中考数学专项复习：圆（知识归纳+题型突破）（十一大题型176题）（解析版）

第二十四章圆（知识归纳+题型突破）

课标要求

基础知识归纳

题型一垂径定理及其应用

题型二圆心角、弦、

题型三圆周角定理及其应用

第二十四章圆

（知识归纳+题型突破）

题型五直线与圆的位置关系

重要题型题型六切线的性质和判定

题型七三角形的外心和外接圆

题勤I三角形的内心和内切圆

题型九正多边形和圆

题型十扇形面枳和弧长计算

题型十一圆锥及其侧面展开圉

课标要求

1.理解圆、弧、弦、圆心角、圆周角的概念，了解等圆、等弧的概念;探索并掌握点与圆的位置关系.

2.探索并证明垂径定理:垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧.

3.探索圆周角与圆心角及其所对弧的关系，知道同弧（或等弧）所对的圆周角相等。了解并证明圆周角定理

及其推论：圆周角等于它所对弧上的圆心角的一半；直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是

直径；圆内接四边形的对角互补.

4.了解三角形的内心与外心.

5.了解直线与圆的位置关系，掌握切线的概念（例75）.

6.能用尺规作图:过不在同一直线上的三点作圆;作三角形的外接圆、内切圆;作圆的内接正方形和内接正六

边形.

7.*能用尺规作图:过圆外一点作圆的切线（例76）.

8.*探索并证明切线长定理:过圆外一点的两条切线长相等.

9.会计算圆的弧长、扇形的面积.

10.了解正多边形的概念及正多边形与圆的关系.

基础知识归纳

一、圆的基本性质

1.与圆有关的概念和性质

(1)圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成

的图形.如图所示的圆记做。0.

(2)弦与直径：连接圆上任意两点的线段叫做弦，过

圆心的弦叫做直径，直径是圆内最长的弦.

(3)弧：圆上任意两点间的部分叫做弧，小于半圆的

弧叫做劣弧，大于半圆的弧叫做优弧.

(4)圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角.

(5)圆周角：顶点在圆上，并且两边都与圆还有一个

交点的角叫做圆周角.

(6)弦心距：圆心到弦的距离.

知识点二：垂径定理及其推论

2.垂径定理及其推论

定理

垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.

推论

(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；

(2)弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧.

延伸

根据圆的对称性，如图所示，在以下五条结论中：

①弧AC=®BC;②弧AD=MBD；③AE=BE;④AB，CD;⑤CD是直径.

只要满足其中两个，另外三个结论一定成立，即推二知三

・关于垂径定理的计算常与勾股定理相结合，解题时往往需要添加辅助线，一般过圆心作弦的垂线，构造直

角三角形.

3.圆心角、弧、弦的关系

定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等.

推论

在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分

别相等.

4.圆周角定理及其推论

(1)定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.

(2)推论:

①在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等.直径所对的圆周角是直角.圆内接四边形的对角互补.

二、与圆有关的位置关系

1.点与圆的设点到圆心的距离为d.

气点在。。内；(气点在。。上；(>管点在。外.

位置关系(l)d<r2)d=13)d>iO

位置关系相离相切相交

图形

2.直线和圆(

的位置关系

公共点个数0个1个2个

数量关系d>rd=rd<r

(1)与圆只有一个公共点的直线是圆的切线(定义法).

3.切线的判

(2)到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线.

定

(3)经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.

(1)切线与圆只有一个公共点.

4.切线的性

(2)切线到圆心的距离等于圆的半径.

质

(3)切线垂直于经过切点的半径.

(1)定义：从圆外一点作圆的切线，这点与切点之间的线段长叫做这点到圆的切线长.

5.切线长(2)切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，两切线长相等，圆心与这一点的连线平

分两条切线的夹角.

图形相关概念圆心的确内、外心的性质

定

△经过三角形各定点的三角形三到三角形的三个顶点的距离相等

6.三角形的圆叫做三角形的外接条垂直平

外接圆圆，外接圆的圆心叫做分线的交

三角形的外心，这个三点

角形叫做圆的内接三

角形

与三角形各边都相切到三角形到三角形的三条边的距离相等

的圆叫三角形的内切三条角平

7.三角形的圆，内切圆的圆心叫做分线的交

内切圆三角形的内心，这个三点

角形叫圆的外切三角

形

三、正多边形和圆

1.正多边形与圆

(1)正多边形的有关概念：边长(a)、中心(0)、中心角(NA0B)、半径(R))、边心距(r),如图所示①.

(2)特殊正多边形中各中心角、长度比:

中心角=120。中心角=90。中心角=60。，ABOC为等边△

a:r:R=2:l:2a:r:R=2::2a:r:R=2:2

四、弧长和扇形面积的计算

1..弧长和扇形面积的计算

nnrimr11/

扇形的弧长1=180；扇形的面积S=360=5'

2.圆锥与侧面展开图

(1)圆锥侧面展开图是一个扇形，扇形的半径等于圆锥的母线，扇形的弧长等于圆锥的底面周长.

(2)计算公式：

圆锥S侧==7trl,S=?rr(1+r)

注：易与勾股定理联系，先求母线长，再求面积

重要题型

题型一垂径定理及其应用

【例1】(2023•北京西城•北师大实验中学校考三模)如图，AB,CD(非直径)为。。的两条弦，A3与

交于点M,请从①AB为。。直径；②M为8中点；③B为C。中点；中选择两个作为题设，余下的一

个作为结论组成一个真命题，并完成证明.

【答案】见解析

【分析】分三种情况分别进行推理论证即可.

【详解】（1）知①，②推③：如图，连接。C、OD,

•.•oc=a>,M为。中点，

OMLCD,

.：AB为C。中垂线，

；AB为。。直径，

BC=BD,

所以8为弧C£）中点，

（2）知①③推②：如图，连接OC、OD、BC、BD,

,.,8为CO中点,

/.BC=BD,

又丁OC=OD,

.〔OB为8的中垂线，

.1M为8中点

（3）知②③推①：如图，连接OC、OD、BC、BD,

：8为CZ）中点,

•*-BC=BD,

BC=BD,

为CD中点，

AB1CD,

为CD中垂线，

即A8为圆。直径.

【点睛】此题考查了垂径定理及其推论，等腰三角形的判定和性质、线段垂直平分线的判定和性质等知识，

熟练掌握相关判定和性质是解题的关键.

【例2】（2023•全国•九年级专题练习）如图，某隧道的截面是一个半径为3.4米的半圆形，一辆宽3.2米的

厢式卡车（截面是长方形）恰好能通过该隧道，则这辆卡车的高为多少米？

【分析】过。作于E,根据垂径定理求出BE,根据勾股定理求出OE即可.

【详解】解：过。作于E,

贝UNOEB=90。，AB=DC=3.2米，

由垂径定理得：AE=B£=1x3.2=1.6（米）,

在RtABEO中，NBEO=90°,3E=1.6米，OB=3.4米，

由勾股定理得：OE=^OB2-BE1=V3.42-1.62=3（米），

即这辆卡车的高为3米.

【点睛】本题考查的是垂径定理的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键.

巩固训练：

1.（2023秋・河北张家口•九年级统考期末）小明不慎把家里的圆形镜子打碎了（如图），其中四块碎片如图

所示，为了配到与原来大小一样的圆形镜子，小明带到商店去的碎片应该是（）

A.①B.②C.③D.@

【答案】C

【分析】由三角形有一个外接圆可得答案.

【详解】解：•••要恢复圆形镜子，则碎片中必须有一段完整的弧，才能确定这条弧所在的圆的圆心和半径,

只有③符合题意，

故选C

【点睛】本题考查的是根据残弧确定残弧所在圆的圆心与半径，理解题意是解本题的关键.

2.（2023秋•河南新乡•九年级统考期末）如图，在。。中，尺规作图的部分作法如下：

（1）分别以弦A2的端点为圆心，适当的长为半径画弧，使两弧相交于点

（2）作直线交A3于点N.

若OB=5,ON=3,则AB的长等于（）

A.4B.6C.8D.10

【答案】c

【分析】OMLON,则AN=3N,在Rt^OBN中，勾股定理求得N3,进而即可求解.

【详解】解：根据作图可得OA/LON,则4V=BN,

在RtZXOBN中，NB=yjOEP-ON-=A/52-32=4

AB=2NB=8,

故选：C.

【点睛】本题考查了作垂线，垂径定理，勾股定理，熟练掌握基本作图是解题的关键.

3.（2023年陕西省中考数学试卷（A卷））陕西饮食文化源远流长，“老碗面”是陕西地方特色美食之一.图

②是从正面看到的一个“老碗”（图①）的形状示意图.是。。的一部分，。是AB的中点，连接0。，

与弦A8交于点C,连接0B.已知AB=24cm,碗深CD=8cm,则。。的半径为（）

.，十0

图①图②

A.13cmB.16cmC.17cmD.26cm

【答案】A

【分析】首先利用垂径定理的推论得出8,AB，AC=BC=-AB=12cm,再设。。的半径Q4为Rem,

2

则OC=（R-8）cm.在R^OAC中根据勾股定理列出方程R2=122+（尺-8匕求出R即可.

【详解】解：；A8是。。的一部分，£＞是AB的中点，A3=24cm,

:.OD±AB,AC=BC=-AB=Ucm.

2

设O。的半径04为Rem,则OC-OD-CD=（7?-8）cm.

在RSOAC中，-.-ZOCA=90°,

.-.OA2=AC2+OC2,

R2=122+（R-8）2,

:.R=13,

即的半径为13cm.

故选：A.

【点睛】本题考查了垂径定理、勾股定理的应用，设。。的半径。4为Rem,列出关于R的方程是解题的

关键.

4.（2022秋•山东济宁•九年级济宁学院附属中学校考期末）如图，一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为5cm,

瓶内液体的最大深度CD=1cm.则截面圆中弦A3的长为（）cm

【分析】由垂径定理和勾股定理分别求出A8的长，即可得出答案.

由题意得：OA=OD=5cm,ODLAB,

AC=BC,

CD=1cm,

：.OC=OD-CD=5—1=4（cm）,

在RJACO中，根据勾股定理得，

AC=A/0A2-0C2=A/52-42=3（cm），

/.AB=2AC=6（cm）,

即截面圆中弦A3的长为6cm,

故选：B.

【点睛】本题考查了垂经定理，勾股定理，解题的关键是掌握这些知识点.

5.（2023秋•陕西安康・九年级统考期末）如图，8为。。的一条弦，直径A3,CD于点E,连接OC、BC,

若/OCD=30。，CD=4也,则8c的长为（）

A

A.3B.4C.5D.6

【答案】B

【分析】先由垂径定理求得CE=2若，再由/。8=30。，得出O£=goc,然后根据勾股定理求出0C=4,

最后证明△03C是等边三角形，得出BC=0C=4.

【详解】解：：直径于点E,

/.ZOEC=90°,CE=-X4A/3=273,

2

NOCD=30。，

.•.NCOE=60。，OE=-OC,

2

由勾股定理，得O（J2=OE2+CE2,即oc2=[：oc]+（2A/3）2,

OC=4,

OC=OB,

△03C是等边三角形，

BC=OC=4.

故选：B.

【点睛】本题考查垂径定理，勾股定理，直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质，熟练掌握垂径定

理、勾股定理、直角三角形的性质和等边三角形的判定与性质是解题的关键.

6.（2022秋•湖北十堰•九年级十堰市实验中学校考期中）如图，当宽为3cm的刻度尺的一边与圆相切时，

另一边与圆的两个交点处的读图如图所示（单位：cm）,那么该圆的半径为（）

o.

力'IB

01区过5溺Qo3

c

2525

A.—cmB.——cmC.5cmD.4cm

63

【答案】A

【分析】连接。4，过点。作ODJ_AB于点£>,由垂径定理可知，AD=gAB=1（9-1）=4,设。4=厂,

贝UOD=r-3,在RtAOAD中利用勾股定理求出/■的值即可.

【详解】解：连接。4,过点。作于点

"?OD1.AB,

AD=gAB=~（9—1）=4,

设OA=r,贝ljOD=r-3,

在RbOAD中，

OA2-ODr^AD1,即/一（r一3）。=4?,

解得r=孑25.

6

故选：A.

【点睛】本题考查的是垂径定理及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键.

7.（2023春・广东广州•九年级统考开学考试）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代

劳动人民的智慧，如图1,点M表示筒车的一个盛水桶.如图2,当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以

轴心。为圆心.5米为半径的圆，且圆心在水面上方，若圆被水面截得的弦48长为8米，则筒车工作时,

盛水桶在水面以下的最大深度为（）

图1图2

A.2米3米C.4米D.5米

【答案】A

【分析】作8,48于点C,确定盛水桶在水面以下的最大深度即为。的长度，进而结合垂径定理以及

勾股定理进行计算即可.

作钻于点C,盛水桶在水面以下的最大深度即为8的长度,

AB=8,

上根据垂径定理，AC=BC=4,

"：OA=OD=5,

RSAOC中，OC=J0—AC?=3,

/.CD=OD-OC=2,

，盛水桶在水面以下的最大深度为2米，

故选：A.

【点睛】本题考查垂径定理的实际应用，理解圆的基本性质，熟练运用垂径定理是解题关键.

8.（2022秋・山东济宁・九年级济宁学院附属中学校考期末）如图，将半径为rem的。。折叠，弧A3恰好经

过与A3垂直的半径0C的中点。，已知弦的长为4vBem,则厂=cm.

c

【答案】8

【分析】延长CO交A3于E点，交。。于点尸，连接。8,由OC与A3垂直，根据垂径定理得到£为A8的

中点，然后利用。是OC的中点和对称即可求出ORCD、DE的长，从而求出OE,然后由05,OE的长，

根据勾股定理求出BE的长，进而得出半径的长.

【详解】解：延长CO交A3于E点，交。。于点E连接QB,

CE1AB,

；.E为AB的中点,

,/AB=4V15,

/.BE=gA8=2后,

•.•。是0c的中点，OC=r,

CD=OD=—r,OB=r,CF=2OC=2r,

2

根据对称的性质可得：

DE=-DF=-\2r--r\=-r,

22（2J4

311

OE=DE-OD=-r——r=-r,

424

在RtZ\OEB中，根据勾股定理可得：OB=SE2+BE?即r=j+（2V15）2

Ar=8（负值舍去）

故答案为：8.

【点睛】此题考查了垂径定理，折叠的性质以及勾股定理，在遇到直径与弦垂直时，常常利用垂径定理得

出直径平分弦，进而由圆的半径，弦心距及弦的一半构造直角三角形来解决问题，故延长CO并连接。8作

辅助线是本题的突破点.

9.（2023・全国•九年级专题练习）如图，AB.AC,2C都是。。的弦，OM±AB,ON1AC,垂足分别

为M、N,若MN=1,则BC的长为.

c

【分析】根据垂直定理得出AN=C7V,AM=BM,根据三角形的中位线性质得出MN,再求出BC

2

即可.

【详解】解：ONLAC,垂足分别为/、N、过圆心。，ON过圆心。，

\AN=CN,AM=BM,

:.MN=-BC,

2

MN=1,

BC=2,

故答案为：2.

【点睛】本题考查了三角形的中位线和垂直定理，能根据垂径定理求出AN=QV和=B扬是解题的关

键.

10.（2023・江苏•九年级假期作业）如图所示，小区内有个圆形花坛。，点C在弦上，AC=11,BC=21,

【答案】20

【分析】通过作弦心距，构造直角三角形，利用垂径定理和勾股定理进行计算即可.

【详解】解：如图，连接。4,过点。作垂足为。，

；AB是弦，OD±AB,AC=11,BC=21,

：.AD=BD=^（AC+BC）=16,

：.CD=AD-AC=5,

OD=yjoc2-CD2=7132-52=12，

二OA=y/OD^+AEr=,12?+16?=20-

故答案为：20.

【点睛】本题考查垂径定理的应用，掌握垂径定理和勾股定理是解决问题的前提，构造直角三角形是正确

解答的关键.

H.（2023•江苏•九年级假期作业）如图，在。O中，已知是直径，尸为A8上一点（户不与A、3两点重

合），弦MV过尸点，ZNPB=45°.

（1）若AP=2,BP=6,则初V的长为_；

PM2■+-PN2

（2）当尸点在A8上运动时（保持ZWPB=45。不变），则=.

AB2~

【答案】2/!

【分析】（1）作阳，胧于得到=由AP=2,BP=6,得到圆的半径长，由APOH是等

腰直角三角形，得到OH的长，由勾股定理求出NH的长，即可得到的长.

(2)由PM=MH—PH=NH-OH,PN=NH+PH=NH+OH,得到

PM-+PN1={NH-OH)2+(NH+OH)2=2(NH2+OH2),因止匕O"?十=次。=,得到

PM2+PN2=2OA2,即可解决问题.

【详解】解：（1）作彼±MN千H,

N

:.HN=MH,

\AP=2,BP=6,

:.AB=AP+PB=^,

:.ON=4,PO=OA-AP=4-2=2f

♦.•ZNPB=45。,

「.△POH是等腰直角三角形，

:.OH=—PO=y[i,

2

NH=y/ON2-OH2=714,

MN=2NH=2A/14.

故答案为：2J值.

(2)由(1)知MH=NH,OH=PH,

:.PM=MH—PH=NH—OH,PN=NH+PH=NH+OH,

PM2+PN2=(NH-OH)2+(NH+OH)2=2(NH2+OH2),

OH2+NH2=ON2=Q42,

PM2+PN~=2OA2,

•/BA2=(204)2=4OA2,

,PM2+PN21

"-AB^―2-

故答案为：g.

【点睛】本题考查垂径定理，勾股定理，完全平方公式，关键是作辅助线构造直角三角形，应用垂径定理，

勾股定理来解决问题.

12.(2022秋.安徽淮南.九年级校联考阶段练习)如图，过。。内的一点尸画弦A8,使P是AB中点.(保

留作图痕迹，不写画法)

【答案】见解析

【分析】先作过尸点的半径，然后过尸点作。尸的垂线交O。于A、B,则A3满足条件.

【详解】解：如图，42为所作.

【点睛】本题考查了作图-复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基

本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作.也考查了垂径定理.

13.（2023秋•河北邢台•九年级校联考期末）“筒车”是一种以水流作动力，取水灌田的工具.如图，“筒车”

盛水筒的运行轨迹是以轴心。为圆心的圆，已知圆心。始终在水面上方.且当圆被水面截得的弦为6

米时，水面下盛水筒的最大深度为1米（即水面下方部分圆上一点距离水面的最大距离）.

（1）求该圆的半径；

（2）若水面上涨导致圆被水面截得的弦AB从原来的6米变为8米时，则水面下盛水筒的最大深度为多少米?

【答案】⑴5米

⑵2米

【分析】（1）作钻于点E，交。。于点由垂径定理可得AE=；A2=3,DE=1,再由勾股定理

即可求出圆的半径;

(2)当AB=8米时，AE=；AB=4米.在Rt^AOE中，由勾股定理可得，AE2+OE2=OA^,则OE=3

米，即可求出DE的长.

【详解】(1)解：如图，作于点E,交。。于点D

贝|AE=；A8=3米，OE=1米.

设圆的半径为厂米，在RtZXAOE中，AE2+OE2=OA^,

：.32+(r-l)2=r2,

解得r=5,

该圆的半径为5米；

(2)解：当AB=8米时，AE=JA2=4米.

2

在RtAAOE中，AE2+OE2=OA2,

/.42+OE2=52,

：.OE=3米，

Z.DE=5-3=2(米).

答：水面下盛水筒的最大深度为2米.

【点睛】本题考查垂径定理，熟练掌握垂径定理的定义并运用是解题的关键.

14.(2022秋・山东临沂•九年级临沂第九中学校考期中)筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科

学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理，如图1筒车盛水桶的运行轨道是以轴心。为

圆心的圆，如图2,已知圆心。在水面上方，且。。被水面截得的弦A8为6米，。。半径长为4米.若

点C为运行轨道的最低点，求点C到弦A3所在直线的距离.

图1图2

【答案】点C到弦A8所在直线的距离为（4-b）米.

【分析】连接OC交4B于。，连接。4,根据垂径定理得到=根据勾股定理求出OD,结合图

形计算，得到答案.

【详解】解：如图2,连接OC交A8于。，连接。4,

,•,点C为运行轨道的最低点,

:.OCLAB,43=6米,

AD=^AB=3（:米）,

在RtaOAD中，OD=7OA2-AD2=A/42-32=77（米），

.・•点C到弦A3所在直线的距离。。=0（7-0。=（4-近）米,

.,.点C到弦A3所在直线的距离为（4-g）米.

【点睛】本题考查的是垂径定理的应用，掌握垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解

题的关键.

15.（2022秋.广东汕头.九年级汕头市龙湖实验中学校考期中）如图所示，一装有部分油的圆柱形油罐的横

油的最大深度为20cm,

（1）用尺规作图（保留作图痕迹，不用证明），找出圆心。；

(2)求该油罐横截面的半径.

【答案】(1)见解析

(2)该油罐横截面的半径为50cm.

【分析】(1)在横截面上取一点C,连接AC,作A3、AC的垂直平分线，它们的交点即为圆心。；

(2)如图，连接。4,O产，AB交A8于E,设该油罐横截面的半径为r,求出OE=(r-20)cm,然后在

氐△OAE中，利用勾股定理构建方程，求解即可.

【详解】(1)解：圆心。的位置如图所示：

(2)解：如图，连接Q4,。尸，交A8于E,设该油罐横截面的半径为厂，

*.*AB=80cm,

/.AE=—AB=40cm,

2

由题意得：EF=20cm,

OE=(r-20)cm,

在RtZXOAE中，AE2+OE2=O^,

J4()2+(—20)2=/,

解得：r=50,

即该油罐横截面的半径为50cm.

【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，熟知垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是

解题的关键.

16.(2023・江苏•九年级假期作业)平面直角坐标系中，点A(2,9)、8(2,3)、。(3,2)、。(9,2)在©P上.

⑴在图中清晰标出点P的位置；

（2）点P的坐标是，0P的半径是

【答案】（1）见解析

⑵（6,6）；5

【分析】（1）根据垂径定理可知，点尸的坐标是弦A3,8的垂直平分线的交点;

（2）根据两点间距离公式求出圆的半径即可.

【详解】（1）解：：弦的垂直平分线是V=6,弦8的垂直平分线是x=6,

y=6与x=6的交点即为圆心尸，如图所示:

（2）解：根据解析（1）可知，点P的坐标为（6,6）,

0P的半径为：PA=^（6-2）2+（6-9）2=5,

故答案为：（6,6）；5.

【点睛】本题主要考查了点和圆的位置关系，掌握垂径定理及其推论，是解决本题的关键.

17.（2023•浙江金华・统考中考真题）如图，点A在第一象限内，04与x轴相切于点与，轴相交于点

C,D.连接AB,过点A作A"J_CD于点H.

(1)求证：四边形ASM为矩形.

(2)已知。4的半径为4,08=4，求弦C。的长.

【答案】(1)见解析

⑵6

【分析】(1)根据切线的性质及有三个角是直角的四边形是矩形判定即可.

(2)根据矩形的性质、垂径定理及圆的性质计算即可.

【详解】(1)证明：与x轴相切于点8,

ABlx^.

；AHLCD,HOLOB,

：.ZAHO=ZHOB=NOBA=90°,

.,.四边形AHC将是矩形.

(2)如图，连接AC.

四边形AHO3是矩形，

.­.AH=OB=币.

在RtzMHC中，CH2=AC1-AH-,

:.CH=&-（疗了=3.

•・•点A为圆心，AH1CD,

:.CD=2CH=6.

【点睛】本题考查了矩形的判定，垂径定理，圆的性质，熟练掌握矩形的判定和垂径定理是解题的关键.

题型二圆心角、弦、弧

【例3】（2023•全国•九年级专题练习）如图，点A、B、C、。是。。上的点，AD为直径，AB//OC.

（1）求证：点C平分2£）.

（2）利用无刻度的直尺和圆规做出的中点P（保留作图痕迹）.

【答案】（1）见解析（2）见解析

【分析】（1）连接OB,因为AB〃OC,得到NOOC=NQ4B,ZCOB=ZOBA,又因为半径相等，则

NOAB=NOBA,即可证明点C平分8。；

（2）分别以A、2为圆心，大于为半径，画弧交于一点，连接该点与圆心交于一点即为A8的中

点尸.

【详解】（1）证明：如图，连接。3,

OC//AB,

：.ZDOC=ZOABf/COB=/OBA,

*/OA=OB,

：.ZOAB=ZOBA,

：.ZDOC=ZCOBf

・••点。平分BO；

(2)解：如图所示：点尸为所求：

DC

B

A

【点睛】本题主要考查圆的基本性质以及基本作图等知识内容，正确掌握基本作图的方法是解题的关键.

巩固训练

1.（2022秋•辽宁葫芦岛•九年级校联考期中）下列说法正确的是（）

A.相等的圆心角所对的弧相等B.在同圆中，等弧所对的圆心角相等

C.弦相等，圆心到弦的距离相等D.圆心到弦的距离相等，则弦相等

【答案】B

【分析】圆心角、弧、弦、圆心到弦的距离的关系的前提“在同圆和等圆中“，据此逐项判定即可.

【详解】解：A、在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故此选项不符合题意；

B、在同圆中，等弧所对的圆心角相等，故此选项符合题意；

C、在同圆和等圆中，弦相等，圆心到弦的距离相等，故此选项不符合题意；

D、在同圆和等圆中，圆心到弦的距离相等，则弦相等，故此选项不符合题意；

故选：B.

【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦、圆心到弦的距离的关系，解题关键是熟练掌握在同圆或等圆中，圆

心角、圆心角所对弧、圆心角所对弦、圆心到弦的距离中有一组量相等，则其余各组量也相等.

2.（2023•陕西西安・西安市庆安初级中学校联考模拟预测）如图，是。。的直径，点C,。在。。上，

AC^AD,NA8=70。，则/BCO的度数是（）

A.30°B.35°C.40°D.55°

【答案】B

【分析】首先由AC=AD，/40。=70。可得/40。=/48=70。，再由=可得出

ZOBC=ZOCB=-ZAOC=35°.

2

【详解】解：:在。。中，AC=AD,ZAOD=JO°

：.ZAOC=ZAOD=70。，

'：OB=OC,

：.NOBC=ZOCB=-ZAOC=35°,

2

故选：B.

【点睛】此题考查了弧与圆心角的关系、等腰三角形的性质及三角形外角的性质，掌握数形结合思想的应

用是解题的关键.

3.（2023•全国•九年级专题练习）如图，48是。。的直径，CD、8E是。。的两条弦，交A3于点G,

点C是BE的中点，点2是CZ）的中点，若AB=10,BG=2,则BE的长为（）

A.3B.4C.6D.8

【答案】D

【分析】先根据垂径定理的推论得到ABLCD,CD=2CG,再利用勾股定理求出CG=4,进而得到

CD=2CG=8,再证明BE=CO，贝lj3E=CD=8.

【详解】解：如图所示，连接OC,

:点3是CO的中点，AB是。。的直径，

ABA.CD,BC=BD，

：.CD=2CG,

,?AB=10,

/.OC=OB=-AB=5,

2

*/BG=2,

：.OG=3,

在RtACOG中，由勾股定理得CG=Joe?-心=4,

CD=2CG=8,

,点C是BE的中点，

一BC=EC，

••BC=EC=BD，

BE=CD，

：.BE=CD=8,

故选D.

【点睛】本题主要考查了垂径定理的推论，勾股定理，弧与弦之间的关系，正确作出辅助线构造直角三角

形是解题的关键.

4.（2023•河北•统考中考真题）如图，点心是。。的八等分点.若△阳3四边形鸟心《鸟的周长分别

为a,b,则下列正确的是（）

P5

A.a<bB.a=bC.a>bD.a,6大小无法比较

【答案】A

［分析］连接AEE，依题意得々鸟=巴鸟=鸟舄=［与，鸟［=片鸟，/明的周长为a=P^+PlP1+P3P1,

四边形ABIA的周长为6=舄舄+舄累+62+乙2,故6-。=<心+2月一耳A，根据心鸟的三边关系即

可得解.

【详解】连接耳鸟,鸟鸟,

尸5

:点4~月是。。的八等分点，即邛£=鸟鸟=£尸4=心心=心月=心2=4尸8=44

；.牝=鸟鸟=2="，P,P6=P4P5+P5P6=PR+站=的

••BE=6月

又V“PF3Pl的周长为。=《月+々片+月片，

四边形里诅骂的周长为6=△舄+舄M+4片+鸟片，

•*,b-a=（^3^4+B稣+月，+月舄）一（耳£+44+4，）=（46+片，+6月+6月）一（4月+耳片+月，）

=62+a月-月月

在中有帆+鸟鸟>片鸟

.*.b—a=P[P2+P2P3—PR>0

故选A.

【点睛】本题考查等弧所对的弦相等，三角形的三边关系等知识，利用作差比较法比较周长大小是解题的

关键.

5.（2023•黑龙江哈尔滨・统考二模）如图，AB是。。的直径BC=CZ）=r）E，若NCOD=35。,则/AOE的

度数是（）.

A.35°B.55°C.75°D.95°

【答案】C

【分析】根据同圆中等弧所对的圆心角相等得到NDOE=N3OC=NCOD=35。，再根据平角的定义求出

/AOE的度数即可.

【详解】解：••.BC=CD=DE，NCOD=35°,

：.ZDOE=ZBOC=ZCOD=35°,

/AOE=180°-NDOE-ZBOC-ZCOD=75°,

故选C.

【点睛】本题主要考查了弧与圆心角的关系，熟知同圆中等弧所对的圆心角相等是解题的关键.

6.（2020秋・广东广州•九年级广州市第十三中学校考期中）如图，42、C、。是。O上的点，如果AB=CD,

ZAOB=70°,那么NCO£>=_.

【答案】70。

【分析】根据圆心角、弧、弦三者的关系可解答.

【详解】解：♦••钿=€»,

Z.COD=ZAOB=1Q°,

故答案为：70°.

【点睛】本题主要考查圆心角、弧、弦三者的关系，解题的关键是掌握在同圆或等圆中，①圆心角相等,

②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等.

7.（2023•江苏•九年级假期作业）如图，AB是。。的直径,C是54延长线上一点，点D在。。上，且CD=OE,

8的延长线交。。于点E.若NC=25。，则NCEO度数为

【分析】根据CD=OD求出"OC=NC=25。，根据三角形的外角性质求出N£DO=NC+NOOC=50。,

根据等腰三角形的性质求出ZE=ZEDO=50°.

【详解】解：连接OD.

VCD=OE,OE=OD,

，CD=OD,

'：ZC=25°,

NDOC=NC=25。,

：.Z.EDO=ZC+NDOC=50°,

OD=OE,

ZE=ZEDO=50°.

故答案为：50.

【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形的外角性质，圆的知识，能求出NODE

的度数是解此题的关键.

8.（2022•广东湛江•一模）已知41PE,有一量角器如图摆放，中心。在P4边上，为0。刻度线，OB为

180。刻度线，角的另一边PE与量角器半圆交于C,£＞两点，点C,。对应的刻度分别为160。，68°,贝U/4PE

【答案】24

【分析】利用点C，。对应的刻度分别为160。，68°,求出/COD,/COP,再根据OC=OD求出/OCD,

利用外角的性质得至！］ZOCD=ZCOP+ZAPE,从而得解.

【详解】解：如图，连接0。，OC,

根据题意得，ZAOD=68°,NAOC=160。,

Z.COD=ZAOC-ZAOD=92°,NCOP=180°-ZAOC=20°,

OC=OD,

：.ZOCD=ZODC=|x(180°-ZCOD)=1x(180°-92°)=44°,

•?Z.OCD=ZCOP+ZAPE,

ZAPE=ZOCD-ZCOP=24°,

故答案为：24.

【点睛】本题考查等边对等角，三角形外角的定义与性质，圆心角等知识，根据刻度找出相应的圆心角并

计算其他角度是解题的关键.

9.(2023秋•河北邢台•九年级校联考期末)如图，是的直径，BC=CD，NCOD=50。，求N48的

度数.

【分析】根据圆的性质进行计算即可得.

【详解】解：在。。中，48是。。的直径,

:.ZAOB=180°,

又：BC=CD，

：.ZBOC=NCOD=5。。,

ZAOD=180°-50°-50°=80°.

【点睛】本题考查了圆的性质，解题的关键是掌握同弧所对的圆心角相等.

10.(2022秋•江苏扬州•九年级仪征市第三中学校考阶段练习)如图，在。。中，弦A3与弦C£＞相交于点E,

且AB=CD.求证：CE=BE.

【答案】见解析

【分析】由弧、弦、圆心角的关系进行证明，结合等角对等边，即可得到结论成立.

【详解】证明：•.•AB=CD,

AB=CD，

AB-BC=CD-BC，

即AC=BD，

,\ZB=ZC,

BE=CE；

【点睛】本题考查了弧、弦、圆心角的关系，解题的关键是掌握所学的知识进行证明.

11.（2023•江苏•九年级假期作业）如图所示，AB.CD是。O的两条弦，且AC=8D,则A8与8的大小

有什么关系？为什么？

【分析】连接4。，利用圆心角、弧、弦的关系解答即可.

【详解】解：相等.

•*-AC=BD,BC=BC，

AB=CD，

：.AB=CD.

【点睛】此题考查圆心角、弧、弦的关系，关键是根据圆心角、弧、弦的关系解答.

12.（2023•湖北武汉•校考模拟预测）如图A3为圆。的直径，AE为圆。的弦，C为。上一点，AC=CE，

CD1AB,垂足为D

c

B

-----------------/E

(1)连接CO,判断CO与AT?的位置关系，并证明；

⑵若AE=8,BD=2,求圆。的半径；

【答案】(DCOLAE,证明见详解

(2)5

【分析】(1)COVAE,理由如下：延长CO交AE于点G,连接OE,再根据圆的基本性质及等腰三角形

的性质即可；

(2)由(1)中结论，COLAE,AG=jAE=4,先证明AAGO也ACDO(AAS),再根据勾股定理即可.

【详解】(1)解：COVAE,理由如下：

延长CO交AE于点G,连接。E,

AC=CE，

:.ZAOC=ZCOE,

ZAOG=180°-ZAOC,ZGOE=180°-ZEOC,

ZAOG=ZGOE,

■.■OA^OE,

:.CO±AE-,

(2)解：由(1)中结论，CO±AE,AG=-AE=4,

2

ZAGO=ZCDO=90°,ZAOG=ZCOD,AO=CO,

△AGO^ACDO(AAS),

AG=CD=4,

设。。的半径为r,则。D=r—2,OC=r,

在RtACDO中，CD?+OD2=OC2，即4?+(r-2)2=r2,

解得：厂=5,即。。的半径为5.

【点睛】本题考查圆的基本性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用数

形结合的思想解决问题，属于中考常考题型.

题型三圆周角定理及其应用

【例4】（1）（2023•江苏连云港•校联考三模）如图，已知：四个边长为1的小正方形拼成一个大正方形，4

B、O是小正方形顶点，的半径为1,尸是O。上的点，且位于右上方的小正方形内，则等于（）

A.30°B.45°C.60°D.90°

【答案】B

【分析】根据圆周角定理求解即可.

【详解】ZAPB=-ZAOB=45°,

2

故选：B.

【点睛】本题考查圆周角定理，熟记同圆中一条弧所对的圆周角等于所对圆心角的一半是解题的关键.

（2）（2023秋•山西大同•九年级统考期末）如图，为。。的直径，点在圆上且在直径的两侧,

若/&1C=25。，则/O的度数为（）

A.40°B.45°C.65°D.75°

【答案】C

【分析】连接BC,由圆周角定理即可求出一。的度数.

【详解】解：连接BC,

/ACS=90。，

二ZCBA=90°-ZBAC=90°-25°=65°,

ZD=NCBA=65°.

故选：C.

【点睛】本题考查圆周角定理，掌握圆周角定理是解题的关键.

【例5】（2022秋•山西吕梁•九年级校考阶段练习）如图，48是。。的直径，弦CE平分/ACB交。。于点

E.交于点。.连接AE、BE,ZBEC=60°,AC=6.

⑴求四边形ACBE的面积；

（2）求CE的长.

【答案】⑴36+18由⑵3夜+3面

【分析】（1）四边形ACBE的面积可以分为两部分，分别求解两部分三角形的面积，即可求解;

（2）作根据直角三角形的性质，分别求得CF,EF,即可求解.

【详解】（1）解：是。。的直径，

二ZACB=ZAEB=90°,

又：弦CE平分NACB,

ZACE=ZBCE=45°,

AE=BE,

AABE是等腰直角三角形，

ZBEC=60°,

：.ZBAC=60°,

：.ZABC=30°,

AB=2AC=12,

由勾股定理得3C=JAB2_3C2=66,

AE2+BE2=AB2，解得AE=aE=60，

S.fir=-ACxBC=18^/3,SARF=-AEXBE=36,