2024-2025学年年七年级数学人教版下册专题整合复习卷12.3 等腰三角形 课课练(含答案)-

2024-2025学年年七年级数学人教版下册专题整合复习卷12.3等腰三角形课课练(含答案)-12.3等腰三角形第1课时◆名师导航本课重点内容是等腰三角形的两个重要性质：性质1，等腰三角形的两个底角相等；性质2，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．实际上，由于等腰三角形是轴对称图形，可以发现等腰三角形中许多相等的线段或角，如两底角平分线、两腰的中线、两腰的高，以及教科书安排的“讨论”栏目中提到的一些线段和角等，这些结论用全等三角形和等腰三角形的性质可以比较容易的证明．◆典例精析【例1】（2007年重庆市）已知一个等腰三角形两内角的度数之比为1∶4，则这个等腰三角形顶角的度数为（）（A）200（B）1200（C）200或1200（D）360【思路点拨】结合等腰三角形底角相等的性质，要分类讨论该三角形三个内角的比可能为1：1：4或1：4：4，于是这个三角形顶角可为200或1200．【简解】C．【规律总结】本题是一道经典考题，主要考查三角形内角和定理及分类讨论的思想意识．【例2】如图所示，Rt△ABC中，是直角，D是AB上的一点，BD=BC，过D点作AB的垂线交AC于点．，CD、B．交于点F，求证：．【思路点拨】由已知得△BDC是等腰三角形，要证，只要证BF是顶角的平分线或是底边CD上的中线，所以只要证，或证DF=FC即可．已知，可从证入手．【证明】【规律总结】本题主要考查三角形全等、等腰三角形三线合一等知识的综合运用．在运用三线合一性质时，通常是证明在等腰三角形中，顶角的平分线、底边上的中线，底边上的高三条中具有一条性质时，则它必同时具有另两条性质，而不是证这三条线段重合，在证题时不能混淆．◆跟踪训练1．等腰三角形的对称轴是（）A．顶角的平分线B．底边上的高C．底边上的中线D．底边上的高所在的直线2．等腰三角形有两条边长为4cm和9cm，则该三角形的周长是（）A．17cmB．22cmC．17cm或22cmD．18cm3．等腰三角形的顶角是80°，则一腰上的高与底边的夹角是（）A．40°B．50°C．60°D．30°4．等腰三角形的一个外角是80°，则其底角是（）A．100°B．100°或40°C．40°D．80°5．如图，C、E和B、D、F分别在∠GAH的两边上，且AB=BC=CD=DE=EF，若∠A=18°，则∠GEF的度数是（）A．80°B．90°C．100°D．108°6．等腰△ABC的底角是60°，则顶角是________度．7．等腰三角形“三线合一”是指___________．8．等腰三角形的顶角是n°，则两个底角的角平分线所夹的钝角是_________．9．如图，△ABC中AB=AC，EB=BD=DC=CF，∠A=40°，则∠EDF的度数是_____．10．△ABC中，AB=AC．点D在BC边上.（1）∵AD平分∠BAC，∴_______=________；________⊥_________；（2）∵AD是中线，∴∠________=∠________；________⊥________；（3）∵AD⊥BC，∴∠________=∠_______；_______=_______．参考答案1．D2．B3．A4．C5．B6．607．等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角的平分线互相重合8．（90+n）°9．70°10．略12.3等腰三角形第2课时◆名师导航本课的重点是探究了等腰三角形的判定方法：等角对等边．这也是证明两条线段相等的重要方法，它是把三角形中角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据，同学们注意掌握这个技能，这也是全章重点所在．另外还要注意体会的是“等边对等角”与“等角对等边”是不一样的两个结论，它们的题设与结论正好相反，实际上是互逆命题，也前面平行线的判定与性质及全等三角形的判定与性质类似，具体应用时要注意不能混淆，这也是一个难点．◆典例精析【例题】如图，△ABC中，AB=AC，过BC上一点D作BC的垂线，交BA的延长线于P，交AC于Q，试判断△APQ的形状，并证明你的结论.【思路点拨】判断三角形的形状，其探索思路是根据图形结合我们学习过的特殊的三角形（如等腰三角形，等边三角形，直角三角形等）进行探究.【解析】△APQ是等腰三角形.证明：因为AB=AC，所以∠B=∠C，又PD⊥BC，所以∠BDP=∠PDC，所以∠P=∠DQC，又因为∠DQC=∠AQP，所以∠AQP=∠P，所以△APQ为等腰三角形.【规律总结】解决和等腰三角形有关的探索型试题，需要根据等腰三角形的特征，结合已知条件进行.◆跟踪训练1．如图1，已知OC平分∠AOB，CD∥OB，若OD=3cm，则CD等于（）A．3cmB．4cmC．1.5cmD．2cm（1）(2)(3)2．△ABC中AB=AC，∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于D，则图中的等腰三角形有（）A．1个B．2个C．3个D．4个3．如图2，△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点F，过点F作DE∥BC交AB于点D，交AC于点E，那么下列结论：①△BDF和△CEF都是等腰三角形；②DE=BD+CE；③△ADE的周长等于AB与AC的和；④BF=CF．其中正确的有（）A．①②③B．①②③④C．①②D．①4．如图3，Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，角平分线AE交CD于H，EF⊥AB于F，则下列结论中不正确的是（）A．∠ACD=∠BB．CH=CE=EFC．CH=HDD．AC=AF二、填空题5．△ABC中，∠A=65°，∠B=50°，则AB：BC=_________．6．已知AD是△ABC的外角∠EAC的平分线，要使AD∥BC，则△ABC的边一定满足________．7．△ABC中，∠C=∠B，D、E分别是AB、AC上的点，AE=2cm，且DE∥BC，则AD=________．8．一灯塔P在小岛A的北偏西25°，从小岛A沿正北方向前进30海里后到达小岛，此时测得灯塔P在北偏西50°方向，则P与小岛B相距________．三、解答题9．如图，已知AB=AC，E、D分别在AB、AC上，BD与CE交于点F，且∠ABD=∠ACE，求证：BF=CF．10．如图，△ABC中BA=BC，点D是AB延长线上一点，DF⊥AC于F交BC于E，求证：△DBE是等腰三角形．参考答案1．A2．C3．A4．C5．16．AB=AC7．2cm8．30海里9．连接BC，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，又∵∠ABD=∠ACE，∴∠FBC=∠FCB，∴FB=FC10．证明∠D=∠BED12.3等腰三角形第3课时◆名师导航本课重点是等边三角形的性质、判定方法及直角三角形的一个性质．等边三角形是一种特殊的等腰三角形，它的性质实际上也是等边对等角问题，由于它三条边都相等，于是它的三个角都相等为60度；第一个判定正三角形的方法也是等角对等边的问题，只是三个角都相等，所对的三个边都相等，从而它是等边三角形，第2个判定方法告诉我们，在等腰三角形中，只要有一个角为60度，不论这个角是顶角还是底角，这个三角形就是等边三角形，这也给证明三角形中边相等带来方便．◆典例精析【例题】已知△ABC为等边三角形，在图①中，点M是线段BC上任意一点，点N线段CA上任意一点，且BM=CN，直线BN与AM相交于Q点．（1）请猜一猜：图①中∠BQM等于多少度？（2）若M、N两点分别在线段BC、CA的延长线上，其它条件不变，如图②所示，（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请加以证明；如不成立，请说明理由．【思路点拨】（1）题通过猜想、测量或证明等方法不难发现∠BQM=60°，而且这一结论在图形发生变化后仍然成立．【简解】（1）∠BQM=60°；（2）题的证明思路如下：先证△ACM≌△BAN，得到∠M=∠N，所以∠BQM=∠N+∠QAN=∠M+∠CAM=∠ACB=60°．【规律总结】随着几何学习的深入，经常会出现规律探究题，要求同学们在运动变化中探求图形某些不变的性质或变化的规律，培养同学们运动变化的观念，以及发现和解决问题的能力．◆跟踪训练1．正△ABC的两条角平分线BD和CE交于点I，则∠BIC等于（）A．60°B．90°C．120°D．150°2．下列三角形：①有两个角等于60°；②有一个角等于60°的等腰三角形；③三个外角（每个顶点处各取一个外角）都相等的三角形；④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形．其中是等边三角形的有（）A．①②③B．①②④C．①③D．①②③④3．如图，D、E、F分别是等边△ABC各边上的点，且AD=BE=CF，则△DEF的形状是（）A．等边三角形B．腰和底边不相等的等腰三角形C．直角三角形D．不等边三角形第3题第5题4．Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠B=30°，AD=2cm，则AB的长度是（）A．2cmB．4cmC．8cmD．16cm5．如图，E是等边△ABC中AC边上的点，∠1=∠2，BE=CD，则对△ADE的形状最准备的判断是（）A．等腰三角形B．等边三角形C．不等边三角形D．不能确定形状6．△ABC中，AB=AC，∠A=∠C，则∠B=_______．7．已知AD是等边△ABC的高，BE是AC边的中线，AD与BE交于点F，则∠AFE=______．8．等边三角形是轴对称图形，它有______条对称轴，分别是_____________．9．△ABC中，∠B=∠C=15°，AB=2cm，CD⊥AB交BA的延长线于点D，则CD的长度是_______．10．已知D、E分别是等边△ABC中AB、AC上的点，且AE=BD，求BE与CD的夹角是多少度？参考答案1．C2．D3．A4．C5．B6．60°7．60°8．三；三边的垂直平分线9．1cm10．60°或120°12.3等腰三角形第4课时◆名师导航本课安排一节习题课，综合应用等腰三角形的性质、判定与等边三角形的性质与判定，还有直角三角形的一个重要性质，灵活地选择性质进行求解．◆典例精析【例题】如图所示，P、Q是△ABC边BC上的两点，且BP=PQ=QC=AP=AQ，求的度数．【思路点拨】由已知△APQ为等边三角形，故可求得它的外角的度数，又由等腰三角形的性质求得底角的度数．【解析】（等边三角形三个角都为60°）（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和）．【规律总结】（1）几何计算的目的通常是找量与量的关系，等腰三角形的两底角相等，等边三角形三内角均为60°，等腰三角形三线合一的性质等都是建立量与量的关系的依据．（2）几何计算通常用列方程（组）来解决．◆跟踪训练1．如图，等腰三角形中，，∠=44°，⊥于，则∠等于（）A．44°B．68°C．46°D．22°ＡＡＢＤＣAADCＢ第1题第3题第4题2．已知∠AOB=30°，点P在∠AOB内部，P1与P关于OB对称，P2与P关于OA对称，则P1，O，P2三点所构成的三角形是（）A．直角三角形 B．钝角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形3．如图所示，在等腰三角形中，，，那么底边上的高cm．4．（教材变型题）如图,是屋架设计图的一部分,点D是斜梁AB的中点,立柱BC、DE垂直于横梁AC,BC=4m,∠A=30°,则DE等于()(A)1m(B)2m(C)3m(D)4m5．如图，中，，，垂直平分，则的度数为（）Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．第5题第7题一个等腰三角形的两边分别为8cm和6cm，则它的周长为cm．7．聪明的亮亮用含有的两个完全相同的三角板拼成如图所示的图案，并发现图中有等腰三角形，请你帮他找出两个等腰三角形．8．已知等腰三角形中，为边上一点，连接，若和都是等腰三角形，则的度数是．AFCDHBAFCDHBMEG10．如图所示，A，B是4×5网格中的格点，网格中的每个小正方形的边长都是1．请在图中清晰标出使以A，B，Ｃ为顶点的三角形是等腰三角形的所有格点Ｃ的位置．参考答案1．D2．D3．64．B5．Ｄ6．22或207．8．或9．3ABABCCC达标训练一、基础·巩固·达标1.等腰△ABC中，顶角∠A＝40°，则一个底角∠B＝________.2.2010上海模拟等腰三角形底边上的高等于腰长的一半，则底角等于________度.3.已知等腰三角形的一个角的补角是100°，那么这个等腰三角形的三个内角分别为________.4.等腰三角形的两边分别为5cm和8cm，则它的周长为________.5.如图14-3-12，△ABC是等边三角形，AB＝5cm，AD⊥BC，DE⊥AB，DF⊥AC，则∠BAD＝________，∠ADF＝________，BD＝________，∠EDF＝________.图14-3-12图14-3-13图14-3-146.如图14-3-13，已知在△ABC中，AB＝AC，D为AB上一点，且AD＝CD＝BC，则∠B＝________，∠ACD＝________.若点D到BC的距离为1cm，那么点D到AC的距离为________.7.如图14-3-14，已知AB＝AC，∠A＝40°，AB的垂直平分线MN交AC于点D，则∠DBC＝________.8.等腰三角形的底角为15°，腰长为2acm，则三角形的面积为________.9.如图14-3-15，△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD、CE分别为∠ABC和∠ACB的平分线，且相交于F，则图中的等腰三角形的个数是（）A.6B.7C.8D.9图14-3-15图14-3-1610.如图14-3-16，等腰三角形ABC中，AB=AC，∠A=44°，CD⊥AB于D，则∠DCB等于（）A.44°B.68°C.46°D.22°二、综合·应用·创新11.如图14-3-17，已知在△ABC中，AB=AC，O是△ABC内一点，且AO⊥BC,求证:OB＝OC.图14-3-1712.如图14-3-18是一座斜拉桥的剖面图.BC是桥路面，AD是桥墩，设计大桥时工程师要求斜拉的钢绳AB等于AC.大桥建成后，工程技术人员要对大桥质量进行验收，由于桥墩AD很高，无法直接测量钢绳AB、AC的长度.请你用两种不同的方法检验AB、AC的长度是否相等？（检验工具为刻度尺、量角器；检验时，人只能站在桥面上）图14-3-1813.如图14-3-19，在一个房间内，有一个梯子斜靠在墙上，梯子顶端距地面的垂直距离MA为a米，此时梯子的倾斜角为75°.若梯子底端距离地面的垂直距离NB为b米，梯子的倾斜角为45°.则这间房子的宽AB是米.图14-3-1914.如图14-3-20，已知△ABC为等边三角形，D、E、F分别在边BC、CA、AB上，且△DEF也是等边三角形.（1）除已知相等的边以外，请你猜想还有哪些相等线段，并证明你的猜想是正确的；（2）你所证明相等的线段，可以通过怎样的变化相互得到？写出变化过程.图14-3-2015.如图14-3-21，已知在△ABC中，AB＝AC，BD＝BC，AD＝DE＝BE.求∠A的度数.图14-3-2116.某校计划将一块形状为等边三角形的土地分成四块形状为等腰三角形的土地，每一块地三、回顾·热身·展望17.浙江金华模拟如图14-3-22是跷跷板的示意图，支柱OC与地面垂直，点O是横板AB的中点，AB可以绕着点O上下转动，当Ａ端落地时，∠OAC＝20°，横板上下可转动的最大角度（即∠A′OA）是（）图14-3-22A.80°B.60°C.40°D.20°18.2010安徽阜阳模拟模拟下面是两位学生的探讨过程：学习了等腰三角形内容后，李老师布置了一道题：等腰三角形上的高与另一腰的夹角为30°，求顶角的度数.小王说：“顶角的度数应为60°”；小张说：“应该等于120°吧”.这时许多同学一起来议论……（1）假如你也参加了讨论，你的意见如何？为什么？（2）通过上面问题的讨论，结合平时的学习，写写自己的想法.（用一句话表示）参考答案一、基础·巩固·达标1.等腰△ABC中，顶角∠A＝40°，则一个底角∠B＝________.答案：70°2.2010上海模拟等腰三角形底边上的高等于腰长的一半，则底角等于________度.答案：303.已知等腰三角形的一个角的补角是100°，那么这个等腰三角形的三个内角分别为________.答案：80°，80°，20°或50°，50°，80°4.等腰三角形的两边分别为5cm和8cm，则它的周长为________.答案：18cm或21cm5.如图14-3-12，△ABC是等边三角形，AB＝5cm，AD⊥BC，DE⊥AB，DF⊥AC，则∠BAD＝________，∠ADF＝________，BD＝________，∠EDF＝________.图14-3-12图14-3-13图14-3-14答案：30°60°2.5cm120°6.如图14-3-13，已知在△ABC中，AB＝AC，D为AB上一点，且AD＝CD＝BC，则∠B＝________，∠ACD＝________.若点D到BC的距离为1cm，那么点D到AC的距离为________.答案：72°36°1cm7.如图14-3-14，已知AB＝AC，∠A＝40°，AB的垂直平分线MN交AC于点D，则∠DBC＝________.答案：30°.8.等腰三角形的底角为15°，腰长为2acm，则三角形的面积为________.思路解析：钝角三角形的高在三角形外，三角形的一个外角为30°.答案：a2cm29.如图14-3-15，△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD、CE分别为∠ABC和∠ACB的平分线，且相交于F，则图中的等腰三角形的个数是（）A.6B.7C.8D.9图14-3-15图14-3-16答案：C10.如图14-3-16，等腰三角形ABC中，AB=AC，∠A=44°，CD⊥AB于D，则∠DCB等于（）A.44°B.68°C.46°D.22°答案：D二、综合·应用·创新11.如图14-3-17，已知在△ABC中，AB=AC，O是△ABC内一点，且AO⊥BC,求证:OB＝OC.图14-3-17证明：延长AO交BC于D，∵AO⊥BC,∴AD为高.∵AB=AC,∴∠BAO=∠CAO.∵AO公共,∴△ABO≌△ACO.∴OB=OC.12.如图14-3-18是一座斜拉桥的剖面图.BC是桥路面，AD是桥墩，设计大桥时工程师要求斜拉的钢绳AB等于AC.大桥建成后，工程技术人员要对大桥质量进行验收，由于桥墩AD很高，无法直接测量钢绳AB、AC的长度.请你用两种不同的方法检验AB、AC的长度是否相等？（检验工具为刻度尺、量角器；检验时，人只能站在桥面上）图14-3-18思路解析：判断△ABC是等腰三角形.答案：（1）测量∠B=∠C.（2）AD⊥BC,且BD=CD.13.如图14-3-19，在一个房间内，有一个梯子斜靠在墙上，梯子顶端距地面的垂直距离MA为a米，此时梯子的倾斜角为75°.若梯子底端距离地面的垂直距离NB为b米，梯子的倾斜角为45°.则这间房子的宽AB是米.图14-3-19思路解析：连接MN，如下图，因为梯子的长度不变，所以△MCN是等边三角形，过N作NK⊥MA，垂足为K，可以证明Rt△MAC≌Rt△NKM.答案：a14.如图14-3-20，已知△ABC为等边三角形，D、E、F分别在边BC、CA、AB上，且△DEF也是等边三角形.（1）除已知相等的边以外，请你猜想还有哪些相等线段，并证图14-3-20明你的猜想是正确的；（2）你所证明相等的线段，可以通过怎样的变化相互得到？写出变化过程.图14-3-21思路解析：两个等边三角形公共中心，构成了新的三个三角形：△AFE、△BDF、△CED也是全等三角形.答案：（1）AE=BF=CD，AF=BD=CE.理由：如下图：∵△ABC、△DEF都是等边三角形∴∠A＝∠B＝∠C＝∠EFD＝∠FDE＝∠DEF＝60°，EF＝FD＝DE.∴∠1+∠2＝∠2+∠3＝∠3+∠4＝∠4+∠5＝∠5+∠6＝∠6+∠1＝120°.∴∠1＝∠3＝∠5，∠2＝∠4＝∠6.∴△AFE≌△BDF≌△CED.∴AE=BF=CD，AF=BD=CE.（2）用旋转与平移相结合的方法可以相互得到.15.如图14-3-21，已知在△ABC中，AB＝AC，BD＝BC，AD＝DE＝BE.求∠A的度数.思路解析：根据三角形的边角相等把角集中在同一三角形中.由于题目中没有给出具体的数据,所以可以根据各个角之间的关系设未知数.解：设∠EBD=x,∵BE=DE,∴∠AED=2x.∵AD=DE,∴∠A=2x.∴∠BDC=3x.∵AB=AC,∴∠C=12（180°-∠A）＝90°-x.∵BD=BC,∴∠BDC=∠C.∴90°-x=3x，解得x=22.5°.∴∠A=45°.16.某校计划将一块形状为等边三角形的土地分成四块形状为等腰三角形的土地，每一块地种植一种花草，请你设计两种不同的分割方案，并在图中标明每个等腰三角形底角的度数.答案：图形（角度为60°与30°）：三、回顾·热身·展望17.浙江金华模拟如图14-3-22是跷跷板的示意图，支柱OC与地面垂直，点O是横板AB的中点，AB可以绕着点O上下转动，当Ａ端落地时，∠OAC＝20°，横板上下可转动的最大角度（即∠A′OA）是（）图14-3-22A.80°B.60°C.40°D.20°思路解析：△OAB′是等腰三角形.答案：C18.2010安徽阜阳模拟模拟下面是两位学生的探讨过程：学习了等腰三角形内容后，李老师布置了一道题：等腰三角形上的高与另一腰的夹角为30°，求顶角的度数.小王说：“顶角的度数应为60°”；小张说：“应该等于120°吧”.这时许多同学一起来议论……（1）假如你也参加了讨论，你的意见如何？为什么？（2）通过上面问题的讨论，结合平时的学习，写写自己的想法.（用一句话表示）解:（1）当∠A为锐角时，度数为60°；当∠A为钝角时，度数为120°.（2）想法中答有：“分类讨论”、“考虑全面”等能体现分类讨论思想的即可.12.3等腰三角形自测题◆夯实基础一、耐心选一选，你会开心（每题6分，共30分）1．若等腰三角形底角为，则顶角为（）Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．2．已知等腰三角形的两边长分别为2和5，则它的周长为（）

A．12或9 B．12 C．9 D．73．从等腰三角形底边上任意一点分别作两腰的平行线，与两腰所围成的平行四边形的周长等于三角形的（）Ａ．两腰长的和 Ｂ．周长的一半 Ｃ．周长 Ｄ．一腰长与底边长的和4．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则顶角的度数为（）Ａ． Ｂ．Ｃ． Ｄ．ABCDE5．如图，在△ABC中，∠ACB=100°，ABCDE则∠DCE的度数为（）A．20°B．25°C．30°D．40°二、精心填一填，你会轻松（每题6分，共30分）6．已知：如右图,△ABC中,BD平分∠ABC,且D为AC的中ADCB点,DE∥BC交AB于点E,若BC=4,则EB长为_ADCBCDCDE第6题第7题第8题7．如图，在中，，为的平分线，则_________．8．如图，在中，，，分别是，的中点，，为上的点，连结，．若，，，则图中阴影APQCB部分的面积为 ．APQCB9．如图，是的边上的两点，且，则的大小等于（度）．10．在活动课上，小红已有两根长为4cm，8cm的小木棒，现打算拼一个等腰三角形，则小红应取的第三根小木棒长是cm．三、细心做一做，你会成功（共40分）11．一个直角三角形房梁如图所示，其中BC⊥AC，∠BAC=30°，AB=10cm，CB1⊥AB，B1C⊥AC1，垂足分别是B1、C1，那么BC的长是多少？AABC12O12．已知：如图，平分，．求证：是等腰三角形．13．已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=AB．求证：∠BAC=30°．◆综合创新ACBED14．如图所示，把一个直角三角尺绕着角的顶点顺时针旋转，使得点与的延长线上的点重合．ACBED（1）三角尺旋转了多少度？（2）连结，试判断△的形状；（3）求的度数．15．下面是数学课堂的一个学习片断．阅读后，请回答下面的问题：学习等腰三角形有关内容后，张老师请同学们交流讨论这样一个问题：“已知等腰三角形的角等于，请你求出其余两角”．同学们经片刻的思考与交流后，李明同学举手讲：“其余两角是和”；王华同学说：“其余两角是和”．还有一些同学也提出了不同的看法．（1）假如你也在课堂中，你的意见如何？为什么？【答】（2）通过上面数学问题的讨论，你有什么感受？（用一句话表示）【答】◆中考链接16．(2007广州潜江)如图，已知：AB∥EF，CE=CA，∠E=，则∠CAB的度数为（）BDAECA.B.C.D.BDAECABABCDF第16题BCEA第17题第18题17．（2007湖北荆门）如图，在等边中，分别是上的点，且，则 度．18．（2007湖北）夷陵长江大桥为三塔斜拉桥．如图，中塔左右两边所挂的最长钢索，塔柱底端与点间的距离是米，则的长是 米．19．（2007福建泉州）图（1）是一个黑色的正三角形，顺次连结它的三边的中点，得到如图（2）所示的第2个图形（它的中间为一个白色的正三角形）；在图（2）的每个黑色的正三角形中分别重复上述的作法，得到如图（3）所示的第3个图形．如此继续下去，则在得到的第6个图形中，白色的正三角形的个数是．…………图（1）图（2）图（3）①②折叠后20．(2007湖南邵阳)如图，中，，将沿着一条直线折叠后，使点与点重合（图②）．①②折叠后（1）在图①中画出折痕所在的直线．设直线与分别相交于点，连结．（画图工具不限，不要求写画法）（2）请你找出完成问题（1）后所得到的图形中的等腰三角形．（不要求证明）参考答案夯实基础1．D2．本题的腰长只能是5，因为腰为2时，2+2＜5，不符合三角形三边关系，故选B3．Ａ4．D提示：分两种情况：高在三角形内和高在三角形外，分别求得度数为，故选Ｄ．5．D提示：∵AC=AE，BC=BD∴设∠AEC=∠ACE=x°，∠BDC=∠BCD=y°，∴∠A=180°－2x°，∠B=180°－2y°,∵∠ACB＋∠A＋∠B=180°，∴100+（180－2x）+（180－2y）=180，得x+y=140,∴∠DCE=180－（∠AEC＋∠BDC）=180－（x+y）=40°6．27．82.5°8．309．10．8提示：本题易误解为4或8，实际上第三根小木棒长是4时，不符合三角形三边关系：两边之和大于第三边，故答案是：11．解：在Rt△ABC中，∠CAB=30°，AB=10cm．∴BC=AB=5cm．∵CB1⊥AB，∴∠B+∠BCB1=90°．又∵∠A+∠B=90°，∴∠BCB1=∠A=30°．在Rt△ACB1中，BB1=BC=2.5cm．∴AB1=AB-BB1=10-2.5=7.5（cm）．∴在Rt△AB1C1中，∠A=30°．∴B1C1=AB1=×7.5=3.75（cm）．12．证明：作于，于又，（注：与平分等同，直用）．，ABCABC12OEF5634．．，即．．（注：此步可不写．）是等腰三角形．13．证明：延长BC到D，使CD=BC，连结AD．∵∠ACB=90°，∴∠ACD=90°．又∵AC=AC，∴△ACB≌△ACD（SAS）．∴AB=AD．∵CD=BC，∴BC=BD．又∵BC=AB，∴AB=BD．∴AB=AD=BD，即△ABD为等边三角形．∴∠B=60°．在Rt△ABC中，∠BAC=30°．综合创新14．（1）；（2）等腰三角形；（3）．15．（1）答：上述两同学回答的均不全面，应该是：其余两角的大小是和或和．理由如下：（=1\*romani）当是顶角时，设底角是．，．其余两角是和．（=2\*romanii）当是底角时，设顶角是，，．其余两角分别是和．中考链接16．B17．18．45619．20．解：（1）如图所示：（2），为等腰三角形12.3等腰三角形（第一课时）◆随堂检测1.等腰三角形ＡＢＣ中，AB=AC，∠Ａ＝70，∠Ｂ=，∠Ｃ=．2．在等腰三角形中，有一个角为80°，则另外两个角的度数为．3.已知等腰三角形两边长分别为4和9，则第三边的长为．4.如图，在△ABC中，AB=AC，∠A＝30º，DE垂直平分AC，则∠BCD的度数为（）A．80°B．75°C．65°D．45°◆典例分析例如图，AB＝AC，DB＝DC，P是AD上一点．求证：∠ABP＝∠ACP．解析：本题如果用三角形全等来证明两角相等，则至少需要证明两次三角形全等，若用线段垂直平分线的判定和性质以及等腰三角形的性质就会显得较为简单．证明：连结BC．∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB．又∵点A、D在线段BC的垂直平分线上，∴AD就是线段BC的垂直平分线．∴PB＝PC．∴∠PBC＝∠PCB．∴∠ABC－∠PBC＝∠ACB－∠PCB．即∠ABP＝∠ACP．◆课下作业●拓展提高1．已知一个等腰三角形的一边长为5，另一边长为7，则这个等腰三角形的周长为2．已知在等腰三角形中，有一个角的度数为120°,则另外两个角的度数为3．等腰三角形底边为5，一腰上的中线把其周长分为两部分的差为3，则腰长为（）A.8B.2C.8或2D.以上都不对4.如图，等腰△ABC中，AB＝AC，AD是顶角∠BAC的外角的平分线。证明：AD∥BC.5．等腰三角形中，一边与另一边之比为３：２，该三角形周长为５６，求腰长是多少？6.如图，等腰△ABC中，AB＝AC，D是AB边上一点，E是AC延长线上一点，且BD＝CE，DE交BC于F。说明：DF＝EF。7.已知，如图，△ABC中，AB＝AC，E在CA的延长线上，∠AEF＝∠AFE．求证：EF⊥BC．●体验中考1．（2009年浙江湖州）如图：已知在中，，为边的中点，过点作，垂足分别为.求证：；DDCBEAF2.（2009年大兴安岭）在边长为4和6的矩形中作等腰三角形，使等腰三角形的一条边是矩形的长或宽，第三个顶点在矩形的边上，求所作三角形的面积．参考答案◆随堂检测1.解析：∵∠Ａ＝７０AB=AC，∴∠Ｂ＝∠Ｃ＝．2.解析：此题中只给了一个角的度数，这个角即可以为等腰三角形的顶角，又可以为等腰三角形的底角。当此角为等腰三角形的顶角时，根据等腰三角形两个底角相等的性质可知两个底角是（180°-80°）÷2=50°；当已知角为底角时，则另一个底角也是80°，所以可知这个等腰三角形的顶角为（180°-80°×2）=180°-160°=20°。通过以上分析可知此题的答案为50°，50°或80°，20°。3.解析：根据已知的条件可知此等腰三角形的腰长可能是4也可能是9，但是由于三角形的任意两边之和大于第三边，所以当腰长是4时，不符合要求，所以此等腰三角形的腰长只能是9，所以第三边的长为9。4.解析：此题主要考查了线段垂直平分线和等腰三角形有关知识。因为DE是AC的垂直平分线，所以AD=DC，所以∠DCA=∠A＝30º。因为AB=AC，∠A＝30º，所以∠ACB=∠ABC=（180º-30º）=75º。所以∠BCD=∠ACB-∠DCA=75º-30º=45º。故应选D．◆课下作业●拓展提高1.解析：此题用到的知识点是三角形三边的关系与等腰三角形的性质。根据等腰三角形的性质可知腰长可以是5或7，根据等腰三角形的三边关系可知腰长是5或7都符合要求，因此当腰长为5时，等腰三角形的周长是17；当腰长为7时，等腰三角形的周长为19。所以此题的答案为17或19。2.解析：当此角是顶角时，等腰三角形的两个底角的度数分别为30°，但是当120°为底角时，由于三角形的内角和为180°，所以120°为底角不行，所以此题答案为：30°，3