直,要不要垂直?构成建筑的部件长度是多少?彼此成多少角度比较合适等等.怎么样才能解决这些问题呢,必须有强大的数学工具!学习新知追问：空间向量有数量积吗?为什么?是怎样的?问题2：我们已经学习了平面向量,并深刻地体会到平面向量在解决垂直、长度、角度等问题中的应用.我们还学习了空间向量的加法、减法、数乘运算,那么空间向量中,怎么样的运算能支持判断垂直问题,计算长度、角度问题?问题1：在所学的数学工具中,哪些可以用来研究垂直问题,计算长度、角度问题?追问（1）：学习平面向量时，我们是如何研究它的数量积运算的？问题3：我们已经学习过平面向量的数量积运算，你能类比平面向量，给出空间向量的数量积运算的定义吗？夹角数量积的定义运算律应用学习新知追问（2）：什么是平面向量的夹角？你能类比平面向量，给出空间向量夹角的概念吗？平面向量的夹角空间向量的夹角ba.OBαAba.OBαA学习新知追问（3）：平面向量的数量积是什么？你能类比平面向量，给出空间向量数量积的运算吗？平面向量的数量积空间向量的数量积证明垂直关系求线段长度求夹角大小新知探究追问（4）：在平面向量中我们学习过投影向量的概念，什么是投影向量？你能把它推广到空间向量中吗？两个非零向量a，b，＝a，＝b，过A和B分别做在直线的垂线，垂足分别为A1和B1，得到，称上述变换为向量a向向量b的投影，叫向量a在向量b上的投影向量.

＝|a|cos〈a，b〉baABDCA1B1ba.ONMM1空间向量的投影如图1.1-11(1)，在空间，向量

向向量

投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面

内，进而利用平面上向量

的投影，得到与向量共线的向量

，

，向量

称为向量

在向量上

的投影向量．AB(1)(2)(3)图1.1-11新知探究新知探究如图1.1-11(3)，向量

向平面

投影，就是分别由向量

的起点

和终点

作平面

的垂线，垂足分别为

，

，得到向量

，向量

称为向量

在平面

上的投影向量．这时，向量

，

的夹角就是向量

所在直线与平面

所成的角．AB(1)(2)(3)图1.1-11空间向量的投影追问（5）：类比平面向量数量积运算的运算律，空间向量的数量积运算有哪些运算律？如何证明？空间向量的数量积满足如下的运算律：（交换律）；,；

（分配律）.请同学们课后给出运算律的证明新知探究新知探究1.对于三个均不为0的数

，若

，则

．对于向量

，

，

，由

，你能得到

吗？如果不能，请举出反例．设

是非零向量，且

，求证：OBCA思考新知探究思考2.对于三个均不为0的数

，若

，则

(或

)．对于向量

，

，若

，能不能写成

（或

）的形式？3.对三个不为0的数

,有

,对于向量,,,

成立吗？为什么?

2.

不能！因为没有定义向量的除法运算.

3.不一定！两个向量的数量积为一个实数，(a·b)c和

a(b·c)分别表示与向量c和向量a共线的向量，它们不一定相等.向量的数量积运算没有结合律.新知应用ABCD新知应用ABCD新知应用规律方法(1)已知向量的模和夹角利用

并结合运算律进行计算．(2)在几何体中求空间向量的数量积先将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式．再利用向量的运算律将数量积展开，转化成已知模和夹角的向量的数量积．求数量积的两种情况及方法新知应用

如图，连接AG并延长，与BC交于点D，连接OG，∵点G是底面△ABC的重心，

新知应用

新知应用lmng分析新知应用lmng能力提升题型一空间向量数量积的运算例题能力提升题型一空间向量数量积的运算例题能力提升题型一空间向量数量积的运算例题能力提升题型一空间向量数量积的运算例题能力提升题型一空间向量数量积的运算例题能力提升题型一空间向量数量积的运算例题M能力提升题型一空间向量数量积的运算例题M新知应用方法总结空间向量数量积运算的求解方法利用定义,直接利用a·b=|a||b|cos<a,b>并结合运算律进行计算.利用图形,计算两个向量的数量积,可先将各向量移到同一顶点,利用图形寻找夹角,再代入数量积公式进行运算.利用向量分解,在几何体中进行向量的数量积运算时,要充分利用几何体的性质,把待求向量用已知夹角和模的向量表示后再进行运算.步骤:(1)首先将各向量分解成已知模和夹角的向量的线性组合形式;利用向量的运算律将数量积展开,转化为已知模和夹角的向量的数量积;代入a·b=|a||b|cos<a,b>求解.能力提升题型二利用数量积求解距离，角度等几何元素例题能力提升例题题型二利用数量积求解距离，角度等几何元素能力提升例题题型二利用数量积求解距离，角度等几何元素新知应用方法总结1．求空间向量的模有两种方法2．向量夹角与异面直线所成角新知应用方法总结能力提升例题题型二利用数量积求解距离，角度等几何元素能力提升例题题型二利用数量积求解距离，角度等几何元素新知应用规律方法利用空间向量解决垂直问题的方法(1)证明线线垂直的方法：证明线线垂直的关键是确定直线的方向向量，看方向向量的数量积是否为0来判断两直线是否垂直．(2)证明与空间向量a，b，c有关的向量m，n垂直的方法：先用向量a，b，c表示向量m，n，再求解向量m，n的数量积判断是否垂直．课堂小结作业布置巩固作业