必修函数复习教案

1,教学目标函数的表示法函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等等，注意判断一个图形是否是函数图象的依据；解析法：必须注明函数的定义域；图象法：描点法作图要注意：确定函数的定义域；化简函数的解析式；观察函数的特征；列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征.解析法便于算出函数值；列表法便于查出函数值；图象法便于量出函数值.分段函数：在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数，在不同的范围里求函数值时必须把自变量代入相应的表达式.分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而应写成函数值几种不同的表达式并用一个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况.分段函数是一个函数，不要把它误认为是几个函数；分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集.复合函数：如果y=f(u)(u∈M),u=g(x)(x∈A),则y=f\[g(x)\]=F(x)(x∈A)称为f、g的复合函数.7.函数的单调性增函数：设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是增函数.区间D称为y=f(x)的单调增区间.如果对于区间D上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1<x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是减函数.区间D称为y=f(x)的单调减区间.注意：函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；必须是对于区间D内的任意两个自变量x1、x2；当x1<x2时，总有f(x1)<f(x2).图象的特点：如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的.函数单调区间与单调性的判定方法：定义法，任取x1、x2∈D，且x1<x2；作差f(x1)-f(x2)；变形（通常是因式分解和配方）；定号（即判断差f(x1)-f(x2)的正负）；下结论（指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）.图象法(从图象上看升降)；复合函数的单调性，复合函数f\[g(x)\]的单调性与构成它的函数u=g(x)，y=f(u)的单调性密切相关，其规律如下：函数单调性u=g(x)增增减减y=f(u)增减增减y=f[g(x)]增减减增注意：函数的单调区间只能是其定义域的子区间,不能把单调性相同的区间合在一起写成其并集.2，例题1．(2009年高考江西卷改编)函数y＝eq\f(\r(－x2－3x＋4),x)的定义域为________．解析：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x2－3x＋4≥0，,x≠0，))⇒x∈[－4,0)∪(0,1]答案：[－4,0)∪(0,1]2．(2010年绍兴第一次质检)如图，函数f(x)的图象是曲线段OAB，其中点O，A，B的坐标分别为(0,0)，(1,2)，(3,1)，则f(eq\f(1,f(3)))的值等于________．解析：由图象知f(3)＝1，f(eq\f(1,f(3)))＝f(1)＝2.答案：23．(2009年高考北京卷)已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x，x≤1，,－x，x>1.))若f(x)＝2，则x＝________.解析：依题意得x≤1时，3x＝2，∴x＝log32；当x>1时，－x＝2，x＝－2(舍去)．故x＝log32.答案：log324．(2010年黄冈市高三质检)函数f：{1，eq\r(2)}→{1，eq\r(2)}满足f[f(x)]>1的这样的函数个数有________个．解析：如图．答案：15．(原创题)由等式x3＋a1x2＋a2x＋a3＝(x＋1)3＋b1(x＋1)2＋b2(x＋1)＋b3定义一个映射f(a1，a2，a3)＝(b1，b2，b3)，则f(2,1，－1)＝________.解析：由题意知x3＋2x2＋x－1＝(x＋1)3＋b1(x＋1)2＋b2(x＋1)＋b3，令x＝－1得：－1＝b3；再令x＝0与x＝1得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－1＝1＋b1＋b2＋b3,3＝8＋4b1＋2b2＋b3))，解得b1＝－1，b2＝0.答案：(－1,0，－1)6．已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,x)(x>1)，,x2＋1(－1≤x≤1)，,2x＋3(x<－1).))(1)求f(1－eq\f(1,\r(2)－1))，f{f[f(－2)]}的值；(2)求f(3x－1)；(3)若f(a)＝eq\f(3,2)，求a.解：f(x)为分段函数，应分段求解．(1)∵1－eq\f(1,\r(2)－1)＝1－(eq\r(2)＋1)＝－eq\r(2)<－1，∴f(－eq\r(2))＝－2eq\r(2)＋3，又∵f(－2)＝－1，f[f(－2)]＝f(－1)＝2，∴f{f[f(－2)]}＝1＋eq\f(1,2)＝eq\f(3,2).(2)若3x－1>1，即x>eq\f(2,3)，f(3x－1)＝1＋eq\f(1,3x－1)＝eq\f(3x,3x－1)；若－1≤3x－1≤1，即0≤x≤eq\f(3,2)，f(3x－1)＝(3x－1)2＋1＝9x2－6x＋2；若3x－1<－1，即x<0，f(3x－1)＝2(3x－1)＋3＝6x＋1.∴f(3x－1)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(3x,3x－1)(x>\f(2,3))，,9x2－6x＋2(0≤x≤\f(2,3))，,6x＋1(x<0).))(3)∵f(a)＝eq\f(3,2)，∴a>1或－1≤a≤1.当a>1时，有1＋eq\f(1,a)＝eq\f(3,2)，∴a＝2；当－1≤a≤1时，a2＋1＝eq\f(3,2)，∴a＝±eq\f(\r(2),2).∴a＝2或±eq\f(\r(2),2).3，作业1．(2010年广东江门质检)函数y＝eq\f(1,\r(3x－2))＋lg(2x－1)的定义域是________．解析：由3x－2>0,2x－1>0，得x>eq\f(2,3).答案：{x|x>eq\f(2,3)}2．(2010年山东枣庄模拟)函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－2x＋1，(x<－1)，,－3，(－1≤x≤2)，,2x－1，(x>2)，))则f(f(f(eq\f(3,2))＋5))＝_.解析：∵－1≤eq\f(3,2)≤2，∴f(eq\f(3,2))＋5＝－3＋5＝2，∵－1≤2≤2，∴f(2)＝－3，∴f(－3)＝(－2)×(－3)＋1＝7.答案：73．定义在区间(－1,1)上的函数f(x)满足2f(x)－f(－x)＝lg(x＋1)，则f(x解析：∵对任意的x∈(－1,1)，有－x∈(－1,1)，由2f(x)－f(－x)＝lg(x＋1)，由2f(－x)－f(x)＝lg(－x＋1)，①×2＋②消去f(－x)，得3f(x)＝2lg(x＋1)＋lg(－x∴f(x)＝eq\f(2,3)lg(x＋1)＋eq\f(1,3)lg(1－x)，(－1<x<1)．答案：f(x)＝eq\f(2,3)lg(x＋1)＋eq\f(1,3)lg(1－x)，(－1<x<1)4．设函数y＝f(x)满足f(x＋1)＝f(x)＋1，则函数y＝f(x)与y＝x图象交点的个数可能是________个．解析：由f(x＋1)＝f(x)＋1可得f(1)＝f(0)＋1，f(2)＝f(0)＋2，f(3)＝f(0)＋3，…本题中如果f(0)＝0，那么y＝f(x)和y＝x有无数个交点；若f(0)≠0，则y＝f(x)和y＝x有零个交点．答案：0或无数5．设函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2(x＞0),x2＋bx＋c(x≤0)))，若f(－4)＝f(0)，f(－2)＝－2，则f(x)的解析式为f(x)＝________，关于x的方程f(x)＝x的解的个数为________个．解析：由题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(16－4b＋c＝c,4－2b＋c＝－2))eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b＝4,c＝2))，∴f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2(x＞0),x2＋4x＋2(x≤0))).由数形结合得f(x)＝x的解的个数有3个．答案：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2(x＞0),x2＋4x＋2(x≤0)))36．设函数f(x)＝logax(a＞0，a≠1)，函数g(x)＝－x2＋bx＋c，若f(2＋eq\r(2))－f(eq\r(2)＋1)＝eq\f(1,2)，g(x)的图象过点A(4，－5)及B(－2，－5)，则a＝__________，函数f[g(x)]的定义域为__________．答案：2(－1,3)7．(2009年高考天津卷改编)设函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－4x＋6，x≥0,x＋6，x<0))，则不等式f(x)>f(1)的解集是________．解析：由已知，函数先增后减再增，当x≥0，f(x)>f(1)＝3时，令f(x)＝3，解得x＝1，x＝3.故f(x)>f(1)的解集为0≤x<1或x>3.当x<0，x＋6＝3时，x＝－3，故f(x)>f(1)＝3，解得－3<x<0或x>3.综上，f(x)>f(1)的解集为{x|－3<x<1或x>3}．答案：{x|－3<x<1或x>3}8．(2009年高考山东卷)定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(log2(4－x)，x≤0，,f(x－1)－f(x－2)，x＞0，))则f(3)的值为________．解析：∵f(3)＝f(2)－f(1)，又f(2)＝f(1)－f(0)，∴f(3)＝－f(0)，∵f(0)＝log24＝2，∴f(3)＝－2.答案：－29．有一个有进水管和出水管的容器，每单位时间进水量是一定的，设从某时刻开始，5分钟内只进水，不出水，在随后的15分钟内既进水，又出水，得到时间x与容器中的水量y之间关系如图．再随后，只放水不进水，水放完为止，则这段时间内(即x≥20)，y与x之间函数的函数关系是________．解析：设进水速度为a1升/分钟，出水速度为a2升/分钟，则由题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(5a1＝20,5a1＋15(a1－a2)＝35))，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝4,a2＝3))，则y＝35－3(x－20)，得y＝－3x＋95，又因为水放完为止，所以时间为x≤eq\f(95,3)，又知x≥20，故解析式为y＝－3x＋95(20≤x≤eq\f(95,3))．答案：y＝－3x＋95(20≤x≤eq\f(95,3))10．函数f(x)＝eq\r((1－a2)x2＋3(1－a)x＋6).(1)若f(x)的定义域为R，求实数a的取值范围；(2)若f(x)的定义域为[－2,1]，求实数a的值．解：(1)①若1－a2＝0，即a＝±1，(ⅰ)若a＝1时，f(x)＝eq\r(6)，定义域为R，符合题意；(ⅱ)当a＝－1时，f(x)＝eq\r(6x＋6)，定义域为[－1，＋∞)，不合题意．②若1－a2≠0，则g(x)＝(1－a2)x2＋3(1－a)x＋6为二次函数．由题意知g(x)≥0对x∈R恒成立，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－a2>0，,Δ≤0，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－1<a<1，,(a－1)(11a＋5)≤0，))∴－eq\f(5,11)≤a<1.由①②可得－eq\f(5,11)≤a≤1.(2)由题意知，不等式(1－a2)x2＋3(1－a)x＋6≥0的解集为[－2,1]，显然1－a2≠0且－2,1是方程(1－a2)x2＋3(1－a)x＋6＝0的两个根．∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－a2<0，,－2＋1＝\f(3(1－a),a2－1)，,－2＝\f(6,1－a2)，,Δ＝[3(1－a)]2－24(1－a2)>0))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<－1或a>1，,a＝2，,a＝±2.,a<－\f(5,11)或a>1))∴a＝2.11．已知f(x＋2)＝f(x)(x∈R)，并且当x∈[－1,1]时，f(x)＝－x2＋1，求当x∈[2k－1,2k＋1](k∈Z)时、f(x)的解析式．解：由f(x＋2)＝f(x)，可推知f(x)是以2为周期的周期函数．当x∈[2k－1,2k＋1]时，2