2024北京顺义初三（上）期末数学试卷（含答案解析）

第1页/共1页2024北京顺义初三（上）期末数学考生须知：1.本试卷共8页，共三道大题，28道小题.满分100分.考试时间120分钟.2.在答题卡上准确填写学校、班级、姓名和准考证号.3.试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效.4.在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答.5.考试结束，将答题卡交回.一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.1.实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（）A. B. C. D.2.在中，，则等于（）A. B. C. D.3.将二次函数化为的形式，则所得表达式为（）A. B. C. D.4.如图，在中，弦相交于点P，，，则的度数为（）A. B. C. D.5.如图，D是的边AB上一点（不与点A，B重合），若添加一个条件使，则这个条件不可以是（）A. B. C. D.6.对于反比例函数，下列说法正确的是（）A.它的图象分布在第二、第四象限 B.点在它的图象上C.当时，y随x的增大而减小 D.当时，y随x的增大而增大7.已知.如图，（1）连接；（2）作弦的垂直平分线，分别交，弦于C，D两点；（3）作线段的垂直平分线，，分别交于E，F两点，交弦于G，H两点；（4）连接根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（）A. B.C. D.8.学习解直角三角形时，小明编了这样一道题：已知：在中，，，，解这个直角三角形.从同学们的解答思路中节选出以下四个步骤：①由的度数，根据直角三角形的性质得到的度数；②由，的值，根据的正切值得到的度数；③由，的值，根据勾股定理得到的值；④由，的值，根据的余弦值得到的度数.请你从中选择三个步骤并排序，形成完整的解上述直角三角形的思路，则下列排序错误的是（）A.③④① B.④①③ C.②①③ D.③②①二、填空题（共16分，每题2分）9.若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是___________．10.若将抛物线向右平移2个单位长度，则所得抛物线的表达式为______.11.如图，直线交于点O，．若，，．则的值为______．12.物理课上我们学习过凸透镜成像规律．如图，蜡烛AB的高为，蜡烛与凸透镜的距离为，蜡烛的像与凸透镜的距离为，则像的高为______．13.如图，分别与相切于A，B两点，C是优弧上的一个动点，若，则______．14.已知二次函数的部分图象如图所示，写出一个满足不等式的x的值，这个值可以是______.15.在平面直角坐标系中，点在双曲线上，点在双曲线上，则的值为______．16.已知，是抛物线上两点，下面有四个推断：①该抛物线与x轴有两个交点；②若该抛物线开口向下，则它与y轴的交点一定在y轴的负半轴上；③若该抛物线开口向下，则它的对称轴在直线右侧；④若该抛物线开口向上，则在A，B两点中，点B到它的对称轴距离较小.所有正确推断的序号是______.三、解答题（共68分，第17-18题，每题5分，第19题6分，第20-21题，每题5分，第22题6分，第23-24题，每题5分，第25-26题，每题6分，第27-28题，每题7分）17.解不等式组：.18.计算：.19.已知，求代数式的值.20.如图，平分，.（1）求证：；（2）若，，求的长.21.如图，抛物线与x轴交于点，点．（1）求二次函数的解析式；（2）直接写出时，自变量x的取值范围．22.在一次数学综合实践活动中，某数学小组的同学们一起测量一座小山的高度．如图，在点A处测得山顶E的仰角为，向山的方向前进，在点C处测得山顶E的仰角为，已知观测点A，C到地面的距离，．求小山的高度（精确到）．（参考数据：，，，）23.如图，是的直径，于点E，.（1）求证：；（2）若的半径为2，求，的长.24.正面双手前掷实心球是发展学生力量和协调性的运动项目之一.实心球出手后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，从出手到着地的过程中，实心球的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系.小明进行了三次训练.（1）第一次训练时，实心球的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下：水平距离x/m0123456789竖直高度y/m22.73.23.53.63.53.22.721.1根据上述数据，求出满足的函数关系，并求出实心球着地点的水平距离；（2）第二次、第三次训练时，实心球的竖直高度y与水平距离x的函数图象的一部分如图所示，其中A，B分别为第二次、第三次训练抛物线的顶点.记小明第二、三次训练时实心球着地点的水平距离分别为，，则，，的大小关系为______.25.如图，为的弦，点C为的中点，的延长线交于点D，连接，过点D作的切线交的延长线于点E.（1）求证：；（2）若的半径为3，，求的长.26.在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧）．（1）若，求抛物线的对称轴及A，B两点的坐标；（2）已知点，，在该抛物线上，若，，中有且仅有一个大于0，求a的取值范围．27.在菱形中，，点P是对角线上一点（不与点A重合），点E，F分别是边上的点，且，射线分别与的延长线交于点M，N．（1）如图1，若点P与C重合，且平分，求证：；（2）连接，若，，且不平分．①依题意补全图2；②用等式表示线段的数量关系，并证明．28.在平面直角坐标系中，有如下定义：对于图形、，若存在常数d，使得图形上的任意一点P，在图形上至少能找到一个点Q，满足，则称图形是图形的“映图”，d是关于的“映距”．（1）如图，点，，，，，，，．在线段，，中，线段的映图是______．（2）的半径为1．①求关于直线的“映距”的最小值；②若直线被坐标轴所截的线段是的映图，直接写出m的取值范围．

参考答案一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.1.【答案】D【分析】本题考查实数与数轴，掌握数轴上右边的数总比左边的大是解题的关键．根据实数a对应的点在左侧，右侧判断A、B选项；根据数轴上右边的数总比左边的大判断C、D选项．【详解】解：A选项，，故该选项不符合题意；B选项，，故该选项不符合题意；C选项，在和之间，，故该选项不符合题意；D选项符合题意；故选：D．2.【答案】A【分析】本题主要考查了余弦的定义，解题的关键是掌握直角三角形中，余弦等于邻边与斜边的比．【详解】解：∵，∴，故选：A．3.【答案】B【分析】本题主要考查了将二次函数解析式化为顶点式，解题的关键是熟练掌握将二次函数解析式化为顶点式的方法和步骤，以及完全平方公式．【详解】解：，故选：B．4.【答案】D【分析】本题考查圆周角定理，三角形外角的性质等知识，解题的关键是掌握圆周角定理，属于中考常考题型．利用圆周角定理以及三角形的外角的性质解决问题．【详解】解：，，，，故选：D．5.【答案】C【分析】本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．利用相似三角形的判定方法依次判断可求解．【详解】解：若，且，则，故选项A不符合题意；若，且，则，故选项B不符合题意；若，且，则无法证明，故选项C符合题意；若，且，则，故选项D不符合题意；故选：C．6.【答案】C【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解答本题的关键，根据反比例函数的图象与性质，对各选项逐一分析即可．【详解】选项A，因为，所以图象在第一、第三象限，不符合题意；选项B，对于反比例函数，当时，，所以点不在它的图象上，不符合题意；选项C，对于反比例函数，当时，图象在第一象限内，所以y随x的增大而减小，符合题意；选项D，对于反比例函数，当时，图象在第三象限内，所以y随x的增大而减小，不符合题意．故选C．7.【答案】B【分析】本题考查作图复杂作图，线段的垂直平分线等知识，解题的关键是读懂图象信息．本题考查作图复杂作图，线段的垂直平分线等知识，解题的关键是读懂图象信息．【详解】解：由作图可知，，，∵垂直平分弦，∴，且直线过圆心，∵，分别垂直平分线段，∴，∴，∴，∴，，且，∴四边形是矩形，，故选项A，C，D正确，故选：B．8.【答案】B【分析】本题考查了三角函数解直角三角形，勾股定理，熟练掌握三角函数的定义是解决本题的关键．【详解】解：A.由，的值，根据勾股定理得到的值，再由的余弦值得到的度数，进而求出的度数，选项排序正确，不符合题意；B.条件④需要知道的值，才能得到的余弦值，而的值并没有计算出来，由此可知选项排序错误，符合题意；C.由，的值，根据的正切值得到的度数，进而求出的度数，再由，的值，根据勾股定理得到的值，选项排序正确，不符合题意；D.由，的值，根据勾股定理得到的值，再由，的值，根据的正切值得到的度数，进而求出的度数；故选：B．二、填空题（共16分，每题2分）9.【答案】【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，列出不等式进行求解即可，掌握二次根式被开方数是非负数是解答本题的关键．【详解】解：在实数范围内有意义，，，故答案为：．10.【答案】或【分析】本题考查了二次函数图象的平移，根据“左加右减，上加下减”即可得，掌握二次函数图象平移的规律是解题的关键．【详解】解：根据题意得，故答案为：或．11.【答案】【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例．根据平行线分线段成比例，可得，即可求解．【详解】解：∵，∴，∵，，，∴，∴．故答案为：．12.【答案】【分析】本题考查相似三角形的判定与性质的实际应用及分析问题、解决问题的能力．利用数学知识解决实际问题是中学数学的重要内容．解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题．根据相似三角形的判定与性质求解即可．【详解】解：，，，,的高为,为,为,，故答案为：13.【答案】52【分析】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，四边形内角和定理，，连接，由切线的性质得到，由四边形内角和定理得到，则由圆周角定理可得．【详解】解；如图所示，连接，∵分别与相切于A，B两点，∴，∵，∴，∴，故答案为：．14.【答案】1（答案不唯一）【分析】本题考查了二次函数与不等式组，数形结合是解题的关键．先求出时的的值，然后结合图象求解即可．【详解】解：由图象可知，当时，，当时，．不等式的解为满足不等式的的值可以是1．故答案为：1（答案不唯一）．15.【答案】0【分析】本题考查了反比例函数解析式，代数式求值．熟练掌握反比例函数解析式，代数式求值是解题的关键．由题意知，，，然后代值求解即可．【详解】解：∵点在双曲线上，点在双曲线上，∴，，∴，故答案为：0．16.【答案】①③④【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，设抛物线的解析式，将点，代入得计算得，，则，根据得，抛物线与x轴有两个交点，故①正确；根据得，若该抛物线开口向下，则它与y轴的交点在y轴的负半轴上或y轴的正半轴上，故②错误；故居得，故居得，则若该抛物线开口向下，则它的对称轴在直线右侧，故③正确；故居得，则当，在对称轴两侧，y随x的增大而增大，点B关于直线对称的点，故点B到它的对称轴距离较小，故④正确；综上，即可得．【详解】解：设抛物线的解析式为，将点，代入得，，，∴∵，∴，∴抛物线与x轴有两个交点，故①正确；∵，∴，∴，∴若该抛物线开口向下，则它与y轴的交点在y轴的负半轴上或y轴的正半轴上，故②错误；∵，∴，∵，∴，∴若该抛物线开口向下，则它的对称轴在直线右侧，故③正确；∵，∴，∴当，在对称轴两侧，y随x的增大而增大，点B关于直线对称的点，故点B到它的对称轴距离较小，故④正确；综上，①③④正确，故答案为：①③④．三、解答题（共68分，第17-18题，每题5分，第19题6分，第20-21题，每题5分，第22题6分，第23-24题，每题5分，第25-26题，每题6分，第27-28题，每题7分）17.【答案】【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组．分别求出两个不等式的解集，再根据“同大取大，同小取小大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”即可求解．【详解】解：解不等式，得，解不等式，得，∴不等式组的解集为．18.【答案】3【分析】本题考查的是实数的运算，零指数幂的计算法则、特殊角的三角函数值，根据运算法则分别计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可．【详解】解：19.【答案】【分析】本题考查了整式的化简求值，能正确根据整式的运算法则进行计算是解此题的关键．先根据完全平方公式和多项式乘多项式进行计算，合并同类项，求出，最后代入求出答案即可．【详解】原式∵，∴，原式20.【答案】（1）证明见解析（2）【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，解题关键是要懂得找相似三角形，利用相似三角形的性质求解．（1）利用两角法证得结论；（2）根据相似三角形的对应边成比例列出比例式，代入相关数值计算．【小问1详解】证明：平分，．，；【小问2详解】解：，．，，．．21.【答案】（1）（2）或【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式及二次函数与不等式；（1）利用待定系数法即可求解；（2）根据交点坐标即可求解；熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键．【小问1详解】解：∵抛物线与x轴交于点，点，∴，解得∴．【小问2详解】∵抛物线与x轴交于点，点，其开口向上，∴当时，自变量x的取值范围为：或．22.【答案】【分析】本题考查了解直角三角形的应用中的仰角俯角问题，要求借助仰角构造直角三角形是解题的关键．【详解】解：依题意可知，，，∴，∴，在中，，∴，∴．23.【答案】（1）见解析（2）；【分析】本题主要考查垂径定理，弧长公式，含30度角的直角三角形的性质：（1）根据垂径定理可得，根据同弧所对的圆心角相等，可得；（2）先证，，相等且度数都是，再证，根据30度角所对的直角边等于斜边的一半可求，根据弧长公式可求的长．【小问1详解】证明：∵是的直径，于点E，∴，∴.【小问2详解】解：∵是的直径，于点E，∴，又∵，∴，，相等且度数都是，∴，∴，∵，∴，在中，，，∴，的长．24.【答案】（1）（2）【分析】本题考查二次函数的应用，待定系数法求函数关系式，实数大小比较，解题的关键是读懂题意，能够从表格中获取有用信息列出函数关系式．（1）先根据表格中的数据找到顶点坐标，即可得出实心球竖直高度的最大值；选出表格中的数据，利用待定系数法即可求出函数解析式；再令求出的值即可；（2）根据三次投掷实心球所得抛物线的对称轴和抛物线都过点，由函数的对称性得出结论．【小问1详解】根据表格中的数据可知，抛物线的顶点坐标为，抛物线的解析式可表示为：，当时，，，解得，函数解析式为；令，则，解得，（舍去），，实心球着地点的水平距离为10米；【小问2详解】根据图象知，第二次、第三次抛物线的对称轴分别为直线和直线，三次抛物线都过点，，小明第一、第二、三次训练时实心球着地点的水平距离，故答案为：．25.【答案】（1）证明见解析（2）4【分析】本题考查切线的性质，勾股定理，解直角三角形，垂径定理的推论及平行线的判定，关键是由勾股定理得到，求出的长．（1）由垂径定理的推论推出，由切线的性质得到，即可证明；（2）由，令,得到，由勾股定理得到，求出，得到，由相似三角形的判定与性质得到，代入有关数据即可求出长．【小问1详解】证明：∵C为弦中点，的延长线交于点D，∴.是的切线，∴.∴.【小问2详解】解：在中，，故设，，∵的半径为3，∴，在中，，解得.，∵，，∴.∴，解得.26.【答案】（1），，对称轴：直线．（2），．【分析】本题考查抛物线与x轴交点、二次函数的图象与性质等知识，解题的关键是理解题意，学会分类讨论，属于中考常考题型．（1）将代入二次函数，求得二次函数解析式，再令，解方程即可得出抛物线的对称轴及A，B两点的坐标；（2）将抛物线解析式整理成顶点式，再令，解方程即可得出抛物线与x轴交点坐标，最后根据二次函数图象与性质进行分类讨论即可．【小问1详解】将代入二次函数，得：，令，得，解得：，，，对称轴：直线．【小问2详解】将抛物线解析式整理得．令，得，解得：，∴抛物线与x轴交点坐标分别为，．∵抛物线开口向上，且，∴结合图象可知．∵，，中有且只有一个大于零，．∴①当时，．，解得．②当时，．，解得．综上所述，，．27.【答案】（1）证明见解析（2）①补全图见解析；②，证明见解析．【分析】（1）由点P与C重合，且平分，得，由菱形的性质得，，所以和都是等边三角形，则，所以，而，即可根据“”证明，得；（2）①按题中所给条件补全图形即可；②作于点H，由，得，，而，可证明，所以，则，所以，因为，所以，则，因为，所以，即可证明．【小问1详解】证明：平分，∴∵菱形，∴，又∵，∴，∵，∴，∴．【小问2详解】①如图补全图．②数量关系：，证明：过P作与H，∵，，∴，∵菱形，，∴为等边三角形，∴，∴，∴∵菱形，，∴，∴，∵，∴，∴，∴∴，∴，∴【点睛】此题重点考查菱形的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、锐角三角函数与解直角三角形等知识与方法，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题．28.【答案】（1）、．（2）①4；②或【分析】（1）根据坐标得，且平行线之间的距离相等，结合“映图”定义有线段的“映图”大于或等于，即可求答案；（2）①根据直线得，有，过O作MN的垂线交与，，交于点Q，可得，进一