2024-2025学年年七年级数学人教版下册专题整合复习卷11.2 全等三角形的条件(二)(含答案)

2024-2025学年年七年级数学人教版下册专题整合复习卷11.2全等三角形的条件(二)(含答案)11.2全等三角形的条件（二）名师导航：本课重点是“边角边”或“SAS”方法判定三角形全等．这个判定方法也是通过画图和实验体会结论的正确性，具体应用时注意寻找边角边条件证明两个三角形全等．本课难点是区别“边角边”与“边边角”的条件，课本上通过实验发现，具备“边边角”条件时，两个三角形不一定全等．典例精析：【例题】（2007盐城，有改动）如图，点在同一直线上，，，．与全等吗？说明你的结论．【思路点拨】由题意，题中直接给出一组对应角、一组对应边相等，还差一组对应边（BC=EF）就可以应用“SAS”判定两个三角形全等了．观察所给的条件，我们可以利用线段的和得到有效的一组对应边BC=EF，于是问题获得解决．ＣＥＤＦBＡＣＥＤＦBＡ在与中【规律总结】本题寻找另一组“有效的对应边”也是通过题目中间接信息给出的，这种给出一组非对应边的线段相等，从而根据线段的和及等式性质得到对应边相等的解题思路（或意识）是非常重要的，同学们注意积累．跟踪训练：1．如图，在和中，已知，，根据（SAS）判定，还需的条件是（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．以上三个均可以2．下面各条件中，能使△ABC≌△DEF的条件的是（）Ａ．AB＝DE，∠A＝∠D，BC＝EFＢ．AB＝BC，∠B＝∠E，DE＝EFC．AB＝EF，∠A＝∠D，AC＝DFＤ．BC＝EF，∠C＝∠F，AC＝DF3．如图，相交于点，，．下列结论正确的是（）A．．B．C．D．4．如图，已知，，．下列结论不正确的有（）．A．B．C．AB=BCD．5．如图，已知，垂足为，，垂足为，，，则＝___________．6．如图，已知，，，经分析．此时有．7．如图所示，AB，CD相交于O，且AO＝OB，观察图形，图中已具备的另一相等的条件是________，联想到SAS，只需补充条件________，则有△AOC≌△________．8．如图所示，有一块三角形镜子，小明不小心破裂成1、2两块，现需配成同样大小的一块．为了方便起见，需带上________块，其理由是__________．第7题第8题9．如图，把两根钢条，的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的工具（工人把这种工具叫卡钳）只要量出的长度，就可以知道工件的内径是否符合标准，你能简要说出工人这样测量的道理吗？．10．如图，已知在中，，．求证：，．22134参考答案1．B2．D3．A4．C5．6．，得．7．∠AOC=∠BOD，OC=OD，△BOD8．1，有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等9．此工具是根据三角形全等制作而成的．由是，的中点，可得，，又由于与是对顶角，可知，于是根据“”有，从而，只要量出的长度，就可以知道工作的内径是否符合标准．10．在和中，．，．又，即，，11.2全等三角形的条件（三）名师导航：本课时重点是“角边角”、“角角边”判定三角形全等的方法．探究判定方法时一要通过已知两角和它们的夹角画三角形的方法体会这两种判定方法的正确性，二是会根据这两个结论判定两个三角形全等，体会“角边角”与“角角边”这两个判定方法之间的关系：后者是前者的推论．本课时的难点是善于发现证明三角形全等的有效方法，有两种情形是不能判定两个三角形全等的，即“边边角”、“角角角”．典例精析：【例题】（2007年沈阳，改编）如图，AD、BC分别平分、，且，试说明：．【思路点拨】从所给的图形来分析，要想获得AC=BD，只要得到即可，寻找条件，很快发现有和公共边AB=BA，能再获取一组角对应相等吗，从已知条件中知道，于是，从而利用“ASA”说明三角形全等获得突破．12CDBA12CDBA可得，于是在（全等三角形对应边相等）【规律总结】本题利用“ASA”说明三角形全等的条件只差一个间接条件，而通过发掘已知条件也不难获取．此外，从本题我们应该加深一个认识：全等三角形是我们发现对应线段相等（或对应角相等）的一种重要方法．跟踪训练：1．若按给定的三个条件画一个三角形，图形惟一，则所给条件不可能是（）Ａ．两边一夹角 Ｂ．两角一夹边 Ｃ．三边 Ｄ．三角2．在△△中，已知，，要判定这两个三角形全等，还需要条件（）A．B．C．D．3．在和中，①；②；③；④；⑤则下列条件中不能保证的是（）Ａ．①②③ Ｂ．①②⑤ Ｃ．②④⑤ Ｄ．①③⑤4．对于下列各组条件，不能判定的一组是（）Ａ．，，Ｂ．，，Ｃ．，，Ｄ．，，5．在和中，已知，，在下列说法中，错误的是（）Ａ．如果增加条件，那么（）Ｂ．如果增加条件，那么（）Ｃ．如果增加条件，那么（）Ｄ．如果增加条件，那么（）12346．如图，，要使△△，应添加的条件是，（添加一个条件AD1234ADBOEC7．如图，已知，．可得．理由是．8．已知交，垂足为，，．于是可得，有，理由是．9．如图，点分别在上，且，．求证：．参考答案1．Ｄ2．C3．D4．C5．B6．答案不惟一，如等．7．．8．．9．，，又，即．11.2全等三角形的条件（四）名师导航：本课重点是探究直角三角形全等的判定方法．直角三角形是三角形中的一类，一般三角形所具有的性质，直角三角形都具备，因此判定两个三角形全等时，完全可以用刚刚学过的三角形全等的判定方法．由于直角三角形是特殊的三角形，因而它还具备一般三角形所没有的特殊性质，即对于直角三角形来说，斜边和一条直角边对应相等，可以判定两个直角三角形全等．简写为“HL”，这个判定方法是直角三角形所独有的，一般的三角形不具备．典例精析：【例题】如图，已知AC＝BD，∠C＝∠D＝90°，求证：Rt△ABC≌Rt△BAD．【思路点拨】分析题意，要求证的是两个直角三角形全等，条件才有了一组对应边相等，观察图形发现有一组公共边也是对应相等的，于是直角三角形全等的条件满足了．【证明】∵∠C＝∠D＝90°，∴△ABC与△BAD都是直角三角形．在Rt△ABC与Rt△BAD中，∵AB＝BA，AC＝BD，∴Rt△ABC≌Rt△BAD（H．L．）.【规律总结】直角三角形全等的特殊判定方法“HL”也是基于作图发现并总结的，应用这个结论证明直角三角形全等时，要熟悉斜边、直角边条件．跟踪训练：1．在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C=∠C′=90°，∠A=∠B′，AB=B′A，则下列结论中正确的是（）A.AC=A′C′ B.BC=B′C′C.AC=B′C′ D.∠A=∠A′2．下列结论错误的是()A．全等三角形对应边上的高相等B．全等三角形对应边上的中线相等C．两个直角三角形中，斜边和一个锐角对应相等，则这两个三角形全等D．两个直角三角形中，两个锐角相等，则这两个三角形全等3．两个直角三角形全等的条件是（）A.一锐角对应相等B.两锐角对应相等C.一条边对应相等D.一条斜边和一直角边对应相等4．下列命题错误的是（）A.在Rt△ABC中两锐角互余B.有两个锐角不互余的三角形不是直角三角形C.两边对应相等的两直角三角形全等D.周长相等的两个直角三角形全等5．如图所示，△ABC中，AB=AC，AD⊥BC交D点，E、F分别是DB、DC的中点，则图中全等三角形的对数是（）A.1 B.2 C.3 D.46．如图，DE⊥AB，DF⊥AC，AE＝AF，请找出一对全等的三角形：．7．如图，已知AC⊥BD，BC=CE，AC=DC.试分析∠B+∠D=.8．如图，有一正方形窗架，盖房时为了稳定，在上面钉了两个等长的木条与分别是的中点，可证得，理由是，于是是的中点．9．如图，已知分别是两个钝角和的高，如果，．求证：．参考答案1．C2．D3．D4．D．5．D6．7．90°8．，HL，9．根据“”证，，再根据“”证，，，即．11.2三角形全等的判定（AAS-ASA）◆随堂检测如图，O是AB的中点，∠A=∠B，△AOC与△BOD全等吗？为什么？2．已知如图，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，试说明BD=CE。3．如图，在△AFD和△BEC中，点A、E、F、C在同一直线上，AE=CF，∠B=∠D，AD∥BC。试说明AD=CB。4.如图，已知AC、BD相交于点0，∠A=∠B，∠1=∠2，AD=BC.试说明△AOD≌△BOC.◆典例分析例:如图：已知AE交BC于点D，∠1=∠2=∠3，ABABCED123求证：DC=BE。证明：∵∠ADB=∠1+∠C，∠ADB=∠3+∠E，又∵∠1=∠3，∴∠C=∠E。在△ABE和△ADC中，∵∠E=∠C，∠2=∠1，AB=AD，∴ △ABE≌△ADC（AAS）。∴DC=BE。解析:要证DC=BE,先观察DC与BE分别在可能全等的两个三角形中.根据所给条件选择方法◆课下作业●拓展提高5.玻璃三角板摔成三块如图，现在到玻璃店在配一块同样大小的三角板，最省事的方法（）A、带①去B、带②去C、带③去D、带①②③去ＡDFCBE6.如图，有一块边长为4的正方形塑料摸板，将一块足够大的直角三角板的直角顶点落在点，两条直角边分别与交于点，与延长线交于点．则四边形的面积是．ＡDFCBE如图，已知AC、BD交于E，∠A=∠B，∠1=∠2．求证：AE=BE．8.如图，在△ABC中，MN⊥AC，垂足为N，，且MN平分∠AMC，△ABM的周长为9cm,AN=2cm,求△ABC的周长。9．如图，在△ABC中，∠B=∠C，说明AB=AC10.已知：如图E在△ABC的边AC上，且∠AEB=∠ABC。⑴求证：∠ABE=∠C；⑵若∠BAE的平分线AF交BE于F，FD∥BC交AC于D，设AB=5，AC=8，求DC的长。11．如图，是上一点，交于点，，．ABCDABCDEF12．一张矩形纸片沿对角线剪开，得到两张三角形纸片，再将这两张三角形纸片摆成如下右图形式，使点B、F、C、D在同一条直线上．（1）求证AB⊥ED；（2）若PB=BC，请找出图中与此条件有关的一对全等三角形，并给予证明．●体验中考1.（2009年江西省）如图，已知那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（）A．B．C． D． ABEFCD2.（2009年福建省龙岩市），，要使△ABFABEFCD3.（2009年福建省福州市）如图，已知AC平分∠BAD，∠1=∠2，求证：AB=ADAADCB12CEBFDA4.(2009年武汉市)如图，已知点在线线CEBFDA求证：．参考答案随堂检测：1、本题已知∠A=∠B，又O是AB的中点，因此OA=OB，再找任一角相等，由于本题还隐含了对顶角，∠AOC=∠BOD，于是根据（ASA）可得△AOC与△BOD全等。2、已知AB=AC，AD=AE，若BD=CE，则△ABD≌△ACE，结合∠BAC=∠DAE易得两已知边的夹角∠BAD=∠CAE，于是，建立了已知与结论的联系，应用（SAS）可说明△ABD≌△ACE，于是BD=CE。3、这是已知两个角和其中一个角的对边对应相等的问题。因为AE=CF，所以AE+EF=CF+EF，即AF=CE，因为AD∥BC，所以∠A=∠C，则△AFD≌△BEC，即AD=CB。4、错解：在△ADC和△BCD中，因为∠A=∠B，∠2=∠1，DC=CD，所以△ADC≌△BCD（AAS），所以△ADC-△DEC=△BCD-△DEC，即△A0D≌△B0C.分析：错解在将等式的性质盲目地用到三角形全等中，实际上，三角形全等是不能根据等式的性质说明的.正解：在△ADO和△BCD中，∠A=∠B，∠AOD=∠BOC，AD=BC，所以△AOD≌△BOC(AAS).拓展提高：5、C.解析：③这块保留了原三角板的两角及其夹边，新三角板的两角及其夹边和③对应相等，配制的新三角板和原三角板满足“角边角”，自然就同样大小了。正确答案是C。6、16.解析:先证△AEB≌△AFD(AAS),从而四边形的面积就等于正方形ABCD的面积答案：167、错证：在△ADC和△BCD中，∵∠A=∠B，DC=DC，∠2=∠1，∴△ADC≌△BCD(SAS)∴△ADC-△DEC=△BCD-△DEC，即△ADE≌△BCE．∴AE=BE．分析：上面的证明中，将等式性质盲目地搬到了全等三角形中，这是完全错误．正确证明：在△ADC和△BCD中，∵∠A=∠B，DC=DC，∠2=∠1，∴△ADC≌△BCD(SAS)∴AD=BC．在△ADE和△BCE中，∵AD=BC，∠A=∠B，∠AED=∠BEC，∴△ADE≌△BCE(AAS)∴AE=BE．8、只要求出CM和AC的长即得△ABC的周长，而△AMN≌△CMN可实现这一目的。因为MN平分∠AMC，所以∠AMN=∠CMN，因为MN⊥AC，所以∠AMNA=∠CMNC=900，这样有两角对应相等，再找出它的夹边对应相等（MN为公共边）即可。在△AMN和△CMN中，所以△AMN≌△CMN（ASA）所以AC=NC，AM=CM（全等三角形的对应角相等），AN=2cm,所以AC=2AN=4cm，而△ABM的周长为9cm,所以△ABC的周长为9+4=13cm。9、AB=AC.解析：作∠BAC的平分线AD，交BC于D，由∠BAD=∠CAD，∠B=∠C，再找出∠B和∠C的对边AD=AD，得△ABD≌△ACD（AAS），所以AB=AC(1)抓住∠BAC是△ABC和△ABE的公共内角,利用三角形内角和定理求解(2)利用(1)所得出的结论证△ABF≌△ADF答案:⑴∵∠ABE=180°－∠BAC－∠AEB，∠C=180°－∠BAC－∠ABC，∴∠ABE=∠C⑵利用⑴证△ABF≌△ADF，从而DC=AC－AD=AC－AB=3.11、证明：，．又，，．． 12、分析：（1）由已知的剪、拼图过程（将长方形沿对角线剪开），显然有△ABC≌△DEF，故∠A=∠D；又∠ANP=∠DNC，因而不难得到∠APN=∠DCN=900，即AB⊥ED．（2）若在增加PB=BC这个条件，再认真观察图形，就不难得到△PNA≌△CND、△PEM≌△FMB．点评：本题的意图是让同学们在剪、拼图形的背景下，积极参与图形的变化过程，并在图形的变化过程中来探究图形之间的关系，用来考察学生的创新精神与能力．体验中考：1.C2.AB=DC（填AF=DE或BF=CE或BE=CF）3.证明：∵AC平分∠BAD∴∠ＢＡＣ＝∠ＤＡＣ．∵∠1=∠2∴∠ＡＢＣ＝∠ＡＤＣ．在△ＡＢＣ和△ＡＤＣ中∴△ＡＢＣ≌△ＡＤＣ（ＡＡＳ）．∴ＡＢ＝ＡＤ．4、证明：．．11.2三角形全等的判定（AAS-ASA）◆随堂检测如图，O是AB的中点，∠A=∠B，△AOC与△BOD全等吗？为什么？2．已知如图，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，试说明BD=CE。3．如图，在△AFD和△BEC中，点A、E、F、C在同一直线上，AE=CF，∠B=∠D，AD∥BC。试说明AD=CB。4.如图，已知AC、BD相交于点0，∠A=∠B，∠1=∠2，AD=BC.试说明△AOD≌△BOC.◆典例分析例:如图：已知AE交BC于点D，∠1=∠2=∠3，ABABCED123求证：DC=BE。证明：∵∠ADB=∠1+∠C，∠ADB=∠3+∠E，又∵∠1=∠3，∴∠C=∠E。在△ABE和△ADC中，∵∠E=∠C，∠2=∠1，AB=AD，∴ △ABE≌△ADC（AAS）。∴DC=BE。解析:要证DC=BE,先观察DC与BE分别在可能全等的两个三角形中.根据所给条件选择方法◆课下作业●拓展提高5.玻璃三角板摔成三块如图，现在到玻璃店在配一块同样大小的三角板，最省事的方法（）A、带①去B、带②去C、带③去D、带①②③去ＡDFCBE6.如图，有一块边长为4的正方形塑料摸板，将一块足够大的直角三角板的直角顶点落在点，两条直角边分别与交于点，与延长线交于点．则四边形的面积是．ＡDFCBE如图，已知AC、BD交于E，∠A=∠B，∠1=∠2．求证：AE=BE．8.如图，在△ABC中，MN⊥AC，垂足为N，，且MN平分∠AMC，△ABM的周长为9cm,AN=2cm,求△ABC的周长。9．如图，在△ABC中，∠B=∠C，说明AB=AC10.已知：如图E在△ABC的边AC上，且∠AEB=∠ABC。⑴求证：∠ABE=∠C；⑵若∠BAE的平分线AF交BE于F，FD∥BC交AC于D，设AB=5，AC=8，求DC的长。11．如图，是上一点，交于点，，．ABCDABCDEF12．一张矩形纸片沿对角线剪开，得到两张三角形纸片，再将这两张三角形纸片摆成如下右图形式，使点B、F、C、D在同一条直线上．（1）求证AB⊥ED；（2）若PB=BC，请找出图中与此条件有关的一对全等三角形，并给予证明．●体验中考1.（2009年江西省）如图，已知那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（）A．B．C． D． ABEFCD2.（2009年福建省龙岩市），，要使△ABFABEFCD3.（2009年福建省福州市）如图，已知AC平分∠BAD，∠1=∠2，求证：AB=ADAADCB12CEBFDA4.(2009年武汉市)如图，已知点在线线CEBFDA求证：．参考答案随堂检测：1、本题已知∠A=∠B，又O是AB的中点，因此OA=OB，再找任一角相等，由于本题还隐含了对顶角，∠AOC=∠BOD，于是根据（ASA）可得△AOC与△BOD全等。2、已知AB=AC，AD=AE，若BD=CE，则△ABD≌△ACE，结合∠BAC=∠DAE易得两已知边的夹角∠BAD=∠CAE，于是，建立了已知与结论的联系，应用（SAS）可说明△ABD≌△ACE，于是BD=CE。3、这是已知两个角和其中一个角的对边对应相等的问题。因为AE=CF，所以AE+EF=CF+EF，即AF=CE，因为AD∥BC，所以∠A=∠C，则△AFD≌△BEC，即AD=CB。4、错解：在△ADC和△BCD中，因为∠A=∠B，∠2=∠1，DC=CD，所以△ADC≌△BCD（AAS），所以△ADC-△DEC=△BCD-△DEC，即△A0D≌△B0C.分析：错解在将等式的性质盲目地用到三角形全等中，实际上，三角形全等是不能根据等式的性质说明的.正解：在△ADO和△BCD中，∠A=∠B，∠AOD=∠BOC，AD=BC，所以△AOD≌△BOC(AAS).拓展提高：5、C.解析：③这块保留了原三角板的两角及其夹边，新三角板的两角及其夹边和③对应相等，配制的新三角板和原三角板满足“角边角”，自然就同样大小了。正确答案是C。6、16.解析:先证△AEB≌△AFD(AAS),从而四边形的面积就等于正方形ABCD的面积答案：167、错证：在△ADC和△BCD中，∵∠A=∠B，DC=DC，∠2=∠1，∴△ADC≌△BCD(SAS)∴△ADC-△DEC=△BCD-△DEC，即△ADE≌△BCE．∴AE=BE．分析：上面的证明中，将等式性质盲目地搬到了全等三角形中，这是完全错误．正确证明：在△ADC和△BCD中，∵∠A=∠B，DC=DC，∠2=