中考数学专项复习：绝对值

专题1.2绝对值

，典例精析

【典例1】结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：

(1)数轴上表示4和1的两点之间的距离是；表示-3和2两点之间的距离是；一般地，数轴上

表示数m和数n的两点之间的距离等于|m-n|.

(2)如果|x+l|=3,那么x=；

(3)若|a-3|=2,|b+2|=l,且数a、b在数轴上表示的数分别是点A、点B,则A、B两点间的最大距离

是，最小距离是.

(4)若数轴上表示数a的点位于-4与2之间，贝”a+4|+|a-2|=.

I___1111〉

-5-4-3-2-1012345

【思路点拨】

(1)根据数轴，观察两点之间的距离即可解决；

(2)根据绝对值可得：x+l=±3,即可解答；

(3)根据绝对值分别求出a,b的值，再分别讨论，即可解答；

(4)根据|a+4|+|a-2|表示数a的点到-4与2两点的距离的和即可求解.

【解题过程】

解：(1)数轴上表示4和1的两点之间的距离是：4-1=3；表示-3和2两点之间的距离是：2-(-3)=

5,故答案为：3,5；

(2)|x+l|=3,

x+l=3或x+l=-3,

x=2或x=-4.

故答案为：2或-4；

(3)v|a-3|=2,|b+2|=L

，a=5或1,b=-1b=-3,

当a=5,b=-3时，则A、B两点间的最大距离是8,

当a=l,b=-1时，则A、B两点间的最小距离是2,

则A、B两点间的最大距离是8,最小距离是2；

故答案为：8,2；

（4）若数轴上表示数a的点位于-4与2之间，

|a+4|+|a-2|=（a+4）+（2-a）=6.

故答案为：6.

0学霸必刷

1.（2022•高邮市模拟）若|x|+|x-4|=8,则x的值为（）

A.-2B.6C.-2或6D.以上都不对

【思路点拨】

根据绝对值的意义得出，|x|+|x-4|=8表示到原点和4的距离和是8的数，分两种情况求出x的值即可.

【解题过程】

解：•••W+|x-4|=8,

二当x>4时，x+x-4=8,

解得x=6,

当尤<0时，-x+4-x=8,

解得x=-2,

故选：C.

2.（2021秋•西峡县期末）\x+S\+\x+l\+\x-3|+|x-5|的最小值等于（）

A.10B.11C.17D.21

【思路点拨】

由|x+8|+|x+l|+|x-3|+|x-5|所表示的意义，得出当-1W烂3时，这个距离之和最小，再根据数轴表示数的特

点进行计算即可.

【解题过程】

解：|x+8|+|x+l|+|x-3|+|x-5|表示数轴上表示数x的点，到表示数-8,-1,3,5的点的距离之和，

x

_|-------------1_।।------1_>

-8-1035

由数轴表示数的意义可知,

当-时，这个距离之和最小，

最小值为|5-(-8)|+|3-(-1)|=13+4=17,

故选：C.

3.如果有理数a,b,c满足|a-b|=l,|b+c|=2,|a+c|=3,那么|a+2b+3c|等于()

A.5B.6C.7D.8

【思路点拨】

通过对式子|a+c|=3的变形，确定已知之间的关系，再进行分类讨论，结合对所求式子的变形，找到已知所

求之间的关系，再进行求解.

【解答过程】

解：|a+c|=|a-b+b+c|=3,

v|a-b|=l,|b+c|=2,

・•・a-b=l,b+c=2或a-b=-1,b+c=-2,

分两种情况讨论：

①若a-b=Lb+c=2,则两式相加，得a+c=3,

|a+2b+3c|=|a+c+2(b+c)|=|3+2x2|=7；

②若a-b=-l,b+c=-2,则两式相加，得a+c=-3,

|a+2b+3c|=|a+c+2(b+c)|=|-3+2x(-2)|=7.

故选：C.

\a+b\2\b+c\3|c+a|

4.(2021秋•洛川县校级期末)已知：m=-----+------+—--,且abc>0,a+b+c=0.则机共有x

cab

个不同的值，若在这些不同的加值中，最大的值为》则x+y=()

A.4B.3C.2D.1

【思路点拨】

根据绝对值的意义分情况说明即可求解.

【解题过程】

解：^abc>0,q+b+c=0,

“、b、c为两个负数，一个正数，

q+b=-ctb+c=-cijc+a=-b,

l-d2|-a|3\-b\

m=------+---------+---------

cab

•••分三种情况说明：

当a<0,b<0,c>0时，m=\-2-3=-4,

当a<0,c<0,6>0时，m=-]-2+3=0,

当a>0,b<0,c<0时，％=-1+2-3=-2,

共有3个不同的值，-4,0,-2,最大的值为0.

■■x=?>,y=0,

■■x+y—?>.

故选：B.

(x,(x>0)xxxx

5.我们知道|x|=。，(x=0),所以当x>0时，7-7=-=1；当x<0时，7-7=—=-1.下列结论序号

I-%,(%<o)|%|xm-x

正确的是()

ab

①已知a,6是有理数，当。厚0时，而+而的值为0或±2；

2ab

②已知a,6是不为。的有理数，当皿|=-仍时，则而+而的值为±1；

b+ca+ca+b

③已知a,b,c是有理数，a+6+c=0,abc<0,则7^"+而~+KF=-1或3；

II。II

\abc\\a\\b\\c\、

④已知a,b,。是非零的有理数，且——=—1,则——+—+一的值为1或-3；

abcabc

abcabc

⑤已知a,6,c是非零的有理数，a+b+c^Q,则而+而+而+蕨”勺所有可能的值为0.

A.①③④B.②③⑤C.①②④⑤D.①②④

【思路点拨】

关于绝对值化简的问题，就要严格利用绝对值的定义来化简，要考虑全面，有时可以用特殊值法.

【解题过程】

解：①因为a厚0,所以有以下几种情况：

a>0,b<0,原式值是0；

a>0,b>0,原式值是2；

a<0,b>0,原式值是0；

a<0,b<0,原式值是-2.

故①正确；

②•••|西=-疝a,6是不为0的有理数，

■■■ab<0,有以下两种情况：

a>0,b<0,此时原式值是1；

a<0,b>0,此时原式值是-1,

故②正确；

③已知a,b,c是有理数且a+6+c=0,abc<0,

则b+c~~~Clia+c=:-b,b+c=-

一CL—b-c

二原式化为面+百

a,b,c两正一负，有四种情况：

tz>0,b>0,c<0,原式值为-1

a>0,b<0,c>0,原式值为-1

aVO,b>0,c>0,原式值为-1

故③错误;

■•■abc<0,分四种情况（同③）

二原式值是T和3,

故④正确；

⑤分两种情况：

abe

当一正两负时，而，而•西有一个1，两个-1，

abc

而abc>0,所以，此时和为1+1-1-1=0；

abc

当一负两正时，而，两■•西有一个-1，两个1，

abc

而abc<0,所以=-1，此时和为-1+1+1-1=0.

故⑤正确.

故选：C.

20212021

6.（2021秋•常州期末）已知x=2八.则,-2|-l|+|x|+|x+l|-|x+2|的值是_右右

乙U乙乙乙U乙乙

【思路点拨】

根据x的值，判断无-2,X-1,x+1,尤+2的符号，再根据绝对值的定义化简后即可得到答案.

【解题过程】

2021

解：vx=2022,即0<xVl,

•••x-2<0fx-1<0,x+1>0,x+2>0,

*,«|x-2|-\x~l|+|x|+|x+l|-|x+2|

=2-x-(1-x)+x+x+1-x-2

—2~x-1+x+x+x+l-x-2

=x

2021

=2022,

2021

故答案为：荻,

7.(2021秋•绵竹市期末)代数式|x+1009|+|x+506|+|x-1012|的最小值是2021.

【思路点拨】

利用绝对值的定义，结合数轴可知最小值为1012到-1009的距离.

【解题过程】

解：小+1009|=|x-(-1009)|,|x+506|=|x-(-506)|,

--1009~^50601012*

由绝对值的定义可知:由4009代表x到-1009的距离；|x+506|代表x到-506的距离；|x-1012代表x到

1012的距离；

结合数轴可知：当x在-1009与1012之间，且x=-506时，距离之和最小，

最小值=1012-(-1009)=2021,

故答案为:2021.

8.(2021春•杨浦区校级期末)已知a,b,c为整数，M|a-Z)|2021+|c-a|2020=1,则|a-6|+|6-c|+|c-a|=_0

或2.

【思路点拨】

因为a、b、C都为整数，而且|a-6|202i+|c-.2020=1,所以|a-句与|c-a|只能是0或者1,于是进行分类讨

论即可得出.

【解题过程】

解：•:a、b、c为整数,且|。-6产1+匕"|加20=1,

.,.有|a-6|=l,|c-a|=O或|a-臼=0,|c-a|=l

①若|a-6|=l,|c-a|=0,

贝I」a-b=±l,a=c,

・,•「-c\=\c-b\=\a-b\=l,

••・|q-b\+\b-c\-\c-q|=l+l+0=2,

@\a-Z?|=0,\c-a\—\,

贝!Ja=b,c-a=±l,

'•\b-c\—\c-b\=\c-a\=l,

-b\+\b-c\-\c-3=0+1—1=0,

故答案为：0或2.

9.（2021秋•大田县期中）三个整数q,9。满足qVbVc,且q+b+c=0.若同V10,则同+|臼+|c|的最大值

为34.

【思路点拨】

根据a+b+c=0,a<b<c,可得aVO,c>0,a+b<0,则同>口|,再由同V10,a,b,c都是整数，得到

|«|<9,则堆8,根据一+臼=-。+〃）=-b-af\b\>-b,\a\>a,即可得到|c|=|a-臼=。+臼3同+步区17,

由此求解即可.

【解题过程】

解：,.•a+b+c=O,a〈b〈c,

"VO,c>0,a+b<0,

・•.13>|臼，

v|a|<10,a,b,c都是整数，

,-'\a+b\=-（b+q）=-b-a,|6|>-b,\a\>a,

'•\c\=\-a-b\=|a+Z>|<|a|+|h|<l7,

・・.|a|+|b|+|c|的值最大为9+8+17=34,

故答案为：34.

10.（2021秋•雁塔区校级期中）如果|〃+3|+|a-2\+\b-4\+\b-7|=8,则〃-b的最大值等于-2.

【思路点拨】

根据题意可得|〃+3|+|〃-2|=5,|6-4|+|fe-7|=3,此时-30W2,4<6<7,可求得-10%-店-2,即可求

解.

【解题过程】

解：\a+3\+\a-2|>5,\b-4\+\b-7|>3,

••.|a+3|+|〃-2\+\b-4|+|b-7|>8,

,a+3|+|a-2|+|6-4|+|6-7尸8,

・・.|a+3|+|a-2|=5,n-4|+「-7|=3,

-3<a<2,4<Z><7,

-10<a-b<-2,

・'•a-b的最大值等于-2,

故答案为：-2.

a+b

11.（2021秋•江岸区校级月考）设有理数a,b,。满足a>6>c,这里QCVO且|c|V|臼<同，则—丁|+|

b+ca+c2a+b+c

%——厂I+|%+3-|的最小值为_----

【思路点拨】

根据acVO可知a,c异号，再根据a>b>c,以及|c|V以V|a|,即可确定a,-a,b,-b,c,-c在数轴

a+bb+ca+ca+bb+ca+c

上的位置，而|工一二一|十归一=-|+|%+二一|表示至|」一^―,一一万一三点的距离的和，根据数轴即可确

2，

定.

【解题过程】

解：

••a,。异号,

'-'a>b>c,

c<0,

X'-*|c|<|fe|<|a|,

-a<-6<c<0<-c1b〈a,

a+bb+ca+ca+bb+ca+c

又|+,一不一|+,+表示至!!不一，—一三一三点的距离的和,

当x在当上时距离最小,

a+bb+ca+ca+ba+c2a+b+c

即,一一^―|+|x——^―|+|x+-I最小，最小值是一^•与一一厂之间的距离，即一;—

、2a+b+c

故答案为：一--

12.2020秋•海曙区期末）已知a,b,c为3个自然数，满足a+26+3c=2021,其中a<b<c,则|a-b\+\b-c|+|c-a\

的最大值是1346.

【思路点拨】

根据绝对值的性质化简式子，再确定a,b,c的值，由此解答即可.

【解题过程】

解：由题意知6沏，贝!J|a-=6-a,

b<c,贝岫-c|=c-6,

a<c,贝!||c-a\=c-a,

故-b\+\b-c|+|c-a\=b-a+c-b+c-a=2（c-a）,

上式值最大时，即c最大，且a最小时，（即c-。最大时），

又a+26+3c=2021,

2021=3x673+2,

故c的最大值为673,

此时a+26=2,a<b,且a,6均为自然数，a=0时，6=1,此时a最小，

故2（c-a）的最大值即c=673,a=0时的值，即：2/（673-0）=1346.

故答案为：1346.

13.设x是有理数，y=|x-l|+|x+l|.有下列四个结论：①y没有最小值；②有无穷多个x的值，使y取到

最小值；③有x的值，使y=1.8；④使y=2.5的x有两个值.其中正确的是（填序号）.

【思路点拨】

依据绝对值的几何意义，|x-1|可以看成是x与1的距离，|x+l|可以看出是x与-1的距离，这样y可以看

成两个距离之和，即在数轴上找一点x,使它到1和-1的距离之和等于y.要从三个情形分析讨论：①x

在-1的左侧；②x在-1和1之间（包括-1,1）;③x在1的右侧.

【解答过程】

解：：区-1|是数轴上X与1的距离，|x+l是数轴上X与-1的距离，

；.y=|x-l|+|x+l|是数轴上x与1和-1的距离之和.

・••当x在-1和1之间（包括-1,1）时，y的值总等于2.如下图：

X

-5-4-3-24012345>

当X在-1的左侧时，y的值总大于于2.如下图：

X

[|，|—[I

-5-4-3-2-1012345

当X在1的右侧时，y的值总大于于2.如下图：

x

_I__I_I_I_4__L_4__L*J_I_L>

-5-4-3-2-1012345

综上，y有最小值2,且此时-IWxWl.

.•.①③不正确，②正确.

,・・使y=2.5的x有-1,25和1,25两个值，

・•.④正确.

故答案为②④.

14.有理数a,b满足|a+l|+|2-a|=6-|b+2|-|b+5|,a2+b2的最大值为,最小值为.

【思路点拨】

将|a+l|+|2-a|以及|b+2|+|b+5|拆分开来看，从而分别得到他们的最值小均为3,而根据已知知道，它们的和

为6,从而得到|a+l|+|2-a|以及|b+2|+|b+5|的值均为3,从而得到a和b的取值范围，进而可以求出a?+b2的

最大值和最小值.

【解答过程】

解：|a+l|+|2-a|=6-|b+2|-|b+5|,

*，•|a+l|+|2-a|+|b+2|+|b+5|—6,

表示a至！J-1的距离,

|2-a|表不a至lj2的距离，

*'•|a+l|+|2-a|>3»

又••,|b+2]|表示b至lj-2的距离，

|b+5|表示b到-5的距离，

.-.|b+2|+|b+5|>3,

又・・・|a+l|+|2-a|+|b+2|+|b+5|=6,

|+|2-a|=3,|b+2|+|b+5|=3,

止匕时一lSag2,-5<b<-2,

•,2的最大值为4,最小值为0,

b2的最大值为25,最小值为4,

.•.a2+b2的最大值为29,最小值为4.

故答案为：29,4.

b+1b+2b+3

15.(2021秋•梁子湖区期中)已知阿-2|与|6-2|互为相反数，求嬴T—+的值.

【思路点拨】

根据绝对值的非负性求出a,6的值，代入代数式求值即可.

【解题过程】

解：根据题意得“-2|+|b-2|=0,

---\ab-2|>0,\b-2|>0,

■-ab-2=0,b-2=0,

b=2,

345

:・原式=5—二T+W

35

=77+4+7

24

27

=~"

16.(2021秋•贡井区期中)如图，数轴上的点/,B,C,D,£对应的数分别为a,b,ce,且这五

个点满足每相邻两个点之间的距离都相等.

(1)填空：a-c<0,b-a>0,b-d<0(填“>"，”<”或“=")；

(2)化简：\a-c\-2\b-a\-\b-d\；

(3)若⑷=同，族|=3,直接写出b-e的值.

...................................A

ABCDE

【思路点拨】

(1)根据数轴得出°V6Vc<dVe,再比较即可；

(2)先去掉绝对值符号，再合并同类项即可；

(3)先求出从e的值，再代入求出即可.

【解题过程】

解:(1)从数轴可知：a<b<c<d<e,

■■a-c<0,b-a>0,b-d<0,

故答案为：V,>,<;

(2)原式=|a-c|-2|6-a|一步-0

-a+c-2(b-a)-(d-6)

=-a+c-2b+2a-d+b

=a-b+c-d\

(3)同=|e|,

・・.。、e互为相反数，

•・*|=3,这五个点满足每相邻两个点之间的距离都相等，

•••/?=-3,e=6,

:・b-e=-3-6=-9.

17.(2021秋•铜山区期中)点/、5在数轴上分别表示有理数a、b,A,5两点之间的距离记为力请回答

下列问题：

(1)数轴上表示-3和1两点之间的距离d为4；

(2)数轴上表示x和-5两点之间的距离d为lx+51；

(3)若x表示一个有理数，且x大于-3且小于1,则N-1I+N表1=4；

(4)若x表示一个有理数，且|x+2|+|x+3]>l,则有理数x的取值范围为工<-2或X>-3.

【思路点拨】

(1)根据数轴上两点间的距离公式进行计算；

(2)根据数轴上两点间距离公式列式；

(3)根据绝对值的意义进行化简计算；

(4)根据绝对值的意义和数轴上两点间的距离进行分析求解.

【解题过程】

解：(1)d—1-(-3)=1+3=4,

.••数轴上表示-3和1两点之间的距离d为4,

故答案为：4；

(2)数轴上表示x和-5两点之间的距离d=|x-(-5)|=|x+5|,

故答案为：对5|；

(3)-3<%<1,

■■X-KO,x+3>0,

•,■|x_1|+|x+31=1_x+x+3=4,

故答案为：4；

(4)|x+2|+|x+3|表示数轴上数x到数-2和数-3的距离之和，

-2-（-3）=1,且|x+2|+|x+3|>l,

•••x<-2或x>-3,

故答案为：》<-3或工>-2.

18.x取何值时，|x-l|+|x-2|+|x-3|+…1997|取最小值，最小值是多少？

【思路点拨】

利用绝对值的几何意义分析:尤为数轴上的一点，|x-l|+|x-2|+|x-3|+…|x-1997|表示:点x到数轴上的1997

个点（1、2、3、…、1997）的距离之和,进而分析得出最小值为：|999-1|+|999-2|+|999-3|+...|999-1997|

求出即可.

【解题过程】

解：在数轴上，要使点x到两定点的距离和最小，

则x在两点之间，最小值为两定点为端点的线段长度（否则距离和大于该线段）；

所以：

当1—1997时,|x-l|+|x-1997|有最小值1996；

当2勺勺996时，|x-2|+|x-1996|有最小值1994；

当x=999时，|x-999|有最小值0.

综上,当x=999时，|x-l|+|x-2\+\x-3\+...\x-1997|能够取到最小值,

最小值为：|999-11+|999-2|+|999-3|+...|999-1997|

=998+997+996+...+0+1+2+998

（1+998）x998

=2*2

=997002.

19.（2021秋•金乡县期中）我们知道：在研究和解决数学问题时，当问题所给对象不能进行统一研究时，

我们就需要根据数学对象的本质属性的相同点和不同点，将对象区分为不同种类，然后逐类进行研究和解

决，最后综合各类结果得到整个问题的解决，这一思想方法，我们称之为'分类讨论的思想”.这一数学思想

用处非常广泛，我们经常用这种方法解决问题.例如：我们在讨论间的值时，就会对。进行分类讨论，当

近0时，同=a；当时，同=-a.现在请你利用这一思想解决下列问题：

8-3

CLab

（2）而=1或-1（存0）,而+西=2或0（其中。>0,厚0）

abcabc

(3)若仍分0,试求而+西+西+标鼻的所有可能的值.

【思路点拨】

(1)根据绝对值的定义即可得到结论；

(2)分类讨论：当a>0时，当«<0时，当6>0时，当b<0时，根据绝对值的定义即可得到结论；

(3)分类讨论：①当a>0,b>0,c>0时，

②当a,b,c三个字母中有一个字母小于0,其它两个字母大于0时，③当a,b,c三个字母中有一个字

母大于0,其它两个字母小于0时，④当a<0,b<Q,c<0时，根据绝对值的定义即可得到结论.

【解题过程】

8—3

解：⑴面=1，育=f

故答案为：1,-1;

aa

(2)当q>0时，而=1；当。<0时，面=一1；

CLbab

当Q0时，而+而=1+1=2；当6<0时，向+而=17=0；

故答案为：1或-1,2或0；

abcabc

(3)①当a>0,b>0,c>0时，而+而+两+的=1+1+1+1=4，

abcabc

②当a,b,c三个字母中有一个字母小于0,其它两个字母大于0时，而+面+而+正的=-1+1+1-1

=0,

abcabc

③当a,b,。三个字母中有一个字母大于0,其它两个字母小于0时，而+而+百+日两=1-1-"1=

0,

abcabc

④当a<0,b<Q,c<0时，而+而+百+两=-1777=7，

abcabc

综上所述，而+而+而+时的所有可能的值为±4,0.

20.(2021秋•江岸区期中)阅读下