中考数学专项复习：一元一次不等式的应用与一元一次不等式组（原卷版）

专题09一元一次不等式的应用与一元一次不等式组

考点串

一、一元一次不等式实际问题

1.行程问题：路程=速度X时间

2.工程问题：工作量=工作效率X工作时间，各部分劳动量之和=总量

3.利润问题：商品利润=商品售价一商品进价，利润率=韶、100%

进价

4.和差倍分问题：增长量=原有量X增长率

5.银行存贷款问题：本息和=本金+利息，利息=本金义利率

6.数字问题：多位数的表示方法：例如：abed=axl03+/>xl02+cxl0+<7.

7.收费问题：分类讨论，起步价，超过部分价格分好设x即可

8.几何问题：判断是哪种类型，如果是长方形则设长和宽x即可

列不等式解决实际问题

列一元一次不等式解应用题与列一元一次方程解应用题类似，通常也需要经过以下几个

步骤：

(1)审：认真审题，分清已知量、未知量及其关系，找出题中不等关系要抓住题中的关

键字眼，如“大于”、“小于”、“不大于”、“至少”、“不超过”、“超过”等；

(2)设：设出适当的未知数；

(3)列：根据题中的不等关系，列出不等式；

(4)解：解所列的不等式；

(5)答：写出答案，并检验是否符合题意.

注意

(1)列不等式的关键在于确定不等关系；

(2)求得不等关系的解集后，应根据题意，把实际问题的解求出来；

(3)构建不等关系解应用题的流程如图所示.

抽

实际问题(包含不等关系)象出

还

原

到

检验

(4)用不等式解决应用问题，有一点要特别注意：在设未知数时，表示不等关系的文字如

“至少”不能出现，即应给出肯定的未知数的设法，然后在最后写答案时，应把表

示不等关系的文字补上.

二、一元一次不等式组

不等式组的概念

x—7>0

x-2>5

如《<2x+ll>6等都是一元一次不等式组.

x-6<2010

3x+15<9

(1)这里的“几个”不等式是两个、三个或三个以上.

(2)这几个一元一次不等式必须含有同一个未知数.

解一元一次不等式组

1.一元一次不等式组的解集：

注意：

(1)找几个不等式的解集的公共部分的方法是先将几个不等式的解集在同一数轴上表示出来,

然后找出它们重叠的部分.

(2)有的一元一次不等式组中的各不等式的解集可能没有公共部分，也就是说有的不等式组

可能出现无解的情况.

2.一元一次不等式组的解法

(1)分别求出不等式组中各个不等式的解集.

(2)利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分即这个不等式组的解集.

一元一次不等式组的应用

列一元一次不等式组解应用题的步骤为审题一设未知数一找不等关系一列不等式组一

解不等式组一检验一答.

注意：

(1)利用一元一次不等式组解应用题的关键是找不等关系.

(2)列不等式组解决实际问题时，求出不等式组的解集后，要结合问题的实际背景，从解集

中联系实际找出符合题意的答案，比如求人数或物品的数目、产品的件数等，只能取整

数.

类型一、行程问题

类型二、工程问题

类型三、利润问题

专题过关

类型四、和差倍分问题类型十、一元一次不等式组中有、无解

类型五、利息问题类型H--、一元一次不等式组与二元一次方程组求解

类型六、收费问题-类型十二、一元一次不等式组的新定义

【解惑】

（2023春•全国,七年级专题练习）小茗要从石室联中到春熙路ZFS国际金融中心，两地相距

L7千米，已知他步行的平均速度为90米/分钟，跑步的平均速度为210米/分钟，若他要在

不超过12分钟的时间内到达，那么他至少需要跑步多少分钟？设他要跑步的时间为x分钟,

则列出的不等式为（）

A.210^+90（12-x）＞1,7B.210x+90（12-x）＜1.7

C.210x+90（12-x）＞1700D.210x+90（12-x）＜1700

【融会贯通】

1.（2023•黑龙江哈尔滨•统考一模）甲、乙两车分别从相距200千米的/、8两地相向而行,

甲乙两车均保持匀速行驶，若甲车行驶2小时，乙车行驶3小时，两车恰好相遇若甲车行

驶4小时，乙车行驶1小时，两车也恰好相遇.

⑴求甲乙两车的速度（单位：千米/小时）是多少.

（2）若甲乙两车同时按原速度行驶了1小时，甲车发生故障不动了，为了保证乙车再经过不

超过2小时与甲车相遇，乙车提高了速度，求乙车提速后的速度至少是每小时多少千米？

2.（2023春•全国•七年级专题练习）在爆破时，如果导火索燃烧的速度是0.015m/s,人跑开

的速度是3m/s,那么要使点导火索的施工人员在点火后能够跑到100m以外（包括100m）

的安全地区，这根导火索的长度至少应取多少米？

3.（2022春•上海•八年级期中）小明早上七点骑自行车从家出发，以每小时18千米的速度

到距家7千米的学校上课，行至距学校1千米的地方时，自行车突然发生故障，小明只得改

为步行前往学校，如果他想在7点30分赶到学校，那么他每小时步行的速度至少是多少千

米？

4.（2021春•山西•七年级校联考期末）小宇骑自行车从家出发前往地铁2号线的B站，与此

同时，一列地铁从A站开往3站.3分钟后，地铁到达B站，此时小宇离5站还有2400

米.已知A、B两站间的距离和小宇家到B站的距离恰好相等，这列地铁的平均速度是小宇

骑车的平均速度的5倍.

（1）求小宇骑车的平均速度

（2）如果此时另有一列地铁需10分钟到达3站，且小宇骑车到达3站后还需2分钟才能走

到地铁站台候车，那么他要想乘上这趟地铁，骑车的平均速度至少应提高多少？（假定这两

列地铁的平均速度相同）

5.（2021•广西百色•校联考一模）邓老师从学校出发，到距学校2160米的某商场买学习奖

品，她步行了9分钟然后换骑共享单车，全程共用15分钟（转换方式所需时间忽略不

计）.已知邓老师骑共享单车的平均速度是步行速度的3倍.

（1）邓老师步行和骑共享单车的平均速度分别是多少？

（2）若邓老师仍然以步行和骑共享单车的方式分别按原来速度原路返回，买完奖品时正好

10:31,为赶上10:45的数学课，问路上最多可步行多少米？

类型二、工程问题

【解惑】

（2022秋・重庆丰都•九年级校考期中）众所周知，我国新疆盛产棉花，品种多且质量好，其

中天然彩棉最具特色.每年4月底至5月初是种植天然彩棉的最佳季节.某农场今年有8480

亩待种棉地，计划全部播种天然彩棉.农场现有雇佣工人若干名，且每个工人每小时种植棉

花的面积相同.农场先将所有工人分成/、B、C三组，其中C组比/组多5人，且N、B、

。三组工人每天劳动时间分别为12小时，10小时，8小时.一开始三组工人刚好用了8天

完成了3200亩棉地的种植；接下来，农场安排/组工人每天劳动8小时，C组工人每天劳

动12小时，5组工人劳动时间不变，这样调整后的三组工人也刚好用了8天完成了3280亩

棉地的种植.为了不错过种植的最佳季节，农场决定从其他农场紧急雇佣3他名工人，平均

分配给4B、C三组进行支援，此时4B、C三组工人每天劳动时间仍分别为8小时，10

小时，12小时，以确保剩下的棉地在4天内完成全部种植，则3小的最小值为.

【融会贯通】

1.（2022春•海南海口•七年级校考期中）5月份是空调销售和安装的高峰时期.某区域售后

服务中心现有600台已售空调尚待安装，另外每天还有新销售的空调需要安装.设每天新销

售的空调台数相同，每个空调安装小组每天安装空调的台数也相同.若同时安排3个装机小

组，恰好60天可将空调安装完毕若同时安排5个装机小组，恰好20天就能将空调安装完

毕.

（1）求每天新销售的空调数和每个空调安装小组每天安装空调的台数；

⑵如果要在5天内将空调安装完毕，那么该区域售后服务中心至少需要安排几个空调安装

小组同时进行安装？

2.（2023春•广东佛山•八年级校考阶段练习）小明借到一本72页的图书，要在10天之内读

完，开始2天每天只读5页，在剩下的时间里，小明每天至少要读多少页？

3.（2023春•八年级单元测试）现有甲乙两个工程队参加一条道路的施工改造，受条件阻制,

每天只能由一个工程队施工.甲工程队先单独施工3天，再由乙工程队单独施工5天，则可

以完成340米施工任务若甲工程队先单独施工2天，再由乙工程对单独施工4天，则可以

完成260米的施工任务.

⑴求甲、乙两个工程队平均每天分别能完成多少米施工任务？

（2）要改造的道路全长1300米，工期不能超过30天，那么乙工程队至少施工多少天？

4.（2022春・山东青岛•八年级统考期末）某学校为美化校园环境，计划对面积为1400n?的

区域进行绿化，安排甲、乙两个工程队完成.己知乙队每天能完成绿化的面积是50平方米,

甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化的面积的2倍，学校每天需付给甲队的绿

化费用为0.4万元，每天需付给乙队为0.5万元，要使这次的绿化总费用不超过8万元，至

少应安排甲队工作多少天？

5.（2022春•河南驻马店•七年级统考期末）［方案思想］

（一）为了丰富群众文化生活，某县城区已经整体转换成了数字电视.目前该县广播电视信

息网络公司正在对乡镇进行数字电视改装.公司现有400户申请了但还未安装的用户，此外

每天还有新的用户申请.已知每个安装小组每天安装的数量相同，且每天申请安装的用户数

也相同，公司若安排3个安装小组同时安装，则50天可以安装完所有新、旧申请用户；若

公司安排5个安装小组同时安装，则10天可以安装完所有新，旧申请用户.

（1）求每天新申请安装的用户数及每个安装小组每天安装的数量；

⑵如果要求在8天内安装完所有新、旧申请用户，但前3天只能派出2个安装小组安装，

那么最后几天至少需要增加多少个安装小组同时安装，才能完成任务.

（二）"端午节"是中华民族古老的传统节日.甲、乙两家超市在“端午节”当天对一种原来售

价相同的粽子分别推出了不同的优惠方案.

甲超市方案：购买该种粽子超过200元后，超出200元的部分按95%收费；

乙超市方案：购买该种粽子超过300元后，超出300元的部分按90%收费.

设某位顾客购买了x元的该种粽子.

X（单位：元）实际在甲超市的花费（单位：元）实际在乙超市的花费（单位：元）

200X

200<x<300—X

x>300——

⑶补充表格，填写在“横线"上；

⑷当X为何值时到甲、乙两超市的花费一样？

⑸如果顾客在“端午节”当天购买该种粽子超过300元，那么到哪家超市花费更少？说明理

由.

类型三、利润问题

【解惑】

(2023春•山东济南•八年级校考阶段练习)某种笔记本原售价是每本7元，凡一次购买3本

或以上可享受优惠价格，第1种：3本按原价，其余按七折优惠；第2种：全部按原价的八

折优惠，若想在购买相同数量的情况下，要使第1种比第2种更优惠，则至少购买笔记本是

()

A.7本B.8本C.9本D.10本

【融会贯通】

L(2023春•全国•七年级专题练习)随着新冠疫情的出现，口罩成为日常生活的必需品，某

医药公司每月生产甲、乙两种型号的防疫口罩共20万只，且所有口罩当月全部卖出，其中

成本、售价如表所示：

甲乙

成本1.2元/只0.4元/只

售价1.8元/只0.6元/只

⑴若该公司三月份的利润为8.8万元，求生产甲、乙两种型号的防疫口罩分别是多少万只？

(2)养正学校到该公司购买乙型口罩，有如下两种方案，方案一：乙型口罩一律打8折；方案

二：购买16.8元会员卡后，乙型口罩一律打7折，请帮养正学校设计出合适的购买方案.

2.（2023秋•河北保定•七年级校考期末）某超市对4,8两种商品开展春节促销活动，活动

方案有如下两种：

商品AB

标价（单位：元）110160

方案一每件商品出售价格按标价打7折按标价打a折

方案二若所购商品超过10件（不同商品可累计）时，每件商品均按标价打8折后出售

（同一种商品不可同时参与两种活动）

⑴某单位购买/商品5件，8商品4件，共花费961元，求。的值；

（2）在（1）的条件下，若某单位购买工商品x件，购买3商品的件数比/商品件数的2倍还

多一件，请问该单位该如何选择才能获得最大优惠？请说明理由.

3.（2021春•重庆南岸•八年级校联考期中）新冠肺炎疫情发生后.口罩市场出现热销，小明

的爸爸用12000元购进医用外科、N95两种型号的口罩在自家药房销售.销售完后总销售

额为14700元，进价和售价如表：

品名价格医用外科口罩N95口罩

进价（元/袋）2030

售价（元/袋）2536

（1）小明爸爸的药房购进医用外科、N95两种型号口罩各多少袋？

（2）该药房第二次以原价购进医用外科、N95两种型号口罩，购进医用外科口罩袋数不变，

而购进N95口罩袋数是第一次的2倍，医用外科口罩按原售价出售，而效果更好的N95口

罩打折让利销售，若两种型号的口罩全部售完，要使第二次销售活动获利不少于2460元，

每袋N95口罩最多打几折？

4.（2022春・海南海口•七年级琼山中学校考阶段练习）春节前小六从蔬菜批发市场批发蔬菜

进行零售，蔬菜批发价格与零售价格如下表：

品种青椒土豆

批发价（元/kg）1.53

零售价（元/kg）34

请解答下列问题：

⑴第一天，小六批发青椒和土豆两种共200kg,用去了450元钱，这两种蔬菜当天全部售

完一共能赚多少元钱？

⑵第二天，还是用去450元钱批发青椒和土豆，要想当天全部售完后所赚钱数不少于270

元，则最多能批发土豆多少千克？

5.（2023春•全国•八年级专题练习）某网店在“618购物节”前准备从厂家选购相同数量的A、

B两种商品，已知3种商品每件进价比A种商品每件进价少20元，购进A种商品需要1200

元，购进B种商品需要1000元.

（1）求A、&两种商品每件的进价分别是多少元；

⑵若A种商品的售价为每件145元，8种商品的售价为每件120元，该网店准备购进A、B

两种商品共40件，且这两种商品的全部售出后总利润不少于920元，则B种商品最多可购

进多少件？

类型四、和差倍分问题

【解惑】

（2020•湖南常德•统考一模）我国的《洛书》中记载着世界上最古老幻方：将1-9这九个数

字填入3x3的方格内，使三行、三列、两对角线上的三个数之和都相等.如图的幻方中字母m

所能表示的所有数中最大的数是（）

A.6B.7C.8D.9

【融会贯通】

L（2023•云南•模拟预测）某校为活跃班级体育大课间，计划分两次购进一批羽毛球和乒乓

球.第一次分别购进羽毛球和乒乓球30盒和15盒，共花费675元第二次分别购进羽毛球

和乒乓球12盒和5盒，共花费265元.若两次购进的羽毛球和乒乓球的价格均分别相同.

（1）羽毛球和乒乓球每盒的价格分别是多少元？

⑵若购买羽毛球和乒乓球共30盒，且乒乓球的数量少于羽毛球数量的2倍，请你给出一种

费用最省的方案，并求出该方案所需费用.

2.（2022秋•黑龙江哈尔滨•九年级哈尔滨德强学校校考阶段练习）某班级为学习成绩进步的

学生购买奖品，计划购买同一品牌的钢笔和自动铅笔，到文教店查看定价后发现，购买1支

钢笔和5支自动铅笔共需50元，购买3支钢笔和2支自动铅笔共需85元.

（1）求该品牌的钢笔、自动铅笔每支的定价分别是多少元；

（2）如果该班级需要自动铅笔的数量是钢笔的数量的2倍还多8个，现在文教店进行促销活

动，全场商品一律八折出售，且班级购买钢笔和自动铅笔的总费用不超过620元，那么该班

级最多可购买多少支该品牌的钢笔？

3.(2023春,全国•八年级专题练习)为了抓住中秋商机，某商店计划购进42两种月饼，

若购进/种月饼10盒，8种月饼5盒，需要600元；若购进/种月饼5盒，8种月饼3盒,

需要330兀.

(1)求购进48两种月饼每盒需要多少元？

⑵若该商店决定拿出2400元全部用来购进两种月饼，考虑市场需求，要求购进/种月饼的

数量不少于8种月饼数量6倍，且不超过8种月饼数量的8倍.请你分别求出该商店共有

几种进货方案？

4.(2021秋・重庆•八年级重庆巴蜀中学校考期中)金秋十月，丹桂飘香.香甜可口的桂花糕

也成为了大家茶余饭后喜爱的甜点，某超市10月分别用3000元和6600元购进N、B两种礼

盒的桂花糕若干件，其中3的件数是4的件数的2倍，每件3的进价比每件/的进价多2

元./礼盒售价为36元/件，8礼盒售价为24元/件.

(1)求该超市10月购进/礼盒桂花糕多少件；

⑵由于深受广大消费者喜爱，10月购进的/、B两款桂花糕很快就销售完，11月该超市继

续购进这两款桂花糕，但在销售时进行了适当的调整，/礼盒的售价降低了;a％,8礼盒

售价不变.结果/礼盒的销量在10月销量的基础上增加了60%,8礼盒的销量在10月销量

的基础上增加了g机％,若要使得11月两种礼盒的总销售额不低于15552元，求加的最大

值.

5.（2023春•福建漳州•七年级统考期中）某商场进货40件/商品和30件8商品共用了760

元，进货50件/商品和10件8商品共用了840元.

（1）求/、8两种商品的进价.

（2）该商场在某次进货中，2商品的件数比/商品的件数的2倍少4件，且/、2两种商品的

总件数至少为26件，总费用不超过248元，请问该商场有哪几种进货方案？

类型五、利息问题

【解惑】

（2013,浙江杭州•统考一模）某企业向银行贷款100万元，一年后归还银行106.6多万元，

则年利率高于%.

【融会贯通】

1.（2018秋•湖南张家界•八年级校考期末）2007年5月19日起，中国人民银行上调存款利

率.

人民币存款利率调整表:

项目调整前年利率%调整后年利率％

活期存款0.720.72

二年期定期存款2.793.06

储户的实得利息收益是扣除利息税后的所得利息，利息税率为20%.

（1）小明于2007年5月19日把3500元的压岁钱按一年期定期存入银行，到期时他实得

利息收益是多少元？

（2）小明在这次利率调整前有一笔一年期定期存款，到期时按调整前的年利率2.79%计

息，本金与实得利息收益的和为2555.8元，问他这笔存款的本金是多少元？

（3）小明爸爸有一张在2007年5月19日前存人的10000元的一年期定期存款单，为获取

更大的利息收益，想把这笔存款转存为利率调整后的一年期定期存款.问他是否应该转存？

请说明理由.

约定：①存款天数按整数天计算，一年按360天计算利息.

②比较利息大小是指从首次存入日开始的一年时间内.获得的利息比较.如果不转存，利

息按调整前的一年期定期利率计算如果转存，转存前已存天数的利息按活期利率计算，转

存后，余下天数的利息按调整后的一年期定期利率计算（转存前后本金不变）.

2.（2022秋•八年级课时练习）某企业向银行贷款1000万元，一年后归还银行贷款的本利

和超过1040万元.问年利率在怎样的一个范围内？

3.（2021春・重庆渝中•七年级重庆巴蜀中学校考期末）2021年初，随着重庆本地的一些优

势政策的落地，城市经济发展状况越来越好，购房需求有增无减，重庆楼市涨幅明显，据国

家统计局5月17日公布的70城房价数据显示，4月重庆新房价格环比上涨1.4%,领涨全国

二手房价格环比上涨13%,涨幅全国第二.5月份，重庆RC壹号院甄装大平层璀璨登场，

共推出/、2两种大平层共100套，其中/户型340万元/套，2户型460万元/套.

（1）RC壹号院5月的销售总额为38800万元，问5月推出/、8两种户型各多少套？

（2）近期，关于重庆银行利率上涨、二手房将停贷等消息在朋友圈被大量转发，重庆楼市

将要进行调控成为了各大平台的热点话题.为年中清盘促销，地产商调整了营销方案，对销

售团队采取奖励办法：每销售一套/户型按每套售价的。％给予奖励，每销售一套2户型按

每套售价的0.5%给予奖励.奖励办法出台后./户型6月份的销售量比5月份增加了50%；

而8户型6月份的销售量比5月份减少了30%,为保证销售团队6月份类励金额不低于

4

152.97万元，求。的最小值.

4.（2020春•黑龙江哈尔滨•七年级哈尔滨市光华中学校校考阶段练习）水产养殖户李大爷准

备进行大闸蟹与河虾的混合养殖，他了解到如下信息：

①每亩水面的年租金为500元.

②每亩水面可在年初混合投放4kg蟹苗和20kg虾苗.

③每千克蟹苗的价格为75元，其饲养费用为525元，当年可获1400元收益.

④每千克虾苗的价格为15元，其饲养费用为85元，当年可获160元收益.

（1）若租用水面n亩，则年租金共需元；

（2）水产养殖的成本包括水面年租金、苗种费用和饲养费用，求每亩水面蟹、虾混合养殖

的年利润（利润=收益一成本）；

（3）李大爷现有资金25000元，他准备再向银行贷款不超过25000元，用于蟹虾混合养殖,

已知银行贷款的年利率为10%,试问李大爷应该租多少亩水面，并向银行贷款多少元，可使

年利润达到36600元？

5.（■江苏苏州・中考真题）苏州地处太湖之滨，有丰富的水产养殖资源，水产养殖户李大爷

准备进行大闸蟹与河虾的混合养殖，他了解到如下信息：

①每亩水面的年租金为500元，水面需按整数亩出租；

②每亩水面可在年初混合投放4公斤蟹苗和20公斤虾苗；

③每公斤蟹苗的价格为75元，其饲养费用为525元，当年可获1400元收益；

④每公斤虾苗的价格为15元，其饲养费用为85元，当年可获160元收益；

⑴若租用水面"亩，则年租金共需一元；

⑵水产养殖的成本包括水面年租金、苗种费用和饲养费用，求每亩水面蟹虾混合养殖的年

利润（利润：收益一成本）；

⑶李大爷现有资金25000元，他准备再向银行贷不超过25000元的款.用于蟹虾混合养

殖.已知银行贷款的年利率为8%,试问李大爷应该租多少亩水面，并向银行贷款多少

元.可使年利润超过35000元?

类型六、收费问题

【解惑】

（2022春・山东临沂•七年级统考期末）甲，乙两市出租车收费标准如表:

起步价（元）3千米后（元/千米）

甲102

乙82.5

某人分别在两市乘坐出租车各行驶x千米（其中x>3）,若甲市的收费高于乙市，则x的取

值范围为（）

A.x<7B.%>3C.x>10D.x<10

【融会贯通】

1（2022春•安徽淮北•七年级淮北一中校联考阶段练习）甲，乙两市出租车收费标准如下表

起步价（元）3千米后（元/千米）

甲102

乙82.5

某人分别在两市乘坐出租车各行驶无千米（其中x>3）,若甲市的收费高于乙市，则x的值

（）

A.大于7B.小于7C.大于10D.小于10

2.（2023春・全国•七年级专题练习）甲、乙两个家庭计划利用"五一"假期到某景区旅游，已

知甲家庭人数比乙家庭人数多4人，且甲家庭人数的2倍恰好等于乙家庭人数的3倍.

⑴求甲、乙两家庭的人数分别有多少人？

（2）现有48两个旅行社，他们的报价相同，都是成人票价200元，儿童票价120元.同时,

他们都规定：团体人数不少于15人，可按表格中的优惠条件购票.设两个家庭共有加名儿

童，若他们组团旅游，则选择哪一家旅行社支付旅游费用较少？

旅行社团体优惠条件

A/成人全价购票，儿童可免费

B8成人8折购票，小孩半价购票

3.（2022秋•山东青岛,九年级青岛大学附属中学校考开学考试）为了落实水资源管理制度,

大力促进水资源节约，某地实行居民用水阶梯水价，收费标准如下表：

居民用水阶梯水价表单位：元/立方米

分档户每月分档用水量X（立方米）水价

第一阶梯0<x<155.00

第二阶梯15<x<217.00

第三阶梯x>219.00

⑴小明家5月份用水量为14立方米，在这个月，小明家需缴纳的水费为元；

（2）小明家6月份缴纳水费110元，在这个月，小明家缴纳第二阶梯水价的用水量为

立方米；

⑶随着夏天的到来，用水量将会有所增加，为了节省开支，小明家计划7月份的水费不超

过180元，在这个月，小明家最多能用水多少立方米？

4.（2022秋•山东临沂•七年级统考期末）春节期间，某同学计划租车去旅行，在看过租车公

司的方案后，认为有以下两种方案比较适合（注：两种车型的油耗相同）：

日租金（单位：元）免费行驶里程（单位：千米）超出部分费用（单位：元/千米）

/型12001001.5

3型15002001.2

解决下列问题：

⑴如果此次旅行的总行程为1800千米，请通过计算说明租用哪种型号的车划算；

（2）设本次旅行行程为x千米，请通过计算说明什么时候选N型车，什么时候选8型车？.

5.（2023春•八年级单元测试）某工厂需将产品分别运送至不同的仓库，为节约运费，考察

了甲、乙两家运输公司.甲、乙公司的收费标准如下表：

运输公司起步价（单位：元）里程价（单位：元/千米）

甲10005

乙50010

⑴仓库A距离该工厂120千米，应选择哪家运输公司？

（2）仓库C,。与该工厂的距离分别为60千米、100千米、200千米，运送到哪个仓库时,

可以从甲、乙两家运输公司任选一家？

⑶根据以上信息，你能给工厂提供选择甲、乙公司的标准吗？

6.（2022•广东揭阳•统考二模）为了增强公民的节水意识，合理利用水资源，某市出台了居

民用水"阶梯价格"制度来引导市民节约用水，下表是用水价格的标准：

阶梯一户居民每月用水量（单位：立方米）水费价格（单位：元/立方米）

一档不超过15立方米a

二档超过15立方米的部分b

已知该市某户居民今年4月份用水16立方米，缴纳水费50元；5月份用水20立方米，缴

纳水费70元.

（1）求出表格中a、b的值；

（2）6月份是用水高峰期，该户居民计划6月份水费支出不超过85元，那么该户居民6月

份最多可用水多少立方米?

类型七、数字问题

【解惑】

（2020•七年级统考课时练习）一个两位数，它的十位数上的数字比个位上的数字大2.且这

个两位数小于40,则这个两位数是.

【融会贯通】

1.（2022春・河南南阳•七年级统考期中）一个两位数，其十位上数字与个位上数字之和等于

9,且十位上数字与个位上数字都不为0.若将其十位上数字与个位上数字调换，所得新数

小于原来数的：.求这个两位数.

2.（2022春•重庆荣昌•七年级统考期末）阅读材料：一个四位自然数各位数字不同且不为0,

若它满足千位数字与个位数字之和等于百位数字与十位数字之和，我们称这个四位自然数为

"双城数".比如8631,各位数字均不为0且不相同，8+1=6+3,所以8631是"双城数".

（1）请判断5724,6532是否是“双城数”，并写出判断过程；

（2）一个“双城数"/千位数字为2,百位数字为加，个位数字为小若/的各位数字之和恰为7

的倍数，求所有满足题意的“双城数"

3.（2022•江苏•七年级假期作业）定义：对于四位自然数加，若其千位数字与个位数字之和

为7,百位数字与十位数字之和也等于7,则称这个四位自然数加为“七巧数".例如：3254

是“七巧数"，因为3+4=7,2+5=7,所以3254是“七巧数"；1456不是“七巧数"，因为

1+6=7,4+5/7,所以1456不是"七巧数".

(1)若一个"七巧数"的千位数字为4,则其个位数字可以表示为;(用含。的代数式

表示)

⑵若"七巧数”加的千位数字加上十位数字的和，是百位数字减去个位数字的差的3倍，请写

出一个满足条件的"七巧数".

4.(2020春・湖南长沙•七年级校考阶段练习)定义：对任意一个两位数a,如果a满足个位

数字与十位数字互不相同，且都不为零，那么称这个两位数为“迥异数".将一个"迥异数"的

个位数字与十位数字对调后得到一个新的两位数，把这个新两位数与原两位数的和与11的

商记为f(a).例如：a=12,对调个位数字与十位数字得到新两位数21,新两位数与原两位

数的和为21+12=33,和与11的商为33+11=3,所以f(12)=3.

根据以上定义，回答下列问题：

(1)填空：

①下列两位数：40,42,44中，“迥异数"为二

②计算：f(23)=_.

(2)如果一个"迥异数"b的十位数字是k,个位数字是2(k+1),且f(b)=11,请求出“迥

异数"b.

(3)如果一个"迥异数"c,满足c-5f(c)>30,请直接写出满足条件的c的值.

类型八、几何问题

【解惑】

(2021春,山东潍坊•七年级统考期末)如图，一机器人在平地上按图中的程序行走，要使机

器人行走的路程大于10m,则a的值可能是()

否

A.90°B.45°C.36°D.24°

【融会贯通】

L（2022•福建•模拟预测）小明同学在计算一个多边形的内角和时，由于粗心少算了一个内

角，结果得到的总和是800。，则少算了这个内角的度数为一.

2.（2023春・全国•七年级专题练习）将长为4,宽为。（。大于2且小于4）的长方形纸片按

如图①所示的方式折叠并压平，剪上一个边长等于长方形宽的正方形，称为第一次操作；

再把剩下的长方形按如图②所示的方式折叠并压平，剪下边长等于此时长方形宽的正方形,

称为第二次操作；如此反复操作下去…，若在第"次操作后，剩下的长方形恰为正方形，则

操作终止.当〃=3时，。的值为.

3.（2023春•江苏•七年级专题练习）如图，已知乙405=120。，射线OP从。/位置出发，以

每秒2。的速度顺时针向射线02旋转；与此同时，射线。0以每秒6。的速度，从位置出

发逆时针向射线旋转，到达射线后又以同样的速度顺时针返回，当射线返回并

与射线。尸重合时，两条射线同时停止运动.设旋转时间为/秒.

⑴当f=5时，贝ikPO。的度数是

（2）求射线。。返回时f的值取值范围.

⑶在旋转过程中，当0°</尸。。420。时，求f的取值范围.

（注此题主要考查，把不等式变等式来求，分三种情况，求相遇，相距30度的K再写三

个不等式范围）

4.（2023春•江苏•七年级专题练习）长方形的一边长为2米,另一边长为（x+8）米，它的周

长不大于48米，求x的取值范围.

5.（2021春•七年级课时练习）若多边形有且只有四个钝角,那么此多边形的边数至多是多

少？

类型九、一元一次不等式组中取整

【解惑】

jQ<m

有4个整数解，则〃?的取值范围是（）

ix>3

A.6<m<7B.6<m<7C.6<m<7D.6<m<7

【融会贯通】

、，\x-a>0

L（2023春•安徽滁州•七年级校考期中）关于x的不等式组有且仅有5个整数

—5<1—x

解，则。的取值范围是（）

A.-5<a<-4B.-5<a<-4C.-4<a<-3D.-4<a<-3

2x+3>12

2.（2022春•四川泸州•七年级统考期末）若关于x的一元一次不等式组.,八恰有3个

整数解，则实数。的取值范围是.

[2x-7<0

3.（2023春•陕西西安•八年级高新一中校考期中）若关于、的不等式组八有且仅有

[X-6Z>0

一个整数解x=3,则实数。的取值范围是.

x-3（x-l）>1

4.（2023春,北京西城•九年级北京铁路二中校考阶段练习）解不等式组l+3x,，并

------->x-l

[2

写出它的所有非负整数解.

5.（2023春•福建漳州•七年级统考期中）已知加，〃与代数式。加-加+l的值的对应关系如

下表:

m234

n31-1

am-bn+\-4412

（1）根据表中信息，求a,6的值;

ax-6-（x-3）<8

（2）若关于x的不等式组。人〉C、I，有且只有一个整数解，求才的取值范围.

3a-O-（-2x）+1<t

类型十、一元一次不等式组中有、无解

【解惑】

l<x<2

（2022秋・浙江•八年级专题练习）若不等式有解，则加的取值范围是（）

[x>m

A.m<2B.m>2C.m<\D.1<m<2

【融会贯通】

-2x+3机>

1.（2023春・全国•七年级专题练习）若关于x的一元一次不等式组―4—~“有解，且

2x+7<4（x+1）

最多有3个整数解，且关于y的方程"-2=四二当二2的解为非负整数，则符合条件的所

有整数m的和为（）

A.23B.26C.29D.39

\x-a<Q

2.（2022秋・湖北黄冈•八年级校联考开学考试）若不等式组।、有解，则。的取值

[1-2x<2-x

范围是（）

A.a>-1B.6Z>-1C.6Z<1D.a<l

（x>3,

3.（2023春•七年级单元测试）某班数学兴趣小组对不等式组/讨论得到以下结论①

[x<a

若。=5,则不等式组的解集为3<x45；②若a=2,则不等式组无解③若不等式组无解,

则。的取值范围为。<3；④若不等式组只有两个整数解，则。的值可以为5.3.其中，正

确结论的序号是（）

A.①②③B.①③④C.①②④D.①②③④

x+1X

■----<—

4.（2023春・全国•八年级专题练习）若不等式组32无解，则加的取值范围为

x<2m

5-3%>-1

5.（2023・全国•九年级专题练习）己知关于x的不等式组,八无解，则。的取值范围

a-2x<0

是

类型十一、一元一次不等式组与二元一次方程组求解

【解惑】

x一（4。-2）<2

（2023春•全国•八年级专题练习）若关于x的不等式组3x-lx+2的解集为xV4%且

-----<----

123

（y+2z=4。+5

关于八Z的二元一次方程组:c”的解满足了+2NT,则满足条件的所有整数。

[2y+z=2Q+4

的和为（）

A.-3B.-2C.0D.3

【融会贯通】

fx+y=-2a

1.（2022春•重庆•七年级校考期中）已知关于x,了的二元一次方程组'、的解关

[x-y=4a-2

于工,歹满足％<0,天工2,则。的取值范围为.

fx+y=m

2.（2023春•七年级单元测试）整数加满足关于x,y的二元一次方程组《:》的解是

[5x+3y=21

\5x-4m>0

正整数，且关于X的不等式组X46有且仅有2个整数解，则，〃为一

3.（2022春・江苏泰州•七年级校联考阶段练习）若关于x,y的二元一次方程组

2x+y=3a-l

x+2y=2

⑴若x+y=l,求Q的值.

⑵若-34-”3,求。的取值范围.

⑶在（2）的条件下化简⑷+|。-2|.

3x+2y=加+1①

4.2023秋•贵州铜仁•八年级统考期末）已知关于工,y的二元一次方程组

2x+y=m-1(g)

当加为何值时，工<歹且3x_2y>0?

\x+y=-a-/

5.（2021春•甘肃兰州•八年级校考期中）已知关于x,V的二元一次方程组.।2的

[x-y=i+3a

解X为非正数，了为负数，求。的取值范围.

类型十二、一元一次不等式组的新定义

【解惑】

（2023年广东省深圳市三十五校中考模拟数学试卷）定义新运算"⑤"，规定：

[x03>0

a®b=a-2b,若关于'的不等式组心的解集为％〉6,则。的取值范围是

[x®a>a

【融会贯通】

1.（2023春・安徽合肥•七年级合肥市第四十二中学校考期中）新定义：若一元一次方程的解

在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不